Vorlesungs-Skript. Maschinendynamik. Prof. Dr. Dieter Joensson. HTW Berlin 2016 Fachbereich Ingenieurwissenschaften Technik und Leben

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1 Vorlesungs-Skript Maschinendynamik Prof. Dr. Dieter Joensson HTW Berlin 6 Fachbereich Ingenieurwissenschaften Technik und Leben für das. Fachsemester des Masterstudienganges Maschinenbau mit 4 Stunden Vorlesung pro Woche

2 Inhaltsverzeichnis Maschinendynamik. Einleitung Refreshing zur Berechnung von Schwingungssystemen mit Freiheitsgrad: Skript TM 3 Seite 63 bis 95, mit gesonderten Übungsaufgaben. Schwingungssysteme mit n Freiheitsgraden 3. Eigenfrequenz-Berechnung 3. Abschätzung der untersten Eigenfrequenz 9.3 Eigenschwingformen.4 Erzwungene Schwingungen mit n Freiheitsgraden 7.5 Komplexe Berechnung harmonisch erregter Schwingungen 9.5. Warum komplex? 9.5. Komplexe Berechnung - Grundlagen Komplexe Beschreibung harmonisch erregter -Freiheitsgrad- Schwinger Harmonisch erregte Schwingungen mit n Freiheitsgraden Erregerkräfte mit Phasenverschiebung β Modellierung schwingender Maschinen als MKS Einleitung MKS-Modellierung von Punktmassen in Maschinen MKS-Modellierung von Federelementen Echte Federelemente Konstruktiv bedingte Federwirkungen MKS-Modellierung von Dämpferelementen Echte Dämpferelemente Dämpfung als Nebenwirkung 5 4. Biegeschwingungen elastischer Achsen und Wellen 5 4. Biegekritische Drehzahl 5 4. Biegekritische Drehzahl ohne Rotormasse Biegekritische Drehzahl für mehrere Einzelmassen 55

3 Inhaltsverzeichnis Maschinendynamik 5. Torsionsschwingungen elastischer Achsen und Wellen Die Torsions-Federkonstante Torsionskritische Drehzahl Mehrere Wellenabschnitte Wenn mehrere Rotormassen tordieren Torsionsschwingungen in Getrieben 6 6. Dynamische Berechnungen mit Ansys Workbench Übersicht Mehrkörperdynamik Transiente Strukturmechanik Export MKS zu FEM statisch 68 Mathcad-Übungen ab Seite 7 der vorliegenden Datei Skript_MDyn.pdf FEM- Übungen ab Seite 4 Literatur-Emfehlungen zur Maschinendynamik Seite 34

4 Maschinendynamik Seite M a s c h i n e n d y n a m i k. Einleitung Maschinendynamik bedeutet Anwendung der Dynamik auf Maschinen und Fahrzeuge. Dabei sind Bewegungsvorgänge mit n Freiheitsgraden typisch. Im Modul Technische Mechanik des Bachelor-Grundlagenstudiums werden üblicherweise nur Bewegungsvorgänge mit Freiheitsgrad behandelt. Typisch für Maschinen und Fahrzeuge ist außerdem, dass bei den meisten Bewegungsvorgängen Schwingungen auftreten. Lernziel dieses Moduls: Berechnung von schwingend beanspruchten Maschinen mit n Freiheitsgraden. Zum Auftakt: Refreshing zur Berechnung von Schwingungssystemen mit Freiheitsgrad als notwendige Voraussetzung für n Freiheitsgrade: D. Joensson: Vorlesung Technische Mechanik 3. HTW Berlin 5, Fachbereich Ingenieurwissenschaften. S Prof. Dr. 5

5 Maschinendynamik Seite Maschinen und Fahrzeuge schwingen oft regellos. Beispiel: Spannungs-Zeitverlauf der maximalen Biegespannung eines Bauteils (t) m t Derartige Schwingungen können mittels Fourieranalyse in harmonische Anteile zerlegt werden - als Summe sinusförmiger ( harmonischer ) Schwingungen: m t ˆ + + t ˆ t Null Hertz Frequenz" = Statische Ruhelage Grundschwingung mit Frequenz f bzw. rationell zusammengefasst im Amplituden-Frequenzgang ˆ ˆ. Oberschwingung mit Frequenz f usw. f f f 3 f 4 f [Hz] Jede regellose Schwingung kann demzufolge als Summe harmonischer Schwingungen interpretiert werden.

6 Maschinendynamik Seite 3. Schwingungssysteme mit n Freiheitsgraden. Eigenfrequenz-Berechnung n Freiheitsgrade n Eigenfrequenzen Die Schwingungs-Differenzialgleichung m q kq des -Freiheitsgrad-Systems mit q als generalisierter Koordinate wird jetzt k m q zu einem Differenzialgleichungs-System mit n Gleichungen: M q Kq z.b. für q q q 3 mit M Massenmatrix, K Steifigkeitsmatrix, d.h. q Vektor der Beschleunigungen für n generalisierte Koordinaten q Vektor der Auslenkungen Nullvektor als rechte Seite q bis q n M + K = Dieses Gleichungssystem enthält n Differenzialgleichungen.

7 Maschinendynamik Seite 4 Um die Eigenfrequenz des -Freiheitsgrad-Systems zu berechnen, kann der Euler-Ansatz verwendet werden: qt () K e t Im Sonderfall einer statischen Anfangsauslenkung (ohne Anfangs- Geschwindigkeit) genügt statt dessen der Ansatz qt () qˆ cos( t) mit Amplitude ˆq = statische Anfangsauslenkung q o q q o qt () t Dieser Ansatz wird nach t abgeleitet: qt () qˆ sin ( t) qt () qˆ cos( t) und in die Differenzialgleichung m q kq eingesetzt: m[ qˆcos ( t)] kqˆcos ( t) qˆ cos ( t) kann ausgeklammert werden, also m k bzw. k m Daraus folgt die gesuchte Eigenfrequenz f k m Nur der positive Wert der Eigenfrequenz ist physikalisch sinnvoll.

8 Maschinendynamik Seite 5 Bei n Freiheitsgraden und statischer Anfangsauslenkung wird der Cosinus- Ansatz auf alle generalisierten Koordinaten angewendet: q () t qˆ cos( t ) q () t qˆ cos( t) q () t qˆ cos( t) n n d.h. alle Freiheitsgrade schwingen jeweils mit der gleichen Frequenz (z.b. mit I ), aber mit unterschiedlichen Amplituden ˆq bis q ˆn. Jede Zeile wird zweimal nach t abgeleitet. Ergebnis: ˆ q () t q cos( t ) ˆ q () t q cos( t) q () t qˆ cos( t) n n Der Ansatz und seine. Ableitung lauten in Matrix-Schreibweise: qt () qˆ cos( t) bzw. ausführlicher geschrieben und qt () qˆ cos( t) bzw. q() t qˆ q() t qˆ cos ( t) qn() t qˆ n q() t qˆ q() t qˆ cos ( t) qn() t qˆ n

9 Maschinendynamik Seite 6 Einsetzen von q und q in das Diff.gleichungssystem M q Kq liefert M [ qˆcos ( t)] Kqˆcos ( t ) Damit entsteht: Hier kann nur cos ( t) ausgeklammert werden. K M qˆ Spektralmatrix S sowie Vektor der Amplituden qˆ ( qˆ qˆ qˆ ) T n Nullvektor als rechte Seite, also ein algebraisches Gleichungssystem ohne Differenziale S = mit n Gleichungen. Die gesuchten Eigenkreisfrequenzen bis n sind aus der Determinante der Koeffizienten-Matrix berechenbar, indem det S zu Null gesetzt wird: det S jetzt mit skalarer Null Aus dieser Bedingung folgt ein Polynom n-ten Grades für den so genannten Eigenwert ( Spezielles Eigenwertproblem der Mathematik): n n n a b Die Nullstellen dieses Polynoms sind die Quadrate der gesuchten Eigenkreisfrequenzen:,. n n und daraus wiederum folgen die Eigenfrequenzen mit f / in Hz. i i

10 Maschinendynamik Seite 7 Beispiel Aufgabe M4 ( n = Freiheitsgrade ) Gleichung () m x kx kx = m x (k k ) x k x = () Umformung in Matrix-Schreibweise:.) Jede Zeile so schreiben, dass alle Unbekannten (hier x bis x ) enthalten sind. Die Reihenfolge ist dabei frei wählbar! z. B. x x x x Zuerst Gl. (), weil hier der Faktor vor x ungleich Null ist: m x x (k k ) x k x = (a) x m x k x k x = (a).) Koeffizienten-Matrizen mal Unbekannten-Vektoren m x kk k x m x k k x x x und x x : M x + K x = Diese Umformung der Gleichungen a und a in Matrix-Schreibweise entspricht dem Falkschen Schema (nach Sigurd Falk 95): x y Zeile mal Spalte a b x a b c d y c d a x by c x dy z.b. m x m x m x x x m x

11 Maschinendynamik Seite 8 Weiter mit M4: Die Matrix-Schreibweise zeigt, dass auch hier wie auf S. gilt: M q Kq Die beiden Eigenfrequenzen folgen somit aus det S = mit S = K M kk m k k k m als Überlagerung der beiden Matrizen K und M mit : det S = k k m k m k =

12 Maschinendynamik Seite 9. Abschätzung der untersten Eigenfrequenz Ohne großen Aufwand kann diese Frequenz (der Grundschwingung) für n Freiheitsgrade nach der Formel von Dunkerley abgeschätzt werden: n i i = D Mit : tatsächlich vorhandene unterste Eigenkreisfrequenz D : nach Dunkerley geschätzte unterste Eigenkreisfrequenz i : simulierte Eigenkreisfrequenz eines Freiheitsgrades i, bei dem nur jeweils Masse bzw. nur Massenträgheitsmoment gelten soll. Alle anderen Massen werden künstlich zu Null gesetzt. Beispiel: m k k 3 m k : m = setzen k k 3 k Reihenschaltung k und k 3 sowie Rotationsträgheit J A des Stabes der Masse m : k k 3 m k m = setzen Der Stab ist masselos mit J A =, wirkt aber als starrer Hebel.

13 Maschinendynamik Seite Abschätzung nach Neuber Ähnlich Werte entstehen für i, wenn jeweils nur Feder elastisch angenommen wird und alle anderen Federn starr idealisiert werden. Dann i in die gleiche Formel wie bei Dunkerley einsetzen. Beispiel: k m k m nach Dunkerley: k k m k m k / m ges k k mit kges k k k / m (in Reihe) nach Neuber: k /( m m ) Feder k elastisch m m k m m k k / m starre Feder k Sowohl für Dunkerley als auch für Neuber gilt dann die gleiche Formel für : Vorteil der Dunkerley- (und Neuber-) Formel: Mit geringem Aufwand kann geprüft werden, ob Computerergebnisse plausibel sind, falls Modellierungsfehler vermutet werden ob die unterste Eigenkreisfrequenz u deutlich größer ist als die oberste Erreger-Kreisfrequenz o (wenn ja, sind erzwungene Schwingungen unkritisch starre Maschine (Richtwert dafür: 3 u o ).

14 Maschinendynamik Seite.3 Eigenschwingformen Bei Freiheitsgrad gibt es nur Schwingform z.b. x oder x Bei n Freiheitsgraden gehört zu jeder Eigenfrequenz spezielle Schwingform, z.b. für Freiheitsgrade für 3 Freiheitsgrade Grundschwingung mit Frequenz f. Oberschwingung mit Frequenz f. Oberschwingung mit Frequenz f 3 Bei jeder nächst höheren Eigenfrequenz entsteht weiterer Schwingungsknoten als Nulldurchgang.

15 Maschinendynamik Seite Beispiel: Balken als Kontinuum mit vielen Freiheitsgraden z.b. mit f = 83,4 Hz f = 39,3 Hz f 3 = 9, Hz f 4 = 48,7 Hz Bei vielen Freiheitsgraden gibt es viele Schwingungsknoten: Höchste Eigenfrequenz f = Hz Für technische Belange sind vorrangig die untersten (niedrigsten) Eigenfrequenzen von Interesse. Sie haben die größten Auslenkungen und Frequenzwerte, die von technischen Apparaten in Resonanz dauerhaft angeregt werden können.

16 Maschinendynamik Seite 3 Aussagewert der Eigenschwingformen: Schwingungsknoten und Schwingungsbäuche sind erkennbar..) Wenn Erregerkräfte auf Schwingungsknoten einwirken, haben sie keine Resonanzwirkung (auch nicht bei Resonanz)..) Konstruktive Veränderungen durch Masse-Zugabe oder Versteifung der Struktur durch zusätzliche Federn sind an Schwingungsbäuchen am wirkungsvollsten. Allgemein gilt: Masse-Zugabe an Stelle führt zur Absenkung aller Eigenfrequenzen, Feder-Zugabe zur Anhebung aller Eigenfrequenzen. Trotzdem ist eine gezielte Einflussnahme auf einzelne Eigenfrequenzen möglich, z.b.: A B D Grundschwingung C mit f. Oberschwingung C mit f Masse-Zugabe am Punkt C führt hier zur Absenkung der Grundschwingung. Die. Oberschwingung wird davon deutlich weniger beeinflusst. Masse-Zugabe am Punkt D jedoch senkt gleichermaßen beide Eigenfrequenzen ab.

17 Maschinendynamik Seite 4 Berechnung der Eigenschwingform Nr. i : Zuerst die i - te Eigenkreisfrequenz ii berechnen ( aus det S = ). Dann diesen Wert i in das algebraische Gleichungssystem von S. 5 einsetzen: K M qˆ Damit sind die Amplitudenwerte q ˆ ii der i - ten Eigenfrequenz ermittelbar: ii K M q ˆ ii Die Werte q ˆ ii beschreiben die gesuchte Schwingform Nr. i. Beispiel Aufgabe M4 Für die. Eigenfrequenz gilt: i = i Damit lautet das zugehörige Gleichungssystem mit der Spektralmatrix S von S. 7: k k i m k x k k x i m i K M q ˆ i = Frequenz Nr. Oder kürzer geschrieben: a a x a a x bzw. ausmultipliziert a x a x a x a x () () Der zweite Index bei x und x kennzeichnet nur die Frequenz-Nummer.

18 Maschinendynamik Seite 5 () und () sind zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten x und x.! Aber: Trotzdem NICHT lösbar, weil das Gleichungssystem homogen ist (rechte Seite = ). Zum Beispiel folgt hier aus Gleichung (): a x a x x a (a) x a Einsetzen in () liefert: a a x a a x a a a x also a bzw. x und einsetzen in (a): x Fazit: Die Amplituden q ˆ ii von Eigenschwingformen in mm oder in Winkelgrad sind prinzipiell NICHT berechenbar! Berechenbar sind nur Schwingformen als dimensionslose Zahlenwerte (NORMIERTE Amplitudenwerte q ˆ i ), z.b. xˆ xˆ xˆ max bezogen auf irgendeine Amplitude ˆx max.

19 Maschinendynamik Seite 6 Zum Beispiel: Gleichung () und () auf S. 3 jeweils durch x dividiert liefert: x x a a x x bzw. x x a a x x a a x (b) a a x (b) Der normierte Amplitudenwert x (auf x bezogen) kann jetzt z.b. aus (b) ermittelt werden: a x a Ergebnis ist eine dimensionslose Zahl, z.b Exakt dieselbe Zahl entsteht, wenn x aus Gleichung (b) berechnet wird: a x a Im Unterschied dazu hat die Amplitude x den Wert, : x x x Zusammenfassung Schwingformen: Die Amplituden jeglicher Schwingformen sind nur dimensionslose Zahlen! Es handelt sich stets nur um normierte Werte. Dies sind keine wirklichen Auslenkungen (in Millimeter oder in Winkelgrad bei Verdrehungen), sondern nur mögliche Auslenkungsformen, wenn das Schwingungssystem zu Schwingungen angeregt werden würde.

