Mathematik für berufliche Gymnasien

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1 Ott Mathematik für berufliche Gmnasien Abitur 06 CAS Merkur Verlag Rinteln

2 Wirtschaftswissenschaftliche Bücherei für Schule und Prais Begründet von Handelsschul-Direktor Dipl.-Hdl. Friedrich Hutkap Verfasser: Roland Ott Oberstudienrat Fast alle in diesem Buch erwähnten Hard- und Softwarebezeichnungen sind eingetragene Warenzeichen. Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu 5a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen. * * * * * 6. Auflage 05 0 b MERKUR VERLAG RINTELN Gesamtherstellung: MERKUR VERLAG RINTELN Hutkap GmbH & Co. KG, 3735 Rinteln info@merkur-verlag.de lehrer-service@merkur-verlag.de Internet: ISBN

3 Übersicht Abiturprüfung am beruflichen Gmnasium Teil Stoffgebiet Punkte Zeit (min) Einlesezeit 30 Analsis 45 0 Stochastik Anwendungsorientierte Aufgabe Wahlgebiet: Vektorielle Geometrie oder: Wirtschaftliche Anwendung 5 40 Wahlgebiet für das TG: Vektorgeometrie Wahlgebiet für alle anderen beruflichen Gmnasien (AG, BTG, EG, SG,WG) abhängig vom Schwerpunkt: Vektorielle Geometrie, Wirtschaftliche Anwendung Auswahlmöglichkeiten Vorgelegte Aufgabe(n) Auswahl durch Teil Analsis Vorgelegte Aufgabe ist zu bearbeiten Teil Stochastik A A SchülerIn Teil 3 Anwendung A A SchülerIn Teil 4 Wahlgebiet Vorgelegte Aufgabe ist zu bearbeiten Auswahlverfahren: Die Auswahl der Teil -Aufgabe (eine aus zwei vorgelegten) trifft SchülerIn. Die Auswahl der Teil 3-Aufgabe (eine aus zwei vorgelegten) trifft SchülerIn. Punkteverteilung (neu ab Abitur 03) Punkte von bis KMK Punkte

4 CAS-Leitsätze Für Lösungen gelten die folgenden Leitsätze: Terme, Gleichungen und Ungleichungen, welche sich bei der Bearbeitung der Prüfungsfragen ergeben, sind in der üblichen (mathematischen) Notation niederzuschreiben. Grundsätzlich sind Lösungsansätze und Lösungsschritte in sinnvoller Weise zu dokumentieren - dazu gehören auch Skizzen bzw. Zeichnungen und Tet. Lediglich bei Arbeitsanweisungen wie Lesen Sie ab..., Geben Sie an..., Nennen Sie... reicht die Angabe des Ergebnisses. Es ist zwischen Skizze und Zeichnung zu unterscheiden: (a) bei einer Skizze müssen die wesentlichen Eigenschaften z. B. des Schaubildes klar erkennbar sein. (b) eine Zeichnung muss wie bisher nach den üblichen Normen ausgeführt werden (siehe bisherige Lösungsvorschläge). Spezielle Lösungswege werden nur dann erwartet, wenn sie in der Aufgabenstellung eplizit verlangt sind. Lösungsvorschläge enthalten in der Regel nur die wesentlichen Lösungsschritte, nicht aber eine umfassende Darstellung der Lösung, wie sie von den Prüflingen erwartet wird. Auch wird i. a. nur ein Lösungsweg dargestellt, gleichwertige Ansätze sind selbstverständlich ebenfalls als richtig zu bewerten. Wichtiger Hinweis: Die Dokumentation sollte mit Bleistift und Papier, d. h. in korrekter mathematischer Schreibweise erfolgen. 7

5 Befehlsliste für TI-Nspire CAS Vergewissern Sie sich, dass das Sstem im Auto-Modus arbeitet. 5 Einstellungen Dokumenteneinstellung Berechnungsmodus Auto Stellen Sie grundsätzlich das Sstem auf Bogenmaß ein. 5 Einstellungen Dokumenteneinstellung Winkel Bogenmaß Wenn Sie den Sinus von 30 Grad berechnen wollen: sin(30 ) ergibt ½. (Das Gradzeichen erhalten Sie über Ð.) Wenn Sie Bogenmaß in Grad umrechnen wollen, z. B. π in Grad: π DD ergibt 80. (Das Umrechnungszeichen erhalten Sie über Ð.) Geben Sie zu einem TI-Befehl in der Regel die zu verwendende Variable an. Häufige Fehler Verwendung des Subtraktions-Zeichens - anstelle des Vorzeichens v Malzeichen fehlt: a(+3) (Der TI denkt, a ist eine Funktion.) t Schutzmaßnahme: Immer ein Malzeichen eingeben. Eingabe in nicht vollständig gelöschte Eingabezeile (Der TI denkt, es ist eine Variable mit dem Namen t) Unpaarige Klammern: Zu beachten ist, dass im Menü aufgerufene Funktionen z. B. µ sin oder b3solve( bereits mit einem Klammerpaar beginnen, wobei die schließende Klammer transparent erscheint. Bei längeren Termen sollte man die schließende Klammer gleich setzen und dann innerhalb der Klammer weitere eingeben, die schließende Klammer wird dann nach rechts verschoben. Verwendung von alphanumerischen Zeichen bei der Funktionseingabe, z. B.: Eulersche Zahl durch e und nicht richtig durch ¹ mit anschließender Auswahl oder u Verwendung von belegten Variablen als Unbestimmte, ergibt keinerlei Fehlermeldung, aber unerwartete und unerklärliche falsche Resultate. Beachten Sie: Belegte Variablen werden fett kursiv dargestellt. Schutzmaßnahmen: Vor der Lösung eines neuen Problems löschen Sie alle Variablen: b3 bzw.4 Besser: Legen Sie für jedes Problem einen neuen Ordner an, z. B. Aufg, Aufg usw., Sie können dann immer auf die Funktionen und Variablen zurückgreifen: 8

6 Englische Bez. mit Snta Tastenfolgen Bedeutung und Beispiel Allgemeine Befehle Þ / Näherungsweise Berechnung eact(term) eact(0.355) ergibt 7 00 abs(...) t Betrag(...) Gleichungen lösen solve(gl, ) b3 Löst eine Gleichung nach der Variablen. Die Anzeige false bedeutet: Die Gleichung hat keine reelle Lösung, oder der TI findet keine Lösung. Die Anzeige true bedeutet: Die Gleichung hat unendlich viele Lösungen. Sonderfall: solve(sin()=0,) ergibt = n π n steht für ganze Zahlen with[[ Í Einschränkung der Definitionsmenge unter faktor(term,) b3 Faktorisieren zeros(term,) zeros(term,a) b34 Verwendung des with -Operators solve(sin()=0,) ( π < ) and ( < π) ergibt = 0 als einzige Lösung. Vor und nach and muss ein Leerzeichen stehen. (Nullstellen sind ablesbar) factor( 5,) ergibt ( + 3)( 5). Berechnet die Nullstellen eines Funktionsterms mit der Variablen bzw. a und gibt die Lösungsmenge aus. zeros( 3,) ergibt { 3, 3 } polroots(,) b38 Polnomwerkzeuge z. B. Lösung einer Polnomgleichung b37 bzw. b37 Löst ein Gleichungssstem mit zwei Gleichungen und den Variablen und. Entsprechend mit mehreren Gleichungen. 9

7 Ungleichungen: Lösung über Gleichung und anschließender Vorzeichenbetrachtung zwischen den Nullstellen Formeln umstellen : Sie können mit dem solve-befehl (Löse-Befehl) Formeln umstellen z. B. R = R + R umstellen nach R r : solve(/r=/r+/r,r) ergibt r= r r r Termumformungen faktor(term,) b3 Faktorisiert einen Funktionsterm nach der Variablen faktor( 3,) ergibt ( + 3 )( 3 ) epand(term,) b33 Ausmultiplizieren (Umkehrung von faktor) epand(( )(+ 3)( ),) ergibt ( ) comdenom(term,) b394 Light-Version von faktor comdenom( + +,) ergibt Untersuchung von Funktionen f() = 4; R g() = + ; R h t () = t t; t, R Define f()= ^ 4 b f() = ^ 4 oder schneller: f()ï ^ 4 f(5) f(5) Berechnung von Funktionswerten f(t,) Ï t r^ t Funktion mit Parameter f t () Man liest f t von, also Parameter t zuerst, dann die Variable. Malzeichen nicht vergessen, s.o. f(3,5) f(3,5) Funktionswert für = 5 mit dem a()ït Parameterwert t = 3 Abschnittsweise Definition einer Funktion a: f() für 0 a() = g() für > 0 ergibt, wenn f() = Ergebnis in Eingabezeile kopieren und als fs() definieren, also fs():= Berechnung des Ableitungsterms f () Ableitungsfunktion f () mit fs() bezeichnen. 0

8 Term der. Ableitung Ergebnis in Eingabezeile kopieren und als fss() definieren, also fss():= Ableitungsfunktion f () mit fss() bezeichnen fs(5) Berechnung der Ableitung an der Stelle 5. = fs() ( ) + f() = Gleichung fs() ( ) + f() Steigung des Graphen von f im Punkt P(5 f(5)) Gleichung der Tangente im Punkt P des Schaubildes von f mit den Koordinaten ( f()) allgemein: P( 0 f( 0 )), = f ( 0 )( 0 ) + f( 0 ) der Normalen im Punkt P ( f()) des Schaubildes von f Berechnung des Terms einer Stammfunktion Bestimmung einer Stammfunktion von f (Die Integrationskonstante ist Null.) Ergebnis in Eingabezeile kopieren und als ff() definieren, also ff():= Bestimmung des bestimmten Integrals in den Grenzen 0 und fmin(f(),) fma(f(),) b47 b48 b4 4 Limes Berechnung der Fläche, die der Graph von f und der Graph von g in den Grenzen 3 und 4 einschließen. (Das geht auch für g() = 0.) fmin bestimmt das globale Minimum, fma das globale Maimum. (Immer im Graphikfenster kontrollieren) Untersuchung auf Verhalten von f() für z. B. lim e = 0 = 0 ist Asmptote enter

9 Mit die Anwendung Graphs einfügen. Grafik Mit b9 Einstellungen wie folgt einstellen und mit Standard bestätigen. Mit Hilfe der Wertetabelle /T und der Schrittweite der Wertetabelle b 5 kann man den Schaubildausschnitt sinnvoll wählen. Mit /T kann man die Wertetabelle wieder ausblenden. f3()=h(,) Plottet das Schaubild der Funktion h f4()=h({,,,},) Plottet die vier Schaubilder der Funktion h t mit den Parameterwerten t =,,,. Cursortasten b5 Spur Der Cursor bewegt sich entlang einer Kurve. Cursortasten Mit den Cursortasten können die einzelnen Kurven ausgewählt werden.

10 Vektorrechnung Für Vektoren bzw. Matrizen wählen Sie Namen, die mit den Buchstaben v bzw. m beginnen. Vektoren werden als Spaltenvektoren geschrieben, die Bezeichnung ist z. B. va für _ a bzw. vb für _ b. Eingabe z. B.: [; ; 3] Ë va bzw. vb Ï [ 4;5;6]. linsolve... norm(va) norm(vb-va) b77 Löst ein Gleichungssstem mit zwei Gleichungen und den Variablen und. Siehe Seite unten Berechnet den Betrag eines Vektors _ a = + + a a a 3 Abstand zweier Punkte A und B bzw. Länge des Strecke AB: AB = b a dotp(va,vb) b7c3 Berechnet das Skalarprodukt zweier Vektoren a b = a b + a b + a 3 b 3 a b = a b a cos (, b ) unitv(va) b7c Berechnet den Einheitsvektor von a : a 0 = a a cos dotp(unitv(va)r unitv(vb)) Berechnet den Winkel zwischen a und b bzw. den Schnittwinkel zweier Geraden mit den Richtungsvektoren a und b : α = cos a b ( ) = cos b ( a 0 b 0 ) a crossp(va,vb) b7c Berechnet das Kreuzprodukt zweier Verktoren: a b. Das Ergebnis ist ein Vektor, der orthogonal zu a und zu b ist. ref(ma) b74 Liefert die Dreiecksform der Matri ma; ( ) rref(ma) b75 Liefert die zeilenreduzierte Form der Matri ma; ( ) 7 3

11 Analsis Analsis Tei der Abiturprüfung. Stoffübersicht - Analsis Ganzrationale Funktionen Hauptform einer Geraden: = m + b Steigung: m = f( ) f( ) m = tan α Punkt-Steigungs-Form: = m ( ) + f( ) P ( f( )) b P ( f( )) α f( ) f( ) Zwei Geraden stehen senkrecht aufeinander, wenn für ihre Steigungen m und m gilt: m = m Graph K einer Polnomfunktion f: f() = a n n + a n n a + a 0 Smmetrie zur -Achse für n gerade: f() = a + c oder f() = a 4 + c + e Smmetrie zum Ursprung für n ungerade: f() = a 3 + c oder f() = a 5 + c 3 + e Nullstellen einer Polnomfunktion f (ganzrationale Funktion f): f() = 0 Eine ganzrationale Funktion f vom Grad n hat höchstens n Nullstellen. Für n ungerade hat f mindestens eine Nullstelle. Eponentialfunktionen Asmptoten bei Schaubildern von Eponentialfunktionen Beachten Sie: Eine Asmptote (Näherungsgerade) für ` bzw. ` kann vorliegen, wenn e u() K K K K: f() = e K: f() = e 0,5 K: f() = ( + ) e 0,5 e 0 für ` e 0,5 0 für ` e 0,5 0 für ` Waagrechte Asmptote: Schiefe Asmptote: Waagrechte Asmptote: = = = 0 4

12 Analsis Trigonometrische Funktionen Trigonometrische Funktionen der Form f() = asin(b( + c)) bzw. g() = acos(b( + c)) Periode: p = p b Amplitude: a Bedeutung der Parameter in f() = a sin(b( + c)) + d K f entsteht aus der Sinuskurve mit = sin() c: Verschiebung in -Richtung; c > 0 nach rechts b: Streckung in -Richtung mit Faktor b Periode p = p b a (a > 0): Streckung in -Richtung für a < 0 zusätzlich eine Spiegelung an der -Achse d: Verschiebung in -Richtung. Abbildungen einer Kurve K f 4 3 f() = sin(0,5()) +,5 a = halbe Periode Das Schaubild K g einer Funktion g entsteht aus dem Schaubild K f einer Funktion f durch Verschiebung in -Richtung um c: g() = f() + c in -Richtung um b: g() = f( b) (Ersetze durch ( b).) (c > 0 nach oben, c < 0 nach unten) (b > 0 nach rechts, b < 0 nach links) Spiegelung an der -Achse: g() = f() an der -Achse: g() = f( ) (Ersetze durch ( ).) Streckung in -Richtung um Faktor a > 0: g() = a f() (Für a < 0 zusätzlich eine Spiegelung an der -Achse.) in -Richtung um Faktor a > 0: g() = f( a ) (Ersetze durch ( a ).) 5

13 Analsis Vielfachheit von Nullstellen einer Funktion f: 0 ist einfache Nullstelle von f 0 ist doppelte Nullstelle von f K f schneidet (durchkreuzt) die -Achse. K f berührt die -Achse. Vorzeichenwechsel von f() kein VZW von f() ist dreifache Nullstelle von f K f schneidet und berührt die -Achse; VZW von f() Vielfachheit von Nullstellen von f: = u ist einfache Nullstelle von f: f() = ( u) g() = u ist doppelte Nullstelle von f: f() = ( u) g() = u ist dreifache Nullstelle von f: f() = ( u) 3 g() mit g(u) 0 Differentialrechnung Mittlere Änderungsrate über [a; b]: Momentane Änderungsrate in 0 : Tangente an K von f in = u: Normale an K von f in = u: K f 3 K f f(b) f(a) m = b a lim f( 0 + h) f( 0 ) h 0 h = f ( 0 ) = f (u) ( u) + f(u) Steigung Koordinaten des Berührpunktes = f (u) ( u) + f(u) Beachten Sie: Die Normale von K im Kurvenpunkt B ist die Gerade, die zur Tangente in B senkrecht (orthogonal) steht Monotonie: f ist monoton wachsend (fallend), wenn gilt: f () 0 (f () 0) Krümmung: K f ist rechtsgekrümmt (linksgekrümmt), wenn gilt: f () < 0 (f () > 0) Schnittwinkel: f () = tan(α) liefert den Winkel zur Waagerechten (Steigungswinkel) K f 6