Mathe-Lernzettel. Schwerpunkt 3 : Stochastik. Einführung in die Stochastik: - wichtige Begriffe: Absolute Häufigkeit

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1 Mathe-Lerzettel Schwerpukt 3 : Stochastik Eiführug i die Stochastik: - wichtige Begriffe: Relative Häufigkeit - Baumdiagramm: h(e) ; Darstellug eies Ergebisses absolute Häufigkeit Aza l der Durc füruge Absolute Häufigkeit H(E) Wahrscheilichkeit P(E) ; diet eier Progose Empirisches Gesetz der große Zahle Je häufiger ich eie Versuche durchführe, desto mehr ähert sich die rel. Häufigkeit der Wahrscheilichkeit a. Zufallsversuch Ma ka de Ausgag icht vorhersage. Die Ergebismege lässt sich jedoch agebe Ergebis a 1,a 2,... Ergebismege z.b.: S = {1,2,3,4,5,6} Ereigis z.b.: E = {2,4}; Zusammefassug vo Ergebisse Laplace-Versuch Jedes Ergebis hat die gleiche Wahrscheilichkeit (z.b. Müze) Laplace-Regel für Ergebisse 1 Azal der möglice Ergebisse Laplace-Regel für Ereigisse Azal der güstige Ergebisse Azal der möglice Ergebisse Umögliches Ereigis z.b., dass eie Reiszwecke auf der Spitze ladet Sicheres Ereigis P(E) = 1 (100%) Gegeereigis E Elemetare Summeregel E = {1,2}; P(E) = P({1,2}) = P({1})+P({2}) Komplemetärregel P(E)+P(E) = 1; P(E) = 1-P(E) Pfadmultiplikatio Etlag eies Pfades multipliziere Pfadadditio Die Pfadedwahrscheilichkeite (vgl. Pfadmultiplikatio) werde addiert Ziehe mit Zurücklege =Azahl der ges. Kugel, k=azahl der Versuchsdurchführuge k Möglichkeite Ziehe ohe Zurücklege! Bei Elemete gibt es Möglichkeite für k-faches Ziehe Ziehe mit eiem Griff a c A k! Mit GTR: (Pr) Die Reihefolge ist egal! Wählt ma k Elemete aus Elemete aus, so gibt es k =! " über k" Möglichkeite mit GTR: (Cr) k! k! c b c 100% AC AD BC BD a b d e d f f B e f Pfadadditio: AC + AD Pfadmultiplikatio: c a c = a

2 - Vierfeldertafel: Mathe-Lerzettel Merkmal A Merkmal B gesamt Merkmal C a = g-d = c-b d = g-a = f-e g = a+d = 100%-h Merkmal D b = h-e = c-a e = h-b = f-d h = b+e = 100%-g gesamt c = 100%-f = a+b f = 100%-c = d+e 100% - Bayes'sche Regel: Sei B ei Ereigis, das us iteressiert ud A eie Bedigug, uter der wir de Vorgag betrachte, da gilt: Die Wahrscheilichkeit P A (B) für B uter der Bedigug A berechet sich wie folgt: P(A B) P A B = P(A) Bedigte Wahrscheilichkeite bereche sich als Quotiet: Der Zähler des Bruches lässt sich aus eiem iere Feld der Mehrfeldertafel ablese. Der Neer des Bruches steht als Zeile- oder Spaltesumme am Rad (umgekehrte Pfadmultiplikatio): Beroulli-Kette: Beroulli-Kette sid besodere -stufige Zufallsversuche mit folgede Eigeschafte: Ereigis Auf jeder Stufe uterscheidet ma ur zwei Ergebisse, die ma