Multivariate Verteilungen

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1 Multivariate Verteilungen Zufallsvektoren und Modellierung der Abhängigkeiten Ziel: Modellierung der Veränderungen der Risikofaktoren X n = (X n,1,x n,2,...,x n,d ) Annahme: X n,i und X n,j sind abhängig aber X n,i und X n±k,j sind unabhängig für k IN (k 0), 1 i,j d. Grundlegende Eigenschaften von Zufallsvektoren Ein d-dimensionaler Zufallsvektor X = (X 1,X 2,...,X d ) T wird durch die Verteilungsfunktion F spezifiziert F(x) = F(x 1,x 2,...,x d ) = P(X 1 x 1,X 2 x 2,...,X d x d ) = P(X x). Die i. Randverteilung F i von F ist die Verteilungsfunktion von X i und ist folgendermaßen gegeben: F i (x i ) = P(X i x i ) = F(,...,,x i,,..., ) Die Verteilungsfunktion F ist stetig wenn es eine nicht negative Funktion f 0 gibt, sodass F(x 1,x 2,...,x d ) = x1 x2... xd f ist in diesem Fall die Dichte von F. f(u 1,u 2,...,u d )du 1 du 2...du d 1

2 Die Komponenten von X sind unabhängig dann und nur dann wenn F(x) = Π d i=1 F i(x i ) oder, wenn die Dichten f und f i, 1 i d, existieren, dann sind die Komp. von X d.u.n.d. unabhängig wenn f(x) = Π d i=1f i (x i ) Ein Zufallsvektor wird durch seine charakteristische Funktion φ X (t) eindeutig spezifiziert: φ X (t) := E(exp{it T X}),t IR d Wenn E(Xk 2 ) < für alle k, dann ist die Kovarianzmatrix eines Zufallsvektors folgendermaßen gegeben: Anmerkung: Cov(X) = E((X E(X))(X E(X)) T ) Für einen n-dimensionalen Zufallsvektor X, eine konstante Matrix B IR n n und einen konstanten Vektor b IR n gelten folgende Gleichungen: E(BX +b) = BE(X)+b Cov(BX +b) = BCov(X)B T 2

3 Beispiel 1 Für die multivariate Normalverteilung mit Mittelwert µ und Kovarianzmatrix Σ sind die Dichtefunktion f bzw. die charakteristische Funktion φ X folgendermaßen gegeben ( Σ = Det(Σ) ): f(x) = 1 (2π) d Σ exp { 1 2 (x µ)t Σ 1 (x µ) φ X (t) = exp { it T µ 1 2 tt Σt },t IR d },x IR d Probleme bei Modellierung der Abhängigkeit zwischen Finanzgrössen mit Hilfe der (multivariaten) Normalverteilung Finanzgrößen haben i.a. heavier Tails als die Normalverteilung Die Zusammenhänge bei größeren Verlusten sind i.a. stärker als bei normalen Werten. Diese Art von Zusammenhängen kann mit der multivariaten Normalverteilung nicht modelliert werden. (Veranschaulichung der Problematik durch einen Vergleich zwischen Streudiagrammen von echten Daten und Scatter-Plots von Daten, die aus einer Normalverteilung mit geschätztem Erwartungsvektor und geschätzter Kovarianzmatrix simuliert werden.) 3

4 Abhängigkeitsmaße Seien X 1 und X 2 zwei Zufallsvariablen. Es gibt einige skalare Maße für die Abhängigkeit zwischen X 1 und X 2. Lineare Korrelation Annahme: var(x 1 ),var(x 2 ) (0, ). Der Koeffizient der linearen Korrelation ρ L (X 1,X 2 ) ist folgendermaßen gegeben: ρ L (X 1,X 2 ) = cov(x 1,X 2 ) var(x1 )var(x 2 ) X 1 und X 2 sind unabhängig ρ L (X 1,X 2 ) = 0 ρ L (X 1,X 2 ) = 0 impliziert nicht, dass X 1 und X 2 unabhängig sind Beispiel 2 Sei X 1 N(0,1) und X 2 = X 2 1. Es gilt ρ L(X 1,X 2 ) = 0 aber X 1 und X 2 sind klarerweise abhängig. Weiters gilt: ρ L (X 1,X 2 ) = 1 α,β IR, β 0, sodass X 2 d = α+βx1 und signum(β) = signum(ρ L (X 1,X 2 )) 4

5 Der lineare Korrelationskoeff. ist eine Invariante unter streng monoton steigende lineare Transformationen. D.h. für zwei Zufallsvariablen X 1 und X 2 und reellen Konstanten α 1,α 2,β 1,β 2 IR, β 1 > 0 und β 2 > 0 gilt: ρ L (α 1 +β 1 X 1,α 2 +β 2 X 2 ) = ρ L (X 1,X 2 ). Der lineare Korrelationskoeffizient ist jedoch keine Invariante unter streng monoton steigende nicht-lineare Transformationen. Beispiel 3 Seien X Exp(λ), X 2 = X 1, und T 1, T 2 zwei streng monoton steigende Transformationen: T 1 (X 1 ) = X 1 und T 2 (X 1 )) = X 2 1. Dann gilt: ρ L (X 1,X 1 ) = 1 und ρ L (T 1 (X 1 ),T 2 (X 1 )) =

6 Rang Korrelation Die Koeffizienten der Rang Korrelation (Spearmans Rho und Kendalls Tau) sind Maße für die Übereinstimmung von bivariaten Zufallsvektoren. Seien (x 1,x 2 ) und ( x 1, x 2 ) zwei Punkte in IR 2. Die zwei Punkte heißen übereinstimmend wenn (x 1 x 1 )(x 2 x 2 ) > 0 und nicht übereinstimmend wenn (x 1 x 1 )(x 2 x 2 ) < 0. Seien (X 1,X 2 ) T und ( X 1, X 2 ) T zwei unabhängige Zufallsvektoren mit identischer bivariater Verteilung. Die Kendall s Tau ρ τ ist definiert als ρ τ (X 1,X 2 ) = P ( (X 1 X 1 )(X 2 X 2 ) > 0 ) P ( (X 1 X 1 )(X 2 X 2 ) < 0 ) Sei ( ˆX 1, ˆX 2 ) ein dritter von (X 1,X 2 ) und ( X 1, X 2 ) unahängiger Zufallsvektor mit derselben Verteilung wie (X 1,X 2 ) und ( X 1, X 2 ). Die Spearman s Rho ρ S ist definiert als ρ S (X 1,X 2 ) = 3 { P ( (X 1 X 1 )(X 2 ˆX 2 ) > 0 ) P ( (X 1 X 1 )(X 2 ˆX 2 ) < 0 )} 6

7 Einige Eigenschaften von ρ τ und ρ S : ρ τ (X 1,X 2 ) [ 1,1] und ρ S (X 1,X 2 ) [ 1,1]. Wenn X 1 und X 2 unabhängig, dann ρ τ (X 1,X 2 ) = ρ S (X 1,X 2 ) = 0. Die Umkehrung gilt i.a. nicht. Sei T:IR IR eine streng monoton steigende Funktion. Dann gilt: ρ τ (T(X 1 ),T(X 2 )) = ρ τ (X 1,X 2 ) ρ S (T(X 1 ),T(X 2 )) = ρ S (X 1,X 2 ) Beweis: 1) und 2) sind trivial. Beweis von 3) erfolgt mit Hilfe von Copulas, später... 7

8 Tail-Abhängigkeit Definition 1 Sei (X 1,X 2 ) T ein Zufallsvektor mit Randverteilungen F 1 und F 2. Der Koeffizient der oberen Tail-Abhängigkeit von (X 1,X 2 ) T wird folgendermaßen definiert: λ U (X 1,X 2 ) = lim P(X u 1 2 > F2 (u) X 1 > F1 (u)) vorausgesetzt der Limes existiert. Der Koeffizient der unteren Tail-Abhängigkeit von (X 1,X 2 ) T wird folgendermaßen definiert: λ L (X 1,X 2 ) = lim P(X u F2 (u) X 1 F1 (u)) vorausgesetzt der Limes existiert. Wenn λ U > 0 (λ L > 0) heißt es, (X 1,X 2 ) T hat eine obere (untere) Tail-Abhängigkeit. (Siehe Joe 1997, Schmidt und Stadtmüller 2002) Übung 1 Sei X 1 Exp(λ) und X 2 = X 2 1. Bestimmen Sie λ U(X 1,X 2 ), λ L (X 1,X 2 ) und zeigen Sie, dass (X 1,X 2 ) T eine obere und eine untere Tail-Abhängigkeit hat. Berechnen Sie auch den linearen Korrelationskoeffizienten ρ L (X 1,X 2 ). 8

