Skript zur Vorlesung Physik II: Elektrostatik, Magnetostatik, Elektrodynamik 1

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1 Skipt zu Volesung Physik : Elektostatik, Magnetostatik, Elektodynamik 3.6. Das Magnetfeld eine Spule, Pemanentmagnete Aus dem expeimentellen Feldlinienbild de Spule sieht man, dass das Feld im nneen de Spule weitgehend homogen (bis auf die Nahbeeiche um die Spulendähte) und im Außenaum de Spule venachlässigba klein ist (die Aussage tifft zu, wenn de Duchmesse de Spule mit N Windungen klein gegenübe de Spulenlänge ist). nte diese Voaussetzung kann das Magnetfeld de Spule übe den Ampee schen Satz näheungsweise abgeschätzt weden. B B Duchstoßpunkte Mit dem skizzieten ntegationsweg folgt N ds = B = µ N B =µ = µ B n () wobei n die Zahl de Spulenwindungen po änge angibt. n de Näheung () ist das Magnetfeld in de Spule homogen und unabhängig vom Ot. Beechnet man das Magnetfeld eine Spule mit Radius R und änge entlang de Symmetieachse x, so findet man µ n x + / x / B ( x) = (3) R + ( x + / ) R + ( x / ) Die Spule esteckt sich dabei von x=-/ bis x=/. m Mittelpunkt de Spule ehält man fü das µ n Magnetfeld B( x = ) = µ n fü >>R. Am Spulenand findet man dagegen R + / 4 µ n µ n B ( x = ± / ) = fü >>R, d.h. das Spulenfeld ist auf den halben Wet R + abgesunken. Fü Punkte x>> die weit außehalb de Spule liegen ehält man fü das Magnetfeld µ nπr B ( x >> ) =. Es ist nun inteessant das Magnetfeld de 4π ( x / ) ( x + / ) Alle Rechte vobehalten 48

2 langen Spule mit dem Magnetfeld eines Pemanentmagneten zu vegleichen. Pemanentmagnete wuden schon im Altetum entdeckt und liefeten auch mit de Kompassnadel die este technisch bedeutende Anwendung des Magnetismus. Steut man auf eine Glasplatte, unte de sich ein Pemanentmagnet befindet, Eisenfeilspäne findet man ein Feldlinienbild das im Außenaum dem eine langen Spule ähnelt. Das stäkste Magnetfeld befindet sich an den Polstellen des Pemanentmagneten. Hängt man einen Pemanentmagneten in seinem Massenschwepunkt auf, zeigt stets eine de beiden Pole nach Noden, diese Pol wid Nodpol genannt, de nach Süden zeigende Pol Südpol. Bingt man nun den Südpol eines langen Pemanentmagneten in die Nähe des Nodpols eines andeen langen Pemanentmagneten beobachtet man eine anziehende Kaft, wähend bei Annäheung des Südpols Abstoßung beobachtet wid. Gleichnamige Pole stoßen sich ab, ungleichnamige ziehen sich an. Tennt man den Pemanentmagneten in de Mitte duch und untesucht die Buchstücke stellt man fest, dass man nunmeh zwei Magnete voliegen hat, die jeweils wiede einen Nod- und einen Südpol haben. Es gibt also keine isolieten magnetischen Pole (dies ist eine andee Fomulieung des Satzes, dass de magnetische Fluss duch eine geschlossene Fläche stets veschwindet). Die Ähnlichkeit des Magnetfeldes eines Pemanentmagneten mit dem eine langen Spule gibt einen Hinweis auf die mikoskopische Deutung magnetische Effekte in Mateie: Magnetismus ist auf velustfeie atomae Stöme zuückzufühen. Da zu Bescheibung von Atomen die Quantenmechanik unelässlich ist, kann de Magnetismus quantitativ auch nu mit de Quantentheoie beschieben weden. N S N S N S 3.7. Magnetische Dipole, magnetisches Moment Das Magnetfeld eine keisfömigen Stomschleife entspicht dem Magnetfeld eines kuzen Pemanentmagneten. n Analogie zum elektischen Dipolmoment p = ql wid in de Magnetostatik das magnetische Dipolmoment p M = A (4) eingefüht. Die Richtung des Flächenvektos A ist so gewählt, dass zusammen mit de mlaufichtung des Stomes eine Rechtsschaube gebildet wid. 49

3 p m = A A Die Kaftwikung auf einen magnetischen Dipol (de Einfachheit halbe soll eine quadatisch gefomte Stomschleife betachtet weden) im homogenen Magnetfeld B ist duch die oentzkäfte auf die einzelnen Segmente bestimmt. Die Käfte fühen zu einem Dehmoment D M = p B (5) M das eine Ausichtung des magnetischen Dipols bewikt, so dass die Stomschleife senkecht zum Magnetfeld zu liegen kommt, in diesem Fall ist B. p M B F F 4 Dehmoment D M = p M B F 3 F 3.8. Mateie im Magnetfeld Die magnetischen Eigenschaften von Mateie weden duch atomae magnetische Momente bestimmt. n de einfachsten Betachtungsweise kann man ein geladenes Teilchen mit de Masse m und de adung q betachten, das mit de Geschwindigkeit v einen Keis mit Radius R umläuft. Dieses Teilchen epäsentiet einen Keisstom de Stäke = qf = qv /( πr), f ist die mlauffequenz de adung. Das magnetische Moment dieses Keisstomes ist dann pm = A = qf π R = qr ω. Ken 5

