Wintersemester 2010/2011

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1 Methoden des Production and Operations Management Wintersemester 2010/2011 Wintersemester 2010/2011 1

2 Production and Operations Management 2 Vorlesungszeit: donnerstags, Uhr Vorlesungsbeginn: 14. Oktober 2010 Vorlesungsraum: BC Dozent: Ansprechpartner: Prof. Rainer Leisten (rainer.leisten@uni-due.de) (natalia.prischepov@uni-due.de) Aushang: Zugriffscode: EG, BC-Gebäude leisten Wintersemester 2010/2011 2

3 Vorlesungsinformation: Methoden POM Vorlesungszeit: dienstags, Uhr Vorlesungsbeginn: 12. Oktober 2010 Vorlesungsraum: BK-009 Dozent: Sprechstunde: Voranmeldung: montags, Uhr in BC-007 per an Zugriffscode: leisten Wintersemester 2010/2011 3

4 1 Modellierung und Optimierung 1.1 Einführung Modellierungstechniken Inhaltsübersicht (1) Mathematische Formulierung ausgewählter Probleme Optimierung mit MPL 1.2 Losgrößenplanung 2 Scheduling Modelle und Lösungsverfahren Modellierung und Optimierung mit MPL 2.1 Theoretische Grundlagen und Modellierungsansätze Lösungsverfahren 2.3 LEKIN scheduling system 3 Lösung ausgewählter Probleme in Produktion und Logistik mit QSB Wintersemester 2010/2011 4

5 Inhaltsübersicht (2) 4 Stochastische Modelle in Production and Operations Management 4.1 Theoretische Grundlagen und Modellierungsansätze 4.2 Stochastische Prozesse Markow-Eigenschaft und Markow-Ketten Poisson-Prozess Warteschlangentheorie Einstufige Warteschlangenmodelle Modellierung und Analyse elementarer Warteschlangennetzwerke Modellierung der Warteschlangenmodelle mit ARENA 5 Klausurvorbereitung Wintersemester 2010/2011 5

6 Kapitel 1: Modellierung und Optimierung i Einführung Wintersemester 2010/2011 6

7 Grundbegriffe Operations Research: Entwicklung und Einsatz quantitativer Modelle und Methoden Teilgebiete des Operations Research: - Lineare Optimierung - ganzzahlige/kombinatorische Optimierung - nicht-lineare Optimierung - Graphentheorie und Netzplantechnik - Dynamische Optimierung - Warteschlangentheorie - Simulation usw. Optimierungsmodell: - Zusammenfassung der Eigenschaften von Variablen, Restriktionen und Zielfunktionen - Bestimmung der Abhängigkeiten - Festlegung zulässiger Wertebereiche Wintersemester 2010/2011 7

8 Optimierungsmodelle Bestandteile: - mind. eine Menge von Handlungsalternativen bzw. Lösungen - Variablen - Nebenbedingungen - mind. eine Zielfunktion Optimierungsmodelle sind unterteilbar in verschiedene Klassen Variablen werden über Datenparameter mit einander verknüpft Modellinstanz: - konkretes Modell mit Zahlen und Variablen - Ausgestaltung eines allgemeinen Modells durch Vorgabe von Daten - i.d.r. lässt sich nur die Modellinstanz eindeutig lösen Wintersemester 2010/2011 8

9 Klassifikation der Optimierungsmodelle Informationsgrad Klassifikationskriterium deterministisch stochastisch Ausprägungen Anzahl von Zielfunktionen einkriteriell it i multikriteriell Typen (Zielfunktion, Variablen, Nebenbedingungen) Lösungsaufwand linear ganzzahlig (-linear) binär nicht-linear gemischt-ganzzahlig usw. Polynomial NP-schwer Quelle: Domschke,W./ Drexl, A. (2007), S. 6f. Wintersemester 2010/2011 9

10 Deterministische einkriterielle Optimierungsmodelle Maximiere (oder Minimiere) F( x ) unter den Nebenbedingungen g i ( x ) 0 für i 1,...,m x W mit: x Variablenvektor mit n Komponenten (Lösung); F(x) Zielfunktion g(x) i W Funktionen zur Beschreibung von Restriktionen Wertebereiche e e der Variablen ab x x,x,...,x 1 2 n Wintersemester 2010/

11 Lineares Optimierungsmodell (Beispiel): Maximiere n DB x db x j 1 unter den Nebenbedingungen n j 1 a x für i 1,...,m ij j i x B für j 1,...,n j j x 0 für j 1,...,n j j j mit j=1,,n Produkt i=1,,m Maschine db j Stückdeckungsbeitrag von j i a ij B j Kapazität der Maschine i in Std. Produktionskoeffizienten Absatzbeschränkung von j Aufgabe: Formulieren Sie das lineare Optimierungsmodell für die gegebene Modellinstanz (Aufgabe 1, Übungsblatt 1). Lösen Sie anschließend das Problem. Wintersemester 2010/

12 Binäres Optimierungsmodell (Beispiel): Knapsack-Problem: Wanderer packt ein Rucksack, der ein Höchstgewicht von G nicht überschreiten darf Es existieren n unterschiedliche Gegenstände j = 1,,n Jeder Gegenstand hat einen Gewicht von g j und erbringt einen subjektiven Nutzen von u j Ziel: Maximierung des Gesamtnutzens Entscheidungsvariablen x j ist 1 falls Gegenstand j mitgenommen wird und 0 sonst Modellformulierung: Max u.b.d.r. n j 1 U x u x n j 1 g x G für j 1,...,n j j x 0, 1 für j 1,...,n j j j Wintersemester 2010/

13 Modellart und Lösungsansätze Simplex-Verfahren: - Untersuchung benachbarter Ecken - Primaler und dualer Simplex-Algorithmus Branch-and-Bound-Verfahren: ganzzahlige und binäre Variablen Mixed Integer Programming: ganzzahlige und reellwertige Variablen Branch-and-Cut-Verfahren: binäre Variablen Dijkstra-Algorithmus Heuristiken und Prioritätsregeln: Tabu Search, usw. Wintersemester 2010/

14 Kapitel 1: Modellierung und Optimierung i Einführung: Modellierungstechniken Wintersemester 2010/

15 Warum Modellierungstechniken und -tricks? Komplexität realer Problemstellungen Lösungseffizienz des formulierten Modells Problemfelder: - Unbeschränkte Variablen - Fixkostenprobleme - Disjunktive Bedingungen - Nichtlineare Ausdrücke Wintersemester 2010/

16 Unbeschränkte Variablen Mindestens eine Entscheidungsvariable ist unbeschränkt, x R für j 1,...,n Anwendungsbeispiele: - Veränderung des Kassenbestandes (positiv / negativ) - Lagerbestand und Fehlmenge - Gewinn und Verlust In der Regel sind nur nicht-negative Variablen erwünscht Modellierungstrick: Zerlegung der Entscheidungsvariable in einen positiven und einen negativen Teil Allgemein: Beispiel: Erläuterung: x j x j x j für j 1,...,n x1 6 x 1 0,x1 6 x1 0 x1 0 x j,x j 0 für j 1,...,n x2 4 x 2 4,x2 0 0 x x x x x 0 Fazit: Für die produktionswirtschaftliche Problemstellungen eher nicht relevant j Wintersemester 2010/

17 Fixkostenprobleme Modellierung wenn, dann Bedingungen mittels: - binäre Entscheidungsvariable - meist: BigM als hinreichend große Zahl (nicht notwendig) Anwendungsbeispiele: i - Warehouse-Location-Problem - Losgrößenplanung: g Wagner-Whitin-Modell - Projektannahme, usw. Allgemeine Vorgehensweise: - Formulierung binärer Entscheidungsvariablen - Zielfunktion - Modifikation bzw. Neuformulierung der Nebenbedingungen Beispiel: Standortmodell Wintersemester 2010/

18 Beispiel: Standortmodell (1) Entscheidung über Einrichtung von Regionallagern an potentiellen Standorten i = 1,,m mit maximaler Lagerkapazität von k i. Periodennachfragemenge b j der Kunden j = 1,,n ist statisch. Errichtung, Betrieb und Belieferung eines Lagers am Standort t i verursacht fixe Kosten in Höhe von c i GE pro Periode. Belieferung eines Kunden j vom Lager i kostet d ij GE je ME Ziel: Minimierung der Gesamtkosten pro Periode Formulierung der Entscheidungsvariablen: x ij Transportmenge von Lager i zum Kunden j y i binäre Variable zum Standort- und Lagerwahl (1, wenn Lager am Standort i errichtet wird, 0 sonst) Wintersemester 2010/

19 Beispiel: Standortmodell (2) Zielfunktion: min m m n Z c y d x i i ij ij i1 i1 j1 Nebenbedingungen: n j 1 m i 1 x k y i 1,...,m ij i i x b j 1,...,n ij j x 0 i 1,...,m; j 1,...,n ij y 0, 1 i 1,...,m i Wintersemester 2010/

20 Zwei Optionen, die nie gleichzeitig bindend sind Disjunktive Bedingungen (1) Nebenbedingungen: entweder die eine oder die andere Bedingung müssen eingehalten werden, aber nie beide gleichzeitig Anwendungsbeispiele: - Reihenfolge von Aufträgen auf Maschinen (Auftrag 1 vor Auftrag 2 oder Auftrag 2 vor Auftrag 1) - optionale Wünsche oder Merkmale - Zuordnungsprobleme, z. B. Zuordnung eines Kunden zum Lager A oder zum Lager B - usw. Modellierungstricks: - Binärvariable und BigM - Zwei Binärvariablen und BigM Wintersemester 2010/

21 Zwei disjunktive Nebenbedingungen: 7x 2x 100 oder x 3 x Einführen einer Binärvariable: y 01, 7x 2x My x 3x M 1y Einführen zweier Binärvariablen: y,y, 7x 2x My 100 M x 3 x M y 200 M Nebenbedingungen: y y 1 oder y y Disjunktive Bedingungen (2) hier: M = 600 Wintersemester 2010/

22 Disjunktive Bedingungen: Erweiterung Zwei disjunktive binäre Entscheidungsvariablen: x 1 0 oder x Lineare Beziehung: x1 x2 1 Nicht-lineare Beziehung: x1 x2 0 Wintersemester 2010/

23 Ersetzen nicht-linearer durch lineare Ausdrücke Nicht-lineare Beziehungen erfordern einen höheren Lösungsaufwand Anzahl der Beschäftigten * Überstundenkostensatz * Binäre Überstundenvariable Beispiel: x1x2 4x3 10 mit x,x 0, Lösungsansatz: 1. Ersetzen eines nicht-linearen Ausdrucks durch neue Binärvariable g g g y 01, 2. Formulierung der Bedingung mit y 1 x1 1x2 1 y 0 x 1x 0 x 0x 1 x 0x x x y, Neues Nebenbedingungssystem; ersetzt für y 4x3 10 x1x2 4x y x 1,y x 2,y 0 2 x x y 1 y x x Wintersemester 2010/

24 Modellierungsaufwand - Reale Problemdefinition - Modellgröße und Lösungsaufwand - Information und Relevanz - widersprüchliche Annahmen - Modellkonsistenz - Ineffizienz Sonderprobleme der Modellierung und Optimierung Wintersemester 2010/

25 Sonderprobleme der Optimierung Keine zulässige Lösung (Widerspruch im Nebenbedienungssystem) 3x1 4x x 2x Unbeschränktes Problem (zulässige, jedoch keine optimalen Lösungen) 2x1 x2 40 x 2 x Parametrische Lösungen (mehr als eine Lösung ist optimal) F x x x x 2x Redundante Nebenbedingungen 2 x x 40 x x 1 2 2x x Wintersemester 2010/

26 Kapitel 1: Modellierung und doptimierung i Einführung: Mathematische Formulierung ausgewählter Probleme Wintersemester 2010/

27 Kostenminimaler Produktionsplan Ein Unternehmen plant den Vertrieb von n unterschiedlichen Produkten P 1,,Pn für die nächste Saison. Zur Deckung der prognostizierten Nachfrage bj für ein Produkt Pj (j = 1,,n) besteht die Möglichkeit der Fertigung auf den unternehmenseigenen Produktionsanlagen A1,,Am sowie des Fremdbezugs von einem anderen Hersteller. Für die Herstellung einer Mengeneinheit eines Produktes Pj fallen variable Produktionskosten in Höhe von c p jp GE und für den Fremdbezug Kosten in Höhe von c jf GE an. Für die Produktion einer ME von Produkt P j auf der Produktionsanlage A i werden a ij Zeiteinheiten benötigt. Dabei darf die vorhandene Kapazität k i der Maschine A i nicht überschritten werden. Gesucht ist das kostenminimale Produktionsprogramm, das den prognostizierten Bedarf genau befriedigt und die vorhandenen Kapazitäten nicht überschreitet. Aufgabe 1: Formulieren Sie ein allgemeines lineares Optimierungsmodell. Aufgabe 2: Erweitern Sie das Optimierungsmodell um das folgende Fixkostenproblem: Bei der Produktion eines Produktes P j fallen zusätzlich zu den variablen Produktionskosten c jp einmalige fixe (produktionsmengenunabhängige) Rüstkosten in Höhe von r j GE an, wenn das Produkt P j auf den unternehmenseigenen Produktionsanlagen hergestellt wird. Wintersemester 2010/

28 Transportplanung Ein Unternehmen verfügt über m Regionallager, die gleichzeitig die Angebotsorte A i (i = 1,,m) sind. Die Produkte werden von n Bedarfszentren nachgefragt. Im Nachfrageort B j (j = 1,,n) werden b j Mengeneinheiten des Produktes benötigt. Die Gesamtnachfrage entspricht der gesamten verfügbaren Produktmenge der Regionallager. Im Angebotsort A i sind a i Mengeneinheiten eines bestimmten Produktes verfügbar. Die Kosten für den Transport einer Mengeneinheit von A i nach B j betragen c ij GE. Gesucht ist ein kostenminimaler Transportplan unter der Bedingung, dass die gesamte Nachfrage erfüllt wird. Aufgabe: Formulieren Sie ein allgemeines Optimierungsmodell für das klassische Transportproblem. Wintersemester 2010/

29 Vergabe der Seminarthemen Am Lehrstuhl für Operations Research werden in einem Semester insgesamt m Seminarthemen (i = 1,,m) ) angeboten. Für diese Seminarthemen interessieren i sich n Studenten t (j = 1,,n). ) Damit die Vergabe der Seminarthemen möglichst gerecht erfolgen kann, hat jeder Student j vorab die Möglichkeit jeweils einen Präferenzwert p ij für jedes Thema i zu vergeben. Je kleiner der jeweilige Präferenzwert p ij für ein Thema i,, desto größer ist das Interesse von Student j, dieses auch zu bearbeiten. Dabei darf jeder Präferenzwert nur einmal pro Studenten vergeben werden. Für das Seminar haben sich in diesem Semester weniger Studenten als angebotene Themen, n < m, angemeldet, so dass jeder Student ein Thema bearbeiten kann. Zusätzlich beschließt der Dozent, jedes Thema maximal einmal zu vergeben. Bei der Vergabe der Themen soll das Gesamtleid der Studenten minimiert werden. Aufgabe 1: Stellen Sie ein mathematisches Modell zur Seminarvergabe auf. Aufgabe 2: Unterstellen Sie jetzt, dass die Anzahl der Studenten die Anzahl angebotenen Themen übersteigt. Unter der Bedingung, dass jedes Thema vergeben wird, ist es jetzt möglich jedes Thema doppelt zu belegen. Modifizieren Sie das von Ihnen aufgestellte mathematische Modell. Wintersemester 2010/

30 Fließbandabstimmung Die Leistung eines Fließbandproduktionssystem soll für die Produktion eines Produktes abgestimmt werden. Es soll ein rein serielles Fließfertigungssystem t eingerichtet i t werden, welches keine parallelen l Stationen enthält. n Arbeitselemente (i = 1,,n) sollen in einer gegebenen Reihenfolge durchgeführt werden. Für jedes Arbeitselement i sind deterministische Bearbeitungszeit d i sowie Reihenfolgebeziehungen gegeben. Die direkten Vorgänger von Arbeitselement i werden der Menge V i zugeordnet. Arbeitselemente sind nicht teilbar und müssen genau einer Station j (j = 1,,m), ) zugeordnet werden. Somit können maximal n = m Stationen eingerichtet werden. Grundsätzlich kann jede Station j jedes Arbeitselement i ausführen. Die Taktzeit C ist für alle Stationen gleich und vorgegeben (d. h., das Fließband kann eine gegebene Mindestproduktionsrate erbringen). Die Summe der Bearbeitungszeiten aller Arbeitselemente, die einer Station zugeordnet werden, darf die Taktzeit C nicht überschreiten. Aufgabe: Formulieren Sie das mathematische Modell zur Fließbandabstimmung unter der Zielsetzung Minimierung der Anzahl der Stationen. Wintersemester 2010/

31 Beispiele der Software Excel: Solver LINO ( LINDO ( MPL ( GAMS ( CPLEX ( ClipMOPS ( AMPL ( und viele mehr Wintersemester 2010/

32 Excel-Solver Lineare Optimierungsmodelle Keine Trennung zwischen Modell und Probleminstanz Beispiel: Aufgabe 1, Übungsblatt 1 Wintersemester 2010/

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34 Excel-Solver Wintersemester 2010/