9 Multivariate elliptische Verteilungen a) Die multivariate Normalverteilung Definition 2 Der Zufallsvektor (X 1,X 2,...,X d ) T hat eine multivariate Normalverteilung (oder eine multivariate Gauss sche Verteilung) wenn X d = µ + AZ, wobei Z = (Z 1,Z 2,...,Z k ) T ein Vektor von i.i.d. normalverteilten ZV (Z i N(0,1), i = 1,2,...,k), A IR d k ist eine konstante Matrix und µ IR d ist ein konstanter Vektor. Für so einen Zufallsvektor X gilt: E(X) = µ, cov(x) = Σ = AA T (Σ positiv semidefinit). Notation: X N d (µ,σ). Theorem 1 (Multivariate Normalverteilung: äquiv. Definitionen) 1. X N d (µ,σ) für einen Vektor µ IR d und eine positiv semidefinite Matrix Σ IR d d, dann und nur dann wenn a IR d, a = (a 1,a 2,...,a d ) T, die Zufallsvariable a T X normal verteilt ist. 2. Ein Zufallsvektor X IR d ist multivariat normal verteilt dann und nur dann wenn seine charakteristische Funktion folgendermaßen gegeben ist: φ X (t) = E(exp{it T X}) = exp{it T µ 1 2 tt Σt} für einen Vektor µ IR d und eine positiv semidefinite Matrix Σ IR d d. 9

10 3. Ein Zufallsvektor X IR d mit E(X) = µ und cov(x) = Σ, wobei die Determinante von Σ positiv ist (det(σ) := Σ > 0), ist normal verteilt, d.h. X N d (µ,σ), dann und nur dann wenn seine Dichtefunktion folgendermaßen gegeben ist { } 1 f X (x) = (2π) d Σ exp (x µ)t Σ 1 (x µ). 2 Beweis: (siehe zb. Gut 1995) Theorem 2 (Eigenschaften der multivariaten Normalverteilung) Für X N d (µ,σ) gilt: Lineare Kombinationen: Für B IR k d und b IR k. Es gilt dann BX+b N k (Bµ+b,BΣB T ). Randverteilungen: ( Setze X T = X (1)T,X (2)T) für X (1)T = (X 1,X 2,...,X k ) T und X (2)T = (X k+1,x k+2,...,x d ) T und analog ( ( ) µ T = µ (1)T,µ (2)T) Σ (1,1) Σ und Σ = (1,2) Σ (2,1) Σ (2,2). ( ) ( Es gilt dann X (1) N k µ (1),Σ (1,1) und X (2) N d k µ (2),Σ ). (2,2) 10

11 Bedingte Verteilungen: Wenn Σ regulär, dann ist auch der bedingte Z.Vektor X (2) X (1) = x (1) multivariat normal verteilt X (2) X (1) = x (1) N d k ( µ (2,1),Σ (22,1) ) wobei µ (2,1) = µ (2) +Σ (2,1) ( Σ (1,1) ) 1 ( x (1) µ (1) ) und Σ (22,1) = Σ (2,2) Σ (2,1) (Σ (1,1) ) 1Σ (1,2). Quadratische Formen: Wenn Σ regulär, dann gilt D 2 = (X µ) T Σ 1 (X µ) χ 2 d. Die Zufallsvariable D heißt Mahalanobis Distanz. Faltung: Seien X N d (µ,σ) und Y N d ( µ, Σ) zwei unabhängige Zufallsvektoren. Es gilt dann X +Y N d (µ+ µ,σ+ Σ). 11

12 b) Varianz-gemischte Normalverteilungen Definition 3 Ein Zufallsvektor X IR d hat eine multivariate Varianzgemischte Normalverteilung wenn X d = µ+waz wobei: Z N k (0,I), W 0 ist eine von Z unabhängige positive Zufallsvariable, µ IR d ist ein konstanter Vektor, A IR d k ist eine konstante Matrix, und I ist die Einheitsmatrix. Unter der Bedingung W = w ist X normalverteilt: X N d (µ,w 2 Σ), wobei Σ = AA T. E(X) = µ und cov(x) = E(W 2 AZZ T A T ) = E(W 2 )Σ falls E(W 2 ) < Beispiel 4 Die multivariate t α -Verteilung Sei Y IG(α, β) (Inverse Gamma-Verteilung) mit Dichtefunktion: f α,β (x) = βα Γ(α) x (α+1) exp( β/x) x > 0,α > 0,β > 0 Dann gilt: E(Y) = β α 1 für α > 1, var(y) = β 2 (α 1) 2 (α 2) für α > 2 Sei W 2 IG(α/2,α/2). Dann ist die Verteilung von X = µ + WAZ eine multivariate t α Verteilung mit α Freiheitsgraden: X t d (α,µ,σ). cov(x) = E(W 2 )Σ = α α 2 Σ 12

13 c) Sphärische Verteilungen Definition 4 Ein Zufallsvektor X = (X 1,X 2,...,X d ) T hat eine sphärische Verteilung wenn für jede orthogonale Matrix U IR d d die Gleichung UX d = X gilt. Theorem 3 Die folgenden Aussagen sind äquivalent. 1. Der Zufallsvektor X IR d hat eine sphärische Verteilung. 2. Es existiert eine Funktion ψ: IR IR, sodass die charakteristische Funktion von X folgendermaßen gegeben wird: φ X (t) = ψ(t T t) = ψ(t 2 1 +t t2 d ) 3. Für jeden Vektor a IR d gilt a t X d = a X 1 wobei a 2 = a 2 1 +a a2 d. 4. X lässt sich als X d = RS repräsentieren, wobei der Zufallsvektor S IR d gleichmäßig verteilt auf der Einheitskugel S d 1, S d 1 = {x IR d : x = 1}, ist, und R 0 eine von S unabhängige ZV ist. Notation einer sphärischen Verteilung: X S d (ψ) 13

14 Beispiel 5 Die standard Normalverteilung ist eine sphärische Verteilungen. Sei X N d (0,I). Dann X S d (ψ) mit ψ = exp( x/2). Tatsächlich: φ X (t) = exp{it T tt It} = exp{ t T t/2} = ψ(t T t). Sei X = RS die stochastische Darstellung von X N d (0,I). Es gilt X 2 d = R 2 χ 2 d ; Simulation einer sphärischen Verteilung: (i) Simuliere s aus einer gleichmäßig verteilten Zufallsvektor in S d 1 (zb. in dem y aus einer multivariaten Standard Normalverteilung Y N d (0,I) simuliert und s = y/ y gesetzt wird). (ii) Simuliere r aus R. (iii) Setze x = rs. 14

15 d) Elliptische Verteilungen Definition 5 Ein Zufallsvektor X IR d hat eine elliptische Verteilung wenn X d = µ+ay, wobei Y S k (ψ), µ IR d ist ein konstanter Vektor und A IR d k ist eine konstante Matrix. Die charakteristische Funktion: φ X (t) = E(exp{it T X}) = E(exp{it T (µ+ay)}) = exp{it T µ}e(exp{i(a T t) T Y}) wobei Σ = AA T. = exp{it T µ}ψ(t T Σt), Notation elliptische Verteilungen: X E d (µ,σ,ψ) µ heißt Positionsparameter (location parameter), Σ heißt Dispersionsparameter (dispersion parameter), ψ heißt charakteristischer Generator der elliptischen Verteilung. Falls A IR d d regulär, dann gilt folgende Relation zwischen elliptischen und sphärischen Verteilungen: X E d (µ,σ,ψ) A 1 (X µ) S d (ψ), A IR d d,aa T = Σ 15

16 Theorem 4 ( Stochastische Darstellung der elliptischen Verteilung) Sei X IR d ein d-dimensinaler Zufallsvektor. X E d (µ,σ,ψ) dann und nur dann wenn X d = µ+ras, wobei S IR k ist ein auf der Einheitskugel S k 1 gleichverteilter Zufallsvektor, R 0 ist eine von S unahängige nicht negative Zufallsvariable, A IR d k ist eine konstante Matrix (Σ = AA T ) und µ IR d ist ein konstanter Vektor. Simulation einer elliptischen Verteilung: (i) Simuliere s aus einer gleichmäßig verteilten Zufallsvektor in S d 1 (zb. in dem y aus einer multivariaten Standard Normalverteilung Y N d (0,I) simuliert und s = y/ y gesetzt wird). (ii) Simuliere r aus R. (iii) Setze x = µ+ras. 16