20 Maschinendynamik Seite 7.4 Erzwungene Schwingungen mit n Freiheitsgraden Je Eigenfrequenz entsteht Resonanz Vergrößerungsfunktion mit n Gipfeln. Zum Beispiel entsteht bei harmonischer Krafterregung: V k 3 ohne Dämpfung D = mit Dämpfung D > ferr o fo mit o : Eigenkreisfrequenz der Grundschwingung ohne Dämpfung. V ist die so genannte Resonanzkurve. Daraus wird der Amplituden-Frequenzgang ˆx f err, wenn als Ordinate die Amplitude ˆx xstat V und als Abszisse die Erregerfrequenz f f verwendet wird. err o Bei n Freiheitsgraden entsteht ein solcher Amplituden-Frequenzgang für jeden Freiheitsgrad als Schwingungsantwort. Jeder Freiheitsgrad hat seine eigene n-gipflige Resonanzkurve! Beispiel: D = z i i F t Fˆ sin t Harmonische Kraft- i y j x D = erregung am Punkt i Ges:: Schwingungsantwort am Punkt j

21 Maschinendynamik Seite 8 An jedem Punkt der Struktur (auch bei j ) gibt es für die Verschiebungen 3 verschiedene Resonanzkurven entsprechend den Freiheitsgraden vx, vy, v z. z.b. Schwingungsantwort ˆv yj [mm] 3 v yj ( horizontale Verschiebung des Punktes j ) Amplituden-Frequenzgang ˆv f yj err ferr [Hz] Der Anfangswert der Schwingungsantwort bei f err Hz (hier etwa 8 mm) ist die statische Auslenkung ˆv yjstat infolge der Amplitude ˆF i als statischer Last. Für die x-auslenkung am Punkt j entsteht eine Resonanzkurve mit anderen Gipfelwerten bei den gleichen (Eigen-) Frequenzwerten: ˆv xj [mm] 3 xj ˆv f err usw. Weiteres Beispiel: ferr [Hz] Mcad-M4-St (Aufgabe M4 mit harmonischer Stützenerregung). Die kürzeste Lösung wird mit komplexer Matrizenberechnung erreicht.

22 Maschinendynamik Seite 9.5 Komplexe Berechnung harmonisch erregter Schwingungen.5. Warum komplex? Jede harmonische Erregung Q t Qˆ sin t Q Q(t) ˆQ T t mit ˆQ = Amplitude der Erregerfunktion Qt = Erregerkreisfrequenz = ferr und f err = / T erzeugt je Freiheitsgrad im stationären (eingeschwungenen) Zustand stets eine phasenverschobene Schwingungsantwort mit gleicher Frequenz : ˆ q t q sin t N q t n q(t) T ˆq t mit ˆq = Amplitude der Schwingungsantwort qt N = Nacheilwinkel der Schwingungsantwort in Relation zur Erregung. Die Nacheilzeit beträgt: t N N / In Abhängigkeit von der Erregerfrequenz Schwingungsantwort zu berechnen: f err sind somit zwei Größen der err und f ˆq f Amplituden-Frequenzgang Phasen-Frequenzgang N err Beide Größen sind gleichzeitig berechenbar, wenn eine komplexe Herleitung verwendet wird kürzester Lösungsweg für derartige Aufgaben.

23 Maschinendynamik Seite Der Phasen-Frequenzgang bei Freiheitsgrad Bisher wurde nur der Amplituden-Frequenzgang für Freiheitsgrad in folgender Form behandelt: ˆq,D q V,D stat V k V (,D.) k Beispiel für harmonische Krafterregung mit D = % d 3 f f o err o Daraus wird der echte Amplituden-Frequenzgang, wenn die Achsen neu beschriftet werden: Ordinate: ˆx xstat V an Stelle von V Abzisse: ferr fo an Stelle von Also ˆx mm ˆx ˆx(ferr) Amplituden-Frequenzgang für D = % ferr f in Hz f err o Für den Nacheilwinkel gilt z.b. bei Krafterregung mit Freiheitsgrad: D N,D arctan bzw. f,d als Phasen-Frequenzgang N err geschrieben wegen f err /fo Der Nacheilwinkel wird auch Phasenwinkel genannt. Er hat den Wert Null bei und kann bei Freiheitsgrad maximal 8 betragen.

24 Maschinendynamik Seite Wie der Nacheilwinkel vom Tempo der Erregung abhängig ist, soll im Folgenden demonstriert werden. Allgemein gilt: f err = / T bzw. err f /T Langsame Erregung o : ( ) Q, q Q(t) q(t) N t N t N tn N o Resonanz-Erregung o : ( ) Q, q Q(t) N t N t N T 4 T q(t) t T N T 4 N 9 o Sehr schnelle Erregung o : ( ) Q, q Q(t) q(t) N t N t N T T t N T N 8 o

25 Maschinendynamik Seite bzw. für alle möglichen -Werte dargestellt als Phasen-Frequenzgang: N 8 D = 9 D =,5,5 D =,,5,5 o f f err f in Hz o Wird ein bestimmtes Erregertempo vorgegeben, z.b. f err Hz wie auf S., dann schwingt das System mit einer bestimmten Amplitude ˆx und einem bestimmten Nacheilwinkel N. Wird das Abstimmungsverhältnis bzw. die Frequenz sich gleichzeitig beide Werte. f err geändert, ändern Siehe auch H-Stan Harmonische Stützenerregung mit Freiheitsgrad animiert, als pdf-datei oder als AVI-Datei Weitere Beispiele zu Frequenz- und Phasengängen sind in der pdf-datei Harm-Err- enthalten, sowohl reell als auch komplex berechnet.

26 Maschinendynamik Seite 3.5. Komplexe Berechnung - Grundlagen Für komplexe Größen sind verschiedene Schreibweisen üblich: x x x x. In den vorliegenden Mathcad-Übungen wird ein seitlicher Unterstrich für komplexe Größen verwendet. Jede komplexe Größe hat zwei Bestandteile und ist in der Gaußschen Zahlenebene als Punkt darstellbar: Im xi x oder Im xi xb x xr Re Re xr = Re (x_ ) Realteil xi = Im (x_ ) Imaginärteil xr und xi sind beides relle Größen (Koordinaten des Punktes im Koordinatensystem Im-Re) xb = Betrag von x_ (Abstand zwischen Nullpunkt und x_ ) α = Winkel (von Re nach Im drehend positiv definiert) x_ xr i xi x_ xbcos i sin kartesische Schreibweise für x_ Fazit: Jede komplexe Größe kann entweder jeweils mit i = mit Realteil und Imaginärteil oder trigonometrische Schreibweise ( Polarform ) mit Betrag und Winkel eindeutig beschrieben werden.

27 Maschinendynamik Seite 4 Betrag und Winkel sind auch aus xr und xi berechenbar: xb xr xi xi arctan xr Gegenkathete Ankathete Insbesondere die Polarform kann kürzer geschrieben werden mit der Eulerschen Formel: i cos i sin e Damit entsteht i xb e x_ in exponentieller Schreibweise Diese Schreibweise der Polarform von x_ ist für harmonische Schwingungen bestens geeignet. Damit kann die Lage von x_ in der Gaußschen Zahlenebene als Kreisbahn- Funktion von α interpretiert werden (mit Radius = Betrag): Im x _( ) Im xi( ) Re in Radiant 3 Re xr( ) Die Projektion der Kreisbahn x_( α) auf die Im-Achse liefert eine perfekte Sinusfunktion, die Projektion auf die Re-Achse liefert eine perfekte Cosinusfunktion, siehe Mcad-e-Funktionen Seite ff. in Radiant

28 Maschinendynamik Seite 5 Auf S.3 der pdf-datei Mcad-e-Funktionen wird eine Phasenverschiebung demonstriert, d.h. der Anfangswert der Sinus- und Cosinusfunktion beginnt bei einem Winkel. Dieser Winkel ist im Unterschied zum variablen Winkel α fest stehend. S.4 der pdf-datei: Bei harmonischen Zeitfunktionen tritt an die Stelle des Winkels α das Produkt t mit konstanter Kreisfrequenz und variabler Zeit t. Des Weiteren wude hier der Anfangswinkel negativ gesetzt im Sinne der erzwungenen Schwingungen ein Nacheilwinkel. Damit entsteht x_ t b e i t N mit Amplitude b der harmon. Schwingung xi(t) oder xr(t) und Phasenwinkel N als Nacheilwinkel (Winkel-Anfangswert bei t = ) Die Nacheilzeit am Anfang folgt aus N t N

29 Maschinendynamik Seite Komplexe Beschreibung harmonisch erregter -Freiheitsgrad- Schwinger Die phasenverschobene Schwingungsantwort von S. 9 ˆ q t q sin t kann als imaginärer Anteil einer übergeordneten komplexen Schwingungsantwort q_(t) interpretiert werden: q t Im q_ t N mit q_ t qˆ e i t N bzw. als Produkt geschrieben: i i t ˆ N q_ t q e e zeitabhängig (Sinus-Cosinus) zeitunabhängige komplexe Amplitude ˆq_ d.h. diese Amplitude enthält genau die beiden interessanten reellen Größen ˆq und : N i N q_ ˆ qˆ e Wenn ˆq_ bekannt ist, kann daraus sofort berechnet werden: ˆq = ˆq_ Betrag der komplexen Größe N = - arg ˆq _ Argument Lösungsweg für ˆq_: i i t N q_ t q e e ˆ einsetzen in die Schwingungs-Differenzialgleichung, dann i t e kürzen und ˆq _ ermitteln.

30 Maschinendynamik Seite 7 Beispiel: Harmonische Krafterregung b k b x k x m m x x F(t) F(t) : m x bx kx F t Weil jetzt nicht nur die Amplitude ˆx der stationären Schwingungsantwort ermittelt werden soll, sondern gleichermaßen auch der Nacheilwinkel N, wird eine komplexe Auslenkung beide gesuchten Größen enthält: i t Lösungsansatz ˆ Die Zeitableitungen dazu lauten: x _ t als partikuläre Lösung angesetzt, die x_ t x_ e für den eingeschwungenen Zustand i t ˆ i x_ t x_ e i t ˆ _ i x_ t x e = - Die oben ermittelte Bewegungsgleichung wird komplex erweitert geschrieben: m x_ bx_ kx_ F_ t F_ t F ˆ e i t mit ohne! Phasenverschiebung, siehe S. 9 und ˆF: Amplitude der Krafterregung [in N]

31 Maschinendynamik Seite 8 Einsetzen x_ t bis x_ t in die komplexe Differenzialgleichung liefert: i t i t i t ˆ i t m x_ ˆ e b ix_ ˆ e kx_ ˆ e F e Der Faktor i t e kann gekürzt werden: ˆ mx_ ˆ ibx_ ˆ kx_ ˆ F ˆ k m i b x_ ˆ F bzw. k dyn _ : dynamische Federkonstante (komplex) Oder kürzer geschrieben: k _ x_ ˆ Fˆ () dyn analog zu k xˆ Fˆ mit der statischen (reellen) Federkonstante k. Umstellen nach ˆx_ liefert: ˆx_ Fˆ k _ dyn bzw. ˆx_ n_ Fˆ () mit n_ n_ k m i b (3) komplexe Nachgiebigkeit in m/n als Kehrwert der dynamischen Federsteifigkeit in N/m Weil n_ von abhängt, ist auch ˆx _ eine Funktion der Erregerfrequenz f /. err

32 Maschinendynamik Seite 9 Aus ˆx_ folgt mit f : err xˆ f err x_ ˆ Amplituden-Frequenzgang reell f arg x_ Phasen- Frequenzgang reell, siehe S.6 N err ˆ Umrechnung des Produktes n_ Fˆ der Gleichung () von Seite 9 in Vergrößerungsfunktion mal x stat : Mit ˆF k xstat für die Krafterregung entsteht aus ˆx_ n_ Fˆ : ˆx_ k k m i b x stat komplexe Vergrößerungsfunktion V_ Also entspricht ˆx_ n_ Fˆ der Gleichung ˆx_ V_ xstat mit V_ m b i k k Dabei gilt m k o und o ist die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz. Damit kann der Quotient b D k m m D D k k k o siehe b im Refreshing TM 3 Seite 76. / genutzt werden und führt dann auf o V_,D id Siehe pdf-datei Harm-Err-, HK-, S.. (Dort mit j statt mit i geschrieben).

33 Maschinendynamik Seite 3 Mit dieser komplexen Funktion V_ sind nun die reellen Funktionen ermittelbar: V,D V_,D N,D arg V_,D negativ wegen Nacheilung Analytische Berechnung der reellen Werte: Zunächst Realteil und Imaginärteil von V_ berechnen: Vi = Im (V_) Vr = Re (V_) Daraus Betrag und Winkel ermitteln: V Vr Vi Vi N arctan Vr Damit Vi und Vr berechnet werden können, ist die kartesische Schreibweise für V_ anzuwenden: V_ Vr i Vi Dazu muss allerdings der vorliegende Formelausdruck für V_,D konjugiert komplex erweitert werden: usw. V_,D id id id

34 Maschinendynamik Seite Harmonisch erregte Schwingungen mit n Freiheitsgraden Für Freiheitsgrad gilt ˆ ˆx_ k m i b F_ Antwort- komplexe Amplitude der Amplitude, Nachgiebigkeit dynamischen Last komplex n_ (komplex, mit des Schwingungs- Sonderfall reell) systems Daraus wird für n Freiheitsgrade: ˆ ˆx_ K M i D f _ Vektor komplexe Vektor der der Antwort- Nachgiebigkeitsmatrix Last-Amplituden, komplex Amplitude, N_ ( Kraftvektor ) komplex mit K Steifigkeitsmatrix M Massenmatrix jeweils reell D Dämpfungsmatrix Die Matrix N_ heißt mitunter auch Frequenzgangmatrix H (z.b. bei Irretier, Band, S. 96). Die Matrix-Formel kürzer geschrieben lautet: ˆx_ N_ f ˆ _ Daraus folgen je Freiheitsgrad k =,, n die reellen Einzelwerte:

35 Maschinendynamik Seite 3 xˆ k x_ ˆ Betrag des k-ten Wertes des Vektors ˆx_ k Nk k arg x ˆ _ Nacheilwinkel Je Freiheitsgrad k entsteht so jeweils Funktion ˆx f als Amplituden-Frequenzgang und Funktion f Nk err k err als Phasen-Frequenzgang. Siehe z.b. Mcad-M4-St, S. 3 (dort sind nur die Amplituden- Frequenzgänge dargestellt). Die Matrix N_ ist für alle Erregungsarten gleich bleibend! (auch für transiente Erregung). Nur der Kraftvektor ˆf _ der Erreger-Amplituden ist abhängig von der Erregerart: Krafterregung: ˆF nur reelle Werte, d.h. ˆF ˆf _ = ˆf ˆf _ Alle Kräfte wirken mit gleichem ˆF n Erregertempo Unwuchterregung: Wie Krafterregung. Je Freiheitsgrad k gilt ˆF k mu ru mit Unwucht mu ru und gleiche Drehzahl k Stützenerregung: ˆf _ n k / für alle Unwuchten ˆF _ mit F_ ˆ sˆ k i b d.h. an Freiheitsgrad wird eine Weg-Amplitude ŝ eingeleitet, die wegen des Dämpfers zu einer phasenverschobenen Dämpferkraft führt.

36 Maschinendynamik Seite 33 Nacheilwinkel N aus arctan-formel Die Formel für die Handrechnung lautet: Nk Im arctan Re erfordert 4 Fallunterscheidungen. mit Im = Im (x_ ) und Re = Re (x_ ) Der Arkustangens ist nur definiert für = - 9 bis + 9, also für den. und 4. Quadranten: Weiteres Beispiel:.Q: Im Re.Q Im. Quadrant.Quartal x _ xi Im.Q: xr Re Re 3.Q 4.Q 3.Q: jeweils 8 Im addieren! Re xi = Im ( x_ ) xr = Re ( x_ ) 4.Q: Im Re Beispiel: x_ i liefert N arctan 3. Quadrant 43,6 8 = - 3,6 Weil hier der Nacheilwinkel negativ ist, gilt auch 36,4 Grad ( - 3, ) N x _ 3 4 i liefert N 88, bzw.. Quadrant N 7,9 Grad Fazit: Nur wenn der Realteil Re negativ ist, müssen 8 addiert werden.

