Prüfung DAV-Spezialwissen in Finanzmathematik 2012

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1 Prüfung DAV-Spezialwissen in Finanzmahemaik Block I (Albrech Aufgabe : ( Minuen Gegeben sei ein reijähriger Sanarbon mi en Rückflüssen {Z, Z, Z + N} sowie ie heuigen Spo Raes r i = r(, i, i =, un, zu en Reslaufzeien Jahr, Jahre un Jahre a Fassen Sie ie Spo Raes als Risikofakoren auf Definieren un besimmen Sie (explizi! or iesem Hinergrun ie Fakor-Delas (h ie Ableiungen er Barwerfunkion in Bezug auf ie Spo Raes ieses Bons! b Sellen Sie anhan ieses Bons ie Dela-Normal-Mehoe zur (approximaien Besimmung es Value a Risk ar Besimmen Sie in iesem Konex (explizi! en Erwarungswer sowie ie Varianz er Barweränerung über ein Zeiinerall er Länge h Wie laue schließlich ie Besimmungsformel für en Value a Risk? Hinweis: Berachen Sie en Zufallsekor R ( R, R, R, wobei R i R(h,i r(, i, i =,,, un unersellen Sie, ass R einer riariaen Normalereilung mi E( R i hi i,, Co ( R i, R j hij i, j,, folg c Definieren Sie allgemein ie moifizieren Key Rae-Duraionen un sellen Sie en Zusammenhang zu en Fakor-Delas ar Berachen Sie nun en Fall, ass ie Kupons Z = beragen un für en Nennwer N = gil Die -Jahres-Spo Rae berage r = 4% Die Volailiä on R auf agesbasis sei gegeben urch ( R % Besimmen Sie uner iesen Voraussezungen uner Anwenung er Dela-Normal-Mehoe en Mean-Value a Risk auf agesbasis zum Signifikanznieau %! Hinweis: N 99 = 6 Lösungsskizze: a P P (r, r, r Z( r Z( r (Z N( r Die Fakor-Delas sin im orliegenen Fall gegeben urch P / r, P / r un P / r Hieraus folg Z( r Z( r 4 (Z N( r

2 Prüfung DAV-Spezialwissen in Finanzmahemaik Seie on 5 b Dela-Normal-Approximaion: P P P h P r R R P r R R R : ( R, R, R P r R R is abei nach Hinweis normalereil Es folg zunächs: E( P E( R E( R E( R h( Var ( P h[ Co( R, R Var ( R Var ( R Co( R, R Co( R, R Definiere nun ie Verlusariable L : P Var ( R Offenbar gil E(L E( P sowie ( L ( P Var ( P Da R (riaria normalereil, sin auch P un L normalereil un er Value a Risk zum Signifikanznieau α laue VaR N ( P E( P wobei, N as (-α-quanil er Sanarnormalereilung beeue c Die moifizieren Key Rae-Duraionen sin efinier urch h es gil Es gil zunächs P KRD N( r (4 P / r P P r ( R R P M M i KRDi (r,,rm, P ri KRD / P M i (8548 ( P 5644( R 5644( 5644 MVaR 6( i ]

3 Prüfung DAV-Spezialwissen in Finanzmahemaik Seie on 5 Alernai: Die Key Rae-Duraion zur Laufzei es Bons is gegeben urch un es gil P P R r (4 ( R R r R Aufgabe : (5 Minuen Wie besimm sich ie Größe Disance o Defaul (DD im Rahmen es KMV-Moells? Weisen Sie im Rahmen es Meron-Moells ie funamenale Beziehung PD = N(-DD nach Dabei bezeichne PD ie Ausfallwahrscheinlichkei im Zeipunk un N ie Vereilungsfunkion er Sanarnormalereilung Hinweis: Die sochasische Differenialgleichung S S exp {( Z }, wobei Z ~ N(, S /S W besiz ie Lösung Lösungsskizze: i Definiion on DP = DP (: DP := Shor erm Deb + ½ Long erm Deb ii Definiion Disance o Defaul (DD: E[ln(A ] ln(dp DD: Dabei bezeichne { A } ie Werenwicklung er Akia es beracheen Unernehmens iii Allgemein gil im Meron-Moell für = mi m : / : A A exp[m Z ], mi Z ~ N(,