4 De Dehimpuls des geladenen Teilchens ist = mrv = mr ω. Damit egibt sich ein Zusammenhang zwischen dem Dehimpuls und dem magnetischen Moment de umlaufenden adung: p M q = (6) m m Boh schen Atommodell des Wassestoffatoms läuft z.b. das Elekton mit de Masse m und de adung -e auf eine Keisbahn um das Poton. De Bahndehimpuls des Elektons kann dabei nu bestimmte Wete annehmen (de Bahndehimpuls ist quantisiet), gemessen in Einheiten des Plancks chen Wikungsqueschnittes p M = eh /( m). Neben dem magnetischen Moment das duch den Bahndehimpuls hevogeufen wid gibt es noch magnetische Momente duch den Eigendehimpuls von Elektonen (Spin) und magnetische Momente des Atomkens. Das Zusammenspiel all diese Momente bestimmt die magnetischen Eigenschaften de Mateie. Fü die Diskussion de magnetischen Eigenschaften von Mateie ist es üblich, neben dem magnetischen Feld B noch die magnetische Eegung H einzufühen. m Vakuum gilt B = H (7) µ m nneen eine Spule mit n Windungen po änge ist die magnetische Eegung H = n B = µ H = µ n. Füllt man nun den nnenaum de Spule mit einem Mateial, so bewikt die magnetische Eegung H eine Ändeung des magnetischen Feldes B Mateie = µµ H = µ B (8) Vakuum Die dimensionslose Göße µ wid elative magnetische Pemeabilität genannt. Die Ändeung des Magnetfeldes lässt sich aus dem atomaen Aufbau de Mateie ekläen, d.h. duch die Einwikung des Magnetfeldes auf die Atome. n Analogie zum elektischen Feld, in dem duch adungsveschiebung elektische Dipole induziet ode pemanente elektische Dipole ausgeichtet weden und damit die dielektische Polaisation bewiken, findet man im Magnetfeld eine magnetische Polaisieung (die Magnetisieung M genannt wid) duch induziete ode beeits vohandene magnetische Dipole. Die Magnetisieung kann, ebenfalls analog zum elektischen Fall als Vektosumme de magnetischen Momente po Volumeneinheit geschieben weden M V = pm (9) Die Dimension de Magnetisieung ist [M]=Am /m 3 =A/m. Fü das magnetische Feld kann man wiedeum in Analogie zum elektostatischen Fall scheiben B = µ ( H + ) () M 5

5 Bei nicht zu goßen Feldstäken ist die Magnetisieung M popotional zu magnetischen Eegung H M = χh () De Popotionalitätsfakto χ heißt magnetische Suszeptibilität. Zwischen de Pemeabilität und de Suszeptibilität besteht de Zusammenhang µ = + χ. Magnetische Mateialien weden nach dem Vozeichen und de Göße de Suszeptibilität chaakteisiet. Bei diamagnetischen Mateialien ist die Suszeptibilität klein und negativ! Fü 4 polykistallines Bismut findet man χ =.57. Des weiteen sind Sb, Zn, Pb, Cu, Ag und Au diamagnetisch. Diamagnetische Stoffe besitzen keine pemanenten magnetischen Momente, denn diese Mateialien haben abgeschlossene Elektonenkonfiguationen. m Magnetfeld wid ein magnetisches Moment induziet, die atomaen Keisstöme sind abe entgegengesetzt geichtet zum Spulenstom, de die magnetische Eegung liefet. nduziete magnetische Momente teten bei allen Mateialien auf, d.h. alle Mateialien weisen diamagnetische Anteile bei de Suszeptibilität auf. Bei vielen Mateialien weden die diamagnetischen Beitäge duch paamagnetische Anteile übelaget. n paamagnetischen Mateialien gibt es auf Gund nicht abgeschlossene Elektonenkonfiguationen pemanente atomae magnetische Momente. Die Suszeptibilität paamagnetische Mateialien ist ebenfalls klein abe positiv! Beispiele fü paamgnetische Mateialien sind z.b. Sauestoff, Mn, C, Al, und Pt. n feoelektischen Mateialien ist die Suszeptibilität ebenfalls positiv und seh goß, Wete um übe sind duchaus ealisieba! Die bekanntesten feomagnetischen Mateialien sind Fe, Co, Ni und Gadolinium. Neben diesen Elementfeomagneten gibt es noch eine Vielzahl von feomagnetischen egieungen. Mit feomagnetischen Mateialien kann man seh effizient das Magnetfeld gegenübe dem Vakuumwet übe mehee Gößenodnungen ehöhen! Qualitativ können dia-, paa- und feomagnetische Mateialien duch ih Vehalten in einem inhomogenen Magnetfeld identifiziet weden. Diamagnetische Stoffe weden abgestoßen, paamagnetische schwach und feomagntische Mateialien seh stak angezogen. Expeimentell zeigt man dies duch das Einbingen eines kleinen Stäbchens in ein inhomogenes Magnetfeld. Das Stäbchen wid in einem Winkel von 45 angeodnet. Diamagnetische Stoffe stellen sich que zu Vebindungspole de Magnetpole, paamagnetische Stoffe dagegen paallel zu Vebindungslinie. Feomagnete zeigen, ähnlich zu Feoelektika, eine Hysteese, wenn das Magnetfeld B übe de magnetischen Eegung H aufgetagen wid. Weichmagnetische Mateialien zeigen dabei eine seh schmale Hysteesekuve, solche Mateialien weden bevozugt zu magnetischen Abschimung eingesetzt. Hatmagnetische Mateialien zeigen fast echteckige, aufgeweitete Hysteesekuven, solche Mateialien eignen sich besondes fü Dauemagnete. Neben feomagnetischen Mateialien gibt es noch Antifeomagnete und Feimagnete. n Antifeomagneten sind die magnetischen Momente so angeodnet (abwechselnd auf und ab zeigend), dass nach außen keine spontane Magnetisieung auftitt. Antifeomagnete sind z.b. MnO, FeO, CoO usw. Feimagnete zeigen nach außen eine spontane Magnetisieung, weisen abe eine Anodnung de magnetischen Momente auf, die an Antifeomagnete einnet. Feite 5

