Hans G. Feichtinger 26. April This is

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1 Hans G. Feichtinger 26. April 2014 This is 1 Protokolle zu Geogebra Experimenten Dieses PFD/LATEX-file enthält Informationen über den Umgang mit GEOGEBRA, aber fast ausschließlich mit der Idee, daraus geometrische Intutition für abstraktere Überlegungen innerhalb er linearen Algebra gewinnen zu können, bzw. die dort gemachten Aussagen mit anschaulichen Aussagen zu verknüpfen. Da meiner Überzeugung nur Selbertun diesen positiven Effekt hat, halte ich es für sehr sinnvoll (wenn auch strikt logisch gesehen nicht notwendig, es wird auch beim Kolloqium nicht abgefragt) sich mit GEOGEBRA vertraut zu machen. Das trifft meiner Meinung nach vor allem für LehramtskandidatInnen zu, die dieses Werkzeug fast mit Sicherheit viel in der Schule (für verschiedenste Inhalte) einsetzen werden/sollten. Anderseits wollen Bachelor/Master Studenten ja eventuell tiefer in die Mathematik eindringen oder sich den Anwendungen in der realen Welt widmen, und da ist es umso wichtiger, konkrete Beispiel gut zu beherrschen und als Analogie zu den komplizierteren Sachverhalten (wie sie dann etwas in der Funktionalanalysis auftauchen) verwenden zu können. 2 GeoGebra: Installation and Basics 2.1 GeoGebra Resourcen In GeoGebra WIKI findet man (!Archiv) unter: Viel Material und Demos (auch *.ggb-files zum download) findet man auf GeoGebraTube: Grundbegriffe und Standardbefehle Die meisten Eingaben, die per Maus gemacht werden können, sind selbsterklärend und können am besten durch Ausprobieren,Üben, Zeigen lassen, oder Besprechung mit Kollegen oder den Austausch von *.ggb-files gelernt werden. Einige Befehle, die ich bisher für das Erstellen der Demo-Files zur Vorlesung für wichtig halte, die aber vielleicht nicht so schnell zu finden sind, seien in der Folge zusammengefasst. Es geht hier vor allem um die Eingabe von Grössen in der Kommando-Zeile (Ansichtauswahl: ALGEBRA!). 1

2 3 Bilder 3.1 Gilbert Strang Das Gleichungssytem von Gilbert Strang s erstem Kurs, dargestellt in der Spalten- Sichtweise (d.h. als Aufgabe, die passende Linear-Kombination von Spalten von A zu finden). Dabei sind im file gilstrcol1b.ggb die Parameter mu (fuer µ) und lam (für λ variabel einstellbar. Der rote Pfeil zeigt die Lin.Komb. z = λu + µv an. Abbildung 1: TEST-Caption, d.h. Bildunterschrift 2

3 3.2 Matrixanwendung auf einen Kreis Hier ist der Punkt B auf dem Kreis beweglich (im entsprechenden file demmatrc2b.ggb) und durch den Spur-Befehl kann die (gruene) Spur der Punkte auf dem Kreis unter der Matrix M beobachtet werden. Abbildung 2: TEST-Caption, d.h. Bildunterschrift 3

4 3.3 Ein TESTBILD Ein Geogebra Snapshot zum Thema: Vektoraddition bzw. Zeichnen von Ellipsen mit unterschiedlichen Angaben. Abbildung 3: TEST-Caption, d.h. Bildunterschrift 4 Basen, Koordinatensysteme, ONBs 4

5 Abbildung 4: Projektion eines Vektors auf ONB Achsen n1,n2. Ein anderes Paar von Basis Vektoren und eine geometrische Interpretation der Formel n v, u k u k k=1 die zum Punkt Aal (alternative Version von A) führt, wenn man den Vektor v eingibt, der den Nullpunkt 0 mit dem Punkt A verbindet (welcher auch bewegt werden kann!) Der Punkt C 2 kann entlang des Kreises bewegt werden und man sieht leicht, dass nur für den Fall C 2 = C (perfektes Orthogonalsystem) der Originalpunkt reproduziert wird (lauter rechte Winkel). Abbildung 5: Projektion eines Vektors auf ONB Achsen n1,n2. 5

6 5 Einheitskreis, Eulersche Formel und sin, cos In dem GeoGebra-File sincosdemo.ggb (hgfei, ) ist der Zeit-Parameter t (im Bereich [ 3π, 3π]) frei variierbar. Abbildung 6: Projektion eines Vektors auf ONB Achsen n1,n2. 6

7 5.1 Dreh-Streckungen Das folgende Bild zeigt die Wirkung einer Dreh-Matrix bzw. einer Streckmatrix auf einen Kreis. Abbildung 7: Drehstreckmatrizen auf Kreis angewendet! 7

8 5.2 Geradenbüschel Eine Kollektion von mehreren Geraden, die all durch einen gemeinsamen Punkt gehen. Die zugehörigen Gleichungen sind jeweils Linearkombinationen von zweien von ihnen (in allgemeiner Lage). GeoGebra file linbundel1.ggb Abbildung 8: Drehstreckmatrizen auf Kreis angewendet! 8

9 5.3 Geradenbüschel II Man erhaelt neue Geraden, die durch das Bilden von Linearkombinationen der Zeilenvektoren entstehen. In der Tat: Hat man ein 2 2-Gleichungssystem, dann entspricht der Lösungsmenge der Durchschnitt der Geraden (typischerweise ein Punkt P = (p 1, p 2 ), allfalls aber auch die leere Menge oder eine ganze Gerade. Abbildung 9: Gleichungssystem in Spaltenform 9

10 6 Inverse Matrix and Biorthogonal Systems! GeoGebra file biorthogdem3.ggb Abbildung 10: Zeilen der Inversen Matrix in Rot: biorthogonal 10

11 7 GeoGebra Befehle zur Linearen Algebra Treppennormalform[{{0, 3, 3, 4}, {2, 6, 4, 2}, {1, 9, 7, 4}, {7, 0, 7, 6}, {-1, -3, -1, oder A = { {1,2,3}, {4,5,6}, {7,8,9}} AI: Invertiere[A] liefert die Inverse Matrix TA: Treppennormalform[ A ] liefert die reduz. ZSF (rref) 8 Matrizen, Vektoren, Punkte H: {{x(a), x(b)}, {y(a), y(b)}} HI: invertiere[h] Geometric description (using the column picture), showing that for each possible choice of a fixed parameter for the third vector (third column of system matrix, λw, pointed out in green) on has a unique solution, i.e. linear combination of Pivot (column) vectors. Abbildung 11: Gleichungssystem in Spaltenform 11

12 9 Matrix auf ein Projekt angewendet Anwendung einer Matrix auf eine Kollektion von Objekten. Die Objekte im RECHTEN Bereich können bewegt werden, links sieht man die entsprechenden Bilder unter der Matrix ( ) 0 1 (1) 1 0 GeoGebra Befehl: MatrixAnwenden[H, ellips1] Abbildung 12: Gleichungssystem in Spaltenform 12