37 Maschinendynamik Seite Erregerkräfte mit Phasenverschiebung.5.5. Kraftgleichung für die Erreger-Amplitude In Aufgabe N4 Nr. 3 wird ein einfacher Sonderfall behandelt: Startposition m u m u n n 8 vorauseilend Für beliebige Winkel gilt: err ˆ F t F sin t err mit ˆF err Erregerkraft-Amplitude und Vorauseilwinkel z.b. für = 4 bzw. in komplexer Schreibweise wie auf S. 6: err F _ t Fˆ e err i t = ˆF e e err i i t komplexe Erregerkraft- Amplitude, zeit-unabhängig kennzeichnet die sinusförmige Zeitabhängigkeit err ˆ F ˆ _ F cos i sin err

38 Maschinendynamik Seite Kraft- und Unwuchterregung In Erweiterung zu S. 3 gilt für : ˆf _ ˆF _ ˆF _ ˆF n _ Jetzt sind auch die Einzelwerte komplex mit F ˆ _ Fˆ cos i sin k wobei speziell für Unwucht gilt: für k = n Freiheits- k k u k u u grade Fˆ Fˆ m r k Beispiel: Aufgabe N4, Nr. 3 mit Unwucht-Kraft-Amplitude ˆF u (444 N) Zunächst ˆF u ohne Phasenverschiebung ( ): u u F ˆ _ Fˆ cos i sin ˆF u reell Dann ˆF u mit 8 : u u F ˆ _ Fˆ cos 8 i sin 8 - ˆF u ebenfalls reell

39 Maschinendynamik Seite Stützenerregung a) Zunächst ohne Erreger-Phasenwinkel Bei Stützenerregung s(t) mit Feder-Dämpfer-Einleitung besteht die Erregerkraft aus zwei Kräften: m k b s(t) err F t k s b s Federkraft Dämpferkraft mit s t sˆ sin t Also Ferr t k sˆ sin t b sˆ cos t t s bzw. wegen cos t sin t vorauseilend entsteht Ferr t sˆ k sin t b sin t d.h. die Dämpferkraft ist gegenüber der Federkraft um 9 vorauseilend phasenverschoben. Komplex geschrieben: i t i t i / ˆ F err _ t s k e b e e F err _ t s k b e e i / i t bzw. ˆ komplexe Amplitude ˆF err _

40 Maschinendynamik Seite 37 Mit dem speziellen Wert i / e i siehe z.b. Papula Formelsammlung 6. Auflage, S. 9 entsteht err F ˆ _ sˆ k ib siehe S. 3 unten. Das heißt, die Erregerkraft-Amplitude bei Stützenerregung ist bereits komplex ohne zusätzlichen Nacheilwinkel - wegen der um 9 phasenverschobenen Dämpferkraft. b) Phasenverschobene Stützenerregung Bei Fahrzeugen typisch: Vorderachse mit und Hinterachse mit. Auch hier gilt wie auf S. 34: err ˆ F ˆ _ F cos i sin err jetzt aber mit komplexem Anteil ˆF err err _, also ˆ F ˆ _ F _ cos i sin err bzw. F ˆ _ sˆ k ib cos i sin err oder nur kürzer geschrieben: err i ˆ F ˆ _ s k i b e

41 Maschinendynamik Seite 38 Damit entsteht in Erweiterung zu S. 3 für mehrachsige Stützenerregung: Beispiel: ˆf _ ˆF _ ˆF _ ˆF n _ für v w Ein Pkw mit Achsabstand l fährt mit Geschwindigkeit v über Bodenwellen der Wellenlänge w. Ges.: Phasenwinkel der Hinterachsen- Stützenerregung Lösung: Die Hinterachse erhält ihre Anregung um eine Zeitspanne t N später als die Vorderachse: t N / v (Nacheilzeit) Daraus folgt der Nacheilwinkel N t N gemäß S. 9 mit der Erregerkreisfrequenz Bei rollenden Fahrzeugen gilt speziell ferr f v / w err Der Phasenwinkel der Hinterachse ist demzufolge: N v w ist vorauseilend definiert, deshalb negativ zu v N. Also w in Radiant Zahlenbeispiel: v = 5 km/h w =, m Radstand l =,7 m. Ges.: f err in Hz und Phasenwinkel der Hinterachse in Grad

42 Maschinendynamik Seite Modellierung schwingender Maschinen als MKS 3. Einleitung Für erste Berechnungen möglichst wenige Freiheitsgrade modellieren. Beispiel: Starre Maschine auf elastischem Fundament mit 6 Freiheitsgraden z y x 3 mögliche Verschiebungen in x, y, z-richtung und 3 mögliche Verdrehungen um x, y, z Zunächst sollten nur die größten Schwingungen im Berechnungsmodell berücksichtigt werden. Z.B. könnte hier die Vertikalschwingung in z-richtung dominieren: z k v m Einfachstes Berechnungsmodell mit Freiheitsgrad liefert die Eigenfrequenz f = kv mit k v Federkonstante vertikal m und m Gesamtmasse der Maschine Soll aber zusätzlich die seitliche Schwingung in x-richtung und das Kippen um y mit berücksichtigt werden, ist bereits ein Berechnungsmodell mit 3 Freiheitsgraden erforderlich: m z z m x S y x J y y k v / k v / y Ohne größeren Aufwand kann hier nur die niedrigste Eigenfrequenz abgeschätzt werden.

43 Maschinendynamik Seite 4 Modellbildung der Maschinendynamik als Mehrkörpersystem (MKS): Nur Punktmassen idealisieren in den Schwerpunkten S i der beteiligten Körper i und Massenträgheitsmomente um Körper Masselose Federn und Dämpfer Idealisierte Lagerungen S i für Rotationen der 3. MKS-Modellierung von Punktmassen in Maschinen Massenträgheit = Widerstand gegen Beschleunigung, Bei Translation: d.h. gegen Geschwindigkeitsänderung. Masse = Schubträgheit Gesamtgewicht in den Schwerpunkt legen. Bei Rotationen (einschließlich Pendel- und Kippschwingungen): Zusätzlich Massenträgheitsmomente J als Drehträgheiten berücksichtigen. Im Unterschied zur Masse m Drehachse: c Drehachse a b ist J abhängig von der jeweiligen Je nach Drehachse a, b oder c entstehen hier bei gleicher Masse m drei verschiedene Werte J b oder J c J a, zu jedem Massenträgheitsmoment gehört bestimmte Drehachse!

44 Maschinendynamik Seite 4 Ermittlung von Massenträgheitsmomenten: a) rechnerisch Zerlegung in einfache Teilkörper: Eigenrotation plus Steiner-Anteil für jeden Teilkörper Refreshing: b) experimentell Messgerät: Eine Uhr Messvorgang: Pendeln des Körpers Für die Eigenrotation starrer Körper (d.h. Drehung um eine beliebige Drehachse bs durch den Schwerpunkt S des Körpers) gilt allgemein: JbS r dm m Aus diesem Integral folgen für konkrete Körperformen spezielle Formeln, z.b.: y Kreiszylinder z R l S x J xs = ys J zs = m R J = 3 mr y Sonderfall: Dünner Stab mit R << l z S l x J xs = J ys J zs = mr m z a y S c b x Quader m b c J xs = m a c J ys = m a b J zs =

45 Maschinendynamik Seite 4 Zu b) Experimentelle Ermittlung von J mittels Pendelversuch Beispiel: g S A a Aufhängen bei A, Schwingungsdauer Geg.: T A T A messen. Masse m, Erdbeschleunigung g Abstand a zwischen A und S Ges.: J S Lot unter A Lösung: Berechnungsmodell Physikalisches Pendel g A a J A S m g a sin A : J mga sin A Für kleine Winkel gilt: sin Also J mga bzw. A mg a J A mit A A : Eigenkreisfrequenz der Pendelschwingung um A mg a Zugehörige Eigenfrequenz: fa A J A f A ist der Kehrwert der Schwingungsdauer: f A T A also mg a Bestimmungsgleichung für A T J J A A

46 Maschinendynamik Seite 43 bzw. mg a TA JA und damit J mg a T A 4 A Gesucht ist aber J S. Aus A S J J m a mit Steiner-Anteil folgt schließlich J mg a TA S m a aus einer Zeitmessung für T A MKS-Modellierung von Federelementen 3.3. Echte Federelemente z.b. Schraubenfedern Tellerfedern Zugfedern - mit Ösen Druckfedern - ohne Ösen Spiralfedern Drehfedern Lineare Federkennlinie: a) bei Translation infolge Federkraft F x F(x) Dreha F x Dreha Federweg x Fx kx mit Federkonstante k F in N/m x für Zug/Druck

47 Maschinendynamik Seite 44 b) bei Verdrehung der Feder infolge Torsionsmoment M t M t M t k T M t mit k T Verdrehwinkel Mt Drehfederkonstante in N m wegen in Bogenmaß. Bei Schwingungen entstehen für Freiheitsgrad-Systeme mit Masse und linearer Federkennlinie folgende Eigenfrequenzen: f m k x k T m f k J k mit J p Massenträgheitsmoment um die polare m Torsionsachse p p T p Mögliche Probleme bei den echten Federelementen:.) Die Federkennlinie ist nicht linear..) Die Federkonstante bleibt nicht konstant bei steigender Frequenz. 3.) Die Lagerbedingungen der Feder sind nicht ideal. 4.) Die Federkennlinie ist für Be- und Entlastung verschieden, F z.b. Dämpfung infolge Reibungsdämpfung bei Tellerfederpaketen. x

48 Maschinendynamik Seite Konstruktiv bedingte Federwirkungen (infolge elastischer Verformungen kompakter Bauteile) Einfachster Fall: Balkenbiegung Beispiel: h m Geg.: Balken der Länge l masselos idealisiert, Punkmasse m Rechteck-Querschnitt des Balkens mit Höhe h und Breite b Ges.: Eigenfrequenzen des Systems Lösung: Die Masse kann hier in 3 Richtungen schwingen: Horizontal (Zug-Druck) sowie biegeschwingend, vertikal in der Zeichenebene und senkrecht dazu. a) Biege-Schwingung in Richtung x: x m k x Entspricht näherungsweise einem translatorischen Schwingungsmodell mit Freiheitsgrad wie auf S. 44 : f k Eigenfrequenz der Vertikalschwingung m Noch unbekannt ist die Federkonstante k des idealisierten Balkens. Zur Ermittlung von k wird eine statische Verformung am Ort der Masse m infolge einer fiktiven Kraft F simuliert:

49 Maschinendynamik Seite 46 F v(z) z v F v Infolge F entsteht eine statische Biegelinie v(z) mit einer Durchbiegung v F unter F Der Ansatz für die Biegelinie lautet: EI v M z b Integrieren Randbedingungen einsetzen siehe Festigkeitslehre Ergebnis v(z) Speziell für z = entsteht die Verformung v F F 3 E I 3 D.h. die Kraft F erzeugt hier den Federweg x v F Daraus folgt die Federkonstante k F x F F 3 E I 3 Also k 3EI 3 Speziell für die Schwingung in x-richtung gilt hier: y z x b h I I yy b h 3 bzw. b) in y-richtung I I xx h b 3

50 Maschinendynamik Seite 47 c) Horizontale Schwingung (Zug-Druck) z Statisches Ersatzmodell: F Infolge F entsteht im Balken die Zug-Normalspannung mit A : Querschnittsfläche des Balkens sowie wegen der Längenänderung die Dehnung F A Weil der Balken elastisch ist, gilt das Hookesche Gesetz: E und damit bzw. F E A E A F k L z interpretiert als Federkraft F z kl z F z Daraus folgt k L E A Längs-Federkonstante in N/m Für die Eigenfrequenz der Zug-Druck-Schwingung des Balkens gilt hier demzufolge: f k L = m E A m

51 Maschinendynamik Seite 48 Je nach Lagerungsart entstehen außerdem spezielle Biege-Federkonstanten: Beispiel Federkonstante k ) F v F 3EI 3 F v F ) v F F 3EI 3) 4) 5) symmetrischer Sonderfall = = / : 3 48 EI / EI 3 3 symmetrischer Sonderfall = = / : EI / (7 ) v F v F F F F v F EI 3 3EI symmetrischer Sonderfall = = / : 3 9 EI / 6) F v F 3EI 7) F v F EI 4 3

52 Maschinendynamik Seite 49 Das gemeinsame einheitliche Ersatzmodell für diese Tabelle entspricht dem translatorischen -Freiheitsgrad-Schwinger von S. 44 und 45: m k x Die Federkonstante k für die elastische Biegeverformung eines komplizierteren Bauteils kann auch alternativ mit dem Satz von Castigliano berechnet werden oder auch mit Finiten Elementen. Dabei wird die Auslenkung v F in Richtung einer frei wählbaren statischen Last F ermittelt. Der Quotient k F/v ist dann die Ersatz-Federkonstante. F 3.4 MKS-Modellierung von Dämpferelementen 3.4. Echte Dämpferelemente z.b. Schwingungsdämpfer in Fahrzeugen oder Viskose Drehschwingungsdämpfer in Textilmaschinen Ölschichten M t Die Dämpfung ist wesentlich abhängig vom Lagerspiel und von der Ölzähigkeit. Beides verändert sich im Laufe der Zeit.

53 Maschinendynamik Seite Dämpfung als Nebenwirkung z.b. Reibungen in Führungen und Lagern Luft- und Flüssigkeitswiderstände Fugenreibung an beweglichen Trennfugen Materialdämpfung (Verformungswiderstände durch innere Reibung im Innern federnder Bauteile) Beispiele dazu mit Lehrschem Dämpfungsmaß: Federelemente aus hochfestem Stahl D,5 % Bauelemente aus Baustahl bis,5 % Bauelemente aus Gusseisen % Bei Schwingungen sind Dämpfungen im allgemeinen erwünscht, lassen sich aber oft nur für die einfachsten Sonderfälle rationell auswerten. Insbesondere frequenzabhängige und weg-proportionale Dämpfungen mit und ohne Richtungsumkehr erfordern umfangreiche numerische Berechnungen. Das gilt auch bei globaler Dämpfung des gesamten Schwingungssystems, wenn die Dämpfung also nur schlecht lokalisierbar ist. Zusätzlich verändern sich die erwähnten Dämpfungen allmählich mit der Zeit - wie die echten Dämpferelemente.

54 Maschinendynamik Seite 5 4. Biegeschwingungen elastischer Achsen und Wellen 4. Biegekritische Drehzahl Diese Drehzahl tritt bei allen gleichmäßig rotierenden Achsen und Wellen durch Unwuchten (exzentrische Rotormassen) auf: m e Rotormasse m mit Schwerpunkt n Ab- außerhalb der Drehachse im stand e v r F U F k Drehzahl n Erregerkreisfrequenz n Die Unwucht des Rotors erzeugt die Fliehkraft Fu mu ru mit m u : Unwuchtmasse = Rotormasse m sowie ru e vr Unwuchtradius mit Exzentrizität e (statisch), v r : radiale elastische Verformung (dynamisch) Der Fliehkraft entgegen wirkt die elastische Feder-Rückstellkraft F k k v r Kräftegleichgewicht radial: : Fu Fk bzw. u u r m r kv m e v kv u r r

55 Maschinendynamik Seite 5 Daraus folgt: Der Quotient v interpretiert werden: mu e r kmu = e k mu k/m u kann als Eigenfrequenz einer Biegeschwingung k m u für das Schwingungsmodell m u k v r Damit entsteht Erweitert mit / : v v e r r e und mit folgt schließlich v e r bzw. v e r als Antwort-Amplitude mit x stat V u Vergrößerungsfunktion der harmonischen Unwuchterregung ohne Dämpfung d.h. die radiale Auslenkung wird im Resonanzfall unendlich groß! Biegekritische Drehzahl n b k bei k m u Mit n entsteht daraus: n bk k m 6 in U / min u

56 Maschinendynamik Seite 53 Betriebsdrehzahlen sollten möglichst ± 3 % über oder unter dieser Drehzahl bleiben: Kritischer Drehzahlbereich: n krit = (,7,3 ) b k n n b k ist nur abhängig von der Rotormasse m u und von der Biege-Federkonstante k der Welle gemäß der Tabelle auf S. 48. n b k ist nicht abhängig von e! Bei hohen Drehzahlen n > 3n b k zentriert sich die Welle sogar von selbst auf vr e bzw. auf r u. Begründung: V u Die Amplitude der Unwuchterregung lautet allgemein: ˆx xstat Vu Für 3 konvergiert V u auf den Wert,. Mit xstat e gilt hier: ˆx e, e

57 Maschinendynamik Seite Biegekritische Drehzahl ohne Rotormasse n Biegeschwingung des kontinuierlichen Balkens. Schwingform. biegekritische Drehzahl usw. bis zur. Schwingform.. Schwingform. biegekritische Drehzahl Exakte analytische Lösung für diese Lagerungsart Festlager-Loslager: i E I i 4 A mit i : Schwingform Nr. E : Elastizitätsmodul des Wellen-Werkstoffes I : Flächenträgheitsmoment des Wellen-Querschnittes : Dichte des Wellen-Werkstoffes A : Querschnittsfläche der Welle l : Länge der Welle zwischen den beiden Lagern Speziell für i = gilt: E I 4 A Daraus folgt die. biegekritische Drehzahl n bk / für Wellen 4 mit Vollkreisquerschnitten I r und A r 4 : n r bk 4 E 6 in U / min

58 Maschinendynamik Seite Biegekritische Drehzahlen für mehrere Einzelmassen n Mehrere Freiheitsgrade! Je Rotor Freiheitsgrad. Grundschwingung n b k. Oberschwingung n b k Die analytische Berechnung dafür ist aufwendig, siehe Kapitel. Numerische Berechnung z.b. mit FEM: Die unterste vom Programm berechnete Biege-Eigenfrequenz f liefert die. biegekritische Drehzahl: nbk f 6 in U/min usw. Analytische Abschätzung der untersten biegekritischen Drehzahl, z.b. nach Dunkerley (für eine durchgehend gleiche Welle) n Jeweils nur Masse annehmen: 3 Daraus abschätzen n 6 und bk in U/min

59 Maschinendynamik Seite Torsionsschwingungen elastischer Achsen und Wellen 5. Die Torsions-Federkonstante elastische Welle S Rotor der Masse m Drehachse p als polare Achse Die elastische Welle wirkt bei Torsion als Torsionsfeder: S J p M k Trägheits-Rückstellmoment nach d Alembert Feder-Rückstellmoment Mk kt mit Torsions-Federkonstante k T und Verdrehwinkel Aus der Momentenbilanz um S S : J k p T folgt die Schwingungs-Differenzialgleichung der Torsionsschwingung: kt J p () Auch hier kann die Federkonstante vorab statisch ermittelt werden: z M t Siehe Festigkeitslehre, Kapitel Torsion kreiszylindrischer Stäbe.