6 bestehen in de Regel aus MeO und Fe O 3, wobei Me ein zweiwetiges Metall ist wie Mg, Mn, Fe, Co, Ni, Cu, Zn, ode Cd. De Widestand von Feiten ist um viele Gößenodnungen höhe im Vegleich zu Feomagneten. Feite haben dahe neben Anwendungen als Dauemagnete und als Beschichtung fü magnetische Datentäge besondes Anwendungen in Hochfequenzbauelementen Stetigkeitsbedingungen fü die B- und H-Felde an Genzflächen n de Elektostatik hatten wi das Vehalten de elektischen D- und E- Felde an Genzflächen untesucht und gefunden, dass beim Übegang von Medium (mit de dielektischen Konstanten ε ) zu Medium (mit de dielektischen Konstanten ε ) die Tangentialkomponente von E stetig ist, abe die Nomalkomponente einen Spung macht, wohingegen das Vehalten von D geade umgekeht wa. Die Stetigkeitsbedingungen fü die E und D-Felde kann man sich leicht an Hand de Seien und Paallelschaltung von Kondensatoen veanschaulichen. Ähnliches gilt in de Magnetostatik. Beim Übegang von einem Medium mit de Pemeabilität µ zu einem Medium mit µ folgt analog zu Elektostatik, dass die Paallelkomponente von H stetig ist, wähend die Nomalkomponente einen Spung aufweist. Das B-Feld vehält sich dann wiede in Analogie zu Elektostatik geade umgekeht. Als Beispiel zu Anwendung de Stetigkeitsbedingung soll das Magnetfeld eines Elektomagneten mit uftspalt beechnet weden. De Elektomagnet soll aus eine Ringspule mit Radius R bestehen, in das ein Eisenjoch mit einem uftspalt de Beite d eingebacht wid. Da die Nomalkomponente von B stetig ist beim Übegang von Eisen zu uft folgt: B = B µ H = µ H () Fe uft Fe uft Fü das inienintegal übe die magnetische Eegung übe einen geschlossenen Weg im Zentum de Ringspule folgt dann: N Nµ Nµµ = Hds = H + dh H = B = (3) ( πr d ) Fe uft uft uft ( µ ) d + πr ( µ ) d + πr Mit eine Eisenkenspule (µ=) mit N=5 Windungen und einem Radius R= cm kann man bei eine Spaltbeite von d= cm ein Magnetfeld von B=,6 T ezeugen, wenn ein Stom von = A duch den Elektomagneten fließt. 3.. Mateie im elektischen und magnetischen Feld Das Einbingen von Mateie in ein elektisches Feld füht zu Polaisation, an Obeflächen macht sich die Polaisation duch Obeflächenladungen bemekba. Die dielektische Veschiebung sieht dabei nu die feien adungen, nicht abe die gebundenen Polaisationsladungen, das elektische Feld dagegen sieht sowohl die feien als auch die gebundenen adungen. 53

7 Polaisation Magnetisieung Bingt man Mateie in ein magnetisches Feld so entsteht die Magnetisieung (skizziet ist ein paamagnetisches ode feomagnetisches Mateial mit beeits vohandenen pemanenten magnetischen Momenten, die im Magnetfeld oientiet weden). Die Magnetisieung wid duch atomae Keisstöme hevogeufen. An de Obefläche wikt die Magnetisieung wie ein Keisstom. m nneen und Äußeen des Mateiales wid das Magnetfeld duch diesen zusätzlichen Keisstom vestäkt gegenübe dem mateiefeien Fall. 3.. Das Magnetfeld de Ede Dezeit liegt de magnetische Nodpol westlich von Nodgönland, nödlich de nsel Pince of Wales in Nod-Kanada. De magnetische Südpol liegt am Rand de Antaktis, südlich von Tasmanien. Die beiden Pole liegen nicht an genau gegenübeliegenden Punkten de 4 Edobefläche. Das magnetische Feld B de Ede betägt an den Polen etwa,6 T. Die genaue Hekunft des Edmagnetfeldes ist auch heute noch nicht vollständig geklät, es ist ein Beispiel dafü, dass de Mensch Dinge nutzbingend anwendet, obwohl das Veständnis nicht vohanden ist, geteu dem Motto: Es ist egal waum es funktioniet, Hauptsache es funktioniet. Das magnetische Feld de Ede hat im auf de Zeit seine Richtung geändet, bei vielen Planeten kann dies oft innehalb von wenigen Tagen geschehen. Zum Glück ist die Ede nicht so spunghaft in diesem Punkt, die letzte mkeh efolgte vo etwa 4 Millionen Jahen. Bedeutende sind Schwankungen des Edmagnetfelds, mit Peioden übe Jahe bis wenigen Stunden, sowie Pulsationen mit Dauen im Sekundenbeeich. Geladene Teilchen die von de Sonne ausgestoßen weden (Sonnenwind), beeinflussen seh stak das Edmagnetfeld, bei heftigen Sonnenwinden gibt es in Polnähe spektakuläe ichtescheinungen (Polalichte), hevogeufen duch die enegieeichen Teilchen des Sonnenwindes. 54

