Manipulation von Mengen

Transkript

1 Manpulaton von Mengen Thomas Röfer Vorrangwarteschlange Lnksbaum Heap HeapSort Unon-Fnd-Strukturen Allgemener Rahmen für Mengenmanpulatonen

2 Rückblck Hashng Streuspecherverfahren Hashfunkton Hashen mt Verkettung Dors Bach Fredrch Dörg Dors May Offenes Hashng Doppeltes Hashng Dynamsche Hash-Tabellen m = 4 m = 8 m = 6 m =

3 Vorrangwarteschlange Defnton Als Vorrangwarteschlange (prorty queue) bezechnet man ene Datenstruktur zur Specherung ener Menge von Elementen, für de ene Ordnung defnert st, so dass de folgenden Operatonen ausführbar snd: Intalseren ener leeren Struktur Enfügen enes Elements (nsert) Mnmum suchen (accessmn) Mnmum entfernen (deletemn) Anmerkung Vorrangwarteschlangen können z.b. durch Lsten oder balancerte Bäume mplementert werden. Allerdngs snd de Anforderungen gernger, daher können se durch geegnete Strukturen effzenter mplementert werden.

4 Vorrangwarteschlange Motvaton Balancerte Bäume haben de Egenschaft, dass jeder Pfad von der Wurzel zu enem Blatt des Baumes mt n+ Blättern und n nneren Knoten ene Länge der Größenordnung O(log n) hat Für ene Vorrangwarteschlange recht ene wesentlch schwächere Forderung aus, um zu schern, dass accessmn n O() und nsert, deletemn sowe das Verschmelzen zweer Schlangen n O(log n) ausführbar st Anforderungen De Schlüsselwerte von Kndern müssen stets größer (oder glech) sen als der hres Elternknotens Es muss mndestens enen Pfad von der Wurzel zu enem Blatt mt O(log n) Länge geben Wenn Enfüge- und Verschmelzeoperatonen entlang des kurzen Pfades durchgeführt werden, snd se genauso effzent we be balancerten Bäumen 4

5 Lnksbaum En bnärer Baum heßt Lnksbaum, wenn glt: Jeder nnere Knoten enthält neben dem Schlüssel und den zwe Zegern auf sene Knder noch enen Dstanzwert, der de Entfernung zum nächstgelegenen Blatt enthält Blätter haben de Dstanz 0 Der Schlüssel enes Knotens st mmer klener oder glech den Schlüsseln sener Knder De Dstanz enes Knotens st um größer als das Mnmum der Dstanzen sener beden Knder p.dst = + mn(p.left.dst, p.rght.dst) De Dstanz des lnken Nachfolgers st mmer größer oder glech der Dstanz des rechten Nachfolgers p.left.dst p.rght.dst 5

6 Lnksbaum Bassoperaton Verschmelzen zweer Lnksbäume nsert(x) Erzeuge enen neuen Lnksbaum aus x Verschmelze den bshergen Lnksbaum mt dem neuen deletemn() Entferne de Wurzel Verschmelze de beden Telbäume class LeftTree class LeftTree Comparable Comparable data; data; nt nt dstance; dstance; LeftTree LeftTree left, left, rght; rght; statc LeftTree melt(lefttree a, LeftTree b) statc LeftTree melt(lefttree a, LeftTree b) f(a f(a == == null) null) return return b; b; else else f(b f(b == == null) null) return return a; a; else else f(a.data.compareto(b.data) f(a.data.compareto(b.data) > > 0) 0) // b st klener -> vertausche a und b // b st klener -> vertausche a und b a.rght = melt(a.rght, b); a.rght = melt(a.rght, b); f(getdstance(a.rght) > getdstance(a.left)) f(getdstance(a.rght) > getdstance(a.left)) // Vertausche a.left und a.rght // Vertausche a.left und a.rght a.dstance = getdstance(a.rght) + ; return a; a.dstance = getdstance(a.rght) + ; return a; 6

7 Lnksbaum Bespel a b melt(a, b) a.data > b.data melt(a.rght, b) melt(null, b) a.rght.dst > a.left.dst a.dst = a.rght.dst + 7

8 Heap Defnton Ene Folge F = k, k,, k N von Schlüsseln nennen wr enen Heap (de Halde), wenn k k / für N glt Anders ausgedrückt: k k und k k +, sofern N bzw. + N Hat nchts mt dem Java-Heap zu tun Bespel F = 8, 6, 7,, 4, 5,, genügt der Heap-Bedngung, wel 8 6, 8 7, 6, 6 4, 7 5, 7, Ausgabe n abstegender Rehenfolge Solange Heap ncht leer st gb k aus entferne k aus dem Heap stelle Heap-Bedngung für restlche Schlüssel weder her, so dass de neue Wurzel an Poston steht 8

9 Wederherstellen der Heap-Bedngung Heap-Bedngung weder herstellen Nach Entfernen der Wurzel snd zwe Tel- Heaps übrg Verenge bede, ndem der Schlüssel mt dem höchsten Index als Wurzel engesetzt wrd Dann lassen wr k versckern (sft down), ndem er so lange mt dem jewels größeren Nachfolger vertauscht wrd, bs bede Nachfolger klener snd oder der Schlüssel unten angekommen st 9

10 Implementerung des Versckerns Vortele Heap kann n enem Array mplementert werden Aufwand für das Versckern st O(log N) statc statc vod vod sftdown(comparable sftdown(comparable a[], a[], nt nt,, nt nt m) m) whle( whle( * * < < m) m) nt j = * + ; nt j = * + ; f(j f(j < < m m && && a[j].compareto(a[j a[j].compareto(a[j + + ]) ]) < < 0) 0) ++j; ++j; f(a[].compareto(a[j]) f(a[].compareto(a[j]) < < 0) 0) swap(a,, j); = j; swap(a,, j); = j; else else break; break; 0

11 HeapSort Ansatz Zuerst wrd en Heap aufgebaut, ndem der Rehe nach vorne en Element vorangestellt wrd und deses dann versckert Dann wrd der Heap schrttwese geleert, wodurch jewels das größte Element entnommen wrd Anmerkungen Das Voranstellen passert ncht wrklch, stattdessen wächst der Heap enfach vom Ende des Arrays her Nachdem Entfernen des jewels größten Elements st der Heap am Ende um en Element kürzer. Dort kann das soeben entnommene Element engetragen werden Aufwand N/ mal Versckern für das Aufbauen des Heaps: O(N/ log N) N mal Versckern für das Auslesen des Heaps: O(N log N) Insgesamt: O(N log N) Vortel: Specherkomplextät st O(N) statc statc vod vod heapsort(comparable heapsort(comparable a[]) a[]) for(nt for(nt = = a.length a.length / / - - ; ; >= >= 0; 0; --) --) sftdown(a,, a.length - ); sftdown(a,, a.length - ); for(nt for(nt = = a.length a.length - - ; ; > > 0; 0; --) --) swap(a, 0, ); swap(a, 0, ); sftdown(a, sftdown(a, 0, 0, - - ); );

12 Unverstät Bremen HeapSort Bespel sftdown(a,, 5) sftdown(a,, 5) sftdown(a, 0, 5) swap(a, 0, 5) sftdown(a, 0, 4) swap(a, 0, 4) sftdown(a, 0, ) swap(a, 0, ) sftdown(a, 0, ) :

13 Unon-Fnd-Strukturen Motvaton In velen Problemstellungen möchte man Objekte (z.b. Knoten oder Kanten enes Graphen) n Äquvalenzklassen entelen Dabe begnnt man mt ener sehr fenen Entelung, de durch sukzessve Verengung von Mengen vergröbert wrd Bassoperatonen makeset(e, ) Erzeuge ene neue Menge mt Namen mt enzgem Element e e st neu, kommt also n kener anderen Menge vor fnd(x) Lefert den Namen der Menge, de x enthält unon(, j, k) Verengt zwe Mengen mt Namen und j zu ener neuen Menge mt Namen k De Mengen mt Namen und j werden gelöscht

14 Kanonsches Element Ansatz Verschedene Mengen enthalten auch nur verschedene Elemente Daher kann jede Menge auch endeutg durch enes hrer Elemente repräsentert werden, d.h. de Namen der Mengen werden ncht benötgt Deses kanonsche Element kann n ener Menge fre gewählt werden Verzcht auf Namen Das kanonsche Element ener mt makeset(e, ) erzeugten Menge st e, also recht makeset(e) fnd(x) lefert das kanonsche Element ener Menge Verengt man zwe Mengen, kann das Ergebns weder durch das kanonsche Element ener der beden Mengen repräsentert werden, also recht unon(e, f) Unon-Fnd-Problem Fnden ener Datenstruktur zu Repräsentaton ener Kollekton von paarwese dsjunkten Mengen sowe Algorthmen für de Ausführung von makeset, fnd und unon 4

15 Regonen verengen r r r r 4 r r 5 r 6 r 7 r 8 r 9 r 0 r r r r 4 r 5 r 6 r r r 5? r

16 Verengung von Mengen Implementerung Jede Menge der Kollekton wrd durch enen unsorterten Baum repräsentert De Knoten des Baums snd de Elemente der Menge De Wurzel des Baums enthält das kanonsche Element Jeder Knoten enthält enen Zeger auf senen Elternknoten, de Wurzel zegt auf sch selbst Verengung Hänge de Wurzel (kanonsches Element) des enen Baums an de Wurzel des anderen Verengung nach Größe bzw. Höhe Motvaton: Vermedung von degenererten Bäumen Hänge den Baum mt wenger Knoten bzw. gerngerer Höhe an de Wurzel des größeren bzw. höheren 6

17 Pfadverkürzung (Pfadkompresson) Zel Während der Suche wrd der Pfad durch Umhängen von Kanten verkürzt, so dass be der nächsten Suche wenger Kanten durchlaufen werden müssen Auftelungsmethode (Splttng) Während der Suche werden Verwese so umgehängt, dass se statt auf den Elternknoten auf den Großelternknoten zegen Halberungsmethode Während der Suche werden de Verwese jedes zweten Knoten so umgehängt, dass se statt auf den Elternknoten auf den Großelternknoten zegen 7

18 Pfadverkürzung (Pfadkompresson) Auftelungsmethode Halberungsmethode 8

19 Allgemener Rahmen Motvaton Wörterbücher, Vorrangwarteschlangen und Unon-Fnd-Strukturen kann man als Spezalfälle enes Mengenmanpulatonsproblems auffassen Gegeben Kollekton K von paarwese dsjunkten Mengen S,, S, S S =, j K n t n n j = für n Elemente der Mengen gehören zu enem Unversum U x S S U K = K De Namen der Mengen gehören zu ener Menge N n S K N n 9

20 Mengenoperatonen makeset(x, n) Blde ene Menge mt enzgem Element x und gebe hr den Namen n Vorraussetzung: x und n snd neu search(x, n) Suche x n der Menge mt Namen n nsert(x, n) Füge x n de Menge mt Namen n en Vorraussetzung: x st neu delete(x, n) Entferne x aus der Menge mt Namen n fnd(x) Bestmme den Namen der Menge, de x enthält unon(, j, k) Verenge de Mengen mt Namen und j zu ener Menge mt Namen k 0

21 Mengenoperatonen accessmn(n) Bestmme das Mnmum n der Menge mt Namen n deletemn(n) Entferne das Mnmum aus der Menge mt Namen n successor(x, n) Bestmme das zu x nächstgrößere Element n der Menge mt Namen n predecessor(x, n) Bestmme das zu x nächstklenere Element n der Menge mt Namen n kthelement(k) Bestmme das k-größte Element n UK

22 Modellerung U-Baum Repräsentere UK U durch enen balancerten, sorterten Bnärbaum Soll de Operaton k-tes Element unterstützt werden, enthält jeder Knoten p m Baum enen Zähler z(p) darüber, we vele Schlüssel m Telbaum mt Wurzel p enthalten snd Mengenbäume Stelle jede Menge S der Kollekton K durch enen ncht-sorterten Mengenbaum dar Der Konten x m U-Baum st durch enen Zeger mt dem Knoten x m Mengenbaum S verbunden, wenn x S

23 Modellerung N-Baum De Menge aller Namen von st Mengenbäumen st n enem balancerten, sorterten Baum gespechert De Wurzel jedes Mengenbaums st durch enen Verwes n bede Rchtungen mt senem Namen m N- Baum verbunden

24 Umsetzung der Operatonen fnd(x) Jeder Knoten enes Mengenbaums zegt auf senen Elternknoten x m U-Baum fnden, von dort n den Mengenbaum, der x enthält, wechseln, dann hoch zur Wurzel accessmn(n), deletemn(n) Mengenbäume snd heap-geordnet unon(, j, k) Falls Verengung nach Größe oder Höhe, dann muss dese Größe n der Wurzel der Mengenbäume mtgeführt werden nsert(x, ) Füge x n U-Baum en Suche m N-Baum Folge Zeger zur Wurzel des S -Baums Füge x n S -Baum en 4

25 Umsetzung der Operatonen delete(x, ) fnd(x) Wenn der gefundene Mengenbaum tatsächlch heßt, dann entferne x aus S und dem U-Baum kthelement(k) Begnne be Wurzel p des U-Baums Falls z(p) < k, dann gbt es ken k-tes Element m U-Baum Falls k = z(left(p)) +, dann enthält p das k-te Element Falls k z(left(p)), dann suche n lnks(p) weter Ansonsten suche das (k - z(left(p)) )- te Element n rght(p) 5