17 Beispiel 6 (Multivariate Normalverteilung) Sei X N(µ,Σ). Es existiert eine Matrix A IR d k, sodass X d = µ+az wobei Z N k (0,I) und AA T = Σ. Weiters gilt Z = RS wobei S ein gleichmäßig verteilter Zufallsvektor in S k 1 ist und R 2 χ 2 k. Daraus folgt X d = µ+ras und daher X E d (µ,σ,ψ) mit ψ(x) = exp{ x/2}. Beispiel 7 (Multivariate normal variance mixture) Sei Z N d (0,I) ein normal-verteilter Zufallsvektor. Z ist sphärischverteilt mit stochastischer Darstellung Z d = VS wobei V 2 = Z 2 χ 2 d. Sei X = µ+w AZ eine Varianz-gemischte Normalverteilung. Dann gilt X = d µ + VWAS wobei V 2 χ 2 d und VW eine nicht-negative von S unabhängige ZV ist. D.h., X ist elliptisch verteilt mit R = VW. 17

18 Theorem 5 (Eigenschaften der elliptischen Verteilung) Sei X E k (µ,σ,ψ). X hat folgende Eigenschaften: Lineare Kombinationen: Für B IR k d und b IR k gilt: Randverteilungen: ( Setze X T = X (1)T,X (2)T) für BX +b E k (Bµ+b,BΣB T,ψ). X (1)T = (X 1,X 2,...,X n ) T und X (2)T = (X n+1,x n+2,...,x k ) T und analog ( ( ) µ T = µ (1)T,µ (2)T) Σ (1,1) Σ sowie Σ = (1,2) Σ (2,1) Σ (2,2). Es gilt dann ) ) X 1 N n (µ (1),Σ (1,1),ψ und X 2 N k n (µ (2),Σ (2,2),ψ. 18

19 Bedingte Verteilungen: Wenn Σ regulär, dann ist auch die bedingte Verteilung X (2) X (1) = x (1) elliptisch verteilt: X (2) X (1) = x (1) N k n ( µ (2,1),Σ (22,1), ψ ) wobei µ (2,1) = µ (2) +Σ (2,1) ( Σ (1,1) ) 1 ( x (1) µ (1) ) und Σ (22,1) = Σ (2,2) Σ (2,1) (Σ (1,1) ) 1Σ (1,2). Typischerwise sind ψ und ψ unterschiedlich (siehe Fang, Katz und Ng 1987). 19

20 Quadratische Formen: Wenn Σ regulär, dann gilt D 2 = (X µ) T Σ 1 (X µ) R 2. wobei R die nicht-negative ZV aus der stochastischen Darstellung ) Y = RS der spherischen Verteilung Y mit S U (S (d 1) und X = µ+ay ist. Die Zufallsvariable D heißt Mahalanobis Distanz. Faltung: Seien X E k (µ,σ,ψ) und Y E k ( µ,σ, ψ) zwei unabhängige Zufallsvektoren. Es gilt dann X +Y E k (µ+ µ,σ, ψ) wobei ψ = ψ ψ. Achtung: Σ muss i.a. dieselbe für X und Y sein. Anmerkung: Aus X E k (µ,i k,ψ) folgt nicht, dass die Komponenten von X unabhängig sind. Die Komponenten von X sind dann und nur dann unabhängig wenn X multivariat normalverteilt mit der Einheitsmatrix als Kovarianzmatrix ist. 20

21 Koherente Risikomaße Sei (Ω, F, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum mit Ereignismenge Ω, Ereignisalgebra F und Wahrscheinlichkeitsmaß P. Sei L (0) (Ω,F,P) die Menge aller Zufallsgrößen aus (Ω,F), die fast sicher endlich sind. Sei M L (0). Sei ρ:m IR ein Risikomaß in M Definition 6 Ein Risikomaß ρ, das folgende Eigenschaften besitzt, heißt koherent auf M: (C1) Invarianz bzgl. Translation: ρ(x +r) = ρ(x)+r, für jede Konstante r und jedes X M. (C2) Subadditivität: X 1,X 2 M gilt ρ(x 1 +X 2 ) ρ(x 1 )+ρ(x 2 ). (C3) Positive Homogenität: ρ(λx) = λρ(x), λ 0, X M. (C4) Monotonie: X 1,X 2 M gilt X 1 f.s. X 2 = ρ(x 1 ) ρ(x 2 ). 21

22 Konvexe Risikomaße Betrachte die Eigenschaft (C5) Konvexität: X 1,X 2 M, λ [0,1] gilt ρ(λx 1 +(1 λ)x 2 ) λρ(x 1 )+(1 λ)ρ(x 2 ). (C5) ist schwächer als (C2) und (C3), d.h. (C2) und (C3) zusammen implizieren (C5) aber nicht umgekehrt. Definition 7 Ein Risikomaß ρ, das die Eigenschaften (C1),(C4) und (C5) besitzt, heißt konvex auf M. Beobachtung: VaR ist i.a. nicht koherent Sei das Wahrscheinlichkeitsmaß P durch einer beliebigen kontinuierlichen oder diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung F definiert. VaR α (F) = F (α) besitzt die Eigenschaften (C1), (C3) und (C4), jedoch i.a. nicht die Subadditivität 22

23 Beispiel 8 Sei das Wahrscheinlichkeitsmaß P durch die Binomialverteilung B(p,n) für n IN, p (0,1), definiert. Wir zeigen: VaR α (B(p,n)) ist nicht subadditiv. ZB.: Berechnen Sie den VaR der Verluste eines Bond-Portfolios bestehend aus 100 Bonds, die unabhängig von einander mit Wahrscheinlichkeit p defaultieren. Beobachten Sie, dass dieser Wert größer als das Hunderfache des VaRs des Verlustes eines einzigen Bonds ist. Theorem 6 Sei (Ω,F,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und M L (0) (Ω,F,P) die Menge aller in (Ω,F,P) definierten Zufallsvariablen mit einer kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsverteilung F. CVaR α ist eine koherentes Risikomaß in M, α (0,1). 23

24 Elliptische Verteilungen und Portfoliooptimierung Ein Investor möchte in d (risikoreichen) Assets investieren. Sei X = (X 1,X 2,...,X d ) T der Zufallsvektor der Asset-Returns mit E(X) = µ und Cov(X) = Σ. Sei P die Klasse aller Portfolios bestehend aus den obigen d Aktien. Jedes (long-short) Portfolio aus P ist eindeutig durch den Gewichtsvektor w = (w i ) IR d definiert. w i > 0 enstpricht einer Long- Investition und w i < 0 entspricht einer Short-Investition. Daher: d P = { w = (w i ) IR d : i=1 } w i = 1 Die Portfoliorendite ist die Zufallsvariable Z(w) = d i=1 w ix i. Die erwartete Portfoliorendite: E(Z(w)) = w T µ. Es gelte X E d (µ,σ,ψ) mit E(Xk 2 ) < und Σ = cov(x). Sei P m die Klasse jener PF aus P sodass E(Z(w)) = m, m IR, m > 0. d P m = {w = (w i ) IR d, w i = 1,w T µ = m} i=1 24

25 Das Mean-Variance PF-Opt.modell (Markowitz 1952, 1987) lautet min var(z(w)) (1) w P m oder äquivalent (siehe zb. Campbell et al. (1997)) min w sodass w T Σw w T µ = m d i=1 w i = 1 Sei ρ ein Risikomaß. Das Mean-ρ PF-Optimierungsmodell lautet: min ρ(z(w)) (2) w P m Sei ρ = VaR α, α (0,1). Das Mean-VaR PF-Optimierungsmodell lautet: min VaR α (Z(w)) (3) w P m Frage: Wie hängen die Probleme (1) und (2) (insbesondere (3)) zusammen? 25

26 Theorem 7 Sei M die Menge der erwarteten Rendite der Portfolii aus P. Die Risikofaktoren, d.h. die Rendite der einzelnen Aktien seien elliptisch verteilt, X = (X 1,X 2,...,X d ) E d (µ,σ,ψ) für gegebene µ IR d, σ IR d d und ψ:ir IR. VaR α ist koherent auf M, für jedes α (0.5,1). Theorem 8 (Embrechts et al., 2002) Sei X = (X 1,X 2,...,X d ) = µ + AY elliptisch verteilt mit µ IR d, A IR d k, und einem spherisch verteilten Zufallsvektor Y S k (ψ) und 0 < E(Xk 2 ) <, k. Sei ρ ein Risikomaß, das die Eigenschaften (C1) und (C3) besitzt, und ρ(y 1 ) > 0 erfüllt, wobei Y 1 die erste Komponente des spherisch verteilten Zufallsvektors Y ist. Es gilt dann: argmin{ρ(z(w)):w P m } = argmin{var(z(w)):w P m } 26