8 3.. Veschiebungsstom als sache von Magnetfelden Bei de Aufladung eines Kondensatos findet man ein Magnetfeld nicht nu um die Zuleitungen, sonden auch im Zwischenaum. Die sache dieses Magnetfeldes liegt im Veschiebungsstom. Das Ampee sche Gesetz lautet in de vollständigen Fomulieung: D D Bds = µ ( j + jd ) da = µ ( j + ) da B = µ ( j + ) t t (4) Gleichung (4) ist eine seh wesentliche Beziehung, da sie aussagt, dass zeitlich veändeliche elektische Felde eine Quelle fü Magnetfelde sind. Die Elektodynamik wid nun im nächsten Abschnitt de Volesung vevollständigt mit dem Phänomen de nduktion, die besagt, dass zeitlich veändeliche Magnetfelde eine Quelle fü elektische Felde dastellen. Die gesamten elektomagnetischen Effekte weden lediglich duch 4 Gleichungen bestimmt. Die ösung diese Gleichungen kann jedoch schon in einfachen Fällen beliebig kompliziet weden. Auf Gund des Wechselspieles zwischen zeitlich veändelichen elektischen und magnetischen Felden können elektomagnetische Wellen entstehen Zusammenfassung: Magnetostatik Magnetfelde weden duch Stöme ezeugt. Magnetfeldlinien sind stets geschlossen, sie haben keinen Anfang und kein Ende. Die magnetische Feldstäke B hat die Einheit Tesla T = Vs/m. Die magnetische Eegung H ist mit de magnetischen Feldstäke B übe B=µ H vebunden, wobei µ die magnetische Pemeabilität des Vakuums ist. Die magnetische Pemeabilität hat den Zahlenwet µ =4π -7 Vs/Am. Auf eine mit de Geschwindigkeit v in einem elektischen Feld E und einem magnetischen Feld B bewegte adung wikt die Kaft F = q( E + v B). Bei einem geschlossenen Weg um einen eite, de vom Stom = jda duchflossen wid, gilt fü das Magnetfeld das Ampee sche Gesetz Bds = µ jda B = µ j. 7 µ = 4π Vs/(Am) ist die elative Pemeabilität von Vakuum. µ Das Magnetfeld eines geaden Dahtes ist zylindesymmetisch mit B( ) =. Das π Magnetfeld eine langen vom Stom duchflossenen Spule mit n Windungen po änge ist im nneen näheungsweise homogen mit = µ n. B Auf einen vom Stom duchflossenen eite wikt im Magnetfeld eine Kaft po eitelänge d: F = d B. Diese Kaftwikung ist Bestandteil de Festlegung de Stomstäkeeinheit A im S-Maßsystem. Stomduchflossene eite im Magnetfeld zeigen eine Hall-Spannung die zu Magnetfeldmessung benutzt weden kann. Die magnetischen Eigenschaften von Mateie weden duch die Magnetisieung M, die elative Pemeabilität µ und die magnetische Suszeptibilität χ bestimmt. Man untescheidet 55

9 . Diamagnete χ < χ <<. Paamagnete χ > χ << 3. Feomagnete χ >> Beim Übegang von einem Medium zum andeen ist die Paallelkomponente von H stetig, wähend die Nomalkomponente einen Spung aufweist, beim B-Feld liegen die Vehältnisse geade umgekeht. 4.. Das Faaday sche nduktionsgesetz 4. Zeitlich veändeliche Felde Die Beobachtung, dass in einem eite in einem zeitlich veändelichen Magnetfeld eine elektische Spannung entsteht geht auf Michael Faaday zuück, einem wissenschaftlichen Autodidakten, de aus einfachsten Vehältnissen stammend, zunächst eine Buchbindelehe absolviete, bevo e zu einem de bekanntesten Wissenschaftle des 9. Jahhundets avanciete. Die qualitativen Zusammenhänge des Faadayschen nduktionsgesetzes weden zunächst duch einige Expeimente veanschaulicht. Quantitativ gelten die folgenden Zusammenhänge: Wid z.b. de Nodpol eines Stabmagneten duch eine eitespule geschoben, deen Enden mit einem Spiegelgalvanomete ode Oszilloskop vebunden sind, so beobachtet man dass die induziete Spannung (t) popotional ist zu: Geschwindigkeit v mit welche de Magnet duch die Spule bewegt wid zum Podukt NA, mit N de Zahl de Spulenwindungen und A de Spulenfläche und zum Kosinus des Winkels α zwischen de Flächennomalen de Spule und de Magnetfeldichtung N S (t) v Wid mit dem Südpol geabeitet findet man dieselben Egebnisse, alledings mit dem umgekehten Vozeichen fü (t). Die Egebnisse de Expeimente können im Faaday schen nduktionsgesetz zusammengefasst weden: d d = BdA = Φ m dt dt induziet (5) 56

