(6) View Transformation. Vorlesung Computergrafik T. Grosch

Transkript

1 (6) Vie Transformation Vorlesng Comptergrafik T. Grosch

2 Wiederholng Transformationen Translation, Rotation, Skalierng Matrien OpenGL: Modelie Matri Hete Kamera seten (Vie Transformation) Transformation ischen Koordinatensstemen t Hierarchische Transformationen T. Grosch - 2 -

3 OpenGL Transformationen Jeder OpenGL Befehl eregt eine Matri, die on rechts an die Modelie Matri mltipliiert ird Die Pnkte erden on rechts an die aktelle Modelie Matri mltipliiert glloadidentit(); glscalef(.5,,); gltranslatef(.2,,); glrotatef(3,,,); gltwireteapot(...); E S S T S T R p S T R p OpenGL Programme erden on nten nach oben gelesen ber: Das Programm läft on oben nach nten! T. Grosch - 3 -

4 Kamera: Position nd Orientierng C Weltkoordinatensstem: die Welt, in der sich die Objekte beegen Kameradefinition:.B. gpnkt, Centerpnkt C, Vektor nach oben p T. Grosch - 4 -

5 Kamerakoordinatensstem C C C C Im llgemeinen ist Die Kamera blickt in Richtng der negatien -chse, die -chse eigt dann nach oben nd die -chse nach rechts (OpenGL) Es handelt sich m ein Rechtssstem Umandlng Weltkoordinaten Kamerakoordinaten Was passiert, enn man nach oben (-chse) sieht? T. Grosch - 5 -

6 Koordinatentransformation Wie komme ich on einem Koordinatensstem in ein anderes? (.B. gegeben ist P nd gescht ist P ) P Bekannt ist: das Koordinatensstem der Pnkt P in -Koordinaten der Ursprng des neen Koordinatensstems in Koordinaten die normierten chsen nd in Koordinaten T. Grosch - 6 -

7 Koordinatentransformation Wie komme ich on einem Koordinatensstem in ein anderes? (.B. gegeben ist P nd gescht ist P ) P p Gescht ist: der Pnkt P in -Koordinaten p Wenn ich in Pnkt starte, elche Schritte mss ich ich entlang der chsen nd gehen, damit ich bei P ankomme? T. Grosch - 7 -

8 Koordinatentransformation Wie komme ich on einem Koordinatensstem in ein anderes? (.B. gegeben ist P nd gescht ist P ) P p Verschiedene Lösngsmöglichkeiten Man kann es sich.b. so orstellen: Die Koordinate entlang einer chse entspricht der senkrechten Projektion af die chse Skalarprodkt p p p ( P ( P ) o ) o T. Grosch - 8 -

9 Koordinatentransformation Wie komme ich on einem Koordinatensstem in ein anderes? (.B. gegeben ist P nd gescht ist P ) P p Man kann die Transformation ach als Matri angeben Schritt : Translation Schritt 2 : Projektion af chsen p p p ( P ( P ) o ) o T. Grosch - 9 -

10 Koordinatentransformation Wie komme ich on einem Koordinatensstem in ein anderes? (.B. gegeben ist P nd gescht ist P ) P p p Schritt : Translation -: T. Grosch - -

11 Koordinatentransformation Wie komme ich on einem Koordinatensstem in ein anderes? (.B. gegeben ist P nd gescht ist P ) P p Schritt 2: Projektion af -chsen: Vkt Zil Mti hib Die -Vektoren erden als Zeilen in die Matri geschrieben Matri*Vektor entspricht Skalarprodkt p T. Grosch - -

12 Koordinatentransformation Wie komme ich on einem Koordinatensstem in ein anderes? (.B. gegeben ist P nd gescht ist P ) P p p Insgesamt ergibt sich P P T. Grosch - 2 -

13 Matri asmltipliieren Matri asmltipliieren M o o o Wenn man die Transformation in einer Matri angibt, dann -Vektoren als Zeilen der negatie Translationsektor ist in -Koordinaten (!) T. Grosch - 3 -

14 Beispiel Gegeben: ; Beispiel Gegeben: ; 4 ; 3 ; 3 5 ; 4 5 ; P P / 5 3/ ) ( o o P p p p P / 5 4 / ) ( o o P p p p p p P 5 5 3/ ls Matri: (hier keine Translation) p p T. Grosch (hier keine Translation)

15 Vie Transformation gllookt(gldoble,,, C, C, C,,, ); P P C Eine Kamera ird in OpenGL mit gllookt( ) definiert s den Parametern, C, (from, at, p) ird ein Kamera-Koordinatensstem,, konstriert (siehe Folie Kamerakoordinatensstem) Die Weltkoordinaten erden dann in Kamerakoordinaten mgerechnet p p p ( P ( P ( P ) o ) o ) o Kamera Welt T. Grosch - 5 -