27 Einführung in Copulas: Grundlegende Eigenschaften Definition 8 Eine d-dimensionale Copula ist eine Verteilungsfunktion auf [0,1] d deren Randverteilungen jeweils standard gleichverteilt auf [0,1] sind. Oder äquivalent: Eine Copula C ist eine Funktion C:[0,1] d [0,1], die folgende Eigenschaften hat: 1. C(u 1,u 2,...,u d ) ist mon. steigend in jeder Variable u i, 1 i d. 2. C(1,1,...,1,u k,1,...,1) = u k für jedes k {1,...,d}, u k [0,1]. 3. Folgende Ungleichung (sogenannte Rechtecksungleichung) gilt für alle (a 1,a 2,...,a d ), (b 1,b 2,...,b d ) [0,1] d mit a k b k, k {1,2,...,d}: 2 k 1 = ( 1) k 1+k k d C(u 1k1,u 2k2,...,u dkd ) 0 k d =1 wobei u j1 = a j und u j2 = b j. Anmerkung: Für 2 k d sind die k-dimensionalen Randverteilungen einer d-dimensionalen Copula wieder Copulas, k-dimensionale Copulas. 27

28 Lemma 1 Sei h:ir IR eine monoton steigende Funktion mit h(ir) = IR und h :IR IR die verallgemeinerte inverse Funktion von h. Es gelten dann folgende Aussagen: 1. h ist stetig h ist streng monoton steigend. 2. h ist streng monoton steigend h ist stetig. 3. h (h(x)) x 4. h ist streng monoton steigend = h (h(x)) = x. 5. h ist stetig = h(h (y)) = y. Lemma 2 Sei X eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion F. Es gilt: P (X = x:f (F(x)) = x) = 1, d.h. F (F(x)) f.s. = x 28

29 Theorem 9 Sei G eine Verteilungsfunktion in IR. 1. Quantil-Transformation: Wenn U U(0, 1) (standard Gleichverteilung), dann gilt P(G (U) x) = G(x). 2. Wahrscheinlichkeit-Transformation: Sei Y eine Zufallsvariable mit stetiger Verteilungsfunktion G. Es gilt G(Y) U(0,1). Theorem 10 (Sklar, 1959) Sei F:IR d [0,1] eine Gesamtverteilungsfunktion mit Randverteilungsfunktionen F 1,...,F d. Es existiert eine Copula C, sodass für alle x 1,x 2,...,x d IR = [, ] F(x 1,x 2,...,x d ) = C(F 1 (x 1 ),F 2 (x 2 ),...,F d (x d )). (4) Wenn F 1,...,F d stetig, dann ist C eindeutig. Vice-versa, sei C eine Copula und F 1,...,F d Verteilungsfunktionen. Dann ist die Funktion F aus (4) eine Gesamtverteilungsfunktion mit Randverteilungsfunktionen F 1,...,F d. C aus (4) heißt Copula von F. Für ein Zufallsvektor X IR d mit Gesamtverteilungsfunktion F heißt C auch Copula von X. 29

30 Korollar 1 Sei F eine Gesamtverteilungsfunktion mit stetigen Randverteilungsfunktionen F 1,...,F d. Die eindeutige Copula von F ist folgendermaßen gegeben: C(u 1,u 2,...,u d ) = F(F 1 (u 1 ),F 2 (u 2 ),...,F d (u d)). Theorem 11 (Copula-Invarianz bzgl. streng monotonen Transformationen) Sei X = (X 1,X 2,...,X d ) T ein Zufallsvektor mit stetigen Randverteilungen F 1,F 2,...,F d und Copula C. Seien T 1,T 2,..., T d streng monoton steigende Funktionen in IR. Dann ist C auch eine Copula von (T 1 (X 1 ),T 2 (X 2 ),...,T d (X d )) T. Beispiel 9 Sei X N d (0,Σ) wobei Σ = R die Korrelationsmatrix von X ist. Seien φ R und φ die Verteilungsfunktionen von X bzw. X 1. Die Copula von X ist die so genannte Gauss sche Copula CR Ga: CR Ga C Ga R (u 1,u 2,...,u d ) = φ R (φ 1 (u 1 ),φ 1 (u 2 ),...,φ 1 (u d )). ist auch die Copula jeder nicht degenerierten Normalverteilung N d (µ,σ) mit Korrelationsmatrix R. Für d = 2 und ρ = R 12 ( 1,1) gilt: C Ga R (u 1,u 2 ) = φ 1 (u 1 ) φ 1 (u 2 ) 1 2π(1 ρ 2 ) 1/2 exp { (x 2 1 2ρx 1 x 2 +x 2 2 ) } dx 2(1 ρ 2 1 dx 2 ) 30

31 Theorem 12 (Fréchet Schranken) Für jede Copula gilt { d } max u k d+1,0 C(u 1,u 2,...,u d ) min{u 1,u 2,...,u d }. k=1 Notation: Untere Schranke =: W d und obere Schranke =: M d, für d 2. Für d = 2 setzen wir M := M 2, W := W 2. Anmerkung: Ein analoges Ergebnis wie im Satz 12 gilt für allgemeine multivariate Verteilungen F mit Randverteilungen F i, 1 i d: { d } max F k (x k ) d+1,0 F(x 1,x 2,...,x d ) min{f 1 (x 1 ),F 2 (x 2 ),...,F d (x d )}. k=1 Beispiel 10 Zeigen Sie, dass die Fréchet untere Schranke W d für d 3 keine Copula ist. Hinweis: Verwenden Sie die Mengenfunktion Q Q([a 1,b 1 ] [a 2,b 2 ]...[a d,b d ]) = ( 1) k 1+k k d W d (u 1k1,u 2k2,...,u dkd ) k 1 =1k 2 =1 k d =1 wobei (a 1,a 2,...,a d ), (b 1,b 2,...,b d ) [0,1] d mit a k b k und u j1 = a j und u j2 = b j für j {1,2,...,d}. 31

32 Theorem 13 (Ohne Beweis) Für jedes d 3 und jedes u [0,1] d, es existiert eine Copula C d,u, sodass C d,u (u) = W d (u). Anmerkung 1: Für jedes d 2 ist die Fréchet obere Schranke M d eine Copula. Überprüfung der 3 Copula-Axiome ist einfach. Anmerkung 2: Weiters sind M und W Copulas. Hinweis: Sei X eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion F X. Seien Y = T(X) und Z = S(X) zwei Zufallsvariablen, wobei T und S zwei streng monotone Funktionen, T steigend und S fallend, sind. Nun ist M die Copula von (X,T(X)) T und W die Copula von (X,S(X)) T. 32

33 Co-Monotonie und Anti-Monotonie Definition 9 X 1 und X 2 heißen co-monoton wenn M eine Copula von (X 1,X 2 ) T ist. X 1 und X 2 heißen anti-monoton wenn W eine Copula von (X 1,X 2 ) T ist. Theorem 14 Angenommen eine Copula von (X 1,X 2 ) T ist W oder M. Es existieren dann zwei monotone Funktionen α,β:ir IR und eine Zufallsvariable Z, sodass (X 1,X 2 ) d = (α(z),β(z)). Falls M die Copula von (X 1,X 2 ) T ist, dann sind α und β monoton steigend, falls W die Copula von (X 1,X 2 ) T ist, dann ist α monoton steigend und β monoton fallend. Wenn die Randverteilungen F 1 und F 2 von (X 1,X 2 ) T stetig sind, dann gilt: C = W X 2 = T(X 1 ) fast sicher,t = F 2 (1 F 1 ) monoton fallend C = M X 2 = T(X 1 ) fast sicher,t = F 2 F 1 monoton steigend Beweis: In McNeil et al.,