60 Maschinendynamik Seite 57 Für den Verdrehwinkel gilt demzufolge: z M t G I p () mit M t : Torsionsmoment, statisch aufgebracht l : G : Länge der Welle Gleitmodul in N/mm I p : polares Flächenträgheitsmoment des Wellen-Querschnittes I I x x y y I p ist speziell beim Vollkreis-Querschnitt: und beim Rohr-Querschnitt mit r a und i I p r 4 4 r : I p ra r i 4 Aus Gleichung () folgt: M t G I p k T Der Faktor vor kann als Torsions-Federkonstante (Drehfeder-Konstante) wie auf S. 44 interpretiert werden. Daraus folgt G Ip k T in N m Speziell für Vollkreis-Querschnitte gilt: für elastischen Wellenabschnitt der Länge. k T G r 4

61 Maschinendynamik Seite Torsionskritische Drehzahl Gemäß Gleichung () auf S. 56 lautet die Eigenkreisfrequenz der Torsionsschwingung: kt J p Analog zur biegekritischen Drehzahl folgt daraus die torsions-kritische Drehzahl für n: n tk kt J 6 in U / min p mit dem Massenträgheitsmoment J p des Rotors um die Längsachse p der Welle. 5.3 Mehrere Wellenabschnitte d d Parallelschaltung kt kt kt d d Reihenschaltung (Feder an Feder gekoppelt!) n k T i k Ti für n Wellenabschnitte Sonderfall Wellenabschnitte: k T k k T T k k T T

62 Maschinendynamik Seite Wenn mehrere Rotormassen tordieren Einfachster Fall: Zwei-Scheiben-Drehschwinger J J k T Berechnungsmodell: J J. Schwingform: Beide Winkel drehen in die gleiche Richtung. Damit aber entsteht nur eine Starrkörperdrehung mit f. Eigenfrequenz. Hz als. Schwingform: und drehen entgegen gesetzt. Damit entsteht eine Winkeldifferenz. Nur dadurch wird die Torsionsfederwirkung aktiviert. Aus der Momentenbilanz z.b. nach d Alembert mit diesen Differenzwinkeln folgt: k T kt J J kt kt also f = J J k J J J J T f Erst die. Eigenfrequenz f führt also zur. torsionskritischen Drehzahl: n f 6 in U / min tk

63 Maschinendynamik Seite 6 Erst bei mehr als Rotormassen kommt es zu mehreren torsionskritischen Drehzahlen, z.b. J 3 J 4 k k T T J J Reihenschaltung kt3 n Rotoren n torsionskritische Drehzahlen. Die. Eigenfrequenz ist stets f = Hz. Die analytische Berechnung der Eigenfrequenzen ist aufwendig (Kapitel ). Die unterste torsionskritische Drehzahl kann mit der Dunkerley-Formel abgeschätzt werden bzw. mit der Neuber-Formel. Ansonsten sind torsionskritische Drehzahlen auch numerisch ermittelbar, z.b. mit FEM. Die niedrigste ermittelte Torsionseigenfrequenz entspricht der. torsionskritischen Drehzahl n tk.

64 Maschinendynamik Seite Torsionsschwingungen in Getrieben Standardfall: Mehrere Wellenstränge k T Zahnrad mit Zähnezahl z J J 4 J 3 k T J Zahnrad Zur Berechnung des Getriebes ist eine Transformation auf eine unverzweigte Bildwelle von Vorteil, z.b. auf die Welle Nr. : k k * T T J 3 Ersatz-Rotor J * J 4 * Dazu müssen alle Federn Nr. auf die Welle Nr. transformiert werden: k T und alle Rotor- Drehträgheiten J der Welle k z * T kt z zwohin z woher J z * J z Hier also: * z J J J z und J z * 4 J 4 z

65 Maschinendynamik Seite 6 sowie k z * T kt z Erst dann sind die torsionskritischen Drehzahlen berechenbar. Aus der Bildwelle ist auch ersichtlich, dass hier nur zwei Drehzahlen vorhanden sind. Bei Getrieben mit Zahnrädern ist zusätzlich noch die Zahneingriffs-Frequenz f Z zu beachten: fz fd zan mit f D : Drehfrequenz in Hz Drehzahl n der Welle in U/s z An : Zähnezahl des Zahnrades auf der Antriebswelle Mit der Frequenz fz fd wird das Zahnrad zusätzlich tangential harmonisch krafterregt. Damit wird die Drehzahl n zur Erregerdrehzahl: fz ferr zan bzw. nz nerr zan Kritisch ist, wenn nz nt k (torsionskritische Drehzahl), also ntk nerr zan bzw. n tkzi n z tki An mit n tkzi : torsionskritische Zahneingriffs-Drehzahl Nr. i =,, als Erregerdrehzahl der Krafterregung n tki : torsionskritische Drehzahl Nr. i =,, nach Kapitel 5.4 Bei langsamer Drehung n < n tki können also bereits die kritischen Drehzahlen n tkiangeregt werden.

66 Maschinendynamik Seite Dynamische Berechnungen mit Ansys Workbench 6. Übersicht In Workbench können auf der Projektseite verschiedene Analyse-Systeme ausgewählt werden. Speziell zur Dynamik gehören: Antwortspektrum: z.b. zur Erdbebenanalyse Explizite Dynamik: Bauteilverhalten infolge kurzzeitig einwirkender Belastungen (bei Aufprall- und Stoßbelastung) Harmonische Analyse: Berechnung von Bauteilen unter harmonisch erzwungenen Schwingungen Übung W3 Mehrkörperdynamik: Dynamische Berechnung von Mechanismen starrer Körper Übung W3, W4 Modalanalyse: Eigenfrequenzen und Schwingformen frei ausschwingender Strukturen Übung W7 PSD-Analyse: Schwingungsverhalten infolge stochastischer Anregung Transiente Strukturmechanik: Berechnung flexibler Strukturen unter Einwirkung zeitlich beliebiger (transienter) Belastungen Übung W3, W4 Im Folgenden werden hier nur die Mehrkörperdynamik und die Transiente Strukturmechanik näher beschrieben.

67 Maschinendynamik Seite Mehrkörperdynamik (MKS) Die Mehrkörperdynamik in Ansys Workbench handelt von starren Körpern, die durch Gelenke und / oder masselose Federn und Dämpfer miteinander verbunden sind. Ein solches System heißt auch Mehrkörpersystem (MKS). Damit können komplette Bewegungsvorgänge des MKS berechnet werden, inklusive Geschwindigkeits- und Beschleunigungsverläufe sowie die inneren dynamischen Kräfte und Momente zwischen den beteiligten Körpern sowie an allen Lagerstellen. Beispiele: /ANSYS+Rigid+Body+Dynamics Links Examples usw. oder in Youtube: In Workbench werden zu jedem beteiligten Körper des MKS automatisch der Schwerpunkt, die Masse und die drei Hauptträgheitsmomente mit ihren Hauptachsen verwendet. Die Körper werden dabei als starr idealisiert. Dadurch hat jeder Körper nur maximal 6 Freiheitsgrade: 3 Verschiebungen des Schwerpunktes und drei Drehungen um die Hauptachsen des Körpers.

68 Maschinendynamik Seite 65 Beispiel: Ein Bauteil, das im Schwerkraftfeld als Pendel drehbar gelagert schwingt: Im Schwerpunkt sind hier die drei Hauptachsenrichtungen sichtbar. An Stelle des Körpers wird von Ansys im Schwerpunkt ein punktförmiges Masse-Element verwendet mit Masse des Körpers sowie den drei Hauptträgheitsmomenten für dessen Drehträgheit. Die Masse-Punkte werden dann in Ansys mit Lagerpunkten masselos starr oder elastisch (mit Federn / Dämpfern) verbunden bzw. mit Gelenkpunkten weiterer beteiligter Körper. Durch frei wählbare Lagerungen und/oder Gelenke werden die Freiheitsgrade des MKS eingeschränkt, so dass z.b. nur eine Drehung als Freiheitsgrad übrig bleibt siehe z.b. Übung W3 Pendel MKS. Die Berechnung der Bewegung erfolgt schrittweise in kleinen Zeitschritten, indem die allgemein gültigen Bewegungs-Differenzialgleichungen M q Dq Kq f() t mit Massenmatrix M, Dämpfungsmatrix D, Steifigkeitsmatrix K und Kraftvektor f () t der äußeren Kräfte als spezielle Differenzengleichungen für das konkrete Modell aufgestellt und je Zeitschritt numerisch integriert werden. Das geschieht in Ansys mit dem Runge-Kutta-Verfahren. Bei genügend kleinen Zeitintervallen t wird so die komplette Bewegungsbahn s = s(t) im Raum xyz für den gewünschten Zeitraum T berechnet.

69 Maschinendynamik Seite 66 Des Weiteren sind verfügbar: Geschwindigkeits-Zeitverläufe v(t), Beschleunigungs-Zeitverläufe a(t) sowie die zeitlich veränderlichen Lager- und Gelenkkräfte für jeden beteiligten Körper des MKS. z.b. Ergebnisse des Pendels von Übung W3, gestartet in vertikaler Stellung bei Gravitation g in y-richtung: Drehbar gelagert im unteren Teil, Drehung um z Ergebnis: Drehwinkel in Grad, Zeitraum Sekunden Lagerkraft

70 Maschinendynamik Seite Transiente Strukturmechanik Transient bedeutet: Beliebig zeitabhängig. Damit können insbesondere instationäre (Einschwingvorgänge) und sonstige nicht-harmonisch zeitliche Veränderungen simuliert werden. Das kann bereits auch das Ansys-Modul Mehrkörperdynamik. Mit dem Ansys Modul Transiente Strukturmechanik sind jedoch komplette nicht-starre FEM-Strukturen in Zeitschritten berechenbar (nicht nur elastisch, sondern auch elastisch-plastisch, viskoelastisch usw.) Dabei werden je Zeitschritt die nichtlinearen Veränderungen der gesamten FEM-Struktur mit n Freiheitsgraden ermittelt. Das geschieht in Ansys mit dem Newmark-Verfahren in Kombination mit dem Newton-Raphson-Algorithmus. Nachteil im Vergleich zur MKS-Berechnung: Deutlich längere Rechenzeiten! (auch wegen der größeren Freiheitsgrad-Anzahl) Vorteile: - Im Unterschied zur MKS-Berechnung sind Spannungen berechenbar. - Des Weiteren werden auch gegenseitige Nachgiebigkeiten der beteiligten Körper je Zeitschritt mit berücksichtigt. Oft interessiert in einem MKS das zeitabhängige Festigkeitsverhalten nur eines oder weniger Bauteile und nicht das aller Bauteile. In Workbench kann dafür MKS mit Transienter Strukturmechanik kombiniert werden, z.b. Übung W4

71 Maschinendynamik Seite 68 Weitere Beispiele in /ANSYS+Rigid+Body+Dynamics Links: Examples usw. 6.4 Export MKS zu FEM statisch Um den Berechnungsaufwand für transiente Analysen zu verringern, kann alternativ in Ansys-Workbench auch eine "Momentaufnahme" der MKS- Berechnung als statische Analyse durchgerechnet werden. siehe z.b. Mehrkörperdynamik im "Praxisbuch FEM" von C. Gebhardt. Dazu wird nach erfolgter MKS-Analyse ein bestimmter Zeitpunkt ausgewählt (z.b. der Zeitpunkt einer maximalen Lagerkraft). Für diesen Zeitpunkt werden dann die momentanen Belastungen des ausgewählten Körpers in eine Datei gespeichert und anschließend für eine statische Analyse dieses Körpers verwendet. Vorteile: - Das betreffende Bauteil kann feiner vernetzt werden, so dass für diesen Zeitpunkt eine genauere Festigkeits-Berechnung möglich wird. - Die Rechenzeit ist für diesen einen Zeitpunkt deutlich niedriger als für die transiente Analyse des kompletten Zeitbereiches.