10 das besagt, dass die nduktionsspannung gleich de negativen zeitlichen Ändeung des magnetischen Flusses duch die Pobenspule ist. Man beachte, dass in (5) nicht übe eine geschlossene Fläche integiet wid! Das Faaday sche nduktionsgesetz kann auch diffeentiell fomuliet weden: d B BdA = Eds = EdA E = dt t (6) wobei wiedeum de Stokes sche Satz de Vektoanalysis zu Anwendung kommt. (6) sagt aus, dass zeitlich veändeliche Magnetfelde sache fü elektische Wibelfelde sind, d.h. elektische Felde mit geschlossenen Feldlinien. Als Beispiel fü die Anwendung des Faaday schen nduktionsgesetzes soll die nduktionsspannung beechnet weden, die entsteht wenn eine eiteschleife im Magnetfeld gedeht wid. n diesem Fall ist de magnetische Fluss: d Φ m = BdA = BAcosϕ( t) = BAcosωt induziet = Φ m = BAωsinωt dt (7) Diese Beziehung stellt die Gundlage de technischen Ezeugung von Wechselspannungen in Geneatoen da. A ϕ B Mit Gleichung (6) ist die letzte de Maxwell schen Gleichungen de Elektodynamik voll entwickelt, mit vie Gundgleichungen können alle Gebiete de klassischen Elektodynamik voll beschieben weden. n jüngste Zeit hat das Gebiet de elektomagnetischen Wellen wiede einen enomen Boom zu vezeichnen, duch die Revolution de Telekommunikation mit funkbetiebenen Systemen (Mobiltelefone). Die notwendigen Hochfequenzbauelemente efoden fü das Design insbesondee den Einsatz von Physiken, Elektotechniken ode Mechatonike mit speziellen Kenntnissen in de Höchstfequenztechnik. Die Beechnung de nduktionsspannung in einem eitekeis de in einem Magnetfeld gedeht wid, kann altenativ auch duch die Betachtung de oentz-kaft auf die feien adungstäge im eite bestimmt weden. Die oentz Kaft F = qv B auf die sich mit de Geschwindigkeit v bewegenden feien adungstäge wid duch die elektische Kaft F = qeinduziet kompensiet, wobei E induziet das im eite induziete elektische Feld ist. Aus 57

11 b b qe = qvbsinθ E = vbsinθ = ω BsinΘ induziet = Eds = ω BsinΘa = ωabsinθ (8) folgt wiedeum Gleichung (7). 4.. Die enz sche Regel, Wibelstöme Das negative Vozeichen im nduktionsgesetz hat eine Reihe wichtige Konsequenzen. Die induziete Spannung ist de Ändeung des magnetischen Flusses entgegengeichtet. Die in einem geschlossenen eite ezeugten nduktionsstöme sind dahe imme so geichtet, dass sie ein Magnetfeld ezeugen, welches die Ändeungen im uspünglichen Feld zu kompensieen vesucht. Bewegt man einen eite im Magnetfeld, weden nduktionsstöme ezeugt, die so geichtet sind, dass die auf den eite wikenden oentz-käfte diese Bewegung hemmen wollen. Schlagwotatig können diese Befunde in de enz schen Regel zusammengefasst weden: Die duch nduktion entstehenden Stöme, Felde und Käfte behinden stets den die nduktion einleitenden Vogang! Bei de Bewegung des eites duch das Magnetfeld wikt die oentz-kaft auf die feien adungstäge. Duch das induziete elektische Feld wid im geschlossenen Stomkeis ein Stom induziet, de eine Diftgeschwindigkeit de adungstäge im eite bewikt. Dies füht wiedeum zu eine oentz-kaft, die so geichtet ist, dass sie die Bewegung des eites hemmt. F = qv D x B v D B F = qv x B v Die enz sche Regel wid am besten duch Expeimente veanschaulicht, z.b. duch einen bifila aufgehängten Aluminiuming in den ein Stabmagnet eingefüht wid, bzw. heausgezogen wid. Bei Annäheung des Magneten wid de Ring imme abgestoßen, bei Entfenung des Magneten imme angezogen, unabhängig davon ob mit dem Nod- ode Südpol geabeitet wid. Die nduktion kann auch in de elektomagnetischen Schleude dazu benutzt weden einen Aluminiuming duch den Hösaal zu schießen, wobei Schusshöhen von meheen Meten ohne Poblem eeicht weden. Die in ausgedehnten eiten entstehenden nduktionsstöme weden Wibelstöme genannt und im Waltenhof schen Pendel vogefüht. Das Expeiment zeigt die Effizienz von Wibelstömen zu Schnellbemsung, dies wid auch in manchen elektisch betiebenen Fahzeugen technisch genutzt Selbstinduktion 58