34 Theorem 15 Sei (X 1,X 2 ) T ein Zufallsvektor mit Randverteilungsfunktionen F 1, F 2 und einer nicht spezifizierten Abhängigkeitsstruktur. Sei var(x 1 ),var(x 2 ) (0, ). Dann gilt: 1. Die Menge der möglichen linearen Korrelationen von X 1 und X 2 ist ein abgeschlossenes Intervall [ρ L,min ;ρ L,max ] mit 0 [ρ L,min ;ρ L,max ]. 2. Die minimale lineare Korrelation wird dann und nur dann erreicht wenn X 1 und X 2 anti-monoton sind. Die maximale lineare Korrelation wird dann und nur dann erreicht wenn X 1 und X 2 co-monoton sind. Im Beweis wird die Höffding sche Gleichung verwendet: Lemma 3 (Die Höffding sche Gleichung) Sei (X 1,X 2 ) T ein Zufallsvektor mit Gesamtverteilung F und Randverteilungen F 1, F 2. Wenn cov(x 1,X 2 ) < dann gilt: cov(x 1,X 2 ) = Beweis in McNeil et al.,2005. (F(x 1,x 2 ) F 1 (x 1 )F 2 (x 2 ))dx 1 dx 2. 34

35 Beispiel 11 Sei X 1 Lognormal(0,1) und X 2 Lognormal(0,σ 2 ), σ > 0. Bestimmen Sie ρ L,min (X 1,X 2 ) und ρ L,max (X 1,X 2 ). Beispiel 12 Betrachten Sie zwei ZV Z 1 und Z 2, die die Verluste zweier Portfolii darstellen. Sei Z 1 N(0,1), Z 2 N(0,1) und ρ L (Z 1,Z 2 ) = 0. Geben Sie zwei Zufallsvektoren (X 1,X 2 ) T und (Y 1,Y 2 ) T mit unterschiedlichen Gesamtverteilungsfunktionen an, für die F X 1 +X 2 (α) F Y 1 +Y 2 (α) gilt und die obigen Annahmen erfüllt sind, d.h. X 1,X 2,Y 1,Y 2 N(0,1) und ρ L (X 1,X 2 ) = 0, ρ L (Y 1,Y 2 ) = 0,. Fazit: Aus den Verlustverteilungen der zwei Teilen eines Portfolios und aus der Korrelation der jeweiligen Verluste lassen sich keine Schlüsse über die Verlustverteilung des Gesamtportfolios ziehen. 35

36 Kendall s Tau und Spearman s Rho Seien (x,y) T und ( x,ỹ) T zwei Beobachtungen von einem Zufallsvektor (X,Y) T. (x,y) T und ( x,ỹ) T heißen übereinstimmend falls (x x)(y ỹ) > 0 und nicht übereinstimmend falls (x x)(y ỹ) < 0. Definition 10 Sei (X 1,X 2 ) T ein Zufallsvektor mit stetigen Randverteilungen. Der Kendall s Tau ist für (X 1,X 2 ) T folgendermaßen definiert: ρ τ (X 1,X 2 ) = P((X 1 X 1 )(X 2 X 2 ) > 0) P((X 1 X 1 )(X 2 X 2 ) < 0), wobei (X 1,X 2 )T is eine unabhängige Kopie von (X 1,X 2 ) T. Äquivalent: ρ τ (X 1,X 2 ) = E(sign[(X 1 X 1 )(X 2 X 2 )]). Im d-dimensionalen Fall X IR d : ρ τ (X) = cov(sign(x X )), wobei X IR D eine unabhängige Kopie von X IR d ist. Der Kendall s Tau der Stichprobe: Sei {(x 1,y 1 ) T,(x 2,y 2 ) T,...,(x n,y n ) T } eine Stichprobe von n Beobachtungen des Zufallsvektors (X,Y) T dessen Randverteilungen stetig sind. Sei c die Anzahl der übereinstimmenden Paare und d die Anzahl der nicht übereinstimmenden Paare aus der Stichprobe. ρ τ (X,Y) = c d c+d a.s. = c d n(n 1)/2 36

37 Definition 11 Sei (X 1,X 2 ) T ein Zufallsvektor mit stetigen Randverteilungen. Der Spearman s Rho ist für (X 1,X 2 ) T folgendermaßen definiert: ρ S (X 1,X 2 ) = 3(P((X 1 X 1 )(X 2 X 2 ) > 0) P((X 1 X 1 )(X 2 X 2 ) < 0)), wobei (X 1,X 2 )T, (X 1,X 2 )T unabhängige Kopien von (X 1,X 2 ) T sind. Äquivalente Definition (ohne Beweis): Seien F 1 und F 2 die stetigen Randverteilungen von (X 1,X 2 ) T. Es gilt ρ S (X 1,X 2 ) = ρ L (F 1 (X 1 ),F 2 (X 2 )), d.h. der Spearman s Rho ist die lineare Korrelation der eindeutigen Copula von (X 1,X 2 ) T. Im d-dimensionalen Fall X IR d : ρ S (X) = ρ(f 1 (X 1 ),F 2 (X 2 ),...,F d (X d )) ist die Korrelationsmatrix der eindeutigen Copula von X, wobei F 1,F 2,...,F d die stetigen Randverteilungen von X sind. Theorem 16 Sei (X 1,X 2 ) T ein Zufallsvektor mit stetigen Randverteilungen und eindeutiger Copula C. Für die Rankkorrelationen ρ τ (X 1,X 2 ) und ρ S (X 1,X 2 ) gilt: ρ S (X 1,X 2 ) = 12 ρ τ (X 1,X 2 ) = C(u 1,u 2 )dc(u 1,u 2 ) 1 (C(u 1,u 2 ) u 1 u 2 )du 1 du 2 = C(u 1,u 2 )du 1 du

38 Eigenschaften von ρ τ und ρ S. ρ τ und ρ S sind symmetrische Abhängigkeitsmaße mit Wertebereich [ 1, 1]. Falls X 1, X 2 unabhängig, dann ρ τ (X 1,X 2 ) = ρ S (X 1,X 2 ) = 0. Die Umkehrung gilt i.a. nicht. X 1,X 2 co-monoton dann und nur dann wenn ρ τ (X 1,X 2 ) = ρ S (X 1,X 2 ) = 1. X 1,X 2 anti-monoton dann und nur dann wenn ρ τ (X 1,X 2 ) = ρ S (X 1,X 2 ) = 1. Seien F 1, F 2 die stetigen Randverteilungen von (X 1,X 2 ) T und T 1, T 2 zwei streng monotone Funktionen in [, ]. Dann gilt ρ τ (X 1,X 2 ) = ρ τ (T 1 (X 1 ),T 2 (X 2 )) und ρ S (X 1,X 2 ) = ρ S (T 1 (X 1 ),T 2 (X 2 )). (Siehe Embrechts et al., 2002). 38

39 Tail Abhängigkeit Definition 12 Sei (X 1,X 2 ) T ein Zufallsvektor mit Randverteilungen F 1 und F 2. Der Koeffizient der oberen Tail-Abhängigkeit von (X 1,X 2 ) T wird folgendermaßen definiert: λ U (X 1,X 2 ) = lim P(X u 1 2 > F2 (u) X 1 > F1 (u)) vorausgesetzt der Limes existiert. Der Koeffizient der unteren Tail-Abhängigkeit von (X 1,X 2 ) T wird folgendermaßen definiert: λ L (X 1,X 2 ) = lim P(X u F2 (u) X 1 F1 (u)) vorausgesetzt der Limes existiert. Wenn λ U > 0 (λ L > 0) heißt es, (X 1,X 2 ) T hat eine obere (untere) Tail-Abhängigkeit. 39

40 Definition 13 Sei Copula C die Verteilungsfunktion von (U 1,U 2,...,U d ) mit U i U[0,1], i = 1,2,...,d. Die Verteilungsfunktion von (1 U 1,1 U 2,...,1 U d ) heißt Survival Copula von C und wird mit Ĉ bezeichnet. Lemma 4 Sei X ein Zufallsvektor mit multivariater Tail-Funktion F ( F(x 1,x 2,...,x d ) = Prob(X 1 > x 1,X 2 > x 2,...,X d > x d )) und Randverteilungsfunktionen F i, i = 1,2,...,d. Sei F i = 1 F i, i = 1,2,...,d. Es gilt F(x 1,x 2,...,x d ) = Ĉ( F 1 (x 1 ), F 2 (x 2 ),..., F d (x d ) Lemma 5 Für jede Copula C gilt Ĉ(1 u 1,1 u 2 ) = 1 u 1 u 2 +C(u 1,u 2 ), wobei Ĉ die Survival-Copula von C ist. Theorem 17 Sei (X 1,X 2 ) T ein Zufallsvektor mit stetigen Randverteilungsfunktionen und Copula C. Es gilt λ U (X 1,X 2 ) = lim u 1 λ L (X 1,X 2 ) = lim u 0 + vorausgesetzt die Limes existieren. 1 2u+C(u,u) 1 u C(u, u) u und 40