als Erfolg bzw. Misserfolg bezeichet. Die Wahrscheilichkeit für eie Erfolg (Erfolgswahrscheilichkeit p) bzw. eie Misserfolg (Misserfolgswahrscheilichkeit q=1-p) bleibe währed des Zufallsversuchs uverädert. p: Erfolgswahrscheilichkeit q = q-1: Misserfolgswahrscheilichkeit : Azahl der Stufe k: Azahl der Erfolge : "Azahl der Erfolge" hier wird agegebe, was als Erfolg gelte soll Es gilt: P = k = pk q k k Beschreibug mit Zufallsgröße Berechug Geau k Erfolge = k P = k = höchstes k Erfolge k P k = Berechug mit GTR (STAT-Meü) k pk q k Bpd k t=0 t p t q t weiger als k Erfolge < k P (k 1) Bcd mehr als k Erfolge > k 1 P k 1-Bcd midestes k Erfolge k 1 P (k 1) 1-Bcd midestes a ud höchstes b Erfolge a b P b P( a 1 ) Bcd

3 Mathe-Lerzettel - Auslastugsmodell: I eier Reifehadlug arbeite 10 Moteure, die eie Maschie zum auswuchte der Radfelge durchschittlich für 24 Miute pro Stude beötige. a) Mit welcher Wahrscheilichkeit geüge 4 [5;6] Maschie? 24 p 0,4 : Azahl der Moteure, die eie Maschie zum beliebige Zeitpukt beötige 60 = 10 Bei 4 Maschie: P( 4) P( 0) P( 1) P( 2) P( 3) P( 4) , ,4 m0 m 0, ,4 0,4 1 0,4 0,4 1 0,4 0,4 1 0,4 0,4 1 0,4 m 1 0,4 10m Mit eier Wahrscheilichkeit vo 63,3% geüge 4 Maschie. Bei 5 Maschie: P( 5) P( 0) P( ,4 m0 m 0,834 m 1 0,4 10m 1) P( 2) P( 3) P( 4) P( Mit eier Wahrscheilichkeit vo 83,4% geüge 5 Maschie. 5) Zwischeschritt siehe 4 Maschie Bei 6 Maschie: P( 6) P( 0) P( ,4 m0 m 0,945 m 1 0,4 10m 1) P( 2) P( 3) P( Mit eier Wahrscheilichkeit vo 94,5% geüge 6 Maschie. 4) P( 5) P( 6) b) Wie viele Maschie müsse zur Verfügug stehe, damit diese mit eier Wahrscheilichkeit vo midestes 95% ausreiche? 7 10 m 10m P ( x 7) 0,4 1 0,4 0, 988 m0 m 7 Maschie müsse zur Verfügug stehe, damit diese zu 95% ausreiche, da die Wahrscheilichkeit da größer als 95% ist.

4 Mathe-Lerzettel Erwartugswert eier Zufallsgröße: - Allgemei: Eie Zufallsgröße ehme die Werte a 1, a 2,...,a m mit de Wahrscheilichkeite P(=a 1 ), P(=a 2 ),...,P(=a m ) a. Da wird der zu erwartede Mittelwert E() der Verteilug als Erwartugswert der Zufallsgröße bezeichet. Es gilt: E = a 1 P = a 1 + a 2 P = a a m P = a m = a i P( = a i ) Der Erwartugswert wird auch mit μ bezeichet. - Bei eier Biomialverteilug gilt: μ = E = p - Beispiel 1: Ei Würfel mit eier zweite Sechs statt der Eis wird mehrmals geworfe: E = = 4, 3 - Beispiel 2: 20% Gewilose, 80% Niete Eie Perso möchte solage ei Los kaufe, bis sie eie Gewi gezoge hat. Maximal 5 Lose werde gezoge. Welche Ausgabe wird im Mittel gemacht, we ei Los 2 kostet? : Azahl der gezogee Lose a P ( = a) a P ( = a) 1 0,2 0,2 2 0,8 0,2 0,32 3 0,8 0,8 0,2 0, ,8 0,8 0,8 0,2 0, ,8 