12 De magnetische Fluss duch eine Spule ist popotional zum Stom : Φ BdA M = = (9) De Popotionalitätsfakto wid Selbstinduktionskoeffizient genannt. Die Einheit des Selbstinduktionskoeffizienten ist [ Φ M ] = Vs Vs m = [ ] = [ ][ ] = [ ] A [ ] = = H. Die m A Bedeutung des Selbstinduktionskoeffizienten wid kla, wenn man eine Spule mit einem zeitlich nicht konstanten Stom beteibt. Bei Ändeung des Stomflusses duch die Spule wid nach dem Faaday schen nduktionsgesetz eine Selbstinduktionsspannung ezeugt, die de Stomändeung entgegen wikt. Die duch die nduktion entstehende Spannung zwischen dem Anfang und dem Ende de Spule ist betagsmäßig: d = () dt Als Anwendung de Selbstinduktion soll de Einschaltvogang beim R-Keis und beim RC- Keis veglichen weden: Spule und Widestand R Kondensato C und Widestand R d Q = + R = + R dt C R = ( t) exp t = t ( t) exp R R RC Bei de Spule wächst de Stom duch die Spule exponentiell an, bis e den Sättigungswet / R eeicht, die Zeitkonstante ist τ=r/. Beim Kondensato fällt de Stom exponentiell ab vom Statwet / R, die Zeitkonstante ist hebei τ=rc. Schaltet man die Spannungsquelle in de R-Schaltung ab, so findet man einen exponentiell abklingenden Stom. Die dabei im Widestand R in Wäme umgesetzte Enegie muss vohe im Magnetfeld gesteckt haben. Die Enegie des Magnetfeldes ist dahe: R W M = Rdt = exp t Rdt = () Q Zu Einneung: die in einem Kondensato gespeichete Enegie betägt W E =. C De Selbstinduktionskoeffizient eine langen Zylindespule de änge mit n Windungen po änge kann unte de Annahme eines homogenen und konstanten Magnetfeldes im Spuleninneen abgeschätzt weden: 59

13 dφ M d d Φ M = BA = µ na induziet = n = µ n A = = µ n V () dt dt dt 4.4. Wechselstomvehalten von Spulen und Kondensatoen egt man eine Wechselspannung = cos( ωt) duch diesen ein Wechselstom = ( R) cos( ωt) = cos( ωt) eistung betägt P = cos ( ωt) = an einen Ohm schen Widestand R an, so fließt. Die momentane elektische. Die übe eine Peiode des Wechselstomes gemittelte T elektische eistung ist P = cos ( ωt) dt = T. Ein von eine Gleichspannung ezeugte Gleichstom wüde zu selben mittleen eistung fühen. Man nennt = eff bzw. = e ff die Effektivwete de Wechselspannung und des Wechselstoms. Kondensatoen und Spulen vehalten sich in Wechselstomkeisen völlig andes wie Ohm sche Widestände. nsbesondee sind Stom- und Spannung nunmeh keineswegs in Phase. nduktivität Kapazität C d( t) dt ( ω t) cos( ω t) cos = = Q( t) C ( t) = t ω cos( ωt) dt = sin( ω ) t) = C cos( ωt) = ωc sin( ωt) d dt ( De Wechselstom wid duch eine Spule um 9 gegenübe de Wechselspannung vezöget. De Wechselstom eilt de Wechselspannung um 9 voaus. De Betag des induktiven Widestandes ist R = = ω.de induktive Widestand steigt mit wachsende Fequenz. De Betag des kapazitiven Widestandes ist R C = =. De kapazitive Widestand ωc sinkt mit wachsende Fequenz. Die momentane eistung im Fall eine Spule ist beispielsweise P = = cos( ωt) sin( ωt) die übe eine Peiode zeitlich gemittelte eistung T P = cos ωt sin( ωt) dt = sin ωt d sin( ωt) T T ( ) ( )! = und veschwindet, d.h. die Enegie pendelt zwischen de Spannungsquelle und de Spule peiodisch hin und he. Eine ähnliche 6

14 Übelegung kann man beim Kondensato anstellen. Man sagt, dass eine eine nduktivität ode eine eine Kapazität lediglich eine Blindleistung im Schaltkeis zu Folge haben. m t=π/ω exp(iωt) t= Re = exp(iωt)/z ϕ: Phasenveschiebung Zu Bescheibung des Wechselstomvehaltens von Spulen und Kondensatoen bietet sich die komplexe Scheibweise an, die im Zeigediagamm veanschaulicht weden kann. n de komplexen Zahlenebene wid die Funktion ( t) = exp( iωt) = { cos( ωt) + isin( ωt) } duch einen Keis beschieben mit dem Mittelpunkt im Koodinatenuspung de komplexen Zahlenebene und dem Radius. n de komplexen Zahlenebene kann de Stom duch einen Schaltkeis duch ( t) = exp( iωt) (3) Z beschieben weden, wobei Z in de Regel eine komplexe Zahl ist, die mpedanz genannt wid. Wenn Z eine komplexe Zahl ist, titt zwischen dem Stom und de Spannung eine Phasenveschiebung auf. Fü eine Spule folgt z.b. die komplexe mpedanz aus Re( t) = cos( ωt) π Re ( t) = sin( ωt) = Re exp i t = ω ω ω Re Z exp ( iωt) Z π = ωexp i = iω (4) Eine entspechende Übelegung liefet die komplexe mpedanz eines Kondensatos: Re( t) = cos( ωt) π Re ( t) = ωc sin( ωt) = Re ωc exp i ωt + = Re Z Z C π = exp i = ωc ω i C = iωc C exp ( iωt) (5) Mit den komplexen mpedanzen fü Spule und Kondensato kann man nun genauso echnen wie mit eellen Wideständen. 6