41 Beispiel 13 Die Gumbel Familie von Copulas: C Gu θ (u 1,u 2 ) = exp ( [ ( lnu 1 ) θ +( lnu 2 ) θ] 1/θ ), θ 1 Es gilt λ U = 2 2 1/θ, λ L = 0. Beispiel 14 Die Clayton Familie von Copulas: Es gilt λ U = 0, λ L = 2 1/θ. C Cl θ (u 1,u 2 ) = (u θ 1 +u θ 2 1)1/θ, θ > 0 41

42 Elliptische Copulas Definition 14 Sei X ein d-dimensionaler Zufallsvektor, seien µ IR d und Σ IR d d zwei Konstanten, und sei ψ:[0, ) IR eine Funktion. Wenn φ X µ = ψ(t T Σt) gilt, wobei φ X µ die charakteristische Funktion von X µ ist, dann ist X eine elliptisch verteilter Zufallsvektor mit Parameter µ, Σ, ψ: X E d (µ,σ,ψ). ψ heißt erzeugende Funktion (oder Generator) von X. Für d = 1 stimmen die elliptischen Verteilungen mit den symmetrischen Verteilungen überein. Überzeugen Sie sich! Verwenden Sie die stochastische Darstellung einer elliptischen Verteilung. Theorem 18 (Stochastische Darstellung) Ein d-dimensionaler Zufallsvektor X ist elliptisch verteilt, X E d (µ,σ,ψ) und rang(σ) = k, dann und nur dann wenn es eine Matrix A IR d k, A T A = Σ, sowie eine nicht negative Zufallsvariable R und einen k-dimensionalen auf der Einheitskugel S k 1 = {z IR k :z z z = 1} gleichverteilten Zufallsvektor U gibt, sodass R und U unabhängig sind und X d = µ+rau. Anmerkung: Eine elliptische Verteilung X ist radial symmetrisch: X µ d = µ X. 42

43 Definition 15 Sei X E d (µ,σ,ψ) mit Verteilungsfunktion F und stetigen Randverteilungen F 1,F 2,...,F d. Dann wird die eindeutige Copula C von F, C(u) = F(F 1 (u 1),...,F d (u d)), elliptische Copula genannt. Beispiel 15 Gauss sche Copulas sind elliptische Copulas Sei CR Ga die Copula einer d-dimensionalen standard Normalverteilung mit Korrelationsmatrix R: C Ga R (u) = φ d R(φ 1 (u 1 ),...,φ 1 (u d )), wobei φ d R die Gesamtverteilungsfunktion einer d-dimensionalen Normalverteilung mit Erwartungsvektor 0 und Korrelationsmatrix R und φ 1 die Inverse der Verteilungsfunktion einer univariaten standard Normalverteilung ist. Da die Normalverteilung eine elliptische Verteilung ist, ist diegauss sche Copula CR Ga eine elliptische Copula. Im bivariaten Fall gilt: C Ga R (u 1,u 2 ) = φ 1 (u 1 ) φ 1 (u 2 ) wobei ρ ( 1,1). 1 2π(1 ρ 2 ) 1/2 exp { (x 2 1 2ρx 1 x 2 +x 2 2 ) } dx 2(1 ρ 2 1 dx 2, ) 43

44 t-copula: ein weiteres Beispiel elliptischer Copulas Definition 16 Sei X d = µ+ α S AZ t d (α,µ,σ), wobei µ IR d, α IN, α > 1, S χ 2 α, A IRd k mit AA t = Σ und Z N k (0,I k ), und S und Z unabhängig sind. Es heißt, X hat eine d-dimensionale t-verteilung mit Mittelwert µ (für α > 1) und Kovarianzmatrix Cov(X) = α α 2 Σ (für α > 2). Cov(X) existiert nicht für α 2. Definition 17 Die Copula Cα,R t Copula gilt: von X heißt t-copula. Für die t- C t α,r (u) = td α,r (t 1 α (u 1),...,t 1 α (u d)). R ij = Σ ij, i,j = 1,2...,d, ist die Korrelationsmatrix von Z, Σii Σ jj t d α,r ist die Verteilungsfunktion von α S Z, wobei S χ 2 α und Z N k (0,I k ) unabhängig sind, und t α sind die Randverteilungen von t d α,r. Bivariater Fall (d = 2): C t α,r (u 1,u 2 ) = t 1 α (u 1) t 1 α (u 2) 1 2π(1 ρ 2 ) 1/2 { 1+ x2 1 2ρx 1x 2 +x 2 2 α(1 ρ 2 ) für ρ ( 1,1). R 12 ist der lineare Korrelationskoeffizient der dazugehörigen bivariaten t α -Verteilung für α > } (α+2)/2 dx 1 dx 2,

45 Copulas: Weitere Eigenschaften Definition 18 (Radiale Symmetrie oder Kugel-Symmetrie) Ein Zufallsvektor X (oder eine Verteilungsfunktion) heißt radial symmetrisch (oder kugel-symmetrisch) um den Punkt a wenn X a d = a X. Beispiel: Ein elliptisch-verteilter Zufallsvektor X E d (µ,σ,ψ) IR d ist radial-symmetrisch um µ. Definition 19 (Radiale Symmetrie von Copulas) Eine Copula C heißt radial-symmetrisch wenn (U 1 0.5,...,U d 0.5) d = (0.5 U 1,...,0.5 U d ) U d = 1 U, wobei (U 1,U 2,...,U d ) ein Zufallsvektor mit Verteilungsfunktion C ist. Für eine radial symmetrische Copula gilt C = Ĉ. Beispiel: Elliptische Copulas sind radial symmetrisch. Die Gumbel und Clayton Copulas sind es nicht. Überzeugen Sie sich! 45

46 Definition 20 Ein Zufallsvektor X heißt vertauschbar ( exchangeable ) wenn (X 1,...,X d ) d = (X π(1),...,x π(d) ) für jede Permutation (π(1),π(2),...,π(d)) von (1,2,...,d). Definition 21 Eine Copula C heißt vertauschbar wenn sie die Gesamtverteilung eines vertauschbaren Zufallsvektors (mit Gleichverteilungen als Randverteilungen) ist. Für eine solche Copula gilt: C(u 1,u 2,...,u d ) d = C(u π(1),u π(2),...,u π(d) ) für jede Permutation (π(1),π(2),...,π(d)) von (1,2,...,d). Beispiele von vertauschbaren Copulas: Gumbel, Clayton, Gauss sche Copula CP Ga, t-copula Ct ν,p für den Fall, dass P eine Equikorrelationsmatrix ist: R = ρj d + (1 ρ)i d. J d IR d d ist eine Matrix bestehend aus lauter Einser, und I d IR d d ist die d-dimensionale Einheitsmatrix. Für bivariate vertauschbare Copulas gilt: P(U 2 u 2 U 1 = u 1 ) = P(U 1 u 2 U 2 = u 1 ). 46

47 Theorem 19 Sei (X 1,X 2 ) T ein normalverteilter Zufallsvektor. Dann gilt: λ U (X 1,X 2 ) = λ L (X 1,X 2 ) = 0. Korollar 2 Sei (X 1,X 2 ) T ein Zufallsvektor mit stetigen Randverteilungen und einer Gauss schen Copula Cρ Ga, wobei ρ der Koeffizient der linearen Korrelation zwischen X 1 und X 2 ist. Dann gilt: λ U (X 1,X 2 ) = λ L (X 1,X 2 ) = 0. Theorem 20 Sei (X 1,X 2 ) T ein t-verteilter Zufallsvektor mit ν Freiheitsgraden, Mittelwert 0 und linearer Korrelationsmatrix R: (X 1,X 2 ) T t 2 (0,ν,R). Für R 12 > 1 gilt: ( ν ) 1 R12 λ U (X 1,X 2 ) = λ L (X 1,X 2 ) = 2 t ν R12 Beweis: Ähnlich wie der Beweis von Satz 19. Hinweis:. X 2 X 1 = x ( ν +1 ν +x 2 ) 1/2 X 2 ρx 1 ρ 2 t ν+1 47