72 Maschinendynamik Mcad-Übungen

73 Joensson Mathcad Prime 3. Mcad- Beginn HTW Berlin Erste Schritte Blatt von 3 + Seite Mcad Vorbereitung: Zuerst Arbeitsverzeichnis für Mathcad erstellen (z.b. als Ordner mcad ) in Ihrem eigenen Verzeichnis. Ein erstes Arbeitsblatt erstellen Mathcad starten. Als Arbeitsblatt wird zunächst eine Datei Unbenannt angezeigt. Schreiben Sie mit der Tastatur: 5-/8.3= Enter Abspeichern als Datei M: Oben: > Speichern > z.b. in \mcad Dateiname: M Damit ist dieses Arbeitsblatt als Mathcad-Datei im Ordner [mcad] gespeichert. Dieses Verzeichnis wird nun in allen nachfolgenden Speicherungen automatisch aufgerufen. Weiter im Arbeitsblatt: Setzen Sie mit der Maus den Cursor unter die Formel. Zur Texteingabe oben: anklicken, dann erst Text schreiben: Variable Werte: ohne Enter! Dann mit der Maus den Cursor links darunter setzen. Schreiben Sie: g:9.8 und als Text daneben (!Textfeld) Erdbeschleunigung Dann x(t):/ Leertaste zweimal *g*t^ und als Text daneben x(t) beim freien Fall Dann mit der Maus den Cursor links darunter setzen. Schreiben Sie: t:5.5 Enter x(t)= Enter Ergebnis: := kennzeichnet in Mathcad Eingabe und = kennzeichnet die Ausgabe. Falls bei Ihnen die Zeilen zu dicht untereinander liegen, klicken Sie bitte einen Rasterpunkt an und Enter. So können die Zeilenabstände verändert werden. Prof. Dr. 5

74 Joensson Mathcad Prime 3. Mcad- Beginn HTW Berlin Erste Schritte Blatt von 3 Und jetzt mit Maßeinheiten: Dazu soll der Abschnitt kopiert werden: Ziehen Sie mit der linken Maustaste von links oben beginnend bis zur Formel x(t) rechts unten und markieren Sie damit diesen Bereich (wird gestrichelt angezeigt). Dann Rechte Maustaste: Kopieren. Setzen Sie den Cursor mit der Maus unter die letzte Zeile > Einfügen. Der markierte Abschnitt kann auch frei verschoben werden: Wenn Sie die Maus auf dem markierten Feld bewegen und dabei ein Kreuz erscheint. Klicken Sie nun in den neuen Textteil Variable Werte und schreiben Sie statt dessen Mit Maßeinheiten Gehen Sie mit der Maus ans Ende der Zahl von g. Schreiben Sie dort m/s^ Im Ergebnis von x(t) ist jetzt eine Maßeinheit sichtbar, die aber noch nicht einem Weg entspricht. Dazu muss noch die Maßeinheit von t eingegeben werden. Änderung der Zahlenwerte: z.b. für t:=5.5 s entsteht ein Ergebnis mit er Potenzangabe. Diese Darstellung kann verändert werden, indem die Zahl neu formatiert wird. Auf die Zahl klicken, dann oben: Formatierung > 5 (Dezimal) > eventuell auch die Anzahl der Stellen nach dem Komma ändern mit. Grafische Darstellung der Funktion x(t) Dazu ist eine Bereichsvariable festzulegen. Schreiben Sie t:, 5 und als Text daneben Bereichsvariable, Eingabe t:, 5 Das bedeutet: t von beginnend in Schritten von bis 5.! Um den Text zu schreiben: Zuerst wieder oben: Rechnen anklicken. Den Cursor links darunter setzen, dann oben Diagramme > links oben: Diagramm x-y einfügen > Im Diagramm rechts in den Platzhalter der Ordinaten-Achse schreiben (nicht in das Feld Maßeinheiten) x(t) und in den Platzhalter der Abzissen-Achse: t Die Maßeinheit des Weges x ist jetzt falsch. Die Bereichsvariable muss die Maßeinheit Sekunde haben:

75 Joensson Mathcad Prime 3. Mcad- Beginn HTW Berlin Erste Schritte Blatt 3 von 3 Das Bild kann verschoben und in der Größe verändert werden, nachdem es angeklickt wurde. Ändern Sie nun probeweise die Schrittweite auf 5 s,. s und dann wieder s. Auch die Linienstärke und Linienfarbe kann geändert werden: Klicken Sie dazu auf das Diagramm, dann sind oben Spurdicke, Spurfarbe, Linienstil und Symbol veränderbar. Skalierung der Achsen: Klicken Sie auf eine Achsenbezeichnung > rechts oben: Diagrammwerte formatieren > z.b. (5) dezimal erzeugt ganzzahlige Achsenbeschriftung. Sie können die Achsenbeschriftung auch auf die andere Seite ziehen, z.b. x(t) anklicken und nach links ziehen oder auf einen anderen Platzhalter. Datei speichern. Datei drucken, z.b. als PDF-Datei: Links oben: Drucken Eine Vorlage für das Layout verwenden Die Datei M.xmcd enthält im Druckbild keine Kopf- und Fußzeilen. Diese können in Mathcad zur übersichtlichen Gestaltung genutzt werden: Oben: Dokument > Kopfzeile Fußzeile mit Eingabe von Seitenzahlen, Datum usw. Hier könnte z.b. in der Kopfzeile rechts der Dateiname und das Datum stehen sowie in der Fußzeile links Ihr Name und rechts die Seitenzahl. Die Vorlage -Muster ist so gestaltet. Kopieren Sie diese Vorlage in Ihren Ordner [mcad]. Für die nachfolgenden Übungen können Sie diese Musterdatei als Vorlage verwenden. Doppelklicken Sie diese Datei in Ihrem Ordner. Tragen Sie links unten Ihren Namen ein > Speichern. Speichern Sie nun -Muster als neue Datei Mcad- in Ihrem Ordner [mcad]: Links oben: Speichern unter Das Datum wird automatisch dem aktuellen Stand angepasst. Nach dem nächsten Start dieser Datei mit Mathcad wird auch der Dateiname automatisch aktualisiert. Thema ändern: Doppelklicken auf Thema > Beginn Klicken Sie in Mathcad links den Arbeitsblatt-Reiter M an > Markieren Sie alles > Rechte Maustaste: Kopieren. Arbeitsblatt-Reiter Mcad- > Rechte Maustaste: Einfügen. Oben: Speichern.

76 Mathcad Prime 3. Beginn Mcad-.mcdx 5 = Variable Werte: g 9.8 Erdbeschleunigung x (t) g t x(t) beim freien Fall t 5.5 zur Zeit t = 5.5 x (t) = Ergebnis Mit Maßeinheiten: g 9.8 Erdbeschleunigung x (t) g t x(t) beim freien Fall t 5.5 zur Zeit t x (t) = 78.4 Ergebnis t, 5 Bereichsvariable, Eingabe t:,s 5s x (t) ( ) t ( ) D. Seite von Mit PTC Mathcad Express erstellt. Weitere Informationen finden Sie unter

77 Joensson Mathcad Prime 3. Mcad- Schwingungen HTW Berlin Gedämpfte Schwingungen Blatt von + 3 Seiten Mcad Erläuterungen zur Datei Mcad-.mcdx: Seite Formelzeichen x A mit Index: oben Griechische Buchstaben, z.b. Eigenkreisfrequenz : oben Seite Umrechnung in Grad: o Cursor nach, dann deg schreiben. Für s sollte im unteren Bild die Funktion x(t) nicht mehr durchschwingen. Seite 3 Einfügen von Bildern oder Fotos: Siehe Mathcad Hilfe oder Snapshot vom Bildschirm in Paint öffnen > Ausschnitt markieren und kopieren > Einfügen in Mathcad.! Das Bild kann nicht skaliert werden und auch nicht wie üblich gelöscht werden. Löschen des Bildes: Bild anklicken > Links oben: Bereich löschen. Voraussetzung dafür: Oben Reiter Rechnen ist eingestellt. Ausgabe der Dämpfung in Prozent: Zahl anklicken > oben: Formatierung > Prozent. Abschnitt einfügen: Zwischen dem Bild rechts oben auf Seite 3 der Datei Mcad- und der Zeile wurde hier ein so genannter Abschnitt eingefügt: Oben: Dokument > Links oben: Abschnitt Alles, was in diesen Abschnitt geschrieben wird, kann anschließend zusammengeklappt werden, indem auf das + Zeichen links neben dem Abschnittsbeginn geklickt wird. Damit kann die Wirkung der Eingabewerte elegant untersucht werden. Zum Beispiel, wenn die Masse vergrößert wird, entsteht eine geringere Dämpfung des Systems: Prof. Dr. 5

78 Joensson Mathcad Prime 3. Mcad- Schwingungen HTW Berlin Gedämpfte Schwingungen Blatt von Hier wurde nur die Masse m verdoppelt im Vergleich zu Seite 3 der Datei Mcad-.mcdx - und die Berechnung zusammengeklappt. Probieren Sie andere Änderungen aus, auch für die Anfangswerte. Hinweis zu den Anfangswerten φ o und der Anfangswert x A der Abklingfunktion hängen von der statischen Anfangsauslenkung x o und der Anfangsgeschwindigkeit (dem Anfangsschwung ) v o ab.! x o ist nicht identisch mit x A für v o. Die Formeln für x A und φ o lauten: v o x A x o g x o g φ o = arcsin (x o / x A ) ( In Mathcad gilt: arcsin = asin ) z.b. nach Fischer, U., Stephan,W.: Mechanische Schwingungen. Fachbuchverlag Leipzig 993, S. 77.

79 Mathcad Prime 3. Gedämpfte Schwingungen Mcad-.mcdx Zunächst ohne Dämpfung: x (t) sin (t) t, x (t) t t., x (t) t Mit Amplitude und Eigenkreisfrequenz: x A. ω x (t) x A sin ( ω t) t, x (t) ( ) t ( ) D. Seite von 3 Mit PTC Mathcad Express erstellt. Weitere Informationen finden Sie unter

80 Mathcad Prime 3. Gedämpfte Schwingungen Mcad-.mcdx Gedämpft: z.b. viskos mit δ und x A =. ω= x (t) x A δ t sin ( ω t) t, ² 4.5 ² -4.5 ² x (t) ( ) t ( ) Im aperodischen Grenzfall δ = ω darf x(t) NICHT durchschwingen! Hier fehlt noch die gedämpfte Eigenkreisfrequenz ω g und der Phasenwinkel φ o δ. neu D δ ω ω g ω D D=. ω g = z.b. φ o φ o = 57.3 Umrechnung in Grad x (t) x A δ t sin ω g t+ φ o korrekte Formel t, x (t) ( ) t ( ) G dä ft S h i it k k t K t D. Seite von 3 Mit PTC Mathcad Express erstellt. Weitere Informationen finden Sie unter

81 Mathcad Prime 3. Gedämpfte Schwingungen Mcad-.mcdx Gedämpfte Schwingung mit konkreten Kennwerten: k b 5 m und konkreten Anfangswerten: x o v o ω k m δ b m D δ ω ω g ω D ω = 3.6 δ=.5 D=.79 ω g = 3.5 x A x o + v o + δ x o ω g x A =.3 φ o asin x o x A φ o = x (t) x A δ t sin ω g t+ φ o z (t) x A δ t zu (t) z (t) t,. D = 7.9% x (t) ( ) z (t) ( ) zu (t) ( ) t ( ) D. Seite 3 von 3 Mit PTC Mathcad Express erstellt. Weitere Informationen finden Sie unter

82 Joensson Mathcad Prime 3. Mcad-3 Aufg D 6 HTW Berlin Illustration der Dynamik-Aufgabe D 6 Blatt von + 4 Seiten Mcad 3 und Seite Mcad 3a Seite Erläuterungen zur Datei Mcad-3.mcdx: Der eine Punkt im Diagramm für V u ( ) erfordert eine zusätzliche Spur. Dazu im Diagramm mit dem Maus-Cursor hinter den letzten Wert der Achsbezeichnung gehen > oben: Diagramme > links oben: Spur hinzufügen. Dann oben: Stile > Symbol (für den einen Punkt) usw. Seite 4 Die Zeitfunktion x(t) auf Seite 3 ist noch nicht korrekt. Das fällt erst auf, wenn als Anfangsbedingung sowohl x o = mm als auch v o = mm/s gesetzt wird. Dann ist dafür die homogene Lösung gleich Null und demzufolge ersetzt die partikuläre Lösung von Anfang an die Gesamtlösung, ohne Einschwingen. Die bisher angegebenen Formeln für die beiden Konstanten x A und φ o gelten nur für den Sonderfall, dass die angestoßene Schwingung sich sofort selbst überlassen bleibt. Im Fall der harmonischen Anregung findet aber während des Einschwingens eine Kopplung von freier und erzwungener Schwingung statt. Deshalb müssen die erwähnten Konstanten aus der Gesamtlösung x(t) = x h (t) + x p (t) ermittelt werden und nicht nur aus dem homogenen Anteil. Die homogene Funktion x h (t) für die freie, gedämpfte Schwingung kann alternativ als Überlagerung einer Sinus- und Cosinus-Funktion geschrieben werden, indem an Stelle der beiden Konstanten x A und φ o die Konstanten A und B verwendet werden: x h (t) = e -δt [ A cos (ω g t) + B sin (ω g t) ] Die Gesamtlösung lautet dann unter Einbeziehung der partikulären Lösung x p (t) = x dyn sin ( Ωt φ N ): x(t) = e -δt [ A cos (ω g t) + B sin (ω g t) ] + x dyn sin ( Ωt φ N ) mit x dyn : Amplitude der stationären Schwingungsantwort und φ N : Nacheilwinkel der Schwingungsantwort im Vergleich zur Erregung. Um die Konstanten A und B zu ermitteln, sind die beiden Anfangsbedingungen x ( t = ) = x o und x Punkt ( t = ) = v o in die Gesamtlösung x(t) und deren. Zeit-Ableitung x Punkt (t) einzusetzen. Erst dadurch werden die Konstanten A und B korrekt abhängig von x dyn und φ N beschrieben. Das Ergebnis dieser speziellen Herleitung ist für A und B auf Seite 4 oben zu sehen. Erläuterungen zur Datei Mcad-3a: Erzeugen Sie die eine Seite der Datei Mcad-3a aus der Datei Mcad-3, indem Sie nahezu alle Berechnungsformeln in zwei Abschnitte einfügen (vor dem Resonanzdiagramm und danach) und beide Abschnitte dann zuklappen. Anschließend können Sie sofort sehen, wie sich beide Funktionen ändern, wenn Sie irgendeinen Eingabewert ändern (Masse oder Federkonstante, Unwucht, Dämpfung, Drehzahl, Anfangswerte). Prof. Dr. 5

83 Refreshing zu Freiheitsgrad zu TM 3 Kapitel 4.5: Erzwungene Schwingungen Aufgabe D 6 g k b k Eine Unwuchtmasse m u = kg rotiert mit einem Radius r u = 5 cm auf einer Masse m = kg. m u m Geg: k = 5 N / mm x b = kg / s g = 9,8 m/ s Ges.:.) Schwingungs-Differenzialgleichung sowie die Kennwerte o, und D.) Zunächst ohne Dämpfung ( b = kg / s ) a) Bei welcher Unwucht-Drehzahl tritt hier Resonanz auf? b) Amplitude x der stationären Schwingungsantwort x t in mm bei dieser Resonanzdrehzahl c) Amplitude x bei n = 9 U/min, n = U/min und n 3 = 3 U/min 3.) Mit Dämpfung a) bis c): Gleiche Fragen wie bei.) 4.) Skizzieren Sie die Vergrößerungsfunktionen Vu D, für.) und 3.) in einem gemeinsamen Diagramm und kennzeichnen Sie die berechneten 6 Einsatzfälle a) bis c). 5.) Berechnen Sie näherungsweise, wie groß die Unwuchtmasse sein könnte, um im gedämpften Resonanzfall gerade noch eine harmonische Schwingung mit x x zu ermöglichen. ( x st ist die statische Auslenkung der beiden Federn infolge Eigengewicht.) st

84 Ergebnisse D 6:.) o = 9,95 s =,495 s D 5 %.) a) n Res = 95, U/min b) x Res = mm c) x = 3, mm x = 5, mm x 3 =,65 mm 3.) a) n Res = 95, U/min b) x Res = 4,94 mm c) x = 9,55 mm x =,9 mm x 3 =,65 mm 5.) m u 7, kg wegen x st = 99, mm Hinweis zum Vorspann: Erreger-Koordinaten sind keine freien Koordinaten! Sie werden demzufolge bei der Anzahl der Freiheitsgrade NICHT mitgezählt.

