Mathematik I - Woche 2

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1 Mathematik I - Woche 2 Philip Müller 1 Komplexe Zahle Die komplexe Zahle sid eie Erweiterug der reelle Zahle. Mit ihe zu reche braucht Gewöhug, sehr viele Dige, die ma über Zahle zu wisse glaubt gelte bei ihe icht mehr. Die wichtigste Eigeschaft ist, dass es keie eideutige Ordugsrelatio, sprich <,, > ud mehr gibt. 1.1 Aatomie eier komplexe Zahl Eie komplexe Zahl z = x + iy besteht aus zwei Teile. x = R(z) Der Realateil der komplexe Zahl. Sie gibt a wie reell eie Zahl ist. Der Realateil ist das, was Ihr uter dem Begriff der reelle Zahl ket. y = I(z) Der Imagiärteil der komplexe Zahl. Sie gibt a, wie imagiär die Komplexe Zahl ist. Es ist wichtig, dass der Imagiärteil der Zahl eie reelle Zahl ist, keie imagiäre Zahl. 1 Dieser Teil der Zahl ist eu. 1.2 Wie muss ich mir eie komplexe Zahl vorstelle Um diese Frage zu beatworte, muss ma sich zuerst im klare sei, wie ma sich eie reelle Zahl vorstelle muss. Das Eifachste ist sich die reelle Zahle, R, als eie Gerade vorzustelle. Auf dieser Gerade sid die reelle Zahle aufsteiged geordet. Eie reelle Zahl, ka mach sich da als eie Pukt auf dieser Gerade vorstelle. Dieser Pukt, wird durch de Abstad zu 0 charakterisiert, egative ud positive Zahle, werde dadurch uterschiede, ob sie vor oder ach der 0 komme. Die komplexe Zahle, C, ka ma sich als Ebee vorstelle. Wir ehme eie Gerade, die imagiäre Achse ud lasse diese Sekrecht die reelle Achse im Pukt 0 scheide. Nu habe wir eie Ebee. Ei Pukt i dieser Ebee, ist eie komplexe Zahl. 1.3 Darstellug vo komplexe Zahle Es gibt zwei Arte komplexe Zahle darzustelle. Beide habe Vorteile ud Nachteile Kartesische Darstellug Bei der kartesische Darstellug, beützt ma de real ud de imagiär Teil, um die komplexe Zahl darzustelle. Was (leider) oft vergesse geht, ist, dass Real- ud Imagiärteil beides reelle Zahle sid. I Abbildug 1 ist R(z) = a der Realteil vo z ud I(z) = b der Imagiärteil vo z. Dabei ka ma sich de Real- ud Imagiärteil, auch als Koordiate vorstelle. Der Realteil ist die x-koordiate ud der Imagiärteil ist die y-koordiate. Der Vorteil dieser Darstellug ist, dass Additioe sehr eifach sid, Multiplikatioe allerdigs icht so trivial sid. z 1 = x 1 + iy 1 z 2 = x 2 + iy 2 z 1 + z 2 = x 1 + iy 1 + x 2 + iy 2 = (x 1 + x 2 ) + i (y 1 + y 2 ) z = re φi = r (cos(φ) + i si(φ)) Abbildug 1: Hier, die beide Darstelluge. Quelle: Wikipedia 1 Die imagiäre Zahle ir habe icht die gleiche Eigeschafte wie die reelle Zahle. So ist das Produkt vo zwei imagiäre Zahle eie reelle Zahl ud keie imagiäre Zahl! 2 Je ach de was ihr braucht, ist die eie oder die adere Art besser geeiget. 1

2 1.3.2 Polardarstellug Hier hat ma auch zwei reelle Zahle, die die komplexe Zahl beschreibe. Die eie Zahl ist der Betrag z der komplexe Zahl. Der Betrag, eier komplexe Zahl, ka ma auffasse als: Wie weit ist die Zahl z vom Ursprug, also der Zahl 0 etfert. Ma schreibt r = z. Das Problem, dass ma u hat ist, dass dieser Wert icht eideutig ist. De ifrage komme alle Zahle, die sich auf eiem Kreis, mit dem Radius z, um de Ursprug befide. Wir brauche also och eie zweite Zahl. Diese zweite Zahl ist das sogeate Argumet vo z, ma schreibt φ = arg(z), wobei φ das Argumet ist. We ma sich vorstellt, dass ma im Ursprug steht, ud ma eie Stab, der Läge z hat ud ih u ausgehed vo der x-achse ach liks bewegt. Da ist das Argumet vo z, gleich dem Wikel bei dem der Stab auf die Zahl zeigt. I dieser Darstellug sid Multiplikatioe eifacher, aber Additioe aufwediger. Obwohl diese Darstellug relativ ugewoht ist, empfehle ich euch, dass ihr euch mit ihr vertraut macht. z 1 = r 1 e iφ1 = r 1 (cos φ 1 + i si φ 1 ) z 2 = r 2 e iφ2 = r 2 (cos φ 2 + i si φ 2 ) z 1 z 2 = r 1 r 2 e i (φ1+φ2) = r 1 r 2 { cos(φ 1 + φ 2 ) + i si(φ 1 + φ 2 ) } z = re φi = r (cos(φ) + i si(φ)) = x + iy x = r cos φ y = r si φ { z = x + iy r = z z = x 2 + y 2 arccos( a φ = arg(z) = r ), für y 0 arccos( a r ), für sost Bestimme des Argumetes - Praktische Tipps Ich gebe Euch hier u eie praktische Tipp, wie ihr das Argumet sicher bestimme köt. Zeichet es auf! Ud da sucht Ihr Dreiecke. Auch rate ich Euch, ur i eiem Quadrate zu arbeite. Dies ermöglicht Euch ur mit positive Zahle zu arbeite. Der Grud dafür ist, dass die Umkehrfuktioe der trigoometrische Fuktioe ur i eiem sehr beschräktem Bereich defiiert sid. Die Abkürzug cis(φ) Wie ihr sicherlich gesehe hab, kommt bei der Polarform, immer wieder der Term cos φ + i si φ vor. Darum habe sich die Mathematiker 3 was ausgedacht. Dabei hadelt es sich um cis(φ), dies ist defiiert als, cis(φ) = cos(φ) + i si(φ). Ich werde mich a diese Kovetio vo u a halte. 1.4 Wa ehme ich was? Wie Ihr gesehe habt, ist Multipliziere/Dividiere, sowie das Radiziere 4 /Poteziere i Polarkoordiate super eifach. Jedoch ist das Addiere ud Subtrahiere i Polarkoordiate sehr aufwedig. I kartesische Koordiate, ist es geau aders herum. Also we Ihr mehr Multipliziere müsst, als Addiere, ehmt die Polardarstellug, we Ihr mehr Addiere müsst ehmt die Kartesischeform Der Betrag eier komplexe Zahl Der Betrag eier reelle Zahl x, geschriebe als x, ist x selber we x 0 oder x. I jedem Fall ist x positiv oder Null. Nu was ist der Betrag eier komplexe Zahl? Der reelle Betrag ka ma sich als Abstad der Zahl x vo Null vorstelle. Diese Vorstellug trifft auch auf de komplexe Betrag zu! We wir us Bild 1 aschaue ud us a Pythagoras erier fide wir: z = x + iy = x 2 + y 2 (1) Was auch gleich r aus der Polardarstellug etspricht. Es gibt och eie adere Form der Darstellug, die etwas mathematischer ist: Wobei z das komplex kojugierte vo z ist, siehe abschitt 2.1 auf Seite 3. 3 Mathematiker sid schreibfaul. 4 Wurzelzihe z = z z (2) 2

3 2 Reche mit komplexe Zahle Wie im Abschitt 1.3 scho etwas agedeutet, habe komplexe Zahle komische Recheregel. Im folgede, werde die icht triviale Operatioe, dargestellt. 2.1 Komplexe Kojugatio Diese Operatio ist etwas komisch. Sie ist aber sehr wichtig als Hilfsoperatio. Das komplex Kojugierte eier Zahl z, wird geschriebe als z. Sie bewirkt, dass das Vorzeiche des Imagiärteils der Zahl gedreht wird ud NUR das. Das Vorzeiche, des Realteiles bleibt uberührt. Es gibt auch eie Satz Recheregel, die die Kojugatio betreffe. 2.2 Divisio z = x + iy = re iφ z = x iy = re iφ z 1 + z 2 = z 1 + z 2 z 1 z 2 = z 1 z I kartesische Koordiate Bei der Divisio, i kartesische Koordiate, utzt ma die Defiitio des Betrages, eier komplexe Zahl aus, sowie die komplexe Kojugatio. Im Grude beutzt ma wieder eie Erweiterugstrick, mit der dritte Biomische Formel. 1 x + iy = 1 z = 1 z 1 = 1 z = z z z z z = z z 2 = x + iy x 2 + y 2 = x iy x 2 + y 2 (3) Ma sieht das der Gleichug (3), dass der Neer eie reelle Zahl ist, also etwas ist, durch das wir wisse wie ma sie teilt I Polarkoordiate wie obe zu sehe ist Teile i der kartesische Darstellug icht so eifach. I Polarkoordiate ist sie sehr elegat. De hier Dividiere sich die Beträge, also das r, was ja ihrem Abstad zum Ursprug etspricht ud ihre Argumete subtrahiere sich. Dies liegt dara, dass ma die Potezgesetze awede ka. z 1 = r 1 e iφ1 z 2 = r 2 e iφ2 z = z 1 = r 1 exp [iφ 1 ] z 2 r 2 exp [iφ 2 ] = r 1 eiφ1 r 2 e = r 1 e iφ1 e iφ2 = r 1 e i(φ1 φ2) (4) iφ2 r 2 r 2 ( ) z1 = arg(z) = arg = arg(z 1 ) arg(z 2 ) = φ 1 φ 2 z = z 1 = z 1 z 2 = r 1 (5) r 2 z 2 Achtug, das Ergebis i Gleichug (5) sieht eifach aus, aber es hat grosse Gefahre. Nämlich muss ma immer darauf achte, dass das Argumet vo z, arg(z), immer im erlaubte Bereich vo [0, 2π) bleibt, bzw. am Ede wieder dort ist. Gleichug (5) sagt us, dass das Argumet eies Quotiete au zwei komplexe Zahle, gleich der Differez der beide Argumete ist, wobei ma, das Argumet des Zähler mius des Argumets des Neer rechet. Der Betrag des Quotiete, etspricht auch dem Quotiete vom Betrag des Zählers ud dem Betrag es Neers. 2.3 Multiplikatio Auch hier ka ma die Multiplikatio i polar oder kartesische Koordiate mache Kartesische Koordiate I kartesische Koordiate, ist die Multiplikatio icht so Elegat. Hier muss ma die Klammer eifach ausreche. Was hier sehr wichtig ist, ist dass i 2 = 1 ist. Dies ist eie Falle, i die ma oft tritt. z 1 = x 1 + iy 1 z 2 = x 2 + iy 2 z = z 1 z 2 = (x 1 + iy 1 ) (x 2 + iy 2 ) = x 1 x 2 + iy 2 x 1 + iy 1 x 2 + i 2 y 1 y 2 = x 1 x 2 + i(y 2 x 1 + y 1 x 2 ) + y 1 y 2 = x 1 x 2 y 1 y 2 + i(y 2 x 1 = R(z) = R(z 1 z 2 ) = x 1 x 2 + y 1 y 2 I(z) = I(z 1 z 2 ) = y 2 x 1 + y 1 x 2 z 2 3

4 2.3.2 Polar Koordiate Die Multiplikatio, ist wie die Divisio i polar Koordiate, sehr elegat. z 1 = r 1 e iφ1 z 2 = r 2 e iφ2 z = z 1 z 2 = r 1 e iφ1 r 2 e iφ2 = r 1 r 2 e iφ1 e iφ2 = r 1 r 2 e i(φ1+φ2) (6) = arg(z) = arg(z 1 z 2 ) = arg(z 1 ) + arg(z 2 ) = φ 1 + φ 2 z = z 1 z 2 = z 1 z 2 = r 1 r 2 (7) Achtug, wie bei der divisio i Abschitt gilt auch hier, dass ma aufpasse muss, dass das Argumet i Gleichug (7) i dem erlaubte Bereich bleibt. Gleichug (7) sagt us, dass das Argumet des Produktes aus zwei komplexe Zahle, gleich de Summe, der eizele Argumete ist. Für de Bettag gilt, dass der Betrag, das Produktes gleich dem Produkt der Eizelbeträge ist. 2.4 Poteze ud Wurzel Um Poteze ud Wurzel zu bestimme, eiget sich die Polarform am beste. Sie hat auch de Vorteil dass ma sich das Vorzeiche vo i icht überlege muss. Also sehe wir us das gaze mal a: z = r exp [iφ] z = (r exp [iφ]) = r (exp [iφ]) = r exp [iφ] (8) z == r [ exp [iφ] = r exp i φ ] (9) Die Idee hier ist, dass arg ( z) = arg(z) ud arg (z ) = arg(z). Bei der Wurzel, ist Gleichug (9) leider ur ei Teil der Wurzel. Wie im reelle ja gilt, hat beispielsweise 4, zwei verschiedee Wurzel, ämlich ±2. Im komplexe ist es ja so, dass jede Gleichug -te Grades, auch wirklich Lösuge hat, eie Eigeschaft, die es im reelle icht gibt. Folglich muss es, -te Wurzel vo z gebe. Diese Sid gegebe durch: z = r [ ] exp [iφ] = iφ + 2πi k r exp für 0 k 1 (10) Die Wurzel, die ich i Gleichug (9) higeschriebe habe, wird Hauptwert 5 geat. 2.5 Betrag Wie bereits mehrmals erwäht ist der Betrag, folgeder masse defiiert. z = z z für ih gelte aber och eiige Recheregel, die machmal praktisch sid: z 1 = z 1 z 1 z 2 = z 1 z 2 z Euler-Idetität ud Periodizität z 2 Die Euleridetität ist ei sehr wichtiges Hilfsmittel um eifach vo der Polardarstellug i die kartesische Darstellug zu komme. Aus ihr folge eiige wichtige Dige. Es loht sich die folgede drei Gleichuge auswedig zu lere. e iφ = cis(φ) = cos φ + i si φ (11) 0 = e iπ + 1 e iφ = 1 (12) 1 = e 2πi (13) Vo de obige Gleichuge ist (12) als Euler-Idetität bekat. Gleichug (11) 6 ist wichtig um vo der Polardarstellug auf die Kartesische zu komme. Gleichug (13) ist iteressat. Wie wir ja scho oftmals gesehe habe, ist es machmal gut mit 1 zu erweiter ud dieses 1 da geial zu zerlege 7. Machmal ka es ebe ützlich sei, eie 1 so wie i Gleichug (13) zu zerlege. 5 Der Begriff a sich ist icht wichtig. 6 Siehe auch Abschitt 1.3.2, auf Seite 2. 7 Beim Teile durch eie komplexe Zahl, macht ma das ja adauerd. 4

5 3 Bereiche Fide Eie beliebte Aufgabe ist, dass ma eie Mege Zeiche muss. Dabei ist hat ma meistes verschiedee Bediguge. Das gaze sieht da etwa so aus: A = { z C Bedigug 1, Bedigug 2,... } Dabei Schräkt jede Bedigug die Potezielle Lösug weiter ei. Der gesuchte Bereich ist da, der Bereich, wo alle Bediguge erfüllt sid. Das beste Vorgehe ist, we ihr euch eier Zeichug vo C macht, ud Schritt für Schritt jede Bedigug eizeichet ud am Ede schaut, welche Bereiche gültig sid. I Abschitt 3.3 auf Seite 6 sid eiige Darstelluge zu fide. 3.1 Die übliche Verdächtige Nu folge eiige der Stadard Bediguge, die sehr häufig vorkomme. Dabei sid dies ur Prototype, die och i sehr viele Forme vorkomme köe. Es wird dabei ageomme, dass die y-achse, die imagiäre Achse ist ud die x-achse die reelle Achse darstellt I(z) a Her wird ur der Imagiärteil betrachtet. Das gaze gibt es auch och mit dem Realteil. I diesem Fall, sid ur Zahle erlaubt, die uterhalb eier Gerade liege. Diese Gerade ist parallel zur x-achse ud scheidet, die y-achse auf der Höhe a. Nach ute gibt es aber keie Beschräkuge. Eie Darstellug ist auf Seite 6, i Abbildug 2 zu sehe I(z) a Diese Bedigug ist ählich zu der obige aus Abschitt 3.1.1, aber icht gleich. Wie obe stelle wir hier ur Bediguge a die Imagiäre Zahle. Wie obe gibt es auch hier eie Höhebeschräkug, ach obe. Zusätzlich gibt es och eie Beschräkug ach ute. Der Imagiärteil darf also icht beliebig klei werde. Alle erlaubte Zahle, liege hier zusätzlich och oberhalb eier Gerade. Diese Gerade ist parallel zur x-achse ud scheidet die y-achse auf der Höhe a. Eie Solche Situatio ist i Abbildug 3 auf Seite 6 dargestellt z z 0 r Dies ist eie Bedigug, die eie Kreisförmige Mege beschreibt. Der Kreis hat das Zetrum z 0 ud de Radius r. Ei Darstellug fidet sich auf Seite 6 i Abbildug 4. Es gibt da och der Fall, dass es eie Kreisrig gibt, diese sehe so aus: r 1 z z 0 r 2. Hier müsse die Zahle eie Abstad zu z 0 vo midestes r 1 habe. Darf aber gleichzeitig icht weiter weg sei als r 2. Bei diese Aufgabe ist och darauf zu achte, dass ma mit dem Radius icht durcheiader gerät, we ma de Betrag aufhebt. 