Übungsbuch Mathematik

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1 Übungsbuch [1. Semester]

2 Übungsbuch für das 1. Semester Aufgabensammlung [inklusive Lösungen] Themenbereiche: I. Bruchrechnung 1. Grundlegende Regeln Doppelbrüche II. Dreisatzberechnung 1. Proportionaler quotientengleicher Dreisatz Antiproportionaler produktgleicher Dreisatz Zusammengesetzter Dreisatz III. Prozentrechnung 1. Klassische Prozentrechnung Zusammengesetzte Prozentrechnung StR. Dipl.-Hdl. i. E. K. Glaesner 1

3 Übungsbuch für das 1. Semester IV. Kalkulationsarten 1. Handelskalkulation Gastronomische Kalkulation Produktionskalkulation Kalkulationsübungen Spezielle Fragestellungen und Übungsleistungsnachweise 26 V. Lösungen 32 StR. Dipl.-Hdl. i. E. K. Glaesner 2

4 Übungsbuch für das 1. Semester I. Bruchrechnung: 1. Grundlegende Regeln Nachfolgend werden die wesentlichen Zusammenhänge der Bruchrechnung angeführt. Der Bruchstrich ist nichts anderes als ein Geteiltzeichen. Es gilt: Hat ein Bruch im Zähler und Nenner gleiche Faktoren, so können diese gekürzt werden: Da der Faktor 5 sowohl im Zähler als auch im Nenner auftaucht, können jeweils Zähler und Nenner durch diesen Faktor gekürzt werden. Beim Kürzen steht zwischen den Ausdrücken ein Gleichheitszeichen; somit gilt die Regel des Kürzens auch "rückwärts". Brüche können also im Zähler und Nenner gleichzeitig mit beliebigen Faktoren multipliziert werden. Dieses Verfahren nennt man Erweitern des Bruches. Zwei Brüche werden multipliziert, indem jeweils die Zähler und die Nenner miteinander multipliziert werden: Dividiert (geteilt) werden Brüche, indem mit dem Kehrwert multipliziert wird: Auch, wenn Brüche dividiert werden, kann natürlich das "Geteilt-Zeichen" durch einen Bruchstrich ersetzt werden: StR. Dipl.-Hdl. i. E. K. Glaesner 3

5 Übungsbuch für das 1. Semester Die Addition und Subtraktion von Brüchen ist etwas komplizierter. Sollen zwei Brüche addiert oder subtrahiert werden, so müssen sie zunächst auf den Hauptnenner gebracht werden. Am besten lässt sich das Verfahren an einem Beispiel verdeutlichen: Bei dem ersten Ausdruck steht 9 und bei dem zweiten 5 im Nenner. Die Brüche können erst addiert werden, wenn bei beiden das Gleiche im Nenner steht. Hierzu müssen die Brüche erweitert werden. Der erste Bruch kann mit dem Nenner des zweiten und der zweite Bruch mit dem Nenner des ersten erweitert werden: Nun, da beide Brüche den gleichen Nenner haben, dürfen die Zähler addiert werden: Wenn mehr als zwei Brüche addiert oder subtrahiert werden sollen, so muss jeder Bruch mit den Nennern aller anderen Brüche erweitert werden. Z.B.: Wenn die Nenner gemeinsame Faktoren enthalten, kann man sich allerdings die Arbeit leichter machen. Dies wird anhand des nachfolgenden Beispiels gezeigt: Hier reicht es, den zweiten Bruch mit 3 zu erweitern, denn dann haben alle Brüche den gleichen Nenner. Die Nenner brauchen also zum Addieren oder Subtrahieren nur auf das kleinste gemeinsame Vielfache gebracht zu werden. StR. Dipl.-Hdl. i. E. K. Glaesner 4

6 Übungsbuch für das 1. Semester Auch die Addition von Brüchen lässt sich "umdrehen". Ein Bruch kann z.b. folgendermaßen in mehrere Brüche aufgespalten werden: oder auch Es sei angemerkt, dass derartige Aufspaltungen nur mit dem Zähler (das was oben steht) und keinesfalls mit dem Nenner (das was unten steht) durchgeführt werden dürfen. Brüche, deren Wert größer als 1 ist, schreibt man auch als gemischte Zahl. Z.B. schreibt man: Den rechten Ausdruck nennt man eine gemischte Zahl. Es handelt sich um eine abkürzende Schreibweise, bei der das Pluszeichen weggelassen wird. Es gilt: Wenn im Zähler oder Nenner Summen oder Differenzen stehen und gekürzt werden sollen, so ist zu beachten, dass aus jedem Term gekürzt wird: StR. Dipl.-Hdl. i. E. K. Glaesner 5

7 Übungsbuch für das 1. Semester Abschließend sei angeführt, dass ein Quotient genau dann Null ist, wenn der Zähler Null und der Nenner gleichzeitig ungleich Null ist. Sei folgendes Beispiel betrachtet: Nun wird der Zähler gleich Null gesetzt: Diese Gleichung kann mittels der pq-formel gelöst werden: Wird die 2 in den Nenner eingesetzt, ergibt sich: = 4. Somit ist der Nenner ungleich Null, und der Bruch wird für x=2 Null. StR. Dipl.-Hdl. i. E. K. Glaesner 6

8 Übungsbuch für das 1. Semester 2. Doppelbrüche Nach dem nun hoffentlich klar ist, was man unter einem "normalen" Bruch versteht, sehen wir uns als nächstes Brüche an, bei denen es mehr als ein Bruchstrich gibt. Beginnen wir mit einem Bruch, der zwei Bruchstriche aufweist. Zunächst die allgemeine Form und dann ein Beispiel zum besseren Verständnis. Als nächstes sehen wir uns Brüche an, die drei Bruchstriche aufweisen. Wir haben also einen Zähler und einen Nenner, in dem jeweils ein Bruch steht. Doppelbrüche werden durcheinander dividiert, indem man den Zählerbruch mit dem Kehrwert des Nennerbruchs multipliziert: StR. Dipl.-Hdl. i. E. K. Glaesner 7