15 m Z iω /iωc (induktive mpedanz)) R Re Z (Ohm sche Widestand) (kapazitive mpedanz) Als estes Beispiel soll ein getiebene CR-Seienkeis analysiet weden. Die komplexe mpedanz eines solchen Keises ist Z = R + iω + iωc = R + i ω ωc (6) C R De Betag de komplexen mpedanz ist Z = R + ω, die Phasenveschiebung ωc zwischen Stom und Spannung. De Fall ω = ω = ist besondes inteessant, weil ωc C nunmeh Stom- und Spannung wiede in Phase sind, da die komplexe mpedanz eell wid. Fü die Amplituden de Wechselspannungen an Spule und Kondensato findet man nun = ω C = =. Bei einem kleinen Wet des Widestandes R können die R ωc R Spannungen die man an Kondensato und Spule misst die Eingangswechselspannung um ein Vielfaches übesteigen! 4.5. Piezoeletische Resonatoen und Tansfomatoen egt man ein elektisches Wechselfeld an einen Kondensato de aus einem beidseitig metallisieten Piezoelektikum besteht, so änden sich auf Gund des invesen piezoelektischen Effektes die geometischen Dimensionen des Kondensatos. Das Kondensatomateial wid zu peiodischen Schwingungen angeegt, die (wie bei jedem elastischen mechanischen System) zu Resonanzen Anlass geben. Diese mechanischen Resonanzen weden wegen des diekten piezoelektischen Effekts auch in de komplexen mpedanz beobachtet. Das einfachste elektische Esatzschaltbild eines piezoelektischen Dickenesonatos besteht z.b. aus einem Kondensato C, paallel zu eine Seienschaltung eines Kondensatos C und eine Spule. Auf den Zusammenhang de Esatzschaltbildgößen mit den physikalischen Kenngößen des piezoelektischen Mateials kann im Rahmen de Volesung leide nicht nähe eingegangen weden. 6

16 stehende akustische Welle Piezoelektikum C C Fü die mpedanz eines piezoelektischen Resonatos findet man Z iωc = iωc + (7) ω C De Resonatoschaltkeis ist duch zwei Fequenzen chaakteisiet, die Resonanzfequenz f bei de die mpedanz Z= veschwindet und die Antiesonanzfequenz f a bei de die mpedanz unendlich goß wid Z=. Fü die Resonanz- und Antiesonanzfequenzen findet man leicht aus (7) f = f a = (8) π C CC π C + C Piezoelektische Resonatoen finden vielfältige Anwendungen in Mikowellenschaltungen, z.b. als fequenzstabile Oszillatoen und als Mikowellenfilte. Massenweise weden piezoelektische Resonatoen mit dünnen piezoelektischen Filmen fü Filte in Mobilfunktelefonen eingesetzt. Als Mateial fü Resonatoen wid Quaz eingesetzt, wenn auf eine besondes gute Tempeatustabilität und eine hohe mechanische Güte Wet gelegt wid. Die Schichtdickenbestimmung in Metallisieungsanlagen (Aufdampfanlagen) wid in de Regel mit Quazesonatoen duchgefüht. Fü Dünnschichtanwendungen, wie sie in de Mobilfunktechnik benötigt weden, setzt man bevozugt Zinkoxid als Piezoelektikum ein. Fü Resonanzfequenzen im Beeich GHz weden piezoelektische Filme mit Dicken von ca. µm benötigt. n vielen Bauelementen weden piezoelektische Wellen angeegt, die entlang de Obefläche des piezoelektischen Mateiales laufen. Diese Obeflächenwellen sind mit Edbebenwellen vewandt. SAW-Bauelemente (von suface acoustic wave) weden fü die Realisieung von hochpäzisen und schmalbandigen Filten vewendet, abe auch in Sensoen die keinelei Betiebsspannung benötigen. m letzteen Fall wid übe Funkwellen eine SAW-Welle angeegt, die piezoelektisch ezeugte Spannung teibt den Senso de dann das Messegebnis wiede übe Funk abstahlt. Daübe hinaus können piezoelektisch angeegte Resonanzen auch in piezoelektischen Tansfomatoen genutzt weden, um Spannungen zu tansfomieen. Ein solche eisen- und magnetfeldlose Tansfomato kann seh platzspaend ealisiet weden und wid z.b in lap-top Computen eingesetzt, die mit Flüssigkistall-Anzeigen (liquid cystal displays) abeiten. n diesen Anzeigen weden elativ hohe Spannungen benötigt um die 63