85 Mathcad Prime 3. Thema Mcad-3.mcdx m k 5 b m u r u 5 m + m m u δ b m ω o k+ k m D δ ω o δ=.495 ω o = 9.95 D = 4.975% x stat m u r u m x stat =.485 n R ω o n R = 95.9 Resonanz-Drehzahl ungedämpft n o n R Erreger-Drehzahl n 9 V u ( η, D) η n η =.947 n o η η speziell + 4 D η V u V u η, D V u = 6.43 bei η =.947 η,..5 Daraus folgt: x dyn x stat V u η, D x dyn = 9.55 für diese Drehzahl n D = 5% V u ( η, D) V u ( η, ) V u η η η D. Seite von 4 Mit PTC Mathcad Express erstellt. Weitere Informationen finden Sie unter

86 Mathcad Prime 3. Thema Mcad-3.mcdx Darstellung der Zeitfunktion x(t) für diesen konkreten Wert η z.b. für die Anfangswerte x o v o Zunächst die homogene Lösung: ω g ω o D x A x o + v o + δ x o ω g x A =.5 φ o asin x o x A φ o = x h (t) x A δ t sin ω g t+ φ o z (t) x A δ t zu (t) z (t) t,. 5 D = 5% x h (t) ( ) z (t) ( ) zu (t) ( ) t ( ) D. Seite von 4 Mit PTC Mathcad Express erstellt. Weitere Informationen finden Sie unter

87 Mathcad Prime 3. Thema Mcad-3.mcdx Partikuläre Lösung : x p (t) für eine konkrete Abstimmung η folgt aus x dyn = 9.55 und dem "Nacheilwinkel" φ N atan D η η Erregerkreisfrequenz: Nacheilwinkel für Kraft- und Unwuchterregung Fischer/Stephan S.9 Ω n Ω = 9.45 φ N = 4.5 x p (t) x dyn sin Ω t φ N x h (t) x A δ t sin ω g t+ φ o Gesamtlösung: t,. 5 x (t) x h (t) + x p (t)! Dieses Ergebnis ist noch NICHT korrekt! x (t) ( ) z (t) ( ) zu (t) ( ) t ( ) Di h Lö fü d Ei h i l t t k kt D. Seite 3 von 4 Mit PTC Mathcad Express erstellt. Weitere Informationen finden Sie unter

88 Mathcad Prime 3. Thema Mcad-3.mcdx Die homogene Lösung für den Einschwingvorgang lautet korrekt: A + x dyn sin φ N B + δ A x dyn Ω cos φ N ω g x o v o x he (t) δ t A cos ω g t + B sin ω g t Gesamtlösung: x (t) x he (t) + x p (t) t,. 5 Erst damit entsteht die richtige Zeitfunktion x (t) ( ) z (t) ( ) zu (t) ( ) t ( ) D. Seite 4 von 4 Mit PTC Mathcad Express erstellt. Weitere Informationen finden Sie unter

89 Mathcad Prime 3. Thema Mcad-3a.mcdx m k 5 b m u r u 5 m + m m u Erreger-Drehzahl n 9 η,..5 D = 5 % V u = 6.43 V u ( η, D) V u ( η, ) V u bei η =.947 η η η Darstellung der Zeitfunktion x(t) für diesen konkreten Wert η z.b. Anfangswerte t,. 5 x o 5 v o x stat =.485 x dyn = x (t) ( ) t ( ) D. Seite von Mit PTC Mathcad Express erstellt. Weitere Informationen finden Sie unter

90 Mathcad Prime. Aufgabe M4 Mcad-M4.mcdx Alle Feldelemente sollen mit dem Index beginnen oben Matrizen/Tabellen > Matrix einfügen Eigenwerte:! ohne Maßeinheiten Vektor der Eigenfrequenzen fo, fo Der Größe nach aufsteigend sortiert: Eigenvektoren Modalmatrix: daraus p-ter Eigenvektor: oben Matrizen/Tabellen > Vektor-/ Matrixoperatoren > Matrixspalte... Matrixzeile D. Seite von Mit Mathcad Express erstellt. Siehe für weitere Informationen.

91 Mathcad 4 Aufgabe M4 Mcad-M4 Seite von m kg m kg k 5 N k 3 N mm mm Schwingformen. Darstellung der Schwingform-Nr. p k m m k Region: Berechnung ORIGIN! Alle Feldelemente sollen mit dem Index beginnen M m m! Matrix: oben Symbolleiste "Matrix" M kg K k k k k k K 8 3 Eigenwerte: genwerte( K M) s kg s o fo fo Hz Der Größe nach aufsteigend sortiert: f s 4.69 sort( fo) f s Hz Eigenvektoren: Mo genvektorenkm ( ) Modalmatrix Mo Mo..4 dimensionslos! pe Mo p p-ter Eigenvektor = p-te Spalte der Modalmatrix pe! Exponent <p> : Symbolleiste Matrix, dort M anklicken. die zugehörige Eigenfrequenz : f p fo p f p Hz! geschrieben f.p:fo dann Index p des Vektors fo: Symbolleiste Matrix, dort X n anklicken

92 Mathcad 4 Aufgabe M4 Mcad-M4 Seite von Simulation einer einzelnen Schwingform in Bewegung FRAME z.b. Animation einer Schwingungsperiode T = / f p in k t kf Schritten: p f p FRAME: Koordinaten der beiden Körper in Matrix-Schreibweise: siehe Mathcad-Hilfe z.b Masse unten Masse oben Ko 4 4 x Ko Ko 4 x Ko 4 3. Spalte von Ko: x-koordinaten 8 Boden : xb 4 yb Auslenkung der p-ten z pe z z pe z. Eigenform: Sinusförmige-Verschiebung der beiden Körper: v z cos( t) v z cos( t) elastische Verbindungen: oben: xo yo y Ko v y Ko v y y 3 unten: xu Anzeige der Unterkanten in Ruhestellung: m 3 m 8 Region: Berechnung yu y p-ter Eigenvektor: pe unten. oben <== normierte Auslenkung f p Hz zugehörige Frequenz Animation: Oben > Extras > Animation > Aufzeichnen > y y yo yu 6 m Das Bild mit der Maus einrahmen. Im Fenster Animation aufzeichnen: Animieren anklicken für FRAME von bis 9 ( mit 9 = k - ) yb m 5 x x xo xu xb Die Achsen und die Argumente der Spuren können auch ausgeblendet werden. m und m im Bild eintragen: Bild doppelklicken > Primäre Y-Achse Markierung anzeigen > eintragen.

93 Mathcad Prime. Aufgabe M4 mit Dämpfung und Stützenerregung Mcad-M4-St.mcdx Stützenerregung Alles dimensionslos: Lösung in Matrix-Schreibweise: Alle Feldelemente sollen mit dem Index beginnen komplexe Nachgiebigkeits-Matrix N mit imaginärer Einheit j, geschrieben als j Komplexe Vergrößerungsfunktion für Stützenerregung an der Feder k und dem Dämpfer b Daraus folgen: reelle Antwort-Amplitude der der unteren Masse m infolge Stützenerregung mit Erreger-Amplitude s Betrag: oben Rechnen > Operatoren > Algebra > Absoluter Wert Index,: oben Matrizen/Tabellen > Vektor-/Matrixoperatoren > M Antwort-Amplitude der oberen Masse m D. Seite von Mit Mathcad Express erstellt. Siehe für weitere Informationen.

94 Mathcad Prime. Aufgabe M4 mit Dämpfung und Stützenerregung Mcad-M4-St.mcdx Frequenz-Darstellung bis maximal --- Masse m oben --- Masse m unten D. Seite von Mit Mathcad Express erstellt. Siehe für weitere Informationen.

95 Mathcad 4 Aufgabe M4 mit Dämpfung u. Stütz.erreg. Mcad-M4-St Seite von 4 m kg k 5 N mm m kg k 3 N mm b b kg s kg s Stützenerregung s(t) = s cos( t) mit Amplitude s mm Alles dimensionslos: m kg k N m b kg s s m m m k m m k k m m k k k b b b b b b s s s Aufbereitung der komplexen Übertragungsfunktionen H_ und H_ in Abhängigkeit von : b m b b m b m b m k m k k m k m k m (Herleitung dazu siehe Irretier, Band, ab S. 39) a( ) b( ) c( ) d( ) 3 e f( ) w( ) k k k b k k 4 ( ) k ( b b) Faktor w = gk k Komplexe Übertragungsfunktionen H_ und H_ : H_( ) a( ) j b( ) c( ) j d( ) w( ) H_( ) e j f( ) c( ) j d( ) w( )! Eingabe für imaginäre Einheit j in Mathcad: j

96 Mathcad 4 Aufgabe M4 mit Dämpfung u. Stütz.erreg. Mcad-M4-St Seite von 4 Daraus reelle Vergrößerungsfunktionen berechnen: V ( ) H_( ) V ( ) H_( )! Betrags-Eingabe in Mathcad: Taste Alt Gr und Amplituden in Meter: x ai = x stat V i für x i () t mit x stat = s wegen Stützenerregung x a ( ) s V ( ) x a ( ) s V ( ) m fm Hz Frequenz-Darstellung bis. m max. f err ( ) fm 5Hz 6 Amplituden-Frequenzgang in mm über ferr in Hz m unten m oben x a ( ) mm x a ( ) mm f err ( ) ungedämpfte Eigenfrequenzen (Irretier Band, S. )! Im Bild rechts unten fm eintragen fo 4 Hz fo 4.69 Hz fo 4 Hz fo Hz

97 Mathcad 4 Aufgabe M4 mit Dämpfung u. Stütz.erreg. Mcad-M4-St Seite 3 von 4 Alternative Berechnung: In Matrix-Schreibweise M m m K k k k k k D b b b b b N_( ) K j D M komplexe Nachgiebigkeits-Matrix ("Frequenzgang-Matrix", Irretier Band, S. 96) V_( ) N_( ) ( k j b) komplexe Vergröß.funktion für Stützenerregung an der Feder k und dem Dämpfer b ORIGIN ( Die Indizierung der Matrizen soll mit beginnen ) x a ( ) s V_( ) reelle Antwort-Amplituden infolge Stützenerr. mit Erreger-Ampl. x a ( ) s V_( ) s! Matrix-Indizes: Symbolleiste "Matrix", dort x n anklicken 6 Amplituden-Frequenzgang in mm über ferr in Hz m unten m oben x a ( ) mm x a ( ) mm f err ( ) ungedämpfte Eigenfrequenzen genwerte( K M) fo 4.69 Hz f o sort( fo) f o Hz Der Größe nach aufsteigend sortiert. Mo genvektorenkm ( ) Mo..4

98 Mathcad 4 Aufgabe M4 mit Dämpfung u. Stütz.erreg. Mcad-M4-St Seite 4 von 4 Zum Vergleich: Freiheitsgrad z.b. wenn es nur die untere Masse m sowie k und b gäbe: m kg k 5 N mm b kg s s mm o k m o 7.7 s f o o f o.54 Hz b m 5 s D o D 7. % x stat s x stat mm V st ( D) 4 D Amplitude in m: x a ( ) x stat V st ( D) 4D V Res D 5 D V Res 7.59 für D <. Frequenz-Darstellung bis max. fm 5 Hz m fm. f m f err ( ) f o o Amplituden-Frequenzgang in mm über ferr in Hz m unten 6 x a ( ) mm f err ( ) Koordinaten ablesen: Rechte Maustatste

99 Mathcad 4 Harmon. Krafterregung mit Freiheitsgrad H-K Seite von 3 Reell-wertige Beschreibung der stationären Schwingungsantwort x(t) = x a sin( t ) V( D) Vergrößerungsfunktion dimensionslos 4D für Krafterregung zur Berechnung der Antwort-Amplitude x a = x stat V V(.) 4 V(.) D =. D =. D =.3 D =.4 D =.7 V(.3) V(.4) V(.7) 3 4 ( D) atan D Phasenverschiebung ( Nacheilwinkel ) ( D) in Radiant der Schwingungsantwort in Relation zur Erregung! siehe Nachtrag auf Seite 3 (.) (.) (.3) (.4) (.7) D =. D =. D =.3 D =.4 D =.7 3 4

100 Mathcad 4 Harmon. Krafterregung mit Freiheitsgrad H-K Seite von 3 Komplex geschriebene Schwingungsantwort: V_ ( D) jd komplexe Vergrößerungsfunktion für Krafterregung reelle Vergrößerungsfunktion V( D) V_ ( D) V(.) 4 V(.) D =. D =. D =.3 D =.4 D =.7 V(.3) V(.4) V(.7) 3 4 Nacheilwinkel: ( D) arg V_ ( D) 3 (.) (.) (.3) (.4) (.7) D =. D =. D =.3 D =.4 D =.7 3 4

101 Mathcad 4 Harmon. Krafterregung mit Freiheitsgrad H-K Seite 3 von 3 Nachtrag zur reell-wertigen Darstellung der Phasenverschiebung: Weil der Arcustangens nur zwischen - und + definiert ist, muss bei der Darstellung eine Fallunterscheidung berücksichtigt werden: f ( D) atan D g( D) atan D ( D) wenn( f ( D) g( D) )! wenn-anweisung, siehe Mathcad-Hilfe Erst damit entsteht: d.h. wenn, dann gilt f ( D), ansonsten g( D) 3 (.) (.) (.3) (.4) (.7) D =. D =. D =.3 D =.4 D =.7 3 4

102 Mathcad 4 Harmon. Unwuchterregung mit Freiheitsgrad H-U Seite von Reell-wertige Beschreibung der stationären Schwingungsantwort V( D) 4D für Unwuchterregung zur Berechnung der Antwort-Amplitude Vergrößerungsfunktion x(t) = x a sin( t ) x a = x stat V V(.) 4 V(.) D =. D =. D =.3 D =.4 D =.7 V(.3) V(.4) V(.7) 3 4 ( D) atan D Phasenverschiebung ( Nacheilwinkel ) ( D) der Schwingungsantwort in Relation zur Erregung Wie in H-K, Nachtrag Seite 3 (.) (.) (.3) (.4) (.7) D =. D =. D =.3 D =.4 D =.7 3 4

103 Mathcad 4 Harmon. Unwuchterregung mit Freiheitsgrad H-U Seite von Komplex geschriebene Schwingungsantwort: V_ ( D) jd komplexe Vergrößerungsfunktion für Unwuchterregung reelle Vergrößerungsfunktion V( D) V_ ( D) V(.) 4 V(.) D =. D =. D =.3 D =.4 D =.7 V(.3) V(.4) V(.7) 3 4 Nacheilwinkel: ( D) arg( V_ ( D) ) 3 (.) (.) (.3) (.4) (.7) D =. D =. D =.3 D =.4 D =.7 3 4

104 Mathcad 4 Harmon. Stützenerregung mit Freiheitsgrad H-St Seite von 3 Reell-wertige Beschreibung der stationären Schwingungsantwort V( D) 4 D 4D für Stützenerregung zur Berechnung der Antwort-Amplitude Vergrößerungsfunktion x(t) = x a sin( t ) x a = x stat V V(.) 4 V(.) D =. D =. D =.3 D =.4 D =.7 V(.3) V(.4) V(.7) 3 4 ( D) atan D 3 Phasenverschiebung ( Nacheilwinkel ) ( D) der Schwingungsantwort 4D in Relation zur Erregung Siehe Nachtrag Seite 3 3 (.) (.) (.3) (.4) (.7) D =. D =. D =.3 D =.4 D =.7 3 4

105 Mathcad 4 Harmon. Stützenerregung mit Freiheitsgrad H-St Seite von 3 Komplex geschriebene Schwingungsantwort: V_ ( D) j D jd komplexe Vergrößerungsfunktion für Stützenerregung reelle Vergrößerungsfunktion V( D) V_ ( D) V(.) 4 V(.) D =.5 D =. D =.3 D =.4 D =.7 V(.3) V(.4) V(.7) 3 4 Nacheilwinkel: ( D) arg V_ ( D) 3 (.) (.) (.3) (.4) (.7) D =. D =. D =.3 D =.4 D =.7 3 4

106 Mathcad 4 Harmon. Stützenerregung mit Freiheitsgrad H-St Seite 3 von 3 Nachtrag zur reell-wertigen Darstellung der Phasenverschiebung: Die Fallunterscheidung für den Arcustangens zwischen - und + betrifft hier nicht die Grenze für = wie bei Harm-K und -U, sondern den Winkel selbst. Deshalb N( D) atan D 3 4D ( D) N( D) N( D) if oben: Symbolleiste "Programmierung" + Zeile Erst damit entsteht: 3 (.) (.) (.3) (.4) (.7) D =. D =. D =.3 D =.4 D =.7 3 4

107 Mathcad 4 e-funktion komplex Mcad-ek Seite von 5 z.b. für: b 8 x_( ) b e i x Unterstrich statt x bzw. x ~ für komplexe Größe Eine direkte Darstellung dieser Funktion ist nicht möglich:! imaginäre Einheit in Mathcad: i schreiben x_ ( ) Darstellbar ist jedoch eine Auftragung des Imaginärteils über dem Realteil: Real-Teil: xr( ) Re( x_( )) Imaginär-Teil: xi( ) Im( x_( )) "Gaußsche Zahlenebene" 5 Im( x_ ( )) Re( x_ ( )) bzw. etwas schöner, wenn beide Skalen gleich groß sind: 5 Im( x_ ( )) Re( x_ ( )) So also sieht x_( ) b e i aus. b ist hier offenbar der Radius des Kreises. Aber wo ist?

108 Mathcad 4 e-funktion komplex Mcad-ek Seite von 5 Anzeige eines konkreten Wertes für : z.b:.9 xr xr xi xi (Radiant) xi( ) 5 <== Komplexer Einzelwert x_ : xi Koordinaten der Linie bis x_ i xi r xr xr( ) xr xi( ) 5 x_ Grad xi i 5 5 mit Betrag = Länge der braunen Linie und Imaginäranteil ("Stamm", hier blau) 5 ist hier der Winkel bei in diesem Dreieck. xr( ) xr r Die Projektion auf die Imaginärachse Im(x_) = xi liefert eine perfekte Sinusfunktion für variabel: xi( ) ==> Winkel in Radiant Die Projektion auf die Real-Achse Re(x_) = xr liefert eine perfekte Cosinusfunktion: 5 xr( ) in Radiant

109 Mathcad 4 e-funktion komplex Mcad-ek Seite 3 von 5 Mit Phasenverschiebung: z.b.:.4 x_( ) b e i ( ).98 Grad xi( ) Im( x_( )) xr( ) Re( x_( )) Der Startpunkt bei = hat die komplexen Koordinaten: xi s Im( x_ ( ) ) xr s Re( x_ ( ) ) Koordinaten der Linie bis x_ s : Lis xi s Lrs xr s xi( ) xi i xi s Lis x_ bei = 5 x_ s = fester Startpunkt bei = ( Winkel ) xr( ) xr r xr s Lrs Sinusfunktion, nach links verschoben um : 5 xi( ) Startwert xi s bei = Verschobene Cosinusfunktion: 5 xr( ) Startwert xr s bei = 5 5 5

110 Mathcad 4 e-funktion komplex Mcad-ek Seite 4 von 5 Zeitabhängige Schwingungen An Stelle von : Kreisfrequenz mal Zeit t. z.b..5 N.5 x_ () t be i t N N 8.648Grad Nacheilwinkel xi( t) Im( x_ () t ) xr( t) Re( x_ () t ) Anzeige eines konkreten Wertes für t : z.b: t.9 xr xr t xi xi t Der Startpunkt bei t = hat die komplexen Koordinaten: xi s Im( x_ ( ) ) xr s Re( x_ ( ) ) Koordinaten der Linie bis x_ s : Lis xi s Lrs xr s Koordinaten der Linie bis x_ i xi r xr t. xi() t xi 5 x_ bei t = t i xi s 5 5 Lis 5 x_ s = fester Startpunkt bei t = ( Winkel N ) xr() t xr r xr s Lrs t Grad Winkel zw. Startwert und x_ s und x_

111 Mathcad 4 e-funktion komplex Mcad-ek Seite 5 von 5 Die reellen Anteile der komplexen Zeitfunktion x_ () t be i t N sind: mit t N N Nacheilzeit t N t xi() t bsin t N (Projektion auf die imaginäre Achse) 5 Im( x_ () t ) xi xi() t Zeit t t t t N t xr() t bcos t N (Projektion auf die reelle Achse) 5 Re( x_ () t ) xr Zeit t t t

112 Mathcad 4 e-funktionen reell Mcad-er Seite von z.b. für: r 8. Abklingfunktion at () re t Sättigungsfunktion s() t r e t t. 5 8 at () st () t Wachstumsfunktion t wt () re t t Dazu die Inverse : iw() t ln r Gespiegelt an: sp() t t wt () iw() t 5 sp() t 5 t

113 Mathcad 4 e-funktionen reell Mcad-er Seite von Summe zweier e-funktionen: z.b.: e() t re t e() t re t se() t e() t e() t t. 5 4 se() t e() t e() t 3 4 Gaußsche Glockenkurve: t z.b.: g() t re t t o 4 gv() t re t t o t 9.99 Verschiebung nach rechts um t o 8 gt () 6 gv() t t

114 Maschinendynamik FEM-Übungen

115 D. Joensson ANSYS Workbench 6 W3 Pendel MKS HTW Berlin Mehrkörperdynamik Beginn Blatt von.) Einfaches Pendel als Starrkörper Zunächst soll das dynamische Verhalten eines Starrkörper-Pendels im Schwerkraftfeld g untersucht werden: g Ordner [ W3 Pendel ] erstellen > dort hinein die Datei Pendel WB-3.agdb kopieren. Geometrie einlesen: Workbench extra starten (wenn Sie die agdb-datei doppelklicken, würde nur die Version 3 starten) > Speichern unter Ordner W3 Pendel Projekt-Name W-3 > Links im Strukturbaum: Komponentensysteme > Geometrie doppelklicken > Umbenennen: Pendel > Geometrie > Rechte Maustaste > Geometrie importieren > Durchsuchen > im Ordner [ W3 Pendel ] Datei Pendel WB-3.agb doppelklicken. Links im Strukturbaum: Mehrkörperdynamik in die Mitte ziehen Bezeichnung des Blocks B: Einfaches Pendel > Von Block A Nr. Geometrie mit der Maus auf Block B ziehen. Block B Nr. 4 Modell doppelklicken > Links im Strukturbaum: Modell > Geometrie > Volumenkörper. Lins unten: Eigenschaften. Angezeigt werden die Masse des Körpers, die Schwerpunktlage sowie die drei Hauptträgheitsmomente Ip bis Ip3, wobei diese nicht der Größe nach geordnet sind, sondern den in der Mitte angezeigten Hauptachsen x, y und z am Körper zugeordnet sind. Prof. Dr. 5

116 D. Joensson ANSYS Workbench 6 W3 Pendel MKS HTW Berlin Mehrkörperdynamik Beginn Blatt von Lagerung: Das Pendel soll in der oberen Bohrung drehbar gelagert werden. Dazu Links im Strukturbaum: Modell (B4) > Kontakte/Verbindungen > oben: Körper-Lagerung > Umdrehung > Links unten: Bereich Keine Auswahl anklicken > Mitte: Die zylindrische Fläche der Bohrung anklicken > links unten: Anwenden Die Drehung um die z-achse ist damit voreingestellt. Schwerkraftfeld: Links im Strukturbaum: Transient > oben: Trägheitslasten > Erdanziehungskraft > links unten Richtung -Y-Richtung einstellen. Was soll berechnet werden? z.b. der zeitabhängige Winkel der Auslenkung und die Lagerkraft. Ergebnisvorbereitung für den Winkel: Links im Strukturbaum: Umdrehung - Erde bis Volumenkörper mit der linken Maustaste auf Lösung ziehen Flächenverbindungsstichprobe anklicken > links unten: Ergebnistyp > Relative Rotation > Ergebnisauswahl: Z-Achse. Dann Flächenverbindungsstichprobe umbenennen zu Winkel Phi (t). Ergebnisvorbereitung für die Lagerkraft: Links im Strukturbaum: Umdrehung - Erde bis Volumenkörper mit der linken Maustaste auf Lösung ziehen Flächenverbindungsstichprobe anklicken > links unten: Ergebnistyp > Gesamtkraft > bleibt so > Ergebnisauswahl: Gesamt. Dann Flächenverbindungsstichprobe umbenennen zu Lagerkraft (t). Oben Winkel Phi und Lagerkraft schwanken so geringfügig, dass keine Bewegung erkennbar ist. Das Pendel benötigt eine Startposition! z.b. um 9 Grad angehoben. Links im Strukturbaum: Umdrehung - Erde bis Volumenkörper > oben: Konfigurieren > Oben: = 9 (mit Enter-Taste) eintragen > oben: > ganz oben: Lösung. Unten: Graph (Diagramm) > Animation jetzt schwingt das Pendel sichtbar. Beim Winkel fällt auf, dass keine vollständige Schwingung erfolgt.

117 D. Joensson ANSYS Workbench 6 W3 Pendel MKS HTW Berlin Mehrkörperdynamik Beginn Blatt 3 von Deshalb sollte der Zeitbereich vergrößert werden: Links im Strukturbaum: Analyseeinstellungen > links unten Zeit nach Schritt z.b. eingeben. Oben: Lösung. Bei der Animation entstehen jetzt ruckartige Bewegungen. Mitte unten: Links neben der Glühbirne Ergebnissätze anklicken und statt Sek. besser Sek. : Wie schnell sollte das Pendel eigentlich schwingen? Gebraucht wird dazu das Massenträgkeitsmoment um die Drehachse z des Lagers sowie zusätzlich die Masse des Körpers. Tipp dazu: In Ansys wird unter Volumen nur das Hauptmassenträgheitsmoment erwähnt und die Schwerpunktlage als Abstand zwischen Drehpunkt und Schwerpunkt. Daraus kann für den einfachen Pendelschwinger (als physikalisches Pendel) die Eigenfrequenz bzw. die Schwingungsdauer von Hand berechnet werden. Die richtige Formel dazu lautet (Selbststudium!): T Jsm mg ( )/( ) Die Schwingungsdauer in Ansys wiederum lässt sich ermitteln aus: Animation: Stopp-Taste drücken > einen Gipfel der Zeitfunktion anklicken und mit der linken Maustaste nach rechts bis zum nächsten Gipfel ziehen. In der Tabelle rechts unten sind genauere Werte für die Gipfel-Zeiten ablesbar. im blauen Bereich Rechte Maustaste > In Bereich zoomen Die Differenz-Zeit vom linken zum rechten Gipfel ist die Schwingungsdauer. Ergibt sich eine Abweichung zwischen Ihrer Handrechnung und dem Ergebnis von Ansys? Ansys rechnet anders, es berechnet numerisch nichtlineare Differenzengleichungen, während in der Handrechnung nur linearisierte Lösungen für kleine Winkel verwendet werden! Geben Sie nun in Ansys bitte nur einen Anfangswinkel von 5 Grad vor: Dazu Links im Strukturbaum: Umdrehung - Erde bis Volumenkörper > oben: 5 (Enter) Grad Wie ist jetzt die Übereinstimmung? Starten Sie schließlich das Pendel mit einem Winkel von 8 wie im Vorlesungs-Beispiel T =?

118 D. Joensson ANSYS Workbench 6 W3 Pendel MKS HTW Berlin Mehrkörperdynamik Beginn Blatt 4 von.) Doppelpendel Geometrie: Auf der Projektseite (unten ) : Block A duplizieren > Block C umbenennen zu Doppelpendel > C Geometrie doppelklicken. Oben: Extras > Frieren > (sonst würden die folgenden Körper miteinander verschmelzen) Ganz oben: Erstellen > Muster > Links unten: Geometrie > Mitte: Volumenkörper anklicken > Links unten: Anwenden > Links unten: Richtung > Mitte: Kante in z-richtung anklicken > Links unten: Anwenden > Links unten: FD Versatz 3 mm > Ergebnis Bauteile: Den zweiten Körper verschieben: Ganz oben: Erstellen > Körpertransformation > Verschieben (Translation) > Mitte: Den zweiten Körper anklicken > Links unten: Geometrie, Anwenden > Mitte: Eine Körperkante der Längsrichtung y anklicken FD 4 mm Ergebnis: MKS-Berechnung: Auf der Projektseite: Links Mehrkörperdynamik auf C Geometrie ziehen > Block D umbenennen zu Doppelpendel MKS > D4 Modell doppelklicken > Links im Strukturbaum: Kontakte/Verbindungen > Kontakte löschen! Lagerung einfügen: Links im Strukturbaum: Kontakte/Verbindungen > oben: Körper-Lagerung > Umdrehung > Links unten: Bereich Keine Auswahl > Mitte: Die zylindrische Bohrungsfläche der oberen Bohrung anklicken > links unten: Anwenden. Gelenkverbindung einfügen: Links im Strukturbaum: Umdrehung - Erde bis Volumenkörper > oben: > Umdrehung > Links unten: Bereich Keine Auswahl > Mitte: Die zylindrische Bohrungsfläche der unteren Bohrung des oberen Körpers anklicken > links unten: Anwenden >

119 D. Joensson ANSYS Workbench 6 W3 Pendel MKS HTW Berlin Mehrkörperdynamik Beginn Blatt 5 von Links unten: Mobil > Bereich Keine Auswahl > Mitte: Die zylindrische Bohrungsfläche der oberen Bohrung des unteren Körpers anklicken > links unten: Anwenden > jetzt sollten die beiden Körper bei Körperansichten mit ihren Koordinatensystemen sichtbar sein. Schwerkraftfeld: Links im Strukturbaum: Transient > oben: Trägheitslasten > Erdanziehungskraft > links unten Richtung -Y-Richtung einstellen. Was soll berechnet werden? z.b. der zeitabhängige Winkel der Auslenkung Winkel Phi_ (t) und die Lagerkraft für den oberen Körper sowie Winkel Phi_ (t) des unteren Körpers sowie die Gelenkkraft zwischen beiden Körpern. Dazu Phi_(t) und Lagerkraft wie beim einfachen Pendel vorbereiten, siehe Blatt dieser Übung. Winkel Phi_(t): Links im Strukturbaum: Umdrehung - Volumenkörper bis Volumenkörper mit der linken Maustaste auf Lösung ziehen Relative Rotation > Ergebnisauswahl: Z-Achse umbenennen zu Winkel Phi_ (t). Gelenk-Kraft (t): ähnlich wie Lagerkraft, aber alles mit Volumenkörper bis Volumenkörper Dann Start-Position vorgeben z.b. 5 Grad für Umdrehung Erde bis Volumenkörper und zusätzlich minus 6 Grad für Umdrehung Körper zu Körper Links im Strukturbaum: Analyseeinstellungen > z.b. Sekunden. Oben: Lösung. Ergebnisse siehe Blatt 6:

120 D. Joensson ANSYS Workbench 6 W3 Pendel MKS HTW Berlin Mehrkörperdynamik Beginn Blatt 6 von Winkel Phi_: Winkel Phi_: Lagerkraft (t): Gelenk-Kraft (t):

121 D. Joensson ANSYS Workbench 6 W3 Pendel MKS HTW Berlin Mehrkörperdynamik Beginn Blatt 7 von 3.) Doppelpendel MKS flexibel Das Mehrköpersystem Doppelpendel soll nun teilweise flexibel berechnet werden. Dazu wird die Transiente Strukturmechanik von Ansys Workbench genutzt.: Auf der Projektseite (unten ) Block D duplizieren > E Mehrkörperdynamik > Rechte Maustaste > Ersetzen: Transiente Strukturmechanik > Block E umbenennen zu Doppelpendel MKS flexibel > E4 Modell doppelklicken > Links im Strukturbaum: Geometrie > den ersten Volumenkörper anklicken > links unten: Steifigkeitsverhalten Starr Flexibel Spannungsberechnung: Links im Strukturbaum: Lösung > Alle bisherigen Lösungen (Winkel Phi_ bis Gelenk-Kraft) unterdrücken > Vergleichsspannung einfügen Zeitschritte vorgeben: (die können etwas größer sein als bei reiner Starrkörper-Berechnung) Links im Strukturbaum: Transient (E5) > Analyseeinstellungen > Links unten: Anfänglicher Zeitschritt z.b., Min. Zeitschritt, Max. Zeitschritt, Berechnung starten: Oben Lösung. Die Berechnung dauert jetzt deutlich länger als bei reiner Starrkörperanalyse. Ergebnisse, z.b.:

122 D. Joensson ANSYS Workbench 6 W3 Pendel MKS HTW Berlin Mehrkörperdynamik Beginn Blatt 8 von 4.) Doppelpendel MKS - Export zu FEM statisch Das Mehrköpersystem Doppelpendel soll nun teilweise flexibel berechnet werden, indem für ausgewählte Zeitpunkte und ausgewählte Körper des MKS statische FEM-Lösungen erstellt werden als "Momentaufnahmen". Dazu wird die Statisch-mechanische Ananyse von Ansys Workbench genutzt.: Auf der Projektseite (unten ) Block D nochmals duplizieren > F Mehrkörperdynamik > Rechte Maustaste > Ersetzen: Statisch-mechanische Analyse > Umbenennen: Hebel für Zeitpunkt t (max. Lagerkraft) Zeitpunkt auswählen: Block D > D4 Modell doppelklicken > Links im Strukturbaum: Lagerkraft > Mitte: Graph > die Stelle mit der größten Lagerkraft suchen > Mit der linken Maustaste hellblau markieren > Rechte Maustaste: In Bereich zoomen > den Ort der höchsten Lagerkraft anklicken: Für diese Zeit soll nun die statische Berechnung erfolgen: Links im Strukturbaum: Lagerkraft > Rechte Maustaste: Dieses Ergebnis abrufen > Jetzt ist die Stellung der beiden Hebel zu sehen, die zur maximalen Lagerkraft gehört: Links im Strukturbaum: Lagerkraft > Rechte Maustaste: MotionLoads.txt > Speichern. > am besten in den Ordner [W3 Pendel]: Diese Text-Datei enthält die momentanen dynamischen Belastungen der starren Körper des MKS für den ausgewählten Augenblick.