0,8 0,8 0,8 0,2+ 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 = 0,8 0,8 0,8 0,8 (0,2+0,8) =0,8 0,8 0,8 0,8 (1) 2,048 Summe : 3,3616 Überleguge zu a=5: Die erste Möglichkeit beim Ziehe des 5. Loses wäre, dass ma ei Gewi zieht. Also: 0,8 0,8 0,8 0,8 0,2 (vier Niete ud ei Gewi). Der Erwartugswert für diese Möglichkeit beträgt 0,4096. Die zweite Möglichkeit wäre och eie 5. Niete zu ziehe. Also: 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8. Der Erwartugswert beträgt also 1,6384. E = 1 P = P = P = P = P = 5 = 1 0, ,8 0, ,8 0,8 0,2 + = 3,3616 Der Erwartugswert für das Ziehe vo eiem Gewi, ierhalb der 5 Versuche, beträgt 3,3616. Die Perso müsste im Mittel 6,72 ausgebe (3,3616 2). m i=1

5 Mathe-Lerzettel Maß für die Streuug: - Allgemei: Bei eiem Zufallsversuch ka das Ergebis vom Erwartugswert abweiche. Je häufiger ud je weiter die Ergebisse vo μ (E()) abweiche, desto stärker streue die Werte. Def.: Als Variaz V() der Zufallsgröße bezeichet ma die zu erwartede mittlere quadratische Abweichug vom Erwartugswert μ der Zufallsgröße, also: V = (a 1 μ)² P = a (a m μ)² P = a m = (a i μ)² P( = a i ) i=1 Die Quadratwurzel aus der Variaz eier Zufallsgröße heißt Stadardabweichug σ: σ = V() - Bei eier Biomialverteilug gilt: V = p q = p 1 p = μ (1 p) σ = p q m - Beispiel: Bekatlich lässt sich ei Ziehe ohe Zurücklege für große auch äherugsweise als ei Ziehe mit Zurücklege iterpretiere. I eier Lostrommel befide sich isgesamt 100 Lose i der Trommel, daruter 20 Gewilose. Felix kauft 10 Lose ud betrachtet die Zufallsgröße : "Azahl der Gewilose" Nehme Sie eie äherugsweise Berechug a, dass mit Zurücklege gezoge wird. Ermittel Sie für diese Fall de Erwartugswert, die Stadardabweichug ud die Wahrscheilichkeit P(=μ) Gegebe: = Azahl der Gewilose, = 10, p = 0, Gesucht:,, P ( x ) Bei Biomialverteiluge mit der Stufezahl ud der Erfolgswahrscheilichkeit p gilt: p p ( 1 p) bzw. ( 1 p) Da es sich hierbei um eie Zufallsversuch hadelt, bei dem wir zwische Erfolg ud Misserfolg uterscheide köe ud die Wahrscheilichkeit für de Erfolg immer gleich bleibt, köe wir Gebrauch der obe geate Formel mache. Erwartugswert: 10 0,2 2 Stadardabweichug: 2(1 0,2) 1,6 1, 265 P = μ = μ pμ (1 p) μ P = 2 = ,22 (1 0,2) 10 2 P = 2 0,301 We wir davo ausgehe, dass mit Zurücklege gezoge wird, betrachte wir das Ergebis, dass Felix bei 2 vo 10 seier gekaufte Lose Glück hat ud ei Gewilos zieht. Die Wahrscheilichkeit hierfür liegt bei 30,1%. Bedigt durch die Stadardabweichug vo ca. 1,27 ka es jedoch sei, dass Felix ur ei Los zieht oder dass sich glücklicherweise 3 Gewilose uter seie 10 gekaufte Lose befide.

6 Mathe-Lerzettel Wie viele Lose muss Felix zusätzlich kaufe, damit er mit mehr als 99% midestes ei Gewilos bekommt? Gesucht: P 1 > 0,99 1 P 0 > 0,99 1 P = 0 > 0,99 P = 0 < 0,01 1 ( 1) P = 0 = 0 p0 (1 p) 0 = P = 0 = < 0,01 l ( ) 5 l ( 4 5 ) < l (0,01) l (0,01) Es ka keie egative Azahl a Gewilose gebe, deshalb gilt: > l Felix muss zusätzlich och 11 Lose kaufe, um mit mehr als 99% ei Gewilos zu bekomme. Hypothese: Bei dem Teste vo Hypothese gilt es abzuwäge, ab welcher Azahl der Erfolge ma die eie oder adere Hypothese verwirft oder glaubt. Hierfür werde die Wahrscheilichkeite für die Erfolge bei de uterschiedliche Wahrscheilichkeite vergliche, ud so eie möglichst iedrige Fehlerwahrscheilichkeit gefude. Da es sich um Zufallsexperimete hadelt, ist eie eideutige Bestimmug jedoch ie möglich. Ma uterscheidet zwische Aahmebereich ud Verwerfugsbereich eier Hypothese: Liegt das Ergebis eies Zufallsversuchs im Verwerfugsbereich, da hält ma die Hypothese für falsch; liegt es im Aahmebereich, da hat ma dazu keie Alass. Daher köe beim Hypothesetest zweierlei Fehler uterlaufe: Fehler 1. Art (α): Eie wahre Hypothese wird verworfe. Fehler 2. Art (β): Eie falsche Hypothese wird icht verworfe (geglaubt). - Beispiel 1: Arzeimittel gege Bluthochdruck helfe bei etwa 60% der Patiete. Ei eues Medikamet verspricht sogar bei 80% der Fälle zu helfe. Um dies zu teste, werde 20 Patiete mit der eue Arzei behadelt. Ageomme die Behauptug ist richtig, d.h. die Heilugschace p beträgt p=0,8, da erwarte wir im Versuch mit =20 Patiete ugefähr μ= p=16 Heiluge. We mehr als 16 Heiluge eitrete, spricht das eher für die Behauptug des Herstellers. Zufällig ka es aber auch zu weiger als 16 Heiluge komme, obwohl p=0,8. Mit welcher Wahrscheilichkeit ist dies der Fall? Bereche Sie dazu die Zufallsgröße : "Azahl der geheilte Patiete" die Wahrscheilichkeit P 0,8 ( 15), P 0,8 ( 14),..., P 0,8 ( 12).

7 Mathe-Lerzettel Gegebe: = 20 (Patiete), p = 0,8 (eues Medikamet), μ=16 (Heiluge) Es liegt eie Biomialverteilug vor, da es ur 2 Ergebisse gibt, eie gleichbleibede Wahrscheilichkeit vorliegt ud damit eie Beroulli-Kette zugrude liegt. Durch das STAT-Meü des Tascherecher ergibt sich: P 0,8 16 = 0,5886 P 0,8 15 = 0,3704 P 0,8 14 = 0,1958 P 0,8 13 = 0,0867 P 0,8 12 = 0,0321 Die Wahrscheilichkeit, dass trotz der höhere Wahrscheilichkeit vo p=0,8 weiger/gleich 16 Patiete geheilt werde, ist mit eier Wahrscheilichkeit vo 58,86 % sehr hoch, verwirft ma die Hypothese bei eier Heilug vo weiger als 17 Patiete, ka ma leicht eie Fehler begehe. Glaubt ma die Hypothese scho bei 13 Heiluge, ist die Wahrscheilichkeit die wahre Hypothese zu verwerfe mit 3,2% sehr iedrig. Ageomme, die Heilugschace des eue Medikamets beträgt auch ur 60% wie bei de bekate Arzeimittel, da erwarte wir ugefähr μ=20 0,6=12 Heiluge. We weiger als 12 Heiluge eitrete, spricht dies eher gege die Behauptug des Herstellers (p=0,8). Zufällig ka es aber auch zu mehr als 12 Heiluge komme: P 0,6 13 = 1 P 0,6 12 = 1 0,5841 = 0,4159 P 0,6 14 = 1 P 0,6 13 = 1 0,75 = 0,25 P 0,6 15 = 1 P 0,6 14 = 1 0,8744 = 0,1256 P 0,6 16 = 1 P 0,6 15 = 1 0,949 = 0,051 P 0,6 17 = 1 P 0,6 16 = 1 0,984 = 0,016 Aus dem erste Teil geht also hervor, dass die Wahrscheilichkeit, die wahre Hypothese zu verwerfe sikt, we ma die Hypothese scho bei möglichst weig Heiluge glaubt. Adersrum steigt jedoch die Wahrscheilichkeit eie falsche Hypothese zu glaube. Ma muss u eie Etscheidugsregel aufstelle, wie zum Beispiel: Ma glaubt de Agabe des eue Medikamets, also p=0,8, we midestes 15 Persoe geheilt werde. Aderefalls geht ma davo aus, dass es icht besser ist als die bisher verwedete Medikamete mit der Wahrscheilichkeit vo 60%. Dabei köe folgede Fehler passiere: Fehler 1. Art: Das eue Medikamet ist besser als die bisherige (p=0,8). Zufällig ka es aber vorkomme, dass weiger als 15 Patiete geheilt werde ud ma würde de Agabe icht glaube, obwohl sie stimme. Zu solch eiem Fehler käme es i (P 0,8 14 = 0,1958 ) 19,6% der Fälle. Fehler 2. Art: Das eue Medikamet ist geauso gut wie die bisherige (p=0,6). Zufällig ka es aber vorkomme, dass mehr als 15 Patiete geheilt werde ud ma würde de Agabe glaube, obwohl sie icht stimme. Zu solch eiem Fehler käme es i (P 0,6 15 = 0,126 ) 12,6% der Fälle.

8 Mathe-Lerzettel - Beispiel 2: Nu betrachte wir 50 Patiete a dee das Medikamet getestet wird. Bestimme Sie de kritische Wert zur Hypothese p=0,8 so, dass α 0,05 ist. Hiweis: Als kritische Wert wählt ma de Mittelwert zwische zwei beachbarte gaze Zahle. Dadurch werde Missverstädisse vermiede, i dee uklar bliebe, ob die Etscheidugsregel z.b. für x > k oder x k (bzw. x k oder x < k ) gilt, mit k N. Die Hypothese p=0,8 wird sicherlich ur da verworfe, we deutlich weiger Patiete geheilt werde als erwartet, d.h. weiger als μ=50 0,8=40. Der kritische Wert zur Hypothese p=0,8 ist so zu bestimme, dass die Wahrscheilichkeit für de Verwerfugsbereich V höchstes 5% beträgt, also P 0,8 V 0,05. Betrachte wir u verschiedee Bereiche für =50 ud p=0,8: P 0,8 36 = 0,111 P 0,8 35 = 0,061 > 0,05 P 0,8 34 = 0,031 < 0,05 Der kritische Wert liegt also zwische 34 ud 35. Die Etscheidugsregel lautet somit: Verwirf die Hypothese p=0,8, falls weiger als 35 Heiluge erfolge. Die Wahrscheilichkeit eie Fehler 2. Art zu begehe, also p=0,8 zu glaube, obwohl ur zufällig mehr als 35 Heiluge bei p=0,6 erfolgte, ka u eifach berechet werde durch: β = P 0,6 35 = 0,096. Gauß'sche Glockefuktio / Normalverteilug: Gauß etdeckte, dass sich z. B. die Wahrscheilichkeite zufälliger Messfehler durch glockeförmige Wahrscheilichkeitsdichte der Form φ μ ; σ x = 1 σ 2π e (x μ )² 2σ ² beschreibe lasse. Dabei sid μ ud σ kostate Parameter. Für μ = 0 ud σ = 1 vereifacht sich die Fuktiosgleichug zu φ x = Ma spricht da vo der Stadard-Glockefuktio. Diese e-fuktio lässt sich folgedermaße beschreibe: 1 2π e x² 2. um μ auf der x-achse verschobe 2σ² verädert de Graphe (die abfallede ud die absteigede Seite 1 um wird die Fuktio etlag der y-achse gestaucht σ 2π Maximalstelle liegt bei x=μ Gegebe sid Biomialverteiluge mit eier Erfolgswahrscheilichkeit p=0,3 ud (1) =50 (2) =100 (3) =200 (4) =300 Um die dazugehörige Glockekurve zeiche zu lasse, beötigt ma jeweils de Erwartugswert ud die Stadardabweichug: (1) μ = 15 (2) μ = 30 (3) μ = 60 (4) μ = 90 σ = 3,240 σ = 4,583 σ = 6,481 σ = 7,987

9 Mathe-Lerzettel Es ergebe sich folgede Graphe Mit zuehmede werde die Glockekurve flacher ud breiter, die Stadardabweichug vom Erwartugswert immt zu - Sigma-Umgebug: Die symmetrische Itervalle μ σ ; μ + σ, μ 2σ ; μ + 2σ ud μ 3σ ; μ + 3σ et ma auch Sigma-Umgebug mit dem Radius 1σ, 2σ ud 3σ um de Erwartugswert μ ud schreibt kurz 1σ-, 2σ- ud 3σ-Umgebug. Beispiel für (1) ud der 1σ-Umgebug: μ σ ; μ + σ = 15 3,24 ; ,24 = 11,76 ; 18,24 11,8 ; 18,2 (1) (2) (3) (4) 1σ-Umgebug 11,8 ; 18,2 25,5 ; 34,5 53,6 ; 66,4 82,1 ; 97,9 2σ-Umgebug 8,6 ; 21,4 29,9 ; 39,1 47,1 ; 72,9 74,2 ; 105,8 3σ-Umgebug 5,3 ; 24,7 16,3 ; 43,7 40,6 ; 79,4 66,2 ; 113,8 Mit Hilfe der Itervallgreze ist es u möglich, de Flächeihalt zwische der Glockekurve ud der x- Achse zu bereche: (1) (2) (3) (4) 1 -Umgebug 0,6827 0,6827 0,6827 0, Umgebug 0,9545 0,9545 0,9545 0, Umgebug 0,9973 0,9973 0,9973 0,9973 Es fällt auf, dass sich die Flächeihalte zwische der x-achse ud de jeweils 4 verschiedee Glockekurve für die gleiche Sigma-Umgebug gleich groß sid. Dies ka ma u utze, idem ma mit dieser Sigma-Umgebug Sicherheitswahrscheilichkeite agebe ka. Ist σ>3, so gilt: P μ 1,64σ μ + 1,64σ = 90% P μ 1,96σ μ + 1,96σ = 95% P μ 2,58σ μ + 2,58σ = 99%

10 Mathe-Lerzettel - Vertraues-/Kofidezitervalle für icht bekate Wahrscheilichkeite: Die zuvor agegebee Vertrauesitervalle gelte ur, we eie Biomialverteilug vorliegt ud we σ > 3 ist. Radius des Itervalls Vertrauesitervall 90% -Sicherheit: 1,64 σ [μ 1,64σ ; μ + 1,64σ] 95% -Sicherheit: 1,96 σ [μ 1,96σ ; μ + 1,96σ] 99% -Sicherheit: 2,58 σ [μ 2,58σ ; μ + 2,58σ] Ma rudet immer zum Erwartugswert hi. Also beim utere Sicherheitsitervall rudet ma auf, beim obere ab. Dieses Itervall gibt jedoch ur absolute Werte a ud ma beötigt die Wahrscheilichkeit p. Falls ma aber gleich Wahrscheilichkeite als Ergebis habe möchte, so gibt es hierfür folgede Formel: 90% -Sicherheit: 1,64 σ [ 1,64 ; + 1,64 ] 95% -Sicherheit: 1,96 σ [ 1,96 ; + 1,96 ] 99% -Sicherheit: 2,58 σ [ 2,58 ; + 2,58 Wobei h der relative Häufigkeit ( = r ) etspricht, r dem Stichprobeergebis ud dem Stichprobeumfag. Die Formel erhält ma, idem ma das obere Itervall durch teilt: μ 1,64σ p 1,64 p (1 p) : ] p 1,64 1,64 p (1 p) ² p wird hier durch h ersetzt Mit dem Tascherecher ka solch ei Vertrauesitervall im STAT-Meü berechet werde: F4 [INTR] F1 [Z] F3 [1 p] Es erscheit folgede Tabelle: C-Level (Sicherheitswahrscheilichkeit) z.b. 0,95 (Azahl des iteressierede Ereigisses) (r) (Stichprobeumfag) () Save Res List 1 Das Ergebis wird i folgeder Tabelle agezeigt: Left (utere Greze des Itervalls)... Right (obere Greze des Itervalls)...

11 Mathe-Lerzettel - Flächeihalt ud Itegral eier Normalverteilug: Zuächst ka ma sich klar mache, dass die gesamte Fläche uter eier Glockekurve 1 ergebe muss (also 100%). Somit gilt: + φ μ,σ x dx = 1 De Ihalt der Fläche (siehe Bild) uterhalb eies Graphe vo f über dem Itervall ] ; a] iterpretiert ma als die Wahrscheilichkeit P ( a). Das Itegral dieser Fuktio wird allg. beschriebe durch: φ x = 1 e (x μ )² μ +kσ 2 σ ² dx σ 2π Durch die sog. Stadardisierugsformel: x μ z = σ erhalte wir die Stadardormalverteilug φ z = 1 2π e z² 2 Dies wurde durch Substitutio ud Trasformatio erreicht, ist aber icht abirelevat! dere Stammfuktio Φ köe wir icht bereche ud wird daher i Tabelle i der Formelsammlug agegebe. Um ei Itegral zu bestimme muss ma also ur z ausreche ud da i eier Tabelle Φ z heraussuche: Gegebe ist die Glockekurve: φ 4;2 z = 1 e (z 4)² 2 2² 2 2π Gesucht ist das Itegral im Itervall [2;6] : 6 φ 4;2 z dz 2 = Φ Φ = Φ 1 Φ 1 0,683 Mit dem Tascherecher ka das Itegral eier Normalverteilug im STAT-Meü berechet werde: F5 [DIST] F1 [NORM] F2 [Ncd] Es erscheit folgede Tabelle: Lower 2 Upper 6 σ 2 μ 4 Das Ergebis wird i folgeder Tabelle agezeigt (ma ka sich das Ergebis auch zeiche lasse): p 0,683 Z: Low -1 Z: Up 1

12 Mathe-Lerzettel Beispielaufgabe: I eiem Zoo, i dem ierhalb vo 5 Jahre 436 Meerschweiche gebore wurde, ware 218 Tiere mit eiem Alter vo 14 Tage schwerer als M 144,1g. Ermittel Sie uter Aahme eier Biomialverteilug für die ubekate Wahrscheilichkeit p, dass im haoversche Zoo ei zweiwöchiges Meerie schwerer als M 144,1g ist, zur Sicherheitswahrscheilichkeit vo 95% das Vertrauesitervall (siehe Tabelle i der Alage; zur Kotrolle: [0,453;0,547]). Begrüde Sie, dass das Produkt der ubekate Wahrscheilichkeit p mit der Gegewahrscheilichkeit 1 p durch p1 p 0,25 abgeschätzt werde ka ud leite Sie damit die folgede Abschätzug für die Itervallläge d i Abhägigkeit vom Stichprobeumfag zur 1 Sicherheitswahrscheilichkeit 95% her: d 1,96. Bereche Sie auf der Grudlage dieser Abschätzug de miimale Stichprobeumfag für die Utersuchug zweiwöchiger Meerschweiche, so dass die Greze des Vertrauesitervalls um höchstes 0,01 vo der Mitte des Vertrauesitervalls abweiche. I eier Normkurve ach eiem Meerschweicheverbad wird das Körpergewicht Y als ormalverteilt ageomme ud für de Erwartugswert für zweiwöchige Meerschweiche g sowie für die Stadardabweichug der Wert 6,80 g agegebe. