1 Aufgabe 1 mit Lösung

Transkript

1 Mathematik I für Wirtschaftsingenieure/ informatiker Prüfungsklausur 4. Februar 99 mit Lösung Ermitteln Sie alle reellen Zahlen x, für die x x < gilt! Fallunterscheidung: x< : ( x) > (x ), x > x + 4, x >, x > x= : nicht definiert <x< : ( x) < (x ), x < x + 4, x <, x < : Widerspruch x : (x ) < (x ), x < x + 4, 9x <, x < 9 : Widerspruch Lösung: {x R : < x < }

2 Mathematik I für Wirtschaftsingenieure/ informatiker Prüfungsklausur 4. Februar 99 mit Lösung Gegeben sei das Gleichungssystem x + x + x + 4x 4 = x + x + x 4 = x + x + 5x + x 4 = x + 4x + x + λx 4 = µ a) Lösen Sie das Gleichungssystem im Spezialfall λ =, µ = mit dem Gaußschen Algorithmus! b) Für welche Werte der Parameter λ und µ ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, mehrdeutig lösbar bzw. unlösbar? a) Gaußscher Algorithmus: Lösung: x = 4, x =, x =, x 4 = b) Mit λ und µ ergibt sich für die letzte Zeile in obigem Schema λ 8 µ, dies entspricht (λ 8)x 4 = µ, ansonsten bliebt das Schema bei der Erzeugung der oberen Dreiecksmatrix unverändert. Also ist das Gleichungssystem für λ 8 eindeutig lösbar, für λ = 8, µ = mehrdeutig lösbar (4. Zeile =. Zeile) und für λ = 8, µ unlösbar.

3 Mathematik I für Wirtschaftsingenieure/ informatiker Prüfungsklausur 4. Februar 99 mit Lösung a) Zeigen Sie, daß die Geraden x = + s und x = in einer Ebene liegen! b) Geben Sie die Gleichung dieser Ebene in parameterfreier Form an! 4 + t c) Ermitteln Sie den Fußpunkt des Lotes vom Punkt P ( 9, 5, 8) auf diese Ebene sowie den Abstand zwischen dem Punkt P und der Ebene! a) Da die Geraden nicht parallel sind, liegen sie genau dann in einer Ebene, wenn sie sich schneiden. Sie schneiden sich genau dann, wenn es Parameter s und t gibt, für die gilt: s = 4 = s = + s = + t = t = s = + t ist für s = t = auch erfüllt Also gibt es einen Schnittpunkt (nämlich ( 4,, )), so daß die Geraden in einer Ebene liegen. b) x = + s + t x = s = s = x y = + s + t = t = y + s = y + x z = s + t = z = x + y + x, z = 5x + y Also lautet die Ebenengleichung in parameterfreier Form: 5x y + z =. oder: i j k = = 5 = 5 x y + =, d.h. 5x y + z = z 9 c) Die Gerade, auf der das Lot liegt, hat die Gleichung x = 5 + t 5. Sie schneidet die Ebene für 8 t mit 5( 9 + 5t) ( 5 t) + (8 + t) =, d.h. t =, t =. Den Lotfußpunkt erhält man 9 5 durch 5, d.h., es handelt sich um den Punkt (,, ). Der Abstand des s P vom 8 Lotfußpunkt beträgt 5 =.5.

4 Mathematik I für Wirtschaftsingenieure/ informatiker Prüfungsklausur 4. Februar mit Lösung Führen Sie für die Kurve x + xy + y = die Hauptachsentransformation durch und stellen Sie die Kurve im transformierten und im Ausgangskoordinatensystem graphisch dar! Die Eigenwerte ergeben sich aus λ λ = λ + λ 4 = λ λ + 4 =, d.h. λ / = ± 4 =,. λ = : λ = : ( ) = normierter Eigenvektor ( ) = normierter Eigenvektor ( ( ) ( x Die Hauptachsentransformation erfolgt demzufolge durch = x y) ( ) ( ) ( ) ( ) x + xy + y = (x y ) x y = (x y ) ( ) ( ) x = (x y ) y = x + y =. y ). ( Es handelt sich also um die Ellipse x + y ( ) = mit den Halbachsen und. Aus x = (x + y ), y = (x ) ( ) ( x y ) y ) erhält man durch Addition bzw. durch Subtraktion x = (x + y), y = (x y), so daß die Koordinatenachsen des transformierten Systems wegen y = y = x, x = y = x aus denen des Ausgangssystems durch Drehung um 45 entstehen. Zeichnung der Ellipse mit beiden Koordinatenkreuzen

5 Mathematik I für Wirtschaftsingenieure/ informatiker Prüfungsklausur 4. Februar mit Lösung Ermitteln Sie für die Optimierungsaufgabe x + x x max x + x x = x + x 5 5x + x x, x, x die optimale Lösung und den optimalen Zielfunktionswert! Durch die Einführung von Schlupfvariablen für die beiden Ungleichungen erhält man als Normalform: x + x x max x + x x = x + x + u = 5 5x + x + u = x, x, x, u, u Simplexschema: x x x u u BV c B x B θ x 5 u 5 u x u x 5 4 x x 5 x Da alle Optimalitätsindikatoren nichtnegativ sind, handelt es sich um das Optimum: x =, x =, x = 9, optimaler Zielfunktionswert: z = 8. oder: Elimination von x durch x = x + x führt zu der graphisch lösbaren Optimierungsaufgabe x + x + 9 max x + x 5 5x + x x, x Der zulässige Bereich ist begrenzt durch die positive x Achse, durch die (, ), (, 4) und (, 9) sowie von dem letzten Punkt aus durch die Gerade x +x = 5. Die Parallelverschiebung der Niveaulinie (z.b.) x + x = führt auf die optimale Lösung x =, x = 9 = x =, z = 8. oder: Elimination von x durch x = x + x führt zu der graphisch lösbaren Optimierungsaufgabe x + x + max x + x x + x x, x (vgl.!) Der zulässige Bereich ist begrenzt durch die (, ), (, ), (, ) und (, ). Die Parallelverschiebung der Niveaulinie (z.b.) x + x = führt auf die optimale Lösung x =, x = = x = 9, z = 8.

6 Mathematik I für Wirtschaftsingenieure/ informatiker Prüfungsklausur 4. Februar 99 mit Lösung 5+5 In einem Betrieb werden aus Rohstoffen R, R und R mit gleichem Aufwand Erzeugnisse E und E gefertigt, wobei pro Erzeugnis E Geldeinheiten und pro Erzeugnis E Geldeinheit Gewinn erwirtschaftet werden. Für ein Erzeugnis E werden Einheit R, Einheiten R und Einheiten R benötigt, während pro Erzeugnis E Einheiten R, Einheiten R und Einheit R benötigt werden. Stellen Sie das Modell für die Gewinnmaximierung auf, wenn 8 Einheiten R, Einheiten R und Einheiten R zur Verfügung stehen! Zusatzaufgabe: Lösen Sie die Optimierungsaufgabe! Sei x : Anzahl der herzustellenden Erzeugnisse E, x : Anzahl der herzustellenden Erzeugnisse E. Dann lautet das Modell: Gewinn: x + x max Rohstoff R : x +x 8 Rohstoff R : x +x Rohstoff R : x + x Nichtnegativität: x, x Zusatzaufgabe: Durch die Einführung von Schlupfvariablen für die drei Ungleichungen erhält man als Normalform: x + x max x + x + u = 8 x + x + u = x x + u = x, x, u, u, u Simplexschema: x x u u u BV c B x B θ u 8 8 u u 8 u 8 u x 4 8 u x x 4 5 Da alle Optimalitätsindikatoren nichtnegativ sind, handelt es sich um das Optimum: x =, x =, optimaler Zielfunktionswert: z = 5. oder: graphische Lösung: Der zulässige Bereich ist begrenzt durch die (, ), (, ), (, 5), (, ) und (, ). Die Parallelverschiebung der Niveaulinie (z.b.) x + x = führt auf die optimale Lösung x =, x = = z = 5.