123 D. Joensson ANSYS Workbench 6 W3 Pendel MKS HTW Berlin Mehrkörperdynamik Beginn Blatt 9 von Statische Berechnung: Auf der Projektseite: F4 Modell doppelklicken > Gezeigt wird das MKS in der Anfangs-Lage: Links im Strukturbaum: Den ersten Volumenkörper anklicken > Links unten: Starr Flexibel > den anderen Volumenkörper unterdrücken. Links im Strukturbaum: Kontakte/Verbindungen > Verbindungen unterdrücken > Links im Strukturbaum: Statisch-mechanisch (F5) > Erdanziehungskraft unterdrücken > Statt dessen werden jetzt die "Bewegungslasten" für den gewählten Zeitpunkt eingelesen: Links im Strukturbaum: Statisch-mechanisch (F5) > Rechte Maustaste > Einfügen > Bewegungslasten > im Ordner W3 Pendel: MotionLoads.txt doppelklicken: Ergebnis: An Stelle der Lagerkraft gibt es jetzt eine externe Kraft gleicher Größe, an Stelle der Gelenk-Kraft eine zweite externe Kraft in E. Des Weiteren sind zwei Momente vorhanden. Links im Strukturbaum: Lösung > Die bisherigen Ergebnisse löschen. Statt dessen einfügen: Verformung Gesamt und Vergleichsspannung (von Mises) Oben: Lösung. Die max. Vergleichsspannung ist so ähnlich wie die der transienten Analyse auf Blatt 7, allerdings kommt jetzt eine braun markierte Warnmeldung.

124 D. Joensson ANSYS Workbench 6 W3 Pendel MKS HTW Berlin Mehrkörperdynamik Beginn Blatt von Mit Doppelklick auf die Warnmeldung ist der komplette Text sichtbar: Die Angriffsflächen der beiden externen Kräfte werden hier jeweils noch von einem Moment beansprucht. Um dies zu vermeiden, werden die Bewegungslasten mit "externen Punkten" verbunden. Dann sollte dieser Konflikt nicht mehr auftreten. Die erste Fläche: Links im Strukturbaum: Statisch-mechanisch (F5) > Externe Kraft > Rechte Maustaste > An externen Punkt anbinden > Jetzt gibt es im Strukturbaum eine neue Rubrik Externe Punkte. Links im Strukturbaum: Statisch-mechanisch (F5) > Moment > Unten links: Auswahlmethode > Externer Punkt > Externe Punkte: Externe Kraft - Externer Punkt Die zweite Fläche: Links im Strukturbaum: Statisch-mechanisch (F5) > Externe Kraft > Rechte Maustaste > An externen Punkt anbinden > Links im Strukturbaum: Statisch-mechanisch (F5) > Moment > Unten links: Auswahlmethode > Externer Punkt > Externe Punkte: Externe Kraft - Externer Punkt Oben: Lösung Die braune Warnmeldung ist nicht mehr vorhanden. Das Netz könnte feiner sein z.b. mit Elementgröße 3 mm für alles: Allerdings ist dieser Hebel nicht unbedingt der maximal beanspruchte bei diesem Doppelpendel. Deshalb sollen jetzt die beiden Hebel ausgetauscht werden: Auf der Projektseite: Block F duplizieren > Block G umbenennen zu Hebel > G4 Modell doppelklicken >

125 D. Joensson ANSYS Workbench 6 W3 Pendel MKS HTW Berlin Mehrkörperdynamik Beginn Blatt von Links im Strukturbaum: Geometrie > Den ersten Volumenkörper anklicken > Rechte Maustaste > Unterdrückten Körpersatz umkehren > Den zweiten Volumenkörper anklicken Flexibel. Links im Strukturbaum: : Statisch-mechanisch (G5) > Alle Belastungen löschen > Bewegungslasten einlesen (MotionLoads.txt im Ordner W3 Pendel). Links im Strukturbaum: Netz > Relevanz > Oben: Lösung. Wieder gibt es die braune Warnmeldung. Also Externe Punkte verwenden wie auf Blatt dieser Übung Ergebnis Vergleichsspannung in MPa, Netz mit 75 Knoten Feiner vernetzt, z.b. 3 mm Elementgröße für alles (55 Knoten):

126 D. Joensson ANSYS Workbench 6 W4 Workshop MKS HTW Berlin Blatt von Zwei von Ansys bereit gestellte Workshop-Anleitungen mit Geometrie-Dateien sollen in dieser Übung nachvollzogen werden..) Actuator Dieser Mechanismus (drehbar gelagert in A, gleitend in B und federnd in C) wird durch ein konstantes Moment um A angetrieben. Die Anleitung dazu befindet sich in der Workbench-Hilfe der Version 6 unter dem Stichwort actuator. Die Geometrie-Datei ist im zip-ordner [ W4 Workshop MKS ] enthalten..) Kolbenmotor (Slider-Crank) inklusive transient flexibel gerechnet: Die Anleitung und die Geometrie-Datei sind im zip-ordner [ W4 Workshop MKS ] enthalten. Prof. Dr. 5

127 D. Joensson ANSYS Workbench 6 W3 Harm-K-Err HTW Berlin Harmonisch erzwungene Schwingung mit Krafterregung Blatt von 7 Vorbemerkung Die Berechnung erzwungener gedämpfter Schwingung mit n Freiheitsgraden erfordert die detaillierte Vorgabe der (n x n)-matrizen K, M und D, um daraus die komplexe Nachgiebigkeitsmatrix N_ ermitteln zu können. Für derartige Berechnungen sind auch FEM-Programme oder MKS-Programme einsetzbar, in denen die erforderlichen Matrizen programmintern aufgestellt werden. FEM-Programme: Z.B. Nastran, Altair, Ansys, Patran, Femgen.. MKS (Mehrkörpersystem)-Programme: Z.B. Neweul, Adams, Simpack. MKS ist ein spezielles Berechnungsmodell, bei dem die kompakte Struktur folgendermaßen idealisiert wird: Die kompakte Struktur wird durch einzelne starre Körper als Punktmassen mit Rotationsträgheit idealisiert. Diese idealisierten Körper werden durch masselose Koppel-Elemente miteinander verbunden (masselose Federn und Dämpfer sowie Gelenke). Dabei entstehen relativ wenige Gleichungen (im Vergleich zu FEM). Demzufolge können Berechnungen extrem schnell ausgeführt werden. Dies ist vor allem für nichtlineare Bewegungsvorgänge von Vorteil. Bei FEM dagegen wird die kompakte Struktur in nicht-starre finite Elemente zerlegt, die gleichzeitig Feder-, Dämpfer- und Trägheitseigenschaften haben. Zum Beispiel: Dabei entstehen je Elementknoten exakt so viele Gleichungen wie dieser Knoten Freiheitsgrade hat. Bei feiner Vernetzung entstehen dadurch sehr viele Gleichungen. Speziell für erzwungene gedämpfte Schwingungen werden bei FEM die erforderlichen (n x n)-matrizen K, M, D vollautomatisch aufgestellt. Daraus wird rechnerintern die Matrix N_ erstellt. An ausgewählten Freiheitsgraden (die vom Programmnutzer ausgewählt werden) kann nun wahlweise für harmonische Erregung die stationäre Schwingungsantwort als Amplituden- Frequenzgang und/oder als Phasen-Frequenzgang aus N_ berechnet und grafisch dargestellt werden. Eine Platte aus Baustahl, die einseitig fest eingespannt ist, soll krafterregt mit N sinusförmig zu Dauerschwingungen angeregt werden. Ges.:.) Max. Amplitude der Schwingungsantwort für N Kraft-Amplitude.) Dauerfestigkeitsnachweis für Resonanz Prof. Dr. Dieter 5

128 D. Joensson ANSYS Workbench 6 W3 Harm-K-Err HTW Berlin Harmonisch erzwungene Schwingung mit Krafterregung Blatt von 7 Zunächst nur Geometrie: Workbench starten Projektseite: Links unten: Geometrie doppelklicken > Block A: Geometrie doppelklicken > Oben: Einheiten > Millimeter Ganz oben: Erstellen > Grundelemente > Quader > links unten: Diagonale x 5 y 5 z Oben: Erstellen. Zurück zur Projektseite (unten ) > Links oben: Datei > Speichern unter > Neuen Ordner erstellen, z.b. [ W3 Harm-K-Err ] > diesen Ordner doppelklicken > Dateiname (für das Projekt), z.b. W3 Modalanalyse Zu jeder harmonischen Analyse erzwungener Schwingungen sollte vorab eine Modalanalyse durchgeführt werden, um die in Frage kommenden Eigenfrequenzen kennen zu lernen. Auf der Projektseite : Links: Modalanalyse mit linker Maustaste auf Block A Geometrie ziehen Block B wird erstellt mit gleicher Geometrie wie A: Block B: Modell doppelklicken Mechanical startet. Links im Strukturbaum: Modalanalyse > oben: Lagerungen: Fixierte Lagerung an der rechten Seite der Platte wie im Bild auf Blatt. Oben: Lösung. Links im Strukturbaum: Lösung > rechts unten: Tabellarische Daten > Frequenz [Hz] anklicken > Rechte Maustaste: Ergebnisse generieren > oben: Lösung. Jetzt sind die Schwingformen der 6 Eigenfrequenzen der Reihe nach sichtbar. Die Auslenkungen in mm sind irreführend! Siehe Übung W7.

129 D. Joensson ANSYS Workbench 6 W3 Harm-K-Err HTW Berlin Harmonisch erzwungene Schwingung mit Krafterregung Blatt 3 von 7 3.) Erzwungene Schwingung mit harmonischer Errgegung (in Ansys "Harmonische Analyse" genannt) Auf der Projektseite : Links: Harmonische Analyse mit linker Maustaste auf Block B6 Lösung ziehen Block C wird erstellt mit gleichem Material und gleicher Geometrie und Lagerung wie B: Oben: Berechnung aktualisieren. Block C: Setup doppelklicken Mechanical startet. Links im Strukturbaum: Harmonische Analyse > oben: Lasten > Kraft > Links oben: Eckpunkt > Mitte: Den Eckpunkt der Platte vorn links anklicken (siehe das Bild in Blatt ) > N. Die Lagerung ist schon aus der Modalanalyse vorhanden. Weg-Amplituden-Frequenzgang Berechnet werden soll der Amplituden-Frequenzgang der y-verformung an einem ausgewählten Punkt des Bauteils. Links im Strukturbaum: Analyseeinstellungen: Max. Wert des Bereiches (gemeint ist der zu berechnende Frequenzbereich): z.b. Hz Berechnet werden somit Amplituden und Nacheilwinkel der Schwingungsantwort zwischen und Hz. Welche Amplituden? z.b. Verformung in y-richtung (vertikal) am Punkt vorn rechts. Dazu Links im Strukturbaum: Lösung > oben: Frequenzgang > Verformung > Mitte: Punkt auswählen > links unten: Geometrie > Anwenden. Links unten: Ausrichtung Y-Achse > Oben: Lösung > Links im Strukturbaum: Frequenzgang Der Amplitudenverlauf (Amplitude über Frequenz) zeigt einen Anstieg, aber keine Gipfel, die ansteigen und absteigen. Zwischen und Hz gibt es hier offenbar noch keine Eigenfrequenz, die Resonanzgipfel erzeugt.

130 D. Joensson ANSYS Workbench 6 W3 Harm-K-Err HTW Berlin Harmonisch erzwungene Schwingung mit Krafterregung Blatt 4 von 7 Um einen Überblick zu erhalten, welche Eigenfrequenzen vorhanden sind, sollte die Modalanalyse beachtet werden: Die ersten 4 Eigenfrequenzen liegen hier zwischen und 977 Hz. Also wäre ein Frequenzbereich von bis Hz oder Hz sinnvoll für die harmonische Analyse. Links im Strukturbaum: Harmonische Analyse > Analyseeinstellungen > Max. Wert des Bereiches Hz. Oben: Lösung. Links im Strukturbaum: Frequenzgang Ergebnis: unbefriedigend. Der Frequenzgang wurde vermutlich zu grob berechnet. Deshalb Lösungsintervalle verfeinern: Links im Strukturbaum: Harmonische Analyse > Analyseeinstellungen > links unten: Lösungsintervalle Oben: Lösung. Ergebnis Frequenzgang: Gezeigt werden die Amplitude in logarithmischer Auftragung (Bode-Diagramm) und der Nacheilwinkel, hier als Phasenwinkel bezeichnet. Links unten: Ergebnisse. Die größte Amplitude tritt angeblich bei der. Eigenfrequenz auf.! Außerdem wurde bisher keine Dämpfung vorgegeben, so dass theoretisch exakt unendlich große Amplituden entstehen müssten!

131 D. Joensson ANSYS Workbench 6 W3 Harm-K-Err HTW Berlin Harmonisch erzwungene Schwingung mit Krafterregung Blatt 5 von 7 Eine genauere Berechnung wird ohnehin erst möglich, wenn die Eigenfrequenzen als Stützstellen der Berechnung verwendet werden. Links im Strukturbaum: Harmonische Analyse > Analyseeinstellungen > Ergebnisse bündeln Ja (damit werden die Eigenfrequenzen als Stützstellen verwendet) Die Frequenzbündelung 4 kann z.b. auch auf oder mehr erhöht werden. Oben: Lösung Fehlermeldung. Dämpfung ist erforderlich. Links unten: Dämpfungssteuerung > Konstantes Dämpfungsverhältnis: z.b., ( Lehrsche Dämpfung %) Oben: Lösung. Ergebnis Frequenzgang für Frequenzbündelung : Die größte Antwort-Amplitude tritt jetzt bei der. Eigenfrequenz auf, siehe links unten +Ergebnisse. Sie ist deutlich größer als die anderen beiden Gipfelwerte, siehe links unten: Anzeige > Amplitude. lineare Ordinate statt logarithmisch. Für diese Frequenz 3,8 Hz und diesen Phasenwinkel 9,57 (!) soll nun die Verformung und die Vergleichsspannung im gesamten Bauteil berechnet werden. Links im Strukturbaum: Lösung anklicken unter Harmonische Analyse > Oben: Verformung > Gesamt (bedeutet: resultierende Verformung im betreffenden Punkt) Links unten: Statt Letzte genau die Frequenz angeben, die für die Maximale Amplitude bei der harmonischen Analyse (links unten: Ergebnisse) ermittelt wurde: 3,8 Hz

132 D. Joensson ANSYS Workbench 6 W3 Harm-K-Err HTW Berlin Harmonisch erzwungene Schwingung mit Krafterregung Blatt 6 von 7 Ebenso den entsprechenden Phasenwinkel angeben: 9,57 Das alles ebenso für die Vergleichsspannung nach Mises. Oben: Lösung. Links oben: Ergebnis, (Maßstabsgerecht) einstellen. Die größte Verformung ist.: vy-max =. mm Die max. (dynamische) Vergleichsspannung ist: σ Vmax =. MPa Umbenennen der drei Ergebnisse links im Strukturbaum: Frequenzgang Bezeichnung ergänzen: Frequenzgang vy am Punkt B (Frequenzgang der Verschiebungsamplitude in y-richtung an einem konkreten Punkt des Bauteils) Gesamtverformung ergänzen: Gesamtverformung bei. Resonanz Vergleichsspannung ergänzen: Vergleichsspannung bei. Resonanz Im Vergleich dazu die statische Verformung (bei Hz) infolge N : Gesamtverformung bei. Resonanz > Duplizikat ohne Ergebnisse > Umbenennen zu Gesamtverformung statisch Links unten: Phasenwinkel Frequenz Hz Fehler >, Hz > oben: Lösung. Wie groß ist die statische Auslenkung? mm Wie groß ist demzufolge der dynamische Vergrößerungsfaktor für Resonanz?.. Wie groß ist die max. statische Vergleichsspannung?. MPa Wie groß darf hier die Kraft-Amplitude sein, damit der Dauerfestigkeitsnachweis erfüllt wird? (Die Dauerfestigkeit von Baustahl beträgt nach der FKM-Richtlinie für reine Wechselbeanspruchung σ w = 6 MPa für 97,5 % Überlebenswahrscheinlichkeit) Fzul =. N Berechnen Sie mit dieser Kraft die harmonische Analyse erneut und prüfen Sie, ob damit 6 MPa als max. dynamische Vergleichsspannung entsteht.

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