17 Fluoeszenz-Hintegundlampe elektisch zu zünden, diese Spannungen können eisenlos duch piezoelektische Tansfomatoen ezeugt weden Gegenseitige nduktion C C n de Abbildung wid die este Stomschleife C von einem Stom duchflossen. De Stom uft ein Magnetfeld B im umgebenden Raum hevo. Das Magnetfeld B füht zu einem magnetischen Fluss duch den Stomkeis C Φ = B da. De magnetische Fluss Φ wid dabei popotional zum Stom sein, de duch die este eiteschleife fließt, d.h. es wid Φ (9) = sein. heißt Koeffizient de gegenseitigen nduktion ode gegenseitige nduktivität. Als Beispiel sollen zwei keisfömige eiteschleifen betachtet weden, die sich in einem Abstand d<<r befinden. Die gegenseitige nduktivität kann man fü dieses Beispiel leicht abschätzen Φ = πr B µ Φ B R πrµ = πr = µ (3) Die gegenseitige nduktivität ist veantwotlich fü die Funktionsweise von Tansfomatoen. Dabei wid in de Regel de magnetische Fluss duch einen Eisenstab übe gößee Entfenungen gefüht. Tansfomatoen können sowohl zu Ezeugung hohe Spannungen als auch zu Ezeugung hohe Stöme vewendet weden. Pimä Sekundä Ein Tansfomato besteht aus eine Pimäspule mit de nduktivität und Windungszahl N und eine Sekundäspule mit de nduktivität und Windungszahl N. An die Pimäspule wid 64

18 eine Wechselspannung = cosωt angelegt. De in de Pimäspule ezeugte Fluss wid duch den Eisenken gefüht und veläuft damit auch duch die Sekundäspule mit de nduktivität, wo e eine Spannung ( ) ezeugt,induziet = = N, induziet = N =, dt dt dt N t d dφ dφ N = (3) Bei gleichsinnige Wicklung de Pimä- und Sekundäspule ist die Ausgangsspannung in de Sekundäspule um 8 gegenübe de Eingangsspannung phasenveschoben. Bei einem Hochspannungstansfomato hat die Sekundäspule viel meh Wicklungen wie die Pimäspule, bei einem Hochstomtansfomato hat man dagegen eine Sekundäspule mit seh viel wenige Wicklungen als die Pimäspule. Beim belasteten Tansfomato ist zu beachten, dass auf Gund de gegenseitigen nduktivität Pimä- und Sekundäkeise mit ihen jeweiligen Gegeninduktivitäten aufeinande einwiken. Die quantitative Bescheibung wid duch die folgenden Gleichungen beschieben = Z = iω = iω + iω iω (3) Dabei ist Z die mpedanz die an den Tansfomato als Belastung angelegt ist. Aus den Gleichungen (3) kann man folgen iω iω Z = = (33) iω + Z iω Z + ω ( ) Das Maß de Kopplung zwischen Pimä- und Sekundäkeis ist duch k = (34) gegeben, wobei k gilt. Fü Z=R (ein Ohm sche Belastung) und pefekte Kopplung k= wid z.b. iω Z = = = iω Z + ω ( ) (35) die Ausgangsspannung des Tansfomatos unabhängig von de Belastung (von einem Widestand de Spulen ist bei de Betachtung abgesehen). Da die nduktivität eine Spule popotional zum Quadat de Windungszahl ist, ehält man wiedeum das Egebnis (36). Bei nicht vollständige Kopplung sinkt die Ausgangsspannung gegenübe de ehlaufspannung ab. 65

19 Bei ein kapazitive Belastung ehält man aus (33) unte Beücksichtigung von (34) und mit Z = das Übetagungsvehältnis iωc = ω C ( k ) (36) Bei nicht vollständige Kopplung kann das Übetagungsvehältnis göße weden als beim ehlaufbetieb! Fü die Resonanzfequenz ω R = wid die Ausgangsspannung unendlich goß (in de Paxis wid dies nicht C( ) k eeicht, weil Veluste im Tansfomato die Ausgangsspannung begenzen). Bei ein kapazitive Belastung kann es mit Tansfomatoen zu Resonanzübehöhungen des Übetagungsvehältnisses kommen! 5.. Die Maxwell-Gleichungen 5. Elektomagnetische Wellen Mit de Bespechung des Faaday schen nduktionsgesetzes wude de noch fehlende Baustein zu kompletten Bescheibung elektomagnetische Phänomene gegeben. Zusammengefasst mit dem Gauß schen und Ampèe schen Gesetz ehält man die Maxwell-Gleichungen DdA = ρ d Eds = dt dv BdA BdA = Bds =µ j + fei d dt D da (37) ode in diffeentielle Fom geschieben D = ρfei B = B D E = B = µ ( j + ) t t (38) Zu den vie Maxwell-Gleichungen müssen noch Mateialgleichungen hinzu kommen, die das elektische Feld E mit de dielektischen Veschiebung D veknüpfen bzw. die eitungsstomdichte j liefen. Das Gauß sche Gesetz besagt, dass die Quellen des elektischen Feldes adungen sind, und dass elektische Feldlinien von positiven adungen ausgehen und bei negativen adungen enden. Fü das Magnetfeld folgt, dass es keine magnetischen adungen gibt und dass magnetische Feldlinien stets geschlossen sind. Die Quelle fü Magnetfelde sind Stöme und zeitlich veändeliche elektische Felde (Veschiebungsstom im Ampèe schen Gesetz). Die Quelle fü elektische 66

20 Wibelfelde mit geschlossenen elektischen Feldlinien sind zeitlich veändeliche magnetische Felde. D.h. zeitlich veändeliche elektische Felde fühen zu Magnetfelden und umgekeht. 67