4 Prüfung DAV-Spezialwissen in Finanzmahemaik Seie 4 on 5 A A exp[m Z ], mi Z ~ N(, i Im Meron-Moell folg somi [ln(a ] ln(a m un ami: ln(a / DP m DD Hieraus folg es Weieren: E PD P(A DP P(A DP P[m Z ln (DP/ A ] P[m Z ln (A / DP] P Z ln(a / DP m ln(a N / DP m N( DD Aufgabe : (5 Minuen Unersellen Sie en homogenen Poissonprozess als Ausfallprozess, ie Unabhängigkei on Ausfallzei un Zinsprozess {R(}, eine Recoery Rae on rc sowie eine sichere frisigkeisunabhängige Zinsrae r Leien Sie ie Bewerungsgleichung für en Preis B (, eines ausfallberohen Zerobon her Leien Sie einen explizien Ausruck für ie risikoneurale Ausfallinensiä Q ab Welche Bewerungsgleichung für einen ausfallberohen Zerobon resulier im Falle rc =? Hinweis: Uner en geroffenen Annahmen gil B (, B(,{rc ( rc RNPS(,}, wobei RNPS(, ie risikoneurale Überlebenswahrscheinlichkei bezeichne

5 Prüfung DAV-Spezialwissen in Finanzmahemaik Seie 5 on 5 Lösungsskizze: Es bezeichne Q ie Ausfallinensiä es homogenen Poissonprozesses uner Q Aus em Hinweis folg im Falle eines Poissonprozesses mi Ausfallinensiä Q B (, e r( rc ( rce Aus orsehener Gleichung folg B (,e r( rc LGDe Q( Q ( un ami LGD Q e ( B (,exp [r( ] rc Auflösung nach Q : Q ln B LGD (,exp [r( ] rc B (, e e r( e (rq ( Q (

6 Prüfung DAV-Spezialwissen in Finanzmahemaik Seie 6 on 5 Block II (Barels Aufgabe 4: (4 Minuen Für eine Lebensersicherung gegen Einmalbeirag wir eine enfällige Garanieleisung ersprochen (GMMB, Guaranee Minimum Mauriy Benefi Die Anlagesraegie es Versicherungsunernehmens sieh nur Inesmens in einen Akienfons or Zur Abschäzung er Garaniekosen soll as Black-Scholes-Moell angewene weren Dabei geh er Akuar es Unernehmens aon aus, ass er Kurserlauf es Akienfons einer geomerischen Brownschen Bewegung mi einer Volailiä on Prozen folg, un es wir eine risikolose Zinsrae on 6 % pro Jahr unersell Ferner is zu berücksichigen, ass Jahr für Jahr für ie Vermögenserwalung eine Managemen Charge on % nachschüssig erhoben wir Welche Absicherungskosen oer Garaniekosen ergeben sich bei iesem Ansaz für eine nach Ablauf on zehn Jahren enfällige Garanieleisung G in Höhe on % es Anfangsberages? Hierbei wir nur er Anfangsberag berücksichig, er für ie Vermögensanlage nach Abzug er Kosen für Biomerie zur Verfügung seh, außerem läss man zunächs Sornowahrscheinlichkeien un Überlebenswahrscheinlichkeien bei er Berechnung er Garaniekosen außer ach (Anleiung: Nach Voraussezung folg er Preisprozess Bewegung, h es is S ( W S S e mi einem Wienerprozess es Akienfons einer geomerischen Brownschen Die Black-Scholes-Formel für eine Europäische Pu-Opion auf as Basispapier S mi Ausübungspreis K un r Ausübungszeipunk ergib ann als Preis im Zeipunk = : Ke N( S N( Hierbei sin S log( (r K, W P un N( bezeichne ie Vereilungsfunkion er Normalereilung Für ie Enwicklung es maßgeblichen Fonsermögens gil ann F F S ( m S, wenn m ie jährliche Managemen Charge bezeichne Man berechne ie Garaniekosen mi einer passenen Moifikaion er Black-Scholes-Formel Für ie numerische Berechnung erwene man ie Were N(-788 = 67 bzw N(-585 = 44 Lösungsskizze: Zweckmäßigerweise normier man zunächs F S, ann is as maßgebliche Fonsermögen bei Ablauf es Verrages ( F S ( m

7 Prüfung DAV-Spezialwissen in Finanzmahemaik Seie 7 on 5 un man kann in em Black-Scholes-Moellrahmen ie Garaniekosen (GMMB für ie garaniere Leisung G bei Ablauf so berechnen: e E*[(G F ], wobei er Sern am Erwar- r ungswer beeue, ass zur Berechnung es Erwarungsweres as äquialene Maringalmaß benuz wir, uner em er Drifparameer eliminier is Um für G S F en Wer r e E *[( G F ] mi er Pu-Opionspreis-Formel zu berechnen, ha man nach Gleichung ( ie Größe e r r E*[(G F ] = e E*[(G S ( m ] ( m e E*[G( m S ] r zu berechnen; ass is aber gerae bis auf en Fakor m Opion auf as Basispapier S mi Ausübungspreis K G ( m Mi er in er Anleiung gegebenen Formel erhäl man ann: ( ie Preisformel für eine Pu- e r E*[(G F ] = e N( ( m S N( r G mi S log( ( m G (r S log( (r log( m G un Nun berechnen sich iese Were für r = 6, m =, = un = zu un Mi er beigefügen abelle er Normalereilung ergib ies N( 67 sowie N( 44 r un ami berechne man en gesuchen Wer e E*[(G F ] zu ~ 8, h ie enfälligen Garaniekosen beragen or Berücksichigung on Sorno- un Überlebenswahrscheinlichkeien ewas mehr als 8 % es Anfangsberages Aufgabe 5: ( Minuen Bei einer Versicherung gegen Einmalbeirag EB wir as nich für ie Deckung es biomerischen Risikos un für ie Verwalungskosen benöige Kapial EB-Ko folgenermaßen inesier: Ein feser proporionaler Aneil b wir in einen mi Risiko behafeen Akienfons inesier Der Preisprozess { S } ieses Fons folge einer geomerischen Brownschen Bewegung, ewa S S e ( W Der resliche Aneil -b wir in eine risikolose Anlage inesier, ie sich mi einer fesen exponeniellen Zinsrae r koninuierlich weierenwickel: B B e r Die iealisiere koninuierliche Anlagesraegie sieh or, ass ses ie anisieren proporionalen Aneile gehalen weren können:

8 Prüfung DAV-Spezialwissen in Finanzmahemaik Seie 8 on 5 Ses b Aneile es Gesamermögens in er riskanen Anlage un -b Aneile risikolos (i Man begrüne, ass uner en genannen Annahmen sich er Wer ( es Anlageermögens folgenermaßen ynamisch enwickel, wenn man on einem Sarermögen ausgeh: b Ab( exp((b ( br b W ( Minuen A b (ii Das Versicherungsunernehmen enscheie sich für eine enfällige Garanie, as heiß, em Kunen wir nur zum Ablaufermin eine Ablaufleisung (EB-Ko r Bei orzeiigem Rückkauf r G e ersprochen mi einem Garaniezins G orienier sich er Wer er Auszahlung an en Kapialmarkerhälnissen Mi welcher Wahrscheinlichkei erfehl man mi er beschriebenen Anlagesraegie ie anisiere Ablaufleisung (EB-Ko? ( Minuen r G e (Anleiung: zu (i: Man berechne ie infiniesimalen Inkremene für ie jeweiligen Anlagen: S S S W ; B r B ; A b ( un ersuche, ie orgeschriebene fese Aufeilung er Aneile in iesen kleinen Zeiabschnien einzuhalen zu (ii: Es geh um ie Berechnung er folgenen Wahrscheinlichkei: rg P(A ( e, hier kann man ie angegebene Formel on eil (i erwenen b Lösungsskizze: Zu (i : Is V( er Wer er Vermögensanlage, so gil in kleinen Zeiabschnien für ie Dynamik er Inkremene, wenn man b Aneile in er riskanen Anlage häl un -b Aneile in er risikolosen Anlage: V( b( V( V( W ( b V( r (b ( b r V( bv( W b un hieraus ergib sich ie behaupee Ieniä V( exp((b ( br b W, wenn man as Anfangsermögen auf normier Zu (ii: rg Man ha zur Berechnung er Wahrscheinlichkei: P(Ab( e nur ie Formel on eil (i zu erwenen Das ergib:

9 Prüfung DAV-Spezialwissen in Finanzmahemaik Seie 9 on 5 r b G rg P(Ab( e P(exp((b ( br b W e b b (b ( br b = P(((b ( br b W r P(W = G (r G (r N( G b (b ( br b N( (r G b (b ( br b =, wenn wie üblich N( ie Vereilungsfunkion er Sanar-Normalereilung is Block III (Maurer Aufgabe 6: "Schäzrisiken un Inernaionale Porfolio-Diersifikaion" ( Minuen Gegeben sei eine Zwei-Läner-Wel mi einem Werpapier aus Lan (Heimalan es Inesors un einem Werpapier aus Lan (Auslan Es weren folgene Bezeichnungen für ie berachee Inesmenperioe geroffen R i := lokale Renie on Werpapier i (i =,, e : = Wechselkursrenie zwischen Lan un Lan, Gegeben seien ie Erwarungswere un Sanarabweichungen er Renien: μ(r =,75; μ(r =,75; μ(e =,4 σ(r =,; σ(r =,; σ(e =,8 Der Zinssaz für eine risikolose Anlage in Lan (Inlan bzw Lan (Auslan beräg: r =, bzw r =,5 Die Renie-Koarianzen sin gegeben urch: R R e R,9,45 -,45 R, -, e,64 - Führen Sie ie folgenen Berechnungen aus er Sich es inlänischen Inesors urch

10 Prüfung DAV-Spezialwissen in Finanzmahemaik Seie on 5 - Vernachlässigen Sie bei Ihren Berechnungen alle Varianzen, Koarianzen un Erwarungswere er (R e Kreuzprouke - Führen Sie alle Berechnungen mi 4 Nachkommasellen urch - Beachen Sie ie abelle zur Sanarnormalereilung im Anhang a Ein Inesor forer eine Porfoliorenie, ie mi einer Wahrscheinlichkei on 9% über einer Minesrenie on % lieg Welche Srukur (relaie Inesiionsgewiche, welche Sanarabweichung un welche erwaree Renie besiz as Porfolio aus Werpapier un, welches ie obige Beingung erfüll, un ie erwaree Renie maximier Unersellen Sie zur Lösung es Problems normalereile Renien (5 Minuen Hinweis: Der effiziene Ran er aus Werpapier un konsruierbaren Porfolios ha ie Form,6,565(,9 b Gehen Sie aon aus, er Inesor wünsch nun ein arianzminimales Porfolio (MVP Welche Srukur (relaie Inesiionsgewiche, welche Sanarabweichung un welche erwaree Renie ergeben sich? (5 Minuen c Unersellen Sie nunmehr, er Inesor korrigier ie Schäzwere für ie erwareen Renien gemäß em Bayes-Sein-Verfahren mi einem Schrumpfungsfakor =, (hin zum MVP Berechnen Sie zunächs ie korrigieren erwareen Renien Der Inesor ersuch wieerum ie erwaree Porfoliorenie zu maximieren uner er Nebenbeingung, ass mi einer Wahrscheinlichkei on 9% eine Minesrenie on % erziel wir Welche Srukur (relaie Inesiionsgewiche, welche Sanarabweichung un welche erwaree Renie ergeben sich nun? (5 Minuen Hinweis: Der effiziene Ran im Fall =, ha ie Form,6,(,9 Erläuern Sie ie mehoische Vorgehensweise bei einem Backesing on Porfoliosraegien im Asse-Managemen (5 Minuen Lösungsskizze: Es ergib sich für ie ungesicheren Werpapiere in inlänischer Währung: µ(r =,75; µ(r + e =,475; σ(r =,; σ(r + e =,; Weierhin gil: Co(R, R + e = Co(R, e + Co(R, R = a Effiziener Ran,6,565(,9 Sei N 9 as 9% Quanil er Sanarnormalereilung ann resulier für ie Shorfallresrikion = + N 9 Gemäß beigefüger abelle er N(, - Vereilung gil,8 < N,9 <,9 Im Folgenen wir (approximai on er sicheren Seie N 9 =,9 gesez =, +,9

11 Prüfung DAV-Spezialwissen in Finanzmahemaik Seie on 5 Seze =,,9,6,565(,9 Maximaler Erwarungswer uner Einhalung er Shorfallresrikion,4 op, 7 =,75x +,475(-x; x =,46; x =,579 b Mi Hilfe es effizienen Rans aus Aufgabe a folg unmielbar: σ²(mvp =,9, σ(mvp=,949; µ(mvp =,6 =,75x +,475(-x; x =,; x =,9 c E(R, BS =,75(- +,6 =,5 E(R, BS +e, BS =,475(- +,6 =,5 Effiziener Ran,6,(,9 Shorfallresrikion =, +,9 =,,9,6,(,9 Maximaler Erwarungswer uner Einhalung er Shorfallresrikion,5 op, 88 =,5x +,5(-x x =,8; x =,667 Ausgangspunk: Hisorische Reurn-Zeireihen (ewa monalich Schri : Feslegung einer In-he-Sample Perioe (ewa Monae mi er Parameer einer Porfolio- Opimierungssraegie kalibrier weren (Erwarungswere, Koarianzmarix Schri : Besimmung er opimalen Porfoliogewiche für bereffene Sraegie (ewa MVP, angenialporfolio, ua zum Ene er In-he-Sample Perioe Schri : Besimmung er realisieren Renie er Porfoliosraegie in er Ou-of-Sample Perioe (ewa Mona nach er In-he-Sample Perioe Schri 4: Forschreien er In-he-Sample Perioe für neue (Renie-Informaion un Wieerholung on Schri bis Resula is eine Zeireihe on Ou-of-Sample Renien er zu beureilenen Porfoliosraegie Daraus weren ann erschieenen Renie-/Risikokennzahlen berechne (Mielwer, Volailiä, urnoer, Sharpe-Raio ua Siehe hierzu auch siehe Albrech/Maurer 8, Kapiel Aufgabe 7: "Ennahmepläne mi Immobilien un Inernaionalen Inesmens" (4 Minuen Sie arbeien in er Abeilung Proukenwicklung einer Kapialanlagegesellschaf un beschäfigen sich mi Lösungen für ie Auszahlungsphase er Alersersorgung Der om Kunen geleisee Einmalbeirag soll enweer in Aneile an einem Offenen Immobilienfons

12 Prüfung DAV-Spezialwissen in Finanzmahemaik Seie on 5 (OIF oer in einen inernaionalen Akienfons (IAF inesier weren Sie sollen Beispielrechnungen für einen Einmalberag on Euro ersellen Nach grünlicher Recherche reffen Sie folgene Annahmen: Annahmen zu en Inesmens: Immobilien: Die auf koninuierlicher Basis berechneen jährlichen (Log-Renien R es OIF-Inesmens weisen eine erwaree Renie on % pa auf, bei einer Volailiä on % pa un einer Auokorrelaion Ornung on a =,6 Akien: Der Inernaionale Akienfons inesier schwerpunkmäßig in US-amerikanische Akien Hierbei erwaren Sie für US-Akien in lokaler Währung (also in US$ eine auf koninuierlicher Basis berechnee (Log-Renie on 6% pa un eine Volailiä on % pa Für ie ebenfalls auf koninuierlicher Basis berechnee (Log-Wechselkursrenie es US-Dollars relai zum Euro beräg er Erwarungswer % pa, ie Volailiä 5% pa un ie Korrelaion mi er lokalen Renie on US-Akien Unersellen Sie im Folgenen zeilich unabhängig un ienisch normalereile Log- Renien mi gegebenenfalls ajusierer Volailiä nach em Blunell/War-Verfahren Vernachlässigen Sie abei Serblichkeisaspeke Konsrukion Auszahlungsplan: - Der Kune zahl einen Einmalbeirag on Euro, er ollsänig für en Kauf on Aneilen es Offenen Immobilienfons (OIF bzw Inernaionalen Akienfons (IAF erwene wir - Der akuelle Preis für einen Fonsaneil beräg sowohl für en OIF als auch IAF jeweils EUR zzgl einem Ausgabeaufschlag on 5% auf en Aneilswer Es können beliebige Brucheile eines Aneils zum jeweiligen Markwer erworben/zurückgegeben weren - Zu Beginn jeen Jahres weren so iele Fonsaneile zurückgegeben, so ass eine Auszahlung (B an en Kunen in Höhe on 5% es zu Jahresbeginn jeweils noch orhanenen Fonsermögens (V zusane komm (B =,5*V Die erse Auszahlung erfolg nach einem Jahr zum Zeipunk = (h B = Fragen: Beanworen Sie ie folgenen Fragen jeweils bei Anlage er Euro in en Immobilienfons (OIF un en Inernaionalen Akienfons (IAF Beachen Sie ie Hinweise : a Besimmen Sie für ie mögliche Auszahlungshöhe nach bzw Jahren: (i en Erwarungswer, (ii en Meian, (iii ie Sanarabweichung, (i en Berag er mi einer Wahrscheinlichkei on 95% minesens erreich wir un ( ie Wahrscheinlichkei, ass nach Ablauf on = bzw = Jahren ie Auszahlung geringer is als 5 Euro ( Minuen b Besimmen Sie für as noch orhanene Resermögen nach bzw Jahren (i en Erwarungswer, (ii en Meian, (iii ie Sanarabweichung, (i en Berag er mi einer Wahrscheinlichkei on 95% minesens erreich wir un ( ie Wahrscheinlichkei, ass nach Ablauf on = bzw = Jahren as Resermögen geringer is als Euro ( Minuen

13 Prüfung DAV-Spezialwissen in Finanzmahemaik Seie on 5 Hinweise: Sei X ~ LN(m, ² eine logarihmisch normalereile Zufallsgröße mi en Parameern m un ², un N as -Quanil er Sanarnormalereilung (siehe abelle im Anhang, ann gil ax b ~ LN(lna + bm, b²² sowie für Erwarungswer, Varianz, un -Quanil E(X m,5 e E(X e mn mn Var (X LN (m, e e * a Das Blunell/War-Verfahren korrigier ie Varianz gemäß: VAR(r VAR(r ( a Für ie auf koninuierlicher Basis berechnee (Log-EUR-Renie einer Anlage in US- Akien gil: R R US$ e US$ /, wobei R US$ ie Log-Renie on US-Akien un e US$ / ie Log-Wechselkursrenie is (keine Kreuzprouke Lösungsskizze: Korrekur on SD er Einperioen Logrenie es OIF gemäß em BW-Verfahren: OIF * a,6 ( R SD(R % ( a (,6 4% Berechnung SD er Einperioen-Logrenie es IAF: IAF (R Var(R Lokal Var(R WK,,5,6% Für kumuliere Logrenie bis gil: R ~ N; R OIF ~ N,;,4 IAF bzw R ~ N,6;,6 Sarermögen: V = /(,5 = 958, Zeiliche Enwicklung es Fonsermögens ( =,, or Ennahme: V (,95 V exp R i i Enwicklung er Ennahmen ( =,, : B,5V,5 (,95 V exp Ri i ln B ~ N m, mi m ln,5(,95 V ;

14 Prüfung DAV-Spezialwissen in Finanzmahemaik Seie 4 on 5 OIF: m( = 8,7; ( =,65 bzw m( = 7,894 ; ( =,789 IAF: m( = 8,67; ( =,659 bzw m( = 8,694; ( =,9 Dami ergeben sich E(B exp(m,5,5(,95,5 SD(B E(B LN LN 5 % (exp( exp,5 (B exp(m,5(,95 exp,5 (B exp(m,645,5(,95 exp,5,645 95% B m ln5 m ln5 ln m B SW P(B 5 P P V,5 Φ is Wer er Sanarnormalereilung Wegen V = B /,5 ensprechen ie Were für EW, SD, Meian un Quanil für as Enermögen em zwanzigfachen er Were für ie Ennahmen Die Shorfall-Wahrscheinlichkeien ein Zielenermögen on = 5 / 5% zu erfehlen sin ienisch mi enjenigen ie Zielennahme on 5 zu erfehlen SW EW Meian LN_95% SD Ennahme Immobilien 99,% <99,9% Ennahme Akien 44,5% ,4% Enermögen Immobilien 99,% <99,9% Enermögen Akien 44,5% ,4%

15 Prüfung DAV-Spezialwissen in Finanzmahemaik Seie 5 on 5 Anhang Vereilungsfunkion er Sanarnormalereilung (x x