allgemeine Eigenschaften von Algorithmen (zur Erinnerung): Terminierung: Ergebnis liegt nach endlich vielen Schritten vor

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1 Kapitel A := α ω λ Programmierung A.1 Programm und Algorithmus A.2 Algorithmusdarstellungen A.3 Eigenschaften von Algorithmen O 2007 Andreas Behrend Informatik I 1 Eigenschaften von Algorithmen (1) allgemeine Eigenschaften von Algorithmen (zur Erinnerung): Terminierung: Ergebnis liegt nach endlich vielen Schritten vor Effizienz: "Wirtschaftlichkeit" des Aufwands relativ zu einem vorgege- benen Massstab (z.b. Laufzeit, Speicherplatzverbrauch) Determinismus: Ablauf des Verfahrens an jedem Punkt fest vorgeschrieben (keine Wahlfreiheit) Determinierheit: Identische Eingaben führen f stets zu identischen Ergebnissen Andreas Behrend Informatik I 2

2 Eigenschaften von Algorithmen (2) Eigenschaften von Algorithmen können k wie folgt klassifiziert werden: problemunabhängige Eigenschaften beziehen sich ausschließlich lich auf den betrachteten Algorithmus, nicht jedoch auf das Problem oder dessen Spezifikation (z.b. Endlichkeit, Determiniertheit, Rekursivität, t,...). problembezogene Eigenschaften sind dagegen für f r einen Algorithmus in Bezug auf die entsprechende Problemspezifikation erklärt rt (z.b. Effizienz, Korrektheit,...) Andreas Behrend Informatik I 3 Effizienz (1) Effizienz von Algorithmen a) Sequentielle Suche Eine geordnete Folge wird soweit von links nach rechts durchlaufen, bis der Vergleichsschlüsselwert sselwert k erstmalig kleiner oder gleich dem aktuellen Element k i ist. Dann ist k entweder an der betreffenden Stelle einzufügen oder der gesuchte Schlüsselwert k wurde gefunden. b) Binäre Suche Die Idee des Verfahrens besteht darin, das mittlere Element k M des zu durch- suchenden sortierten Intervalls zu bestimmen und je nach Ausgang des Vergleichs mit dem zu suchenden Wert k, die weitere Suche auf eines der entstandenen Teilintervalle (links bzw. rechts von Wert k M ) zu beschränken Andreas Behrend Informatik I 4

3 Effizienz (2) Sequentielle Suche ALGORITHMUS seq_suche; BEGIN Eingabe: k1,..., kn, k; i := 0; REPEAT i := i + 1 UNTIL (k ki) ) oder (i = n + 1); Ausgabe: i END; Folge [k 1,...k n ] wird im Mittel halb durchlaufen, bis man die gesuchte Position gefunden hat. Bei 1 Mio. Schlüsselwerte sind somit im Durchschnitt Schlüsselwerte zu inspizieren. Binäre Suche ALGORITHMUS bin_suche; BEGIN Eingabe: k1,..., kn, k; li := 0; re := n + 1; WHILE li < re - 1 DO M := (li( + re) ) DIV 2; IF k k M THEN re := M ELSE li := M END (* IF *) END (* WHILE *); Ausgabe: re END; Mit jedem Durchlauf wird die betrachtete Teilfolge halbiert. Bei 1 Mio. Schlüsselwerte würde das ca. 20 Durchläufe ufe implizieren Andreas Behrend Informatik I 5 Effizienz (3) Offenbar ist die binäre Suche deutlich effizienter als die sequentielle Suche. Dafür r kann die sequentielle Suche auch auf unsortierte Listen angewendet werden. Man kann den Effizienzunterschied mit Hilfe der Größ öße e der Eingabe auch allgemein verdeutlichen: Für r eine Folge [k 1,..., k n ] mit n > 0 benötigt sequentielle Suche im Durchschnitt n/2 aber die binäre Suche nur log 2 (n) Schritte. Genauere Effizienzuntersuchungen von Algorithmen erfolgt in Informatik III. Trotzdem ist die Effizienz eines Verfahrens i.a.. stark subjektiv und abhängig von der Problemspezifikation: - n Schritte sind relativ schlecht bei Suchproblemen - n Schritte wären super bei Sortieraufgaben 2007 Andreas Behrend Informatik I 6

4 Terminierung (1) Terminiertheit eines Algorithmus Ein Algorithmus heißt terminierend,, wenn er für f r jede Eingabe nach endlich vielen Schritten hält. h Beispiel eines nicht-terminierenden terminierenden Algorithmus: BEGIN Eingabe: n; REPEAT n := n + 1 UNTIL n = 50; Ausgabe: "fertig"; END; Der Algorithmus terminiert nur für ganzzahlige Eingaben n, die kleiner als 50 sind Andreas Behrend Informatik I 7 Terminierung (2) Die Eigenschaft der Terminiertheit impliziert, dass... 1) jede Anweisung in endlicher Zeit ausführbar sein muß. Beispiel: Eine nicht zulässige Operation wäre z. B. "Berechne Grenzwert der (unbeschränkten) Folge n (1 + 1/n)" 2) alle beteiligte Größ ößen endlich beschreibbar sind. Beispiel: Die Verwendung der rationalen Zahl 0.3 ist in dieser Form unzulässig. Aber: Ein hinreichend genaue Annäherung oder die Darstellung (1,3) als Bruchinterpretation kann als Alternative verwendet werden Andreas Behrend Informatik I 8

5 Terminierung (3) Oft ist mit der Korrektheit von Programmen die Terminiertheit verbunden! Aber: Der Nachweis der Terminiertheit ist i. A. nicht möglich. (bekannt als Halteproblem für f r Programme) Effizienz impliziert nicht Terminiertheit! Terminiertheit impliziert keine Praktikabilität! Beispiel: Auf eine DIN A4 Seite passen mindestens 2000 Zeichen und für jedes Zeichen kann man aus 256 Möglichkeiten wählen (Zeichen, Zahlen, Sonderzeichen und Umlaute). Insgesamt ergibt das =(2 8 ) 2000 = = mögliche Texte, die mit einem terminierenden Algorithmus systematisch erzeugt werden könnten. Das würde aber z.b. die geschätzte Zahl an möglichen Atomen im All (ca ) deutlich übertreffen, mit entsprechenden Konsequenzen für Platz- und Zeitaufwand des terminierenden Algorithmus Andreas Behrend Informatik I 9 Eindeutigkeit (1) Determinierte und Deterministische Algorithmen globale Eindeutigkeit: Ein Algorithmus heißt determiniert, falls er eine eindeutige Abhängigkeit der Ausgabedaten von den Eingabedaten garantiert. lokale Eindeutigkeit: Ein Algorithmus heißt deterministisch, falls die Wirkung bzw. das Ergebnis jeder einzelnen Anweisung eindeutig ist und an jeder einzelnen Stelle des Ablaufs festgelegt ist, welcher Schritt als nächstes auszuführen ist. Folgerung: Jeder deterministische Algorithmus ist determiniert Andreas Behrend Informatik I 10

6 Eindeutigkeit (2) nicht-deterministisches Verhalten von Algorithmen entsteht durch: Nicht-Determinismus in den Elementaroperationen, d.h. die Wirkung bzw. das Ergebnis einer Operation ist nicht eindeutig festgelegt. Nicht-Determinismus in den Ablaufstrukturen, d.h. die Ausführungsreihenfolge von Anweisungen ist nicht eindeutig festgelegt Andreas Behrend Informatik I 11 Eindeutigkeit (3) Im folgenden Algorithmus zur binären Suche wird die Mitte der betrachteten Teilfolge nicht berechnet, sondern nicht-deterministisch aus {li+1,..., re-1} gewählt: ALGORITHMUS bin_suche_ndet BEGIN Eingabe: k1,..., kn, k; li := 0; re := n + 1; WHILE li < re - 1 DO "Wähle M {li + 1,...,re - 1}"; IF k k M THEN re := M ELSE li := M END (* IF *) END (* WHILE *); Ausgabe: re END; 2007 Andreas Behrend Informatik I 12

7 Eindeutigkeit (4) Der Algorithmus bin_suche_ndet ist nicht-deterministisch! ("Auswahl" ist elementare Operation ohne eindeutig bestimmtes s Ergebnis) Der Algorithmus bin_suche_ndet ist determiniert! (Ausgabe hängt h in eindeutiger Weise von Eingabe ab) weiteres Beispiel für Nicht-Determinismus: Randomisierte Algorithmen IF B1 THEN F1 /B2 THEN F2... /Bn THEN Fn ELSE Fn+1 END (* IF *) B i : boolesche Bedingungen, potentiell mehrere gleichzeitig wahr F j : Anweisungen wird beliebig für f r eine wahres B i gewählt 2007 Andreas Behrend Informatik I 13 Eindeutigkeit (5) Motivation für f r die Verwendung nicht-deterministischer Algorithmen: Nichtdeterminismus spielt ein wichtige Rolle bei Komplexitäts ts- abschätzungen von Algorithmen (wird im Rahmen der Info III- Veranstaltung genauer betrachtet). Randomisierte Algorithmen sind in vielen Fällen F einfacher zu implementieren und effizienter als deterministische Versionen zum Lösen des gleichen Problems (z.b. Primzahltest nach Soloway/Strassen) Andreas Behrend Informatik I 14

8 Rekursion (1) Rekursive Algorithmen Ein Algorithmus heißt rekursiv, wenn er sich selbst wieder verwendet. direkte Rekursion: Algorithmus ruft sich selbst wieder auf indirekte Rekursion: geg. mehrere Algorithmen A 1,...,A n (n > 1) und A 1 calls A 2 A 2 calls A 3... A n-1 calls A n A n calls A Andreas Behrend Informatik I 15 Rekursion (2) Beispiel: indirekte Rekursion für den Test, ob eine Zahl gerade oder ungerade ist ALGORITHMUS ungerade (n) BEGIN IF n = 0 THEN RETURN FALSE ELSE RETURN gerade(n-1) END (* IF *) END; ALGORITHMUS gerade (n) BEGIN IF n = 0 THEN RETURN TRUE ELSE RETURN ungerade(n-1) END(* IF *) END 2007 Andreas Behrend Informatik I 16

9 Rekursion (3) Beispiel: direkte Rekursion für die binären Suche ALGORITHMUS bin_suche_rek (Li, Re) (* durchsucht k Li+1,...,k Re-1 nach Schlüsselwert k *) BEGIN IF Li < Re - 1 THEN M := (Li + Re) DIV 2; IF k k M THEN RETURN bin_suche_rek (M,Re) ELSE RETURN bin_suche_rek (Li,M) END (* IF *) ELSE RETURN Re END (* IF *) END Erster Aufruf: bin_suche_rek (0, n+1) 2007 Andreas Behrend Informatik I 17 Rekursion (4) jeder rekursive Algorithmus iterativ dargestellbar (z.b.: bin_suche_rek(x,y) mittels iterativen bin_suche) rekursive Lösungen oft eleganter (kürzer) und verständlicher rekursive Algorithmen aber nicht zwangsläufig effizienter (wegen des Verwaltungsaufwands für die rekursiven Aufrufe) rekursiv definierte Funktionen / Prädikate wichtig bei der funktionalen / logischen Programmierung 2007 Andreas Behrend Informatik I 18

10 Parallelität (1) Paralelle Algorithmen ein Prozessor => streng sequentielle Ausführung mehrere Prozessoren => gleichzeitige Ausführung verschiedener Teile eines Algorithmus eventuell möglich Ein Algorithmus heißt parallel, wenn er so in Teilaufgaben aufgeteilt ist, dass diese gleichzeitig durch verschiedene Prozessoren ausgeführt werden können. sequentiell Prozessor 1: x := SQRT(3); y := log 2 (53); Prozessor 1: x := SQRT(3); parallel Prozessor 2: y := log 2 (53); 2007 Andreas Behrend Informatik I 19 Parallelität (2) Beispiel: Sequentielles Suchen in einer sortierten Liste (parallel) Beispiel: parallele Organisation einer lineare Suche in sortierter Liste Start Eingabe: k 1,..., k n, k m := n DIV 2 i := 0 j := m Parallelphase i := i + 1 j := j + 1 nein k k i nein oder i = m + 1 k k j oder j = n + 1 ja ja hier Vorteile bei der Visualisierung mittels Programmablaufplan nein i = m + 1 ja Ausgabe: i Ausgabe: j Stop Start 2007 Andreas Behrend Informatik I 20

11 Kapitel B λ := Funktionale Programmierung Kapitel B O O 2007 Andreas Behrend Informatik I 21 Prinzip des funktionalen Programmierens Programm Funktionsdefinition n! = 1 falls n = 0 n (n-1)! falls n > 0 2! 2 (2-1)! 2 1! 2 1 (1-1)! 2 1 0! 2 (1 1) vordefinierte Operatoren Fakultätsfunktion tsfunktion Eingabe: : auszuwertender Term (wiederholte) Funktionsanwendung Ausgabe: : resultierender Funktionswert 2007 Andreas Behrend Informatik I 22

12 Ideal der deskriptiven Programmierung Funktionale Programmierung ist eine spezielle Form der deskriptiven Programmierung??? Was? Problem Prozess- spezifikation Problem- spezifikation menschliche Intelligenz maschinelle Intelligenz deskriptiv Prozess imperativ Wie? 2007 Andreas Behrend Informatik I 23 Wichtige funktionale Sprachen im historischen Überblick 1960 LISP 1959, McCarthy (MIT/USA) 1970 Scheme 1975, Sussman/Steele (MIT/USA) ML Miranda Haskell 1980, Milner (Edinburgh/GB) 1985, Turner (Canterbury/GB) 1987, Hudak/Wadler (Yale/USA) 2000 Haskell Andreas Behrend Informatik I 24

13 Haskell: die modernste funktionale Sprache in dieser Vorlesung verwendete Sprache: Haskell Haskell ist zur Zeit die modernste funktionale Programmiersprache: erste Entwürfe 1987 vorgelegt aktueller Sprachstandard: Haskell 98 gemeinsame Initiative vieler führender f Wissenschaftler zahlreiche Spracherweiterungen verfügbar Haskell ist gut dokumentiert und in leistungsfähigen "Freeware"- Implementierungen verfügbar Haskell-Interpretierer: Hugs Haskell-Compiler: GHC viele weitere nützliche n Informationen auf der Haskell-Homepage Homepage: //haskell.org 2007 Andreas Behrend Informatik I 25 Literatur zu Haskell Lehrbücher cher: R. Bird: "Introduction to Functional Programming using Haskell", Prentice Hall, 1998 A. Davie: : "Introduction to Functional Programming Systems using Haskell", Cambridge University Press, 1992 P. Hudak: "The Haskell School of Expression", Cambridge University Press, 2000 S. Thompson: "Haskell - The Craft of Functional Programming", Addison Wesley, 1999 einführender Artikel: P. Hudak: "A Gentle Introduction to Haskell" 2007 Andreas Behrend Informatik I 26

14 Wofür steht "Haskell"? Namen von Programmiersprachen sind oft Akronyme (z.b. COBOL, FORTRAN, BASIC) Der Name "Haskell" dagegen leitet sich von einer Person her: Haskell B. Curry ( ) amerikanischer Logiker 2007 Andreas Behrend Informatik I 27 Was bedeutet das Lambda-Symbol? Alonzo Church (1941): "The Calculi of Lambda-Conversion" Churchs "Lambda-Kalk Kalkül" l" bildet die theoretische Basis aller heutigen funktionalen Sprachen λ - Ausdr zentrales Konzept: Ausdrücke bezeichnen namenlose Funktionen z.b.: λ (x) : x + 1 λ "diejenige (unäre)) Funktion, die ihren einzigen Parameter um eins erhöht" ht" Bezeichner "λ"" ähnelt anderen neuen Konzepten der Logik im frühen 20. Jahrhundert Hilbert'sches η (eta): "irgendein Objekt, welches..." Russell'sches ι (iota): "dasjenige Objekt, welches..." 2007 Andreas Behrend Informatik I 28

15 Hugs - ein Interpretierer für Haskell Hugs (Haskell Users Gofer System) eine andere funktionale Sprache Haskell "Befehle" Befehle" lassen sich ausführen mit Hilfe eines Software- systems, das eingegebene Befehle sofort ausführt ("interpretiert interpretiert") Hugs ist ein Interpretierer für r Haskell Hugs kennt viele vordefinierte Funktionen und kann zudem mit Haskell- Programmen "programmiert" werden, eine Vielzahl von Funktionen auszuführen hren,, die ein Haskell-Nutzer (engl.: user) im Sinn hat Andreas Behrend Informatik I 29 Hugs - Hauptfenster (in der Windows-Version) 2007 Andreas Behrend Informatik I 30

16 "Taschenrechnerprinzip" In seiner einfachsten Form kann der Haskell-Interpretierer als "intelligenter Taschenrechner" genutzt werden: Eingabe: : auszuwertender Ausdruck > 3 ( ) Ausgabe: : resultierender Wert Haskells Strategie 3 ( ) => 3 9 => 27 => 27? verschiedene "Abarbeitungsalgorithmen" Abarbeitungsalgorithmen" denkbar 3 ( ) => ( 3 4 ) + ( 3 5) => 12 + ( 3 5) => => 27 => 2007 Andreas Behrend Informatik I 31 Hugs als "Taschenrechner" 2007 Andreas Behrend Informatik I 32

17 Eine erste selbstdefinierte Funktion! Formulierung des selben Berechnungsprinzips für f beliebige Grössen x, y und z durch Einführen einer neuen Funktion: mal_plus ( x, y, z ) = x ( y + z ) Die neu eingeführte Funktion "mal_plus" abstrahiert das Berechungsschema vom Einzelfall auf den allgemeinen Fall. Anwendung der neuen Funktion auf unterschiedliche konkrete Parameterkombinationen: > mal_plus ( 3, 4, 5 ) 27 > mal_plus ( -7, -2, 12 ) Andreas Behrend Informatik I 33 Hugs als programmierbarer Taschenrechner Laden der Datei Malplus.hs Anwenden der Funktion mal_plus 2007 Andreas Behrend Informatik I 34

18 Funktionsdefinition prinzipieller Aufbau einer (einfachen) Funktionsdefinition definition: Name der definierten Funktion zu lesen als: = def mal_plus ( x, y, z ) = x ( y + z ) formale Parameter (hier: 3 Variablen) definierender Ausdruck 2007 Andreas Behrend Informatik I 35 Korrekte und inkorrekte Funktionsdefinitionen Das Prinzip des Aufbaus von Funktionsdefinitionen sieht sehr einfach aus. Aber... 1) gibt es viel kompliziertere Definitionsarten 2) gibt es einige grundsätzliche Einschränkungen nkungen fürf zulässige/korrekte F.definitionen in Haskell Hier zwei der wichtigsten: Auf der linken Seite einer definierenden Gleichung dürfen d keine auswertbaren Ausdrücke vorkommen, sondern nur Variablen und Konstanten. f(1, x y) ) = x 3 falsch f(x,1) = x 3 richtig Auf der rechten Seite einer definierenden Gleichung dürfen d nur Variablen vorkommen, die auch links vorkommen. f(x) = x y falsch f(x,y) = x y richtig 2007 Andreas Behrend Informatik I 36

19 Funktionsapplikation Funktionen werden aktiviert durch Eingabe eines Ausdrucks, der ausgewertet werden sollen: Funktionsapplikation generelles Format von Applikationen: (wörtlich: F.anwendung anwendung) mal_plus ( 3, 4, 5 ) anzuwendende Funktion aktuelle Parameter Andreas Behrend Informatik I 37 Korrekte und inkorrekte Funktionsapplikationen Auch für f r Funktionsapplikationen gibt es "Spielregeln". Die wichtigste ist: i In Funktionsapplikationen dürfen d keine Variablen auftreten. mal_plus(1, 2, x y) falsch mal_plus(1, 2, 4 3) richtig Aber Applikationen dürfen d andere Applikationen als Parameter enthalten (Schachtelung von Applikationen), z.b.: mal_plus(1, 2, mal_plus(5, 4, 3)) richtig 2007 Andreas Behrend Informatik I 38

20 Reduktion elementarer Auswertungsschritt für f r Applikationen: Reduktion Reduzieren eines auszuwertenden Ausdrucks bedeutet Anwenden einer Funktionsdefinition auf diesen Ausdruck mal_plus ( 3, 4, 5 ) Parameterübergabe mal_plus ( x, y, z ) = x ( y + z ) 3 ( ) 2007 Andreas Behrend Informatik I 39 Operatoren in der Mathematik: : verschiedene Notationsformen für f r Ausdrücke Präfix - Notation sin(5) Infix - Notation (nur für f r binäre Funktionen) Postfix - Notation n! in der funktionalen Programmierung: : nur Präfix fix- und Infixnotation üblich, z.b. Präfix mal_plus ( x, y, z ) = x ( y + z ) Infix Bezeichnung für f r Funktionen, die in Infixnotation verwendet werden können: Operatoren 2007 Andreas Behrend Informatik I 40

21 Eine "komplizierte" Funktionsdefinition Eine Funktion zum Approximieren von reellen Zahlen: approxrational :: RealFrac a => a -> > a -> > Rational approxrational x eps = simplest (x-eps)) (x+eps( x+eps) where simplest x y y < x = simplest y x x == y = xr x > 0 = simplest' ' n d n' d' y < 0 = - simplest' ' (-n')( d' (-n)( d otherwise = 0 :% 1 where xr@(n:%d) ) = torational x (n':%d') = torational y simplest' ' n d n' d' -- assumes 0 < n%d < n'%d' r == 0 = q :% 1 q /= q' = (q+1) :% 1 otherwise = (q*n''+d'') :% n'' where (q,r) = quotrem n d (q',r') = quotrem n' d' (n'':%d'') = simplest' ' d' r' d r 2007 Andreas Behrend Informatik I 41 Fakultätsfunktion in Haskell in "mathematischer Notation" n! = 1 falls n = 0 n (n-1)! falls n > 0 Fakultätsfunktion tsfunktion fakultät(n t(n) n==0 = 1 n > 0 = n fakultät(n t(n-1) in Haskell "Wächter" (engl.: "guards) Boolesche (ja/nein)-ausdr Ausdrücke 2007 Andreas Behrend Informatik I 42

22 Varianten der Notation der Fakultätsfunktion fakultät(n t(n) n==0 = 1 n > 0 = n fakultät(n t(n-1) ist eine Abkürzung für f r die Notation fakultät(n t(n) n==0 = 1 fakultät(n t(n) n > 0 = n fakultät(n t(n-1) noch eine Notationsvariante: fakultät(0) t(0) = 1 fakultät(n t(n) n > 0 = n fakultät(n t(n-1) 2007 Andreas Behrend Informatik I 43 Funktionsdefinition mit mehreren Fällen fakultät(0) t(0) = 1 fakultät(n t(n) n > 0 = n fakultät(n t(n-1) Die Definition von 'fakult' fakultät' ist ein erstes Beispiel für eine Funktions- definition mit mehreren Fällen. Hugs arbeitet die Fälle von oben nach unten ab und versucht,, den ersten "passenden"" (engl( engl.: "to match") Fall zu finden ("pattern matching") "Passt" ein Fall, dann wird die "Wächterbedingung" ausgewertet. Ergibt sich 'wahr', dann wird dieser Fall gewählt und der Funktions- wert berechnet. Ansonsten sucht Hugs weiter - findet er keinen Fall, der zutrifft (partielle Funktion) liefert Hugs eine Fehlermeldung ab. Funktionsdefinitionen sind nur dann zulässig ssig, wenn es für jede mögliche Applikation der Funktion nur genau einen Fall gibt, der auf diese Appli- lation "zutrifft""! (Funktionseigenschaft( Funktionseigenschaft: eindeutige Bilder) 2007 Andreas Behrend Informatik I 44

23 Fakultätsfunktion - Wachstum Die Fakultätsfunktion tsfunktion wächst w relativ rasch: n fakultät(n t(n) Andreas Behrend Informatik I 45 Zwei "klassische" Funktionen, die mit Vorsicht zu geniessen sind Die Fibonacci-Funktion Funktion - benannt nach dem italienischen Mathematiker Fibonacci (13. Jahrhundert): fib(0) = 1 fib(1) = 1 fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2) Die Ackermann-Funktion - "erfunden" von den deutschen Mathematikern Hilbert und Ackermann anfang des 20. Jahrhunderts: ack(0, n) = n+1 ack(m,, 0) = ack((m-1), 1) ack(m,, n) = ack((m-1), (ack(m( ack(m,, (n-1))) 2007 Andreas Behrend Informatik I 46

24 Ulam's Funktion - eine noch "gefährlichere" Funktion Eine "harmlose" numerische Funktion, die es "in sich hat" - vorgeschlagen von dem Mathematiker S. Ulam: ulam(1) = 1 ulam(n) even(n) = ulam(n 'div'' 2) otherwise = ulam(3*n + 1) even (engl.): gerade - vordefinierte Funktion, die testet, ob eine ganze Zahl gerade oder ungerade ist div: : vordefinierter Operator zur ganzzahligen Division (mit Rest, der unterdrückt wird) otherwise (engl.): sonst - vordefinierte Testfunktion, die immer wahr ist (dient zum "lesbaren" Beenden von Fallunterscheidungen) 2007 Andreas Behrend Informatik I 47