16 Vie Transformation Vie Transformation gllookt(gldoble,,, C, C, C,,, ); C OpenGL berechnet eine Matri V ( Vie) für diese Transformation V (Vie) für diese Transformation Die V Matri ird on rechts an die Modelie Matri mltipliiert Wo steht gllookt im Programm? Basisektoren als Zeilen g g T. Grosch - 6 -

17 Nate Robin projection.ee T. Grosch - 7 -

18 Rotation m beliebige chse Es soll im Uhreigersinn m den Winkel α m eine beliebige chse (hier Vektor a) gedreht erden α a Wie geht das? Idee: Rückführng af bekannte Rotationen ti a T. Grosch - 8 -

19 Rotation m beliebige chse Es soll im Uhreigersinn m den Winkel α m eine beliebige chse (hier Vektor a) gedreht erden a Rotation R so, dass a in Richtng der Z-chse eigt α Rotation R (α) m α im Uhreigersinn m -chse γ α Dann ieder rück rotieren, R - β Wie berechnet man R? R ( γ ) R ( β ) R ( α ) R ( β ) R ( γ ) m -chse drehen, so dass a in -Ebene liegt m -chse drehen, so dass a af liegt T. Grosch - 9 -

20 Rotation m beliebige chse a cosγ sin γ a sin γ cosγ a m -chse drehen, so dass a in -Ebene liegt γ a sin γ Wie groß ist der Rotationsinkel ti i γ? a tan γ γ a a a a a a cos γ 2 a + a + a 2 T. Grosch - 2 -

21 Rotation m beliebige chse cos β sin β a a sin β cos β a β a m -chse drehen, so dass a af liegt a Wie groß ist der Rotationsinkel ti i? a tan β a sin β β a a β a a a cos β T. Grosch - 2 -

22 Rotation m beliebige chse α Insgesamt ergibt sich also a folgende Transformation: α β γ R ( γ ) R ( β ) R ( α ) R ( β ) R ( γ ) cos β sin β cosα sinα cos β sin β cosγ sin γ sinα cosα cosγ sin γ sin γ cosγ sin β cos β sin β cos β sin γ cos γ Das geht ach einfacher. T. Grosch

23 lternatie Rotation lternatie Rotation Bestimme ein beliebiges Bestimme ein beliebiges, rechtshändiges, ortho-normiertes Koordinatensstem mit a (siehe Kamerakoord sstem) (siehe Kamerakoord.sstem). Transformation ins -Sstem 2. Rotation m -chse a α 3. Rücktransformation ins -Sstem cos sin sin cos α α α α T. Grosch

24 lternatie Rotation Die Lage der Vektoren nd ist beliebig, solange a α lle Vektoren normiert nd senkrecht Ein rechtshändiges Koordinatensstem entsteht korrekte Rotationsrichtng a Eine Möglichkeit a a T. Grosch

25 lternatie Rotation lternatie Rotation Für eine orthonormale Matri gilt T M M Denn der Eintrag m_ij entspricht dem Skalarprodkt on Zeile i mit Spalte j lso Skalarprodkt orthonormaler Vektoren o o T. Grosch

26 Hierarchien

27 Beispiel: to Karosserie Räder Transformationen Radgeometrie Vorgehen beim Rendern Zeichne die Karosserie Merke dir o d bist Transformation m rechten Vorderrad Zeichne das Rad nd erfe die lette Transformation eg (also rück m Ursprng der Karosserie) Merke dir o d bist Transformation m linken Vorderrad Radgeometrie ist m den Ursprng modelliert T. Grosch

28 Matrienstack Die bisher aktelle aktelle Matri genannte Matri ist tatsächlich als Stack implementiert. Oft benötigt man einen Zischenspeicher für Matrien Lösng: Matristack glpshmatri(); kopiert die oberste Matri ( merke dir o d bist ) glpopmatri(); entfernt die oberste Matri ( gehe dahin rück, o d arst ) Psh nd Pop bilden qasi Klammern m Transformationen der Matristack kann min. 32 Einträge fassen T. Grosch

29 Matrienstack glpshmatri(); kopiert die oberste Matri merke dir o d bist Modelie af Stack ablegen Modelie bleibt nerändert C B C C B : M MODELVIEW glpopmatri(); D C B C B entfernt die oberste Matri gehe dahin rück, o d arst Obere Matri om Stack entnehmen nd in Modelie kopieren T. Grosch

30 Beispiel: to Karosserie m den Ursprng mit Breite 2, Höhe.5 nd Tiefe Schreiben sie ein Programm, das die Karosserie as einem Einheitsürfel eregt (Bereich (-.5,.5) mit gltwirecbe(.)) Sete die Räder (Kgeln mit Radis.) in die Ecken mit gltwiresphere(.,,); Breite: 2 Höhe:.5 Tiefe: T. Grosch - 3 -

31 ls Senengraph Trafo to 2.5 to Tiefe: Trafo Trafo Trafo Trafo Trafo Karosserie Rad Rad 2 Rad 3 Rad 4 T. Grosch - 3 -

32 Beispiel-Code.5 2 glpshmatri(); glscalef(2,.5,); gltwirecbe(.); glpopmatri(); glpshmatri(); gltranslatef(-,-.25,-.5); 25 5); gltwiresphere(.,,); glpopmatri(); glpshmatri(); gltranslatef(,-.25,-.5); l 25 5) gltwiresphere(.,,); glpopmatri(); glpshmatri(); gltranslatef(,-.25,.5); gltwiresphere(.,,); glpopmatri(); glpshmatri(); gltranslatef(-,-.25,.5); gltwiresphere(.,,); glpopmatri(); T. Grosch

33 Interpretation der Transformationen I α Weltkoordinaten Interpretiere die Koordinaten der Objekte als Weltkoordinaten Nimm das Objekt (die Weltkoordinaten) nd drehe es m den Winkel α T. Grosch

34 Interpretation der Transformationen II α Lokale Koordinatenssteme Interpretiere die Koordinaten der Objekte in ihrem eigenen lokalen Koordinatensstem m nfang ist tdas lokale l Sstem mit itdem Weltkoordinaten t identisch Drehe das Koordinatensstem m den Winkel α Zeichne Objekt in lokales Koordinatensstem Interessant: Mit der Vorstellng lokaler Koordinatenssteme kann man OpenGL Programme on oben nach nten lesen T. Grosch

35 glrotatef (45.,.,.,.); gltranslatef (2.,.,.); gltwirecbe(.); Die 2 Sichten g (,, ); globale Sicht l l l l lokale Sicht T. Grosch

36 Hierarchische Transformationen Matri Stack ird erendet bei hierarchischen Transformationen Hier eignet es sich besser, das OpenGL Programm on oben nach nten lesen Idee: erende lokales Koordinatensstem Wende Transformationen af lokales Koordinatensstem an Translation entlang lokaler chsen Rotation m aktellen Ursprng Zeichne am Ende Objekt in lokales Koordinatensstem T. Grosch

37 Hierarchische Transformationen Beispiel: rmbeegng Ober- nd Unterarm seien drch Qader mit den angegebenen sdehnngen modelliert Schreiben sie ein Programm, das den rm an dem Schltergelenk (s) nd dem Ellbogen (e) drch Eingabe der Werte im Wertebereich beegt Verenden sie da als einige geometrische Primitie Würfel im Bereich (-.5,.5) mit gltwirecbe(.) 2.5 s 9 e 9.4 T. Grosch

38 Trafo rechter rm Rechter rm Lokale Koordi- natenssteme glrotatef ((GLfloat) -sholder,.,.,.); Oberarm gltranslatef (.,.,.); glscalef (2.,.4,.); gltranslatef (2.,.,.); glrotatef ((GLfloat) elbo,.,.,.); Unterarm gltranslatef (.75,.,.); glscalef (.5,.4,.); T. Grosch

39 Beispiel Code glclear (GL_COLOR_BUFFER_BIT); glcolor3f(,,); glloadidentit(); gllookt(,,,,,,,,); Rechter rm Trafo rechter rm glrotatef ((GLfloat) -sholder,.,.,.); glrotatef ((GLfloat) -sholder,.,.,.); glpshmatri(); gltranslatef (.,.,.); glscalef (2.,.4,.); gltwirecbe (.); glpopmatri(); Oberarm gltranslatef (.,.,.); glscalef (2.,.4,.); gltranslatef (2.,.,.); glrotatef ((GLfloat) elbo,.,.,.); gltranslatef (2.,.,.); glrotatef ((GLfloat) elbo,.,.,.); gltranslatef (.75,.,.); glscalef (.5,.4,.); gltwirecbe (.); glflsh(); Unterarm gltranslatef (.75,.,.); glscalef (.5,.4,.); T. Grosch

40 Zsammenfassng Vie Transformationen Koordinatenssteme Hierarchien Nächste Woche Projektionen bbildng 3D 2D T. Grosch - 4 -