3.2 Aufpasse Bei diese Aufgabe muss ma geau darauf achte, ob es heisst < oder. Dies ist sehr wichtig ud ma verliert so gere Pukte. 5

6 3.3 Darstelluge Abbildug 2: Hier ist der Fall der i Abschitt beschriebe wird Abbildug 3: Hier ist der Fall der i Abschitt beschriebe wird Abbildug 4: Hier ist der Fall der i Abschitt beschriebe wird 4 Löse vo komplexe Gleichuge Stelle wir ud vor, dass wir eie Fuktio gegebe habe. Diese Fuktio hat die folgede Defiitio: f : C C, z f(z) (14) Vo der Fuktio, die i Gleichug (14) defiiert ist, wolle wir die Nullstelle fide. Also ei z, so dass gilt f(z ) = 0. Die Nullstelle ist eigetlich ur ei Beispiel, die folgede Techike, fuktioiere eigetlich immer. Es gibt grudsätzlich zwei Methode, das Problem zu löse. Beide Methode habe Vor- aber auch Nachteile. Grudsätzlich fuktioiert beide Methode immer, es ist ur so, dass eie der beide, geeigeter sei ka, als die adere. Methode I ist die Holzhammer -Methode. 6

7 4.1 Methode I I dieser Methode, geht ma ugefähr folgedermasse vor, ma vergisst, dass es sich bei der Variable z, um eie komplexe Variable hadelt, ma muss aber deoch immer och die Recheregel für komplexe Zahle beachte, ud geht vor wie im reelle Methode II Dieser Methode lieht die Idee zugrude, dass die Lösug, de Real- ud Imagiärteil gleichzeitig erfülle muss. Ma tret also Real- ud Imagiärteil voeiader. Das Resultat ist, dass ma u eie Gleichug für de Realteil ud eie weitere Gleichug für de Imagiärteil hat. Diese Gleichuge sid icht uabhägig soder gekoppelt. Die Gleichuge habe zwei ubekate, eimal de Realateil ud de Imagiärteil der Lösug. Ihr überlegt Euch u, welche der beide Gleichuge am eifachste zu löse ist ud löst sie 8. Dies liefert euch eie Satz a Lösuge, die eie Teil der Lösug erfülle. Dies sid aber och icht die Lösuge. Ihr müsst u auch teste, ob diese Lösuge, die Ihr gefude habt, de adere Ateil ebefalls erfülle. Nur diejeige Lösuge, die dies auch tu, sid Lösuge des gaze Problems. Diese Methode Fuktioiert icht immer. Aber we Ihr bereits Vorwisse 9 habt, köt ihr so evetuell eie Vereifachug erziele. 5 Tipps Hier sid och eiige Tipps zu de Aufgabe. Lest sie erst, achdem ihr versucht habt, die Aufgabe ohe sie zu löse. 8 Hier ist etwas Kreativität gefragt, es ka auch sei, dass eie Gleichug Euch erlaubt de eie Ateil i Abhägigkeit des adere auszudrücke. 9 Dies ka auch sei, dass Ihr ur a Lösuge, die eie bestimmte Form habe, wie rei imagiäre Lösuge, iteressiert seid. 7

8 Aufgabe 1b) Macht eie grosse Zeichug. Aufgabe 2 Arbeitet sehr sauber ud lasst keie triviale Schritte weg. Aufgabe 3 Überlegt euch, was die beste Darstellugsform ist. Aufgabe 4 Überlegt Euch was die Azahl a Eigewerte euch über die Eigevektore sagt. Weiter ist es gut sich zu überlege, was ma mit diese Vektore mache ka. Weiter überlegt euch wie die Eigewerte der Matrix A aussehe. 8