9 Übungsbuch für das 1. Semester 3. (1) Berechnen Sie. Kürzen Sie das Ergebnis so weit wie möglich und schreiben Sie falls möglich als gemischte Zahl! a. 3/5 + 2/3 b. 7/15 3/20 c. 2 3/ /7 d. 1 5/ /5 e. 2 3/8 1 ¾ (2) Setze die richtigen Zahlen ein! Achtung, bei manchen Aufgaben wurde bereits gekürzt!!! a. 4 * /7 = 12/7 b. /5 : 3 = 11/15 c. 7/5 * / = 21/15 d. 8 * 6/ = /7 e. 2 * 9/ = 9/5 f. 3 * 5/ = 5/3 (3) Multipliziere. Kürze, wenn möglich und schreibe falls möglich als gemischte Zahl! a. 4/5 * 15/12 b. 49/12 * 48/63 c. 56/9 * 7/24 d. 3 1/6 * 1 1/3 e. 11 2/3 * 3 3/7 (4) Löse durch eine Zeichnung: ¼ von 2/3 (5) Der afrikanische Kontinent ist zu 3/5 mit Wüsten bedeckt. Die Sahara nimmt 5/12 davon ein. Welcher Teil ist das? (6) In Evas Klasse kann die Hälfte aller Kinder schwimmen. Ein Drittel davon hat das silberne Schwimmabzeichen und zwei Fünftel sogar das goldene Schwimmabzeichen. Welcher Anteil von Evas Klasse hat das silberne, welcher das goldene Schwimmabzeichen? (7) Erkläre in vollständigen Sätzen den Unterschied zwischen den beiden Rechnungen. 2/5 * 2/5 2/5 + 2/5 (8) Berechnen Sie die Doppelbrüche a) b) c) d) e) (9) Berechnen Sie die Doppelbrüche a) b) c) d) e) StR. Dipl.-Hdl. i. E. K. Glaesner 8

10 Übungsbuch für das 1. Semester II. Dreisatzberechnung 1. Proportionaler quotientengleicher Dreisatz Beim einfachen, proportionalen, linearen und quotientengleichen Dreisatz lassen sich immer ein Angabesatz (zwei gegebene Größen) und ein Fragesatz (eine gegebene und eine gesuchte Größe) aufstellen. 12 Koffer kosten 960,00 ; Wie viel Euro kosten 20 Koffer? 1. Angabesatz: Was ist gegeben? 12 Koffer 960,00 2. Fragesatz: Was ist gesucht? 20 Koffer x 3. Lösungssatz: Wie lautet die Lösung? = Aufstellung des Lösungssatzes: 1. Test ob Proportionalität vorliegt: Gilt desto weniger, desto weniger oder mehr desto mehr? Proportionalität!!! 2. Quotient zwischen den gegebenen Faktoren (Koffer) ermitteln (Zweisatz bilden!!!). Weg: von 12 zu 1 bedeutet durch 12 teilen und von einem Koffer auf 20 zu kommen bedeutet mit 20 zu multiplizieren, somit lautet der Quotient 1 = 3. Gesuchter Faktor mit Quotient multiplizieren 960 * = 1600,00 Antwort: 20 Koffer kosten 1600,00!!! 1 In der bezeichnet der Quotient ein Verhältnis von zwei Größen zueinander, also das Ergebnis einer Division. StR. Dipl.-Hdl. i. E. K. Glaesner 9

11 Übungsbuch für das 1. Semester 2. Antiproportionaler produktgleicher Dreisatz Beim antiproportionalen, nicht linearen, ungeraden und produktgleichen Dreisatz gelten die gleichen Voraussetzungen, wie beim proportionalen Dreisatz. Der Unterschied ist nur darin zu sehen, dass die beiden Faktorenpaare eine gegenläufige Beziehung besitzen. Sechs Mitarbeiter benötigen vier Stunden für ein standardisiertes Projekt. Wie lang benötigen drei Mitarbeiter für das gleiche Projekt? 1. Angabesatz: Was ist gegeben? 6 MA 4h 2. Fragesatz: Was ist gesucht? 3 MA xh 3. Lösungssatz: Wie lautet die Lösung? X= Aufstellung des Lösungssatzes: 1. Test ob Antiproportionalität vorliegt: Gilt desto weniger, desto mehr oder mehr desto weniger? Antiproportionalität!!! 2. Produkt zwischen den gegebenen Faktoren ermitteln (Zweisatz bilden!!!). Weg: Sechs MA benötigen vier Std. (h), somit würde ein Mitarbeiter (6*4) 24h benötigen. Somit ist das Produkt von 6*4=24. Es herrscht Produktgleichheit somit muss die Relation 3*x=24 vorherrschen! Umgestellt bedeutet dies, das x=24/3 ist und somit einer Stundenanzahl von acht Stunden entspricht!!! 3. 6*4 = 24 3*x = 24 I :3 x = 24/3 = 8h Antwort: Drei Mitarbeiter benötigen für das standardisierte Projekt acht Stunden Arbeitszeit!!! StR. Dipl.-Hdl. i. E. K. Glaesner 10

12 Übungsbuch für das 1. Semester 3. Zusammengesetzter Dreisatz Der zusammengesetzte Dreisatz ist ein aus mehreren Dreisätzen bestehendes Gebilde. Die Kombination aus produkt- und quotientengleichen Verhältnissen führt zum Ergebnis. Beispiel: Zwei Pumpen befördern in 24 h 4800 Liter Wasser. Wie viel Liter fördern fünf Pumpen in zehn Stunden? 1. Sortierung der Informationen: Gegebene Verhältnisse: 24 h 10 h; 2 Pumpen 5 Pumpen Gesuchter Faktor: Litermenge? 2. Aufstellen einer allgemeingültigen Lösungssystematik: 4800 L 24 h 2 Pumpen X L 10 h 5 Pumpen Zuerst wird isoliert die Veränderung der Zeit auf die Litermenge einbezogen!!! Vorher 24h, jetzt 10 h!!! weniger Zeit weniger Liter proportional! 10/24 X= 4800 * = 2000 L Jetzt wird die Veränderung der Pumpenanzahl isoliert einbezogen!!! Vorher 2 Pumpen, jetzt 5 Pumpen!!! mehr Pumpen mehr Wasser proportional! 5/2 X= 4800 * * = 5000 Liter!!! StR. Dipl.-Hdl. i. E. K. Glaesner 11

13 Übungsbuch für das 1. Semester Beispiel mit beiden Dreisatzarten: Die Inventur in einem Betrieb wurde im Vorjahr von 12 Angestellten bei täglicher Arbeitszeit von sieben Std. in vier Tagen erledigt. In diesem Jahr soll die gleiche Arbeit in drei Tagen bei täglicher AZ von acht Std. erledigt werden. Errechnung der Mitarbeiter!!! 12 AN täglich 7h 4 Tage X AN täglich 8h 3 Tage Zuerst isolierte Betrachtung der Tage!!! Weniger Tage mehr AN!!! Deshalb drehen wir den ermittelten Quotienten um und multiplizieren mit dem Kehrwert!!! Quotient um von 4 auf 3 zu kommen: ¾ (durch 4 gleich ein Tag und dann multiplizieren mit 3)! Das Verhältnis ist aber antiproportional und daher wirkt sich die Veränderung der Tage auch antiproportional auf die AN aus. Deshalb drehen wir das Verhältnis um, damit ein Bruch mit einem Wert > 1 entsteht und somit die AN-Zahl ansteigt!!! X= 12* = 16 AN Jetzt beziehen wir isoliert die Veränderung der täglichen AZ ein. Mehr tägliche AZ weniger AN!!! Das Verhältnis von sieben auch acht ist 8/7!!! Es handelt sich wiederum um ein antiproportionales Verhältnis, somit gelten obige Regeln!!! X= 12* * = 14 AN!!! StR. Dipl.-Hdl. i. E. K. Glaesner 12

14 Übungsbuch für das 1. Semester 4. : i. 500 Blätter Kopierpapier besitzen eine Masse von 2,4 kg. a. Welche Masse besitzen 17 Blatt? b. Wie viele Blätter haben eine Masse von 72 g? ii. Zwei Bagger heben einen Graben in genau 48 Stunden aus. Wie lange benötigen fünf Bagger? iii. Eine Nachhilfestunde (60 Minuten) bei Frau Q. kostet 25 Euro. Was kosten 80 Minuten Nachhilfe? Runde auf ganze Cent. iv. In einem Geschäft wird eine bestimmte Sorte Knäckebrot in Packungen zu 400 g und zu 250 g angeboten. Die große Packung kostet 1,30 Euro, die kleine 0,85 Euro. Welche Packungsgröße ist preiswerter? v. Die Preise von Bahnfahrkarten werden häufig nach der Länge der gefahrenen Strecke berechnet. Eine Fahrkarte für eine Entfernung von 36 km kostete 8,64. Was würde eine Fahrkarte für eine 62 km lange Strecke kosten? vi. Der Lebensmittelvorrat einer Raumstation reicht für drei Besatzungsmitglieder 32 Tage. Wie lange reicht dieser Vorrat für vier Besatzungsmitglieder? vii. Nach Eingang einer Bestellung benötigen sechs Maschinen für die Produktion der bestellten Waren 3 Tage. Unabhängig vom Umfang des Auftrags muss für den Versand ein weiterer Tag gerechnet werden. Wie viele Tage würden vom Eingang der Bestellung beim Hersteller bis zum Eintreffen der Ware beim Besteller vergehen, wenn die bestellte Menge um 50% über der oben angegebenen liegt, beim Hersteller jedoch nur noch drei Maschinen zur Verfügung stehen? viii. Die letzte Rechnung von Herrn M. für seine Internet-Nutzung betrug 17,01 Euro. Sie weist eine Nutzungszeit von 606 Minuten aus. Im folgenden Monat beträgt seine Nutzungsdauer 721 Minuten. Wie hoch wird die Rechnung von Herrn M. ausfallen, wenn der Tarif seines Providers keine Grundgebühr und 2 Freistunden pro Monat vorsieht? ix. Eine Verkäuferin erhielt bei einem Monatsumsatz von zu ihrem Gehalt eine Prämie von 70,20. Wie hoch würde die Prämie bei einem Umsatz von ,00 sein? x. Für die Produktion von Autos erzeugen 7 Roboter in 14 Tagen 1000 Autos, wenn täglich 10 Stunden gearbeitet wird. Aufgrund der Katastrophe in Japan kommt es zu Engpässen bei den Einbauteilen und es muss Kurzarbeit eingeführt werden. Es können nur 4 Roboter täglich 8 Stunden eingesetzt werden. Wie viele Autos werden jetzt in 20 Tagen produziert? Weitere siehe StR. Dipl.-Hdl. i. E. K. Glaesner 13

15 Übungsbuch für das 1. Semester III. Prozentrechnung 1. Klassische Prozentrechnung Die Prozentrechnung ist eine der grundlegendsten kaufmännischen Rechenarten. Prozent (lat.: pro centum für 100) ist eine klassische Vergleichsrechnung. Es werden Relationen (proportionale quotientengleiche Dreisätze) dargestellt und die Zahl 100 wird als Vergleichsbasis eingesetzt. Grundgleichung der Prozentrechnung:, ü,, ü, = % Mit dieser Grundgleichung lassen sich alle Bestandteile der Prozentrechnung ermitteln. Durch einfaches Umformen (Äquivalenzumformung!!!) stellt man die Gleichung zum gesuchten Faktor um. Berechnung PW: (Äquivalenzumformung mit Multiplikation auf beiden Seiten von GW) PW= Berechnung PS: (Äquivalenzumformung mit Multiplikation auf beiden Seiten von 100) PS= Berechnung von GW: (Äquivalenzumformung mit Multiplikation auf beiden Seiten von GW, 100 und Division von PS) GW= StR. Dipl.-Hdl. i. E. K. Glaesner 14

16 Übungsbuch für das 1. Semester 2. Zusammengesetzte Prozentrechnung Innerhalb der zusammengesetzten Prozentrechnung verbindet man Rechenschritte innerhalb der Prozentrechnung zu einer Rechnung. Zu diesem Zeitpunkt ist es notwendig den Begriff Prozentfaktor 2 einzuführen. Beispielhaft lässt sich dieser an einer Preissteigerung darstellen. Der Preis eines Gutes ist im Vergleich zu vorher um 5% gestiegen und betrug zu Rechenbeginn 100,00. Somit ermitteln wir den neuen Preis direkt, indem wir die 100,00 mit dem Faktor 1,05 multiplizieren und sehen, dass der neue Preis 105,00 beträgt. Der Faktor besteht auf der Basis 1=100% und hinzu kommen 5% Steigerung, somit entspricht der Faktor 1+5/100= 1,05!!! Die Kombination der unterschiedlichen Faktoren führt zu den korrekten Ergebnissen. Bei diesen Berechnungen spielt die Basis/Grundwert eine erhebliche Rolle. Er kann in drei Varianten auftreten: Basis/GW = 100% Basis/GW < 100% Basis/GW > 100% Basis =100% bedeutet, dass der Ausgangswert 100% entspricht! Nettopreis: 100,00 = 100% Bruttopreis: 119,00 = 119% 100,00 * 1,19= 119,00 Basis < 100% bedeutet, dass der Ausgangswert kleiner als 100% entspricht. Überweisungsbetrag (98,00 ) einer Rechnung mit bereits abgezogenen Skonto (2%): 98,00 = 98% 98,00 / 98 *100 = 100,00 X = 100% Mit Faktor: 98,00 / 0,98 = 100,00 2 Prozentfaktor ist q= (1+/- p/100) StR. Dipl.-Hdl. i. E. K. Glaesner 15

17 Übungsbuch für das 1. Semester Basis > 100% bedeutet, dass der Ausgangswert größer als 100% entspricht. Warenwert inkl. USt. Beträgt 119,00 119,00 = 119% 119,00 / 119 * 100= 100,00 X = 100% Mit Faktor: 119,00 / 1,19 = 100,00 Zusammenfassend lässt sich festhalten, sobald man sich exakt bei einer Basis von 100 % befindet, multipliziert man mit dem Prozentfaktor, der größer bzw. kleiner 1 sein kann. Befindet man sich am Startpunkt der Rechnung auf einem prozentual höheren bzw. niedrigeren Niveau dividiert man durch den jeweiligen Faktor, um wieder auf die Basis 100 % zu gelangen. Beispielaufgabe hierzu: Ein Preis eines Gutes entwickelt sich innerhalb eines Jahres. Zuerst steigt er um 10%, danach sinkt er um 8%. Nun steht er bei 1.600,00. Wie hoch war der Startpreis? Diese Aufgabe sollte in mehrere Teile zerlegt werden. Im Ablauf haben wir zuerst eine Steigerung, dann eine Senkung des Preises und müssen nun zurückrechnen ,00 = 92% X = 100% 1.600,00 / 0,92 = 1.739, , = 110% X = 100% 1.739, / 1,1 = 1.581, Zusammengesetzt: 1.600,00 / 0,92 / 1,1 = 1.581, (Die Reihenfolge der Rechnungen nur mit Prozentfaktor irrelevant, da bei Multiplikationen das Vertauschungsgesetz gilt!!!) StR. Dipl.-Hdl. i. E. K. Glaesner 16

18 Übungsbuch für das 1. Semester Frank hat für sein Bike 595,00 bezahlt. Der Preis beinhaltet bereits die USt.. Wie teuer ist das Bike netto? StR. Dipl.-Hdl. i. E. K. Glaesner 17

19 Übungsbuch für das 1. Semester 8. Der Preis einer Ware wurde im Schlussverkauf um 25% gesenkt. Da der Artikel trotzdem nicht abgesetzt werden konnte, wird er erneut um 10% auf 133,65 reduziert. Wie hoch war der ursprüngliche Preis? 9. Die Herstellkosten eines Gutes betrugen 79,80. Wegen starker Produktionserhöhung und Prozessoptimierung sanken die Kosten in den folgenden drei Jahren um jeweils 4,80, 3,20 und 2, Wie viel % betrugen die Kostensenkungen jeweils jährlich? 2. Wie viel % macht die gesamte Kostensenkung in den drei Jahren aus? StR. Dipl.-Hdl. i. E. K. Glaesner 18

20 Übungsbuch für das 1. Semester IV. Kalkulationsarten 1. Handelskalkulation Die Kalkulation hat die Aufgabe, für die eingekaufte Ware aus dem Einkaufspreis den Verkaufspreis zu ermitteln, der alle Kosten deckt und die Erwirtschaftung eines Gewinns ermöglicht!!! Die Handelskalkulation wird dadurch gekennzeichnet, dass kein Produktionsprozess stattfindet, sondern die eingekaufte Ware an den Kunden mit Aufschlägen weitergereicht wird. Das Schema einer Handelskalkulation ist konstant in seiner Reihenfolge!!! Listeneinkaufspreis (netto) Liefererrabatt 5% *0,95 = Zieleinkaufs- oder Rechnungspreis 95 - Liefererskonto 2% *0,98 = Bareinkaufspreis 93,10 + Bezugskosten (ohne USt bzw. VSt) 30,00 +30,00 = Bezugs-, oder Einstandspreis 123,10 Interne Kalkulation + Geschäfts-, oder Handlungskosten 40% *1,40 = Selbstkostenpreis 172,34 + Gewinn 25% *1,25 = Barverkaufspreis 215,425 + Kundenskonto 2% Bezugskalkulation Verkaufskalkulation + Vertreterprovision 1,5% (2+1,5=3,5%) /0,965 = Zielverkaufs-, oder Rechnungspreis 223, Kundenrabatt 5% /0,95 = Listenverkaufspreis 234, Mehrwertsteuer *1,19 = Bruttoverkaufspreis 279, StR. Dipl.-Hdl. i. E. K. Glaesner 19

21 Übungsbuch für das 1. Semester Innerhalb der Bezugskalkulation ermittelt man den Bezugspreis. Dieser enthält alle einkaufsbezogenen Kosten und dient zum Angebotsvergleich. Die Aufschläge werden mit dem Prozentfaktor auf multipliziert und die Bezugskosten addiert!!! Nach Erreichen des Bezugspreises werden in der internen Kalkulation die Handlungskosten (Gemeinkosten) eingerechnet. Dies geschieht wiederum durch Multiplizieren. Nun folgt der Gewinnaufschlag per Multiplikation und es ergibt sich der Barverkaufspreis (Zahlbare Preis des Kunden netto unter Abzug von Rabatt und Skonto). Nun vollziehen wir einen Perspektivwechsel und kalkulieren aus Sicht der Kunden die Abzugsbeträge ein. Der Kunde sieht nur den Brutto-VK-Preis bzw. den Netto-VK-Preis und natürlich nicht die innerbetriebliche Kalkulation (Betriebsgeheimnis). Die Abzugsbeträge vom Kunden werden vorab in den VK-Preis eingerechnet. Nicht gezogenes Skonto und durch geschicktes Verhandeln nicht gegebener Rabatt steigern die Gewinnspanne des Händlers. Die obige Kalkulation lässt sich wie folgt zusammenfassen: (100*0,95*0,98+30)*1,40*1,25/0,965/0,95*1,19= 279, !!! Der ermittelte VK-Preis muss nur noch das Yieldmanagement und Prozesse der psychologischen Preissetzungen durchlaufen. StR. Dipl.-Hdl. i. E. K. Glaesner 20

22 Übungsbuch für das 1. Semester 2. Gastronomische Kalkulation / Inklusivpreismodell Materialkosten (netto) 1,24 + Gemeinkosten (120%) *2,2 = Selbstkosten 2,728 + Gewinnaufschlag in % (110%) *2,1 = Kalkulierter Preis 5, Umsatzbeteiligung (0,5%) 3 /0,995 =Nettoverkaufspreis 5, USt *1,19 = Inklusivpreis 6, Das Inklusivpreismodell zur einfachen Kalkulation in der Gastronomie ist eine einfache Zuschlagskalkulation, mit Ausnahme der Umsatzbeteiligung. Es ist zu kritisieren, dass sehr pauschale und undifferenzierte Aufschläge verwendet werden, daher ist in der jüngeren Vergangenheit eine Abkehr von dieser Art der Kalkulation eingetreten, hin zu elektronisch gestützten detaillierteren Methoden. 3 Zwei Mögliche Optionen: Umsatzbeteiligung auf Nettopreis oder Sondervereinbarung mit Mitarbeiter, das Umsatzbeteiligung als Aufschlag auf den Kalkulierten Preis gehandhabt wird!!! Hier klassische Umsatzbeteiligung auf Netto-VK-Preis!!! StR. Dipl.-Hdl. i. E. K. Glaesner 21

23 Übungsbuch für das 1. Semester 3. Produktionskalkulation Der Unterschied zur Handelskalkulation lässt sich vereinfacht darstellen, indem kein Durchreichen der Handelsware an den Kunden geschieht, sondern aus eingekauften Roh-, Hilfs- und Betriebsstoffe mit dem Einsatz von Personal und Anlagevermögen eigene Produkte entstehen und aus den eingekauften Materialien durch Veredelung und Schaffung eines Mehrwertes verkaufsfertige Ware erschaffen wird. Wie im obigen Beispielersichtlich ist, stellt sich ein leicht veränderter Aufbau des Schemas dar. Zu Beginn werden Material und Personalkosten getrennt und isoliert betrachtet. Der Aufschlag der jeweiligen Gemeinkosten wird mit der Multiplikation mit dem klassischen Prozentfaktor durchgeführt (s. o ,00 * 1,7 = ,00 ). Selbiges geschieht für die Fertigungslöhne. Zusammen ergeben beide Werte die Herstellkosten der Produktion, auf diesen nun die Gemeinkosten für Verwaltung und Vertrieb jeweils aufgeschlagen werden. Wenn beide Gemeinkostenarten prozentual bekannt sind, lassen sich diese zu einer Rechnung zusammenfassen. ( ,00 * 1,62 = ,60 ) StR. Dipl.-Hdl. i. E. K. Glaesner 22

24 Übungsbuch für das 1. Semester Die restliche Kalkulation folgt dem Handelskalkulationsschema und ist genauso zu ermitteln. Um genauere Erkenntnisse über die Wirtschaftlichkeit, Rentabilität und partiell Produktivität der Produktion und des Verkaufs zu erhalten, werden jeweils eine Vorkalkulation und eine Nachkalkulation durchgeführt. Dies bedeutet, dass zu Beginn mit voraussichtlichen Planwerten eine Vorkalkulation zur Verkaufspreiskalkulation durchgeführt wird und in der Nachbetrachtung werden die real eingetretenen Werte einbezogen und es wird die Vorteilhaftigkeit des z. B. Projektes/Charge usw. ermittelt. Veränderte Einkaufspreise bzw. Skontierungen und Rabattierungen fließen in die Nachkalkulation ein und die exakte Wirtschaftlichkeit (Gewinnspanne!!!) kann im Nachgang errechnet werden. Dies dient auch zur Überprüfung des Produktportfolios, so dass unwirtschaftliche Artikel verändert oder gestrichen werden können, um den wirtschaftlichen Erfolg zu maximieren/optimieren. StR. Dipl.-Hdl. i. E. K. Glaesner 23

25 Übungsbuch für das 1. Semester 4. Kalkulationsübungen 1. Bitte errechnen Sie folgenden Wert: Verkaufsprovision Vorgaben: Bruttoeinkaufspreis: 6500 Mehrwertsteuer: 19 % Lieferantenrabatt: 9 % Lieferantenskonto: 1.5 % Bezugskosten: 990 Gemeinkostenzuschlag: 68 % Gewinnaufschlag: 35 % Kundenskonto: 4 % Verkaufsprovision:??? % Kundenrabatt: 0 % Bruttoverkaufspreis: Bitte errechnen Sie folgenden Wert: Bruttoeinkaufspreis Vorgaben: Bruttoeinkaufspreis:??? Mehrwertsteuer: 19 % Lieferantenrabatt: 5 % Lieferantenskonto: 1.5 % Bezugskosten: 60 Gemeinkostenzuschlag: 87 % Gewinnaufschlag: 97 % Kundenskonto: 3.5 % Verkaufsprovision: 0 % Kundenrabatt: 16.5 % Bruttoverkaufspreis: Bitte errechnen Sie folgenden Wert: Kundenskonto Vorgaben: Bruttoeinkaufspreis: 300 Mehrwertsteuer: 19 % Lieferantenrabatt: 1.5 % Lieferantenskonto: 3.5 % Bezugskosten: 160 Gemeinkostenzuschlag: 5 % Gewinnaufschlag: 149 % Kundenskonto:??? % Verkaufsprovision: 2 % Kundenrabatt: 13.5 % Bruttoverkaufspreis: StR. Dipl.-Hdl. i. E. K. Glaesner 24

26 Übungsbuch für das 1. Semester 4. Bitte errechne den folgenden Wert: Kundenskonto Vorgaben: Fertigungsmaterial: Materialgemeinkostenzuschlag: 74 % Fertigungslöhne: Fertigungsgemeinkostenzuschlag: 164 % Verwaltungsgemeinkostenzuschlag: 58 % Vertriebsgemeinkostenzuschlag: 69 % Gewinnaufschlag: 155 % Kundenskonto:??? % Verkaufsprovision: 0 % Kundenrabatt: 4.5 % Mehrwertsteuer: 19 % Bruttoverkaufspreis: Bitte errechne den folgenden Wert: Gewinnaufschlag Vorgaben: Fertigungsmaterial: Materialgemeinkostenzuschlag: 136 % Fertigungslöhne: Fertigungsgemeinkostenzuschlag: 170 % Verwaltungsgemeinkostenzuschlag: 63 % Vertriebsgemeinkostenzuschlag: 72 % Gewinnaufschlag:??? % Kundenskonto: 4.5 % Verkaufsprovision: 1 % Kundenrabatt: 10.5 % Mehrwertsteuer: 19 % Bruttoverkaufspreis: Bitte errechne den folgenden Wert: Verwaltungsgemeinkostenzuschlag Vorgaben: Fertigungsmaterial: Materialgemeinkostenzuschlag: 39 % Fertigungslöhne: Fertigungsgemeinkostenzuschlag: 166 % Verwaltungsgemeinkostenzuschlag:??? % Vertriebsgemeinkostenzuschlag: 15 % Gewinnaufschlag: 66 % Kundenskonto: 0 % Verkaufsprovision: 2.5 % Kundenrabatt: 16 % Mehrwertsteuer: 19 % Bruttoverkaufspreis: StR. Dipl.-Hdl. i. E. K. Glaesner 25

27 Übungsbuch für das 1. Semester 5. Spezielle Fragestellungen und Übungsleistungsnachweise I. Berechnung der Handlungskostenzuschlagssatzes: Der Handlungskostenzuschlagssatz ist ein Gemeinkostenzuschlagssatz, der alle, dem Produkt, nicht direkt zurechenbare Kosten beinhaltet [Personalkosten; Raumkosten; Betr.-Steuern; Verwaltungskosten; Marketing]. Er wird ermittelt, um einen Verkaufspreis zu ermitteln, der alle Kosten überdeckt, egal ob Einzel- oder Gemeinkosten bzw. egal ob variable Kosten oder fixe Kosten. Berechnung: S GuV (Vorjahr) H Wareneinsatz ,00 Warenverkauf ,00 Personalkosten ,00 Raumkosten ,00 Betr.-Steuern ,00 Verw.-Kosten ,00 Gewinn ,00 Der nun ermittelte Zuschlag geht in die normale Kalkulation mit ein und muss bei veränderten Voraussetzungen für neue Kalkulationen angepasst werden. Die Intervalle sind durch die Geschäftsführung/Controlling festzulegen. StR. Dipl.-Hdl. i. E. K. Glaesner 26

28 Übungsbuch für das 1. Semester II. Übungsleistungsnachweise (1) 1. Sie wollen einen kleinen Shop mit Merchandisingartikel in Ihrem Hotel etablieren. Sie haben ein exklusives besticktes Handtuch im Angebot und bekommen dies für einen Bezugspreis von 12,90. S GuV (Vorjahr) H Wareneinsatz ,00 Warenverkauf (Umsatz) Personalkosten , ,90 Raumkosten 1.500,00 Betr.-Steuern 5.000,00 Verw.-Kosten 4.500,00 Gewinn Sie bieten den Kunden einen Rabatt, wenn Sie Hotelgast sind, in Höhe von 5% an und legen bei Barzahlung 1% an Skonto drauf. Ihr angestellter Mitarbeiter arbeitet auf reiner Umsatzbeteiligung und erhält einen prozentualen Anteil von 18%. Sie planen eine Gewinnspanne von 55% ein. Bei einer Bestellung von 2500 Stück fallen Lieferkosten von 125,00 an. Ihr Lieferant gewährt Ihnen 3% Skonto und einen mengenabhängigen Rabatt von 2,5%. Mögliche zu ermittelnde weitere Werte berechnen Sie und verwenden das auf zwei Stellen gerundete Ergebnis. a) Ermitteln Sie den Bruttolisteneinkaufpreis und geben Ihn auf zwei Stellen gerundet an. Schließen Sie das GuV-Konto ab! 3/ b) Ermitteln Sie den Selbstkostenpreis und geben Ihn auf zwei Stellen gerundet an. (mögliche weitere Rechnungen immer mit den ungerundeten Werten durchführen!!!) 3/ c) Ermitteln Sie den Bruttoverkaufspreis und geben Ihn auf zwei Stellen gerundet an. 5/ d) In der Nachkalkulation nach dem abgeschlossenen Monat bemerken Sie, dass sich die Lieferkosten auf 0,10 verändert haben und kein Kunde Skonto gezogen hat. Es haben nur Gäste Ihres Hauses die Handtücher erworben. Der Lieferant hat Ihnen einen zusätzlichen Treuerabatt von 1,5%. Wie verändert sich Ihre Gewinnspanne in und %? Starten Sie die Rechnung mit den auf zwei Stellen gerundeten Werten!!! 5/ e) Neue Situation: Durch eine Konkurrenzsituation ergibt sich, dass Sie nur noch einen Verkaufspreis (brutto) von 29,40 erzielen können. In Bezug auf die ursprüngliche Vorkalkulation, ohne die Veränderungen in d) zu berücksichtigen, lohnt sich der Verkauf weiterhin? Verwenden Sie die ermittelten gerundeten Ausgangswerte! Geben Sie entsprechende Zahlen zur Begründung an! 4/ StR. Dipl.-Hdl. i. E. K. Glaesner 27

29 Übungsbuch für das 1. Semester (2) Situationsbeschreibung für die gesamte Klausur: Das am Edersee gelegene Traditionshotel Zur Sonne war wegen Umbauarbeiten sechs Monate geschlossen. Es verfügt jetzt über 120 Zimmer, Tagungsräume, Sonnenterrasse, Wellness bzw. Kurangebote; Restaurant mit umfangreichem Fischangebot (200 Plätze). Ein umfangreiches Angebot aus der Frischküche ist Teil der Unternehmenspolitik. Sie sind Assistent/in der Geschäftsleitung und somit in die betrieblichen Entscheidungsprozesse eingebunden. 1. Im Rahmen der Neugestaltung der Preisstruktur des Hotels sind Sie beauftragt worden, die folgenden Lücken zu schließen. Ihr Vorgesetzter möchte zukünftige, wie auch bereits geschehene Preisveränderungen transparent aufgearbeitet bekommen. Ihn interessiert nur das Ergebnis, deshalb ist es unnötig einen Rechenweg anzugeben. Tragen Sie die entsprechenden Preise (Rundung auf zwei Stellen nach dem Komma!!!) in die leeren Felder ein und achten Sie darauf, dass Sie mit ungerundeten Werten weiterrechnen. A B C Ursprünglicher Preis 34,50 Erste Preisänderung [%] +7,49 +2,35-9,3 Preis nach Änderung 425,99 Zweite Preisänderung [%] -79,2-7,50 +9,3 Jetziger Preis 168,95 9/ StR. Dipl.-Hdl. i. E. K. Glaesner 28