48 Korollar 3 Sei (X 1,X 2 ) T ein Zufallsvektor mit stetigen Randverteilungen und einer t-copula Cν,R t mit ν Freiheitsgraden und einer Korrelationsmatrix R. Dann gilt: ( ν ) 1 R12 λ U (X 1,X 2 ) = λ L (X 1,X 2 ) = 2 t ν R12 Theorem 21 Sei (X 1,X 2 ) T ein Zufallsvektor mit stetigen Randverteilungen und einer Gauss schen copula Cρ Ga, wobei ρ der Koeffizient der linearen Korrelation zwischen X 1 und X 2 ist. Dann gilt: ρ τ (X 1,X 2 ) = 2 π arcsinρ und ρ S(X 1,X 2 ) = 6 π arcsin ρ 2 Korollar 4 Sei (X 1,X 2 ) T ein Zufallsvektor mit stetigen Randverteilungen und einer elliptischen copula Cµ,Σ,ψ E. Dann gilt: ρ τ (X 1,X 2 ) = 2 π arcsinr 12, wobei R 12 = Σ 12 Σ11 Σ 22 Theorem 22 Sei X E d (µ,σ,ψ) ein elliptisch verteilter Vektor mit stetigen Randverteilungsfunktionen. Dann gilt: ρ τ (X i,x j ) = 2 π arcsinr ij, wobei R ij = Σ ij Σii Σ jj für i,j = 1,2,...,d Beweise von Satz 21, Satz 22 und Korollar 4: siehe McNeil et al. (2005). 48

49 Archimedische Copulas Nachteile elliptischer Copulas: I.A. keine Darstellung in geschloßener Form möglich kugel-symmetrisch Bivariate Archimedische Copulas Definition 22 Sei φ:[0,1] [0,+ ] stetig, streng monoton fallend, sodass φ(1) = 0. Die pseudo-inverse Funktion φ [ 1] :[0, ] [0,1] von φ wird folgendermassen definiert: φ [ 1] (t) = { φ 1 (t) 0 t φ(0) 0 φ(0) t φ [ 1] ist stetig und monoton fallend in [0, ], streng monoton fallend in [0,φ(0)] und es gilt: φ [ 1] (φ(u)) = u für u [0,1] φ(φ [ 1] (t) = { t 0 t φ(0) φ(0) φ(0) t + Falls φ(0) = +, dann φ [ 1] = φ 1. 49

50 Theorem 23 Sei φ:[0, 1] [0, + ] stetig, streng monoton fallend in [0,1], sodass φ(1) = 0, und sei φ [ 1] die pseudo-inverse Funktion von φ. Sei C:[0,1] 2 [0,1], sodass C(u 1,u 2 ) = φ [ 1] (φ(u 1 )+φ(u 2 )). C ist eine Copula dann und nur dann wenn φ convex ist. Copula dieser Form heißen Archimedische Copulas. φ heißt Generator von C. Falls φ(0) = +, dann φ [ 1] = φ 1 und C(u 1,u 2 ) = φ 1 (φ(u 1 )+φ(u 2 )). Beweis: Siehe Nelsen Beispiel 16 Gumbel Copulas Sei φ(t) = ( lnt) θ, θ 1, t [0,1]. ) Cθ Gu (u 1,u 2 ) = exp ( [( lnu 1 ) θ +( lnu 2 ) θ ] 1/θ Copula mit Parameter θ. Für θ = 1: C1 Gu = u 1 u 2. lim θ Cθ Gu = M(u 1,u 2 ) = min{u 1,u 2 }. Die Gumbel Copulas haben eine obere Tail Abhängigkeit. Beispiel 17 Clayton Copulas Sei φ(t) = (t θ 1)/θ, θ > 0. ist die Gumbel C Cl θ (u 1,u 2 ) = ( u θ 1 +u θ 2 1) 1/θ ist die Clayton Copula mit Parameter θ. lim θ 0 C Cl θ = u 1 u 2 und lim θ C Cl θ = M = min{u 1,u 2 }. Die Clayton Copulas haben eine untere Tail Abhängigkeit 50

51 Beispiel 18 φ(t) = 1 t, t [0,1]. φ [ 1] (t) = max{1 t,0}. C φ (u 1,u 2 ) = max{u 1 +u 2 1,0} = W(u 1,u 2 ). D.h. die untere Fréchet Schranke ist eine Archimedische Copula. Theorem 24 Sei (X 1,X 2 ) T ein Zufallsvektor mit stetigen Randverteilungen und einer Archimedischen Copula C generiert von φ. Dann gilt ρ τ (X 1,X 2 ) = Beweis: Siehe Nelsen φ(t) φ (t) dt. Beispiel 19 Kendalls Tau für Gumbel und Clayton Copulas Gumbel Copulas: φ(t) = (lnt) θ, θ 1. ρ τ (θ) = φ(t) 0 φ (t) dt = 1 1 θ. Clayton Copulas: φ(t) = (t θ 1)/θ, θ > 0. ρ τ (θ) = φ(t) 0 φ (t) dt = θ θ+2. 51

52 Multivariate Archimedische Copulas Definition 23 Eine Funktion g:[0, ) [0, ) heißt vollständig monoton wenn alle höheren Ableitungen von g existieren und folgende Ungleichungen gelten für k = 0,1,2,...: ( 1) k ( d k ds kg(s)) s=t 0, t (0, ) Theorem 25 (Kimberling 1974) Sei φ:[0,1] [0, ] eine stetige und streng monoton fallende Funktion, sodass φ(0) = und φ(1) = 0. Die Funktion C:[0,1] d [0,1], C(u) = φ 1 (φ(u 1 )+φ(u 2 )+...+φ(u d )) ist eine Copula für d 2 dann und nur dann wenn φ 1 vollständig monoton in [0, ) ist. Lemma 6 Eine Funktion ψ:[0, ) [0, ) ist die Laplace-Stieltjes Transformation einer Verteilungsfunktion G in [0, ) (ψ(s) = 0 e sx dg(x), s 0) dann und nur dann wenn ψ vollständig monoton und ψ(0) = 1. 52

53 Theorem 26 Sei G eine Verteilungsfunktion in [0, ), sodass G(0) = 0 und sei ψ die Laplace-Stieltjes Transformation von G ψ(s) = 0 e sx dg(x), für s 0. Sei X eine ZV mit Verteilungsfunktion G und seien U 1,U 2,...,U d bedingt unabhängige Zufallsvariablen in [0, 1] für ein gegebenes X = x mit folgender bedingter Verteilungsfunktion: Es gilt dann F Uk X=x(u) = exp( xψ 1 (u)) für u [0,1]. P(U 1 u 1,U 2 u 2,...,U d u d ) = ψ(ψ 1 (u 1 )+ψ 1 (u 2 )+...+ψ 1 (u d )). und die Verteilungsfunktion von U = (U 1,U 2,...,U d ) ist eine Archimedische Copula mit Generator ψ 1. Vorteile und Nachteile Archimedischer Copulas: Modellierung einer breiteren Klasse von Abhängigkeitsstrukturen Darstellung in geschloßener Form möglich Wenige freie Parameter vorhanden Technische Voraussetzungen für die Generator Funktionen multivariater Archimedische Copulas. 53

54 Simulation von Gauss schen Copulas und t-copulas Sei R IR d d eine symmetrische positiv definite Matrix. Sei AA T = R die Cholesky Zerlegung von R (A IR d d ). Falls Z 1,Z 2,...,Z d N(0,1) unabhängig dann gilt µ+az N d (µ,r). Algorithmus 1 zur Erzeugung eines Zufallsvektors U = (U 1,U 2,...,U d ) dessen Verteilungsfunktion die Copula C Ga R ist. Berechne die Cholesly Zerlegung A von R: R = AA T. Simuliere d unabhängige standard normal verteilte ZV Z 1,Z 2,...,Z d N(0,1) Setze X = AZ Setze U k = φ(x k ) für k = 1,2,...,d, wobei φ die Verteilungsfunktion der standard Normalverteilung ist. U = (U 1,U 2,...,U d ) hat Verteilungsfunktion C Ga R. 54

55 Algorithmus 2 zur Erzeugung eines Zufallsvektors U = (U 1,U 2,...,U d ) dessen Verteilungsfunktion die Copula C t ν,r ist. Berechne die Cholesly Zerlegung A von R: R = AA T. Simuliere d unabhängige standard normal verteilte ZV Z 1,Z 2,...,Z d N(0,1) Simuliere eine ZV S χ 2 ν unabhängig von Z 1,...,Z d. Setze Y = AZ Setze X = ν S Y Setze U k = t ν (X k ) für k = 1,2,...,d, wobei t ν die Verteilungsfunktion einer standard t-verteilung mit ν Freiheitsgraden ist. U = (U 1,U 2,...,U d ) hat Verteilungsfunktion C t ν,r. 55

56 Simulationen der Gumbel und Clayton Copulas Aus Satz 26 lässt sich ein Algorithmus zur Erzeugung dieser Copulas konstruieren. Algorithmus 3 zur Erzeugung eines Zufallsvektors U = (U 1,U 2,...,U d ) dessen Verteilungsfunktion die Archimedische Copula C(u) = φ 1 (φ(u 1 )+φ(u 2 )+...+φ(u d )) mit Generator φ ist. Simuliere eine Variable X mit Verteilungsfunktion G, sodass die Laplace-Stieltjes Transformation ψ von G die inverse Funktion des Generators der gesuchten Copula ist, ψ = φ 1. Simuliere unabhängige gleichverteilte Zufallsvariablen V 1,V 2,..., V d in [0,1]. Setze U = (ψ( ln(v 1 )/X),ψ( ln(v 2 )/X),...,ψ( ln(v d )/X)). U hat Verteilungsfunktion C(u). Der Generator φ(t) = (t θ 1)/θ, θ > 0 erzeugt die Clayton Copula C Cl θ. Aber auch φ(t) = t θ 1 ist ein Generator der Clayton Copula. Für X Gamma(1/θ,1) d.h. f X (x) = x 1/θ 1 e x /Γ(1/θ) gilt: E(e sx ) = 0 e sx 1 Γ(1/θ) x1/θ 1 e x dx = (s+1) 1/θ = φ 1 (s). 56

57 Algorithmus 4 zur Erzeugung eines Zufallsvektors U = (U 1,U 2,...,U d ) dessen Verteilungsfunktion die Clayton Copula C Cl θ ist. Simuliere X Gamma(1/θ,1). Simuliere unabhängige gleichverteilte Zufallsvariablen V 1,V 2,..., V d in [0,1]. die Verteilungsfunktion des Vektors U = (ψ( ln(v 1 )/X),ψ( ln(v 2 )/X),...,ψ( ln(v d )/X)) ist die Clayton Copula C Cl θ. Die Simulation von Gumbel Copulas C Gu θ : Sei X eine positive stabile ZV, X St(1/θ,1,γ,0) mit γ = (cos(π/(2θ))) θ, θ > 1. Die Laplace-Stieltjes Transformation von F X ist φ(t) = exp( t 1/θ ). Simulation von Z ST(α,β,1,0): siehe Nolan Für γ 1 gilt: X = δ +γz St(α,β,γ,δ). 57

58 Alternativer Ansatz: Sei θ 1 und F(x) = 1 F(x) = exp( x 1/θ ) für x 0. Sei V U(0,1). Sei S eine von V unabhängige ZV. mit Dichtefunktion h(s) = (1 1/θ +s/θ)exp( s) Sei (Z 1,Z 2 ) T = (VS θ,(1 V)S θ ). Die Verteilungsfunktion von ( F(Z 1 ), F(Z 2 )) T ist C Gu Überzeugen Sie sich (Hausübung)! Algorithmus 5 zur Erzeugung eines Zufallsvektors U = (U 1,U 2,...,U d ) dessen Verteilungsfunktion die Gumbel Copula ist. C Cu θ θ. Simuliere zwei unabhängige ZV. V 1,V 2 U(0,1). Simuliere zwei unabhängige ZV. W 1 Γ(1,1), W 2 Γ(2,1) Setze S = I V2 1/θW 1 +I V2 >1/θW 2. Setze (Z 1,Z 2 ) = (V 1 S θ,(1 V 1 )S θ ). Die Verteilungsfunktion von U = (exp( Z 1/θ 1 ),exp( Z1/θ Cθ Gu. 2 )T ist 58

59 Schätzung von Copulas Gegeben sei ein Satz multi-dimensionaler Daten. Gesucht ist eine Copula und die Randverteilungen die diesem Datensatz am besten entsprechen. 1. Frage: Welche Familie von (bekannten) Copulas eignet sich am besten? Antwort: Visueller Vergleich der graphischen Darstellungen von Daten bzw. bekannten Copulas, Berechnung der empirischen Koeffizienten der Tail-Abhängigkeit und Auswahl von dazu passenden Copula Familien. 2. Frage: Schätzung der Parameter einer vorspezifizierten Copula Familie. Gegeben: Eine Stichprobe {X 1,X 2,...,X n } aus eine Gesamtverteilung F mit stetigen Randverteilungen F 1, F 2,..., F d. Gesucht: Ein Schätzer ˆθ des Parameter-Vektors θ der eindeutigen Copula C θ, für die F(x) = C(F 1 (x 1 ),...,F d (x d )) gilt. 59

60 Die Schätzer ˆθ für CR Ga, Ct ν,r, CCl θ und Cθ Gu C Ga R = φd R (φ 1 (u 1 ),...,φ 1 (u d )) R ij = sin(π(ρ τ ) ij /2) C t ν,r = td ν,r (t 1 ν (u 1 ),...,t 1 ν (u d )) R ij = sin(π(ρ τ ) ij /2) C Gu θ (u) = exp ( [( lnu 1 ) θ +...+( lnu θ d ]1/θ) θ = 1/(1 (ρ τ ) ij ) Cθ Cl (u) = (u θ u θ d d+1) 1/θ θ = 2(ρ τ ) ij /(1 (ρ τ ) ij ) wobei, (ρ τ ) ij = ρ τ (X k,i,x k,j ) = P((X k,i X l,i )(X k,j X l,j ) > 0) P((X k,i X l,i )(X k,j X l,j ) < 0) = E(sign((X k,i X l,i )(X k,j X l,j ))). Standard Schätzer für Kendalls Tau: ( n 1 ρ τ ij = sign((x k,i X l,i )(X k,j X l,j )). 2) 1 k<l n 60

61 Schätzung von Gauss schen Copulas und t-copulas Es kann passieren, dass ˆR = (ˆR ij ) nicht positive definit ist, wobei ˆR ij = sin(π ρ τ ij/2). ˆR wird durch eine Korrelationsmatrix R ersetzt, wobei R unweit von ˆR liegt. Algorithmus 6 (Eigenwert-Ansatz, siehe Rousseeuw und Molenberghs 1993) Berechne die Spektralzerlegung ˆR = ΓΛΓ T von ˆR, wobei Λ eine Diagonalmatrix ist, die die Eigenwerte von ˆR enthält, und Γ eine orthogonale Matrix deren Spalten den Eigenvektoren von ˆR entsprechen. Ersetze die negativen Eigenwerte in λ durch eine kleine Zahl δ > 0 um Λ zu erhalten. Berechne R = Γ ΛΓ T. R ist symmetrisch und positive definit aber nicht unbedingt eine Korrelationsmatrix, weil die Diagonal- Elemente ˆR ii ungleich 1 sein könnten. Setze ˆR = D RD wobei D eine diagonale Matrix mit D k,k = 1/ R k,k ist. 61

62 t-copulas: Schätzung des Parameters ν der Freiheitsgrade 1. Schätzung der univariaten Randverteilungsfunktionen F 1, F 2,..., F d. Seien ˆF 1,..., ˆF d die dazugehörigen Schätzer. 2. Bildung einer Pseudo-Stichprobe der Copula: Û k = (Û k,1,û k,2,...,û k,d ) := (ˆF 1 (X k,1 ),..., ˆF d (X k,d )), für k = 1,2,...,n (siehe Genest und Rivest 1993). ˆF k kann folgendermaßen erzeugt werden: Parametrische Schätzung: ˆF k ist eine parametrische Verteilungsfunktion wobei der Parameter zb. mit einem Maximum Likelihood (ML) Ansatz geschätzt wird. Nicht Parametrische Schätzung: ˆF i ist die empirische Verteilungsfunktion ˆF i (x) = 1 n+1 n t=1 I X t,i x, 1 i d. 62

63 ML-Schätzung von ν: ν = argmax ξ lnl(ξ;û 1,Û 2,...,Û n ) wobei L(ξ;Û 1,Û 2,...,Û n ) = Π n k=1 ct ξ,r (Û k ) und c t ξ,r die Dichte der t-copula Ct ξ,r ist. Daraus folgt lnl(ξ;û 1,Û 2,...,Û n ) = n k=1 lng ξ,r (t 1 ξ (Û k,1 ),...,t 1 ξ (Û k,d )) wobei g ξ,r die Gesamtdichte einer standard d-dimensionalen t-verteilung mit Verteilungsfunktion t d ξ,r ist, und g ξ die Dichte einer univariaten standard t-verteilung mit ξ Freiheitsgraden ist. n d k=1j=1 lng ξ (t 1 ξ (Û k,j )), 63