30 Übungsbuch für das 1. Semester 2. Sie werden damit beauftragt den marktgerechten Wertverlust eines firmeneigenen Lieferwagens zu ermitteln bzw. die Wertentwicklung rückwirkend zu dokumentieren. Aus alten Aufzeichnungen erfahren Sie, dass der Lieferwagen im ersten Jahr 24% an Wert verloren hat, im zweiten Jahr 11% und im dritten Jahr 9%. Nach internen Papieren aus dem Controlling hat der Lieferwagen momentan einen Restbuchwert von ,75 (netto). Ermitteln Sie die ursprünglichen (netto) Anschaffungskosten des Lieferwagens und zeigen Sie, anhand nachvollziehbarer Rechenwege (kurz und präzise) und den jeweiligen Zwischenergebnissen (Wertentwicklung pro Jahr), wie sich die Wertentwicklung des Lieferwagens verhalten hat. Rechnen Sie mit ungerundeten Werten, geben Sie aber die Ergebnisse mit zwei Stellen nach dem Komma an. 6/ 3. Ein neuer Lieferant möchte nach den Umbauarbeiten bei Ihnen im Unternehmen gelistet werden und unterbreitet Ihnen deshalb ein besonderes Angebot für einen neuen Herd. Er bietet ihn für einen Bruttopreis von ,00 an. Um das Angebot interessant zu gestalten, bietet er Ihnen an 19% Rabatt zu geben, indem er Ihnen die Umsatzsteuer schenkt. a) Ermitteln Sie den Nettopreis des Herdes! (Rechenweg kurz und präzise) 1/ b) Sie erkennen einen elementaren Fehler im Angebot des Lieferanten. Ermitteln Sie (1) den Bruttopreis den der Lieferant Ihnen anbieten möchte und 1,5/ (2) den Bruttopreis, der Ihnen nach seinem Angebot zustehen würde (19% Rabatt) 1,5/ (3) die Differenz zwischen den beiden Preisen. 0,5/ c) Wie viel Rabatt würde Ihnen der Lieferant geben, wenn er Ihnen die Umsatzsteuer schenkt? Ermitteln Sie den Prozentsatz mit zwei Stellen hinter dem Komma! 1/ 4. Sie überholen Ihr Gesamtkonzept und möchten mit neu ausgerichteten Zimmern mehr Tagungsgäste ansprechen. Hierfür benötigen Sie pro Zimmer einen neuen Schreibtisch mit entsprechenden Anschlüssen. Sie holen bei Lieferanten folgende Angebote ein: Die Desktop OHG bietet Ihnen einen Listen-EK (pro Schreibtisch) von 195,63 netto an. Des Weiteren würden Sie dort eine Lieferung Frei Haus bekommen und könnten sich 2% Skonto abziehen. Die Table Ltd. Bietet Ihnen einen Listen-EK von 182,36 an. Des Weiteren wären 3% Skonto und 9% Rabatt einzurechnen. Die gesamten Bezugskosten betragen hier 2.685,00. Die Schreibwerk AG bietet Ihnen einen Listen-EK von 187,23 an. Des Weiteren sind 1,5% Skonto und 3% Rabatt einzurechnen. Die Bezugskosten betragen hier 540,00. a. Welches Angebot nehmen Sie an? (Belegen Sie Ihre Antwort mit ermittelten Zahlen! Runden Sie nur Ihr Endergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma!) 6/ 5. Das Traditionshotel möchte ältere Zahlen des Vorbetreibers reflektieren und auswerten. Im Jahr 2009 machte das Haus einen Umsatz von ,00, im Jahr ,76. Im Jahr 2009 hatten Sie einen Absatz von 6522 Zimmern, im Jahr Zimmer. a. Ermitteln Sie die prozentualen Veränderungen für den Umsatz, Absatz und den Preis. Runden Sie Ihr Endergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma. 6/ b. Beurteilen Sie die Handlungen des Vorbetreibers, die Reaktion des Marktes und den Erfolg dieser Aktion. 1/ StR. Dipl.-Hdl. i. E. K. Glaesner 29

31 Übungsbuch für das 1. Semester (3) Situationsbeschreibung für die gesamte Klausur: Das am Edersee gelegene Traditionshotel Zur Sonne war wegen Umbauarbeiten sechs Monate geschlossen. Es verfügt jetzt über 120 Zimmer, Tagungsräume, Sonnenterrasse, Wellness bzw. Kurangebote; Restaurant mit umfangreichem Fischangebot (200 Plätze). Ein umfangreiches Angebot aus der Frischküche ist Teil der Unternehmenspolitik. Sie sind Assistent/in der Geschäftsleitung und somit in die betrieblichen Entscheidungsprozesse eingebunden. Aufgabe 1. () 15P Im Rahmen der Neugestaltung der Preisstruktur des Hotels sind Sie beauftragt worden, die folgenden Lücken zu schließen. Ihr Vorgesetzter möchte zukünftige, wie auch bereits geschehene Preisveränderungen transparent aufgearbeitet bekommen. Ihn interessiert nur das Ergebnis, deshalb ist es unnötig einen Rechenweg anzugeben. Tragen Sie die entsprechenden Preise (Rundung auf zwei Stellen nach dem Komma) in die leeren Felder ein und achten Sie darauf, dass Sie mit ungerundeten Werten weiterrechnen. A B C Ursprünglicher Preis 11,75 Erste Preisänderung [%] +7,00 +2,35-6,70 Preis nach Änderung 425,99 Zweite Preisänderung [%] -11,00-17,50 +6,70 Jetziger Preis 168,95 StR. Dipl.-Hdl. i. E. K. Glaesner 30

32 Übungsbuch für das 1. Semester Aufgabe 2. () 7,5P Sie werden damit beauftragt den exakten Wertverlust eines firmeneigenen Lieferwagens zu ermitteln bzw. die Wertentwicklung rückwirkend zu dokumentieren. Aus alten Aufzeichnungen erfahren Sie, dass der Lieferwagen im ersten Jahr 19% an Wert verloren hat, im zweiten Jahr 12% und im dritten Jahr 11%. Nach internen Papieren aus dem Controlling hat der Lieferwagen momentan einen exakten Verkaufswert von ,75. Ermitteln Sie den ursprünglichen Kaufpreis des Lieferwagens und zeigen Sie, anhand nachvollziehbarer Rechenwege (kurz und präzise) und den jeweiligen Zwischenergebnissen (Wertentwicklung pro Jahr), wie sich die Wertentwicklung des Lieferwagens verhalten hat. Rechnen Sie mit ungerundeten Werten, geben Sie aber die Ergebnisse mit zwei Stellen nach dem Komma an. Aufgabe 3. () 7,5P Ein neuer Lieferant möchte nach den Umbauarbeiten bei Ihnen im Unternehmen gelistet werden und unterbreitet Ihnen deshalb ein besonderes Angebot für einen neuen Herd. Er bietet ihn für einen Bruttopreis von ,50 an. Um das Angebot interessant zu gestalten, bietet er Ihnen an 19% Rabatt zu geben, indem er Ihnen die Umsatzsteuer schenkt. a) Ermitteln Sie den Nettopreis des Herdes! (Rechenweg kurz und präzise) (1) b) Sie erkennen einen elementaren Fehler im Angebot des Lieferanten. Ermitteln Sie den Preis den der Lieferant Ihnen anbieten möchte und ermitteln Sie den Preis, der Ihnen nach seiner Aussage/Angebot zustehen würde und die Differenz zum eigentlich gemeinten Preis. Dokumentieren Sie den Rechenweg kurz und präzise und runden Sie die Endergebnisse auf zwei Stellen nach dem Komma. (5,5) c) Wie viel Rabatt würde Ihnen der Lieferant geben, wenn er Ihnen die Umsatzsteuer schenkt? Ermitteln Sie einen Prozentsatz mit zwei Stellen nach dem Komma! (1) StR. Dipl.-Hdl. i. E. K. Glaesner 31

33 Übungsbuch für das 1. Semester Lösungen zu den : Aufgaben Bruchrechnung [S. 8]: Aufgabe 1 a.) 1 4/15 b.) 19/60 c.) 3 4/7 d.) 7 11/35 e.) 5/8 Aufgabe 2 a.) 3/7 b.) 11/5 c.) 3/3 d.) 6/7 48/7 e.) 9/10 f.) 5/9 Aufgabe 3 a.) 1 b.) 3 1/9 c.) 1 22/27 d.) 4 2/9 e.) 40 Aufgabe 4 2/3 1/4 Aufgabe 5 Das ist ¼ davon als der 4. Teil. Aufgabe 6 1/6 hat das silberne Schwimmabzeichen. 1/5 hat das goldene Schwimmabzeichen. Aufgabe 7 Bei der Addition der Brüche bleibt der Nenner gleich. Bei der Multiplikation wird Nenner mal Nenner und Zähler mal Zähler gerechnet, also bleibt der Nenner nicht gleich. StR. Dipl.-Hdl. i. E. K. Glaesner 32

34 Übungsbuch für das 1. Semester Aufgabe 8: a) b) c) d) e) Aufgabe 9 a) b) c) d) e) Aufgaben Dreisatz [S. 13]: i. a) 81,6 // b) 15 ii. 19,2 h// 19h 12 min iii. 33,34 iv. Große Packung v. 14,88 vi. 24 Tage vii. 10 Tage viii. 21,04 ix. 83,40 x. 653 Aufgaben Prozentrechnung [S. 17]: StR. Dipl.-Hdl. i. E. K. Glaesner 33

35 Übungsbuch für das 1. Semester ,00 Aufgaben Prozentrechnung [S. 18]: ,00 9. a) 6,02%/4,27%/3,41% b)13,10% Aufgaben Kalkulation [S. 24]: 1. Verkaufsprovision ist 0/0% 2. Bruttoeinkaufspreis = 1.000,00 3. Kundenskonto = 1% 4. Kundenskonto = 0% 5. Gewinnaufschlag = 12% 6. Verwaltungsgemeinkostenzuschlag = 33% Aufgaben Übungsleistungsnachweise [S. 27] (1) a) Bruttoeinkaufspreis = 16,17 / GuV: Gewinn = 5.829,90 b) Selbstkostenpreis = 18,29 c) Brutto-VK-Preis = 43,84 d) Gewinnspanne in (10,61) in % (58,71); somit höhere Gewinnspanne als vorher!!! e) Ja; Gewinnspanne minimal: 3,94% // Gewinnspanne maximal: 10,76% StR. Dipl.-Hdl. i. E. K. Glaesner 34

36 Übungsbuch für das 1. Semester (2) 1) A 37,08/7,71 B 182,65/178,45 oder 178,46 C 469,67/465,61 2) ,27 3) a) ,00 / b) (1) ,00 (2) ,60 (3) 866,40 / c) 15,97% 4) a) Table Ltd. = ,30 5) a) Umsatzrückgang um 3,89%/Absatzrückgang um 11,01%/Preiserhöhung um 8% / b) Es wurde der Preis um 8% erhöht. Der Absatz ist dadurch eingebrochen um 11,01% und trotz erhöhtem Preis ist der Umsatz als Folge des massiven Absatzeinbruches um 3,89% gesunken! Kein vorteilhaftes Geschehen!!! (3) 1) A: 12,57/11,19 B: 204,79/200,09 C: 456,58/454,53 2) ,29 3) a) ,00 b) Bruttopreis Lieferer ,00 / zustehender Preis: ,58 c) 15,97% StR. Dipl.-Hdl. i. E. K. Glaesner 35

37 Übungsbuch für das 1. Semester Viel Erfolg beim weiteren an der WIHOGA! Links:.de Mathe-trainer.de Uebungs-aufgaben.de StR. Dipl.-Hdl. i. E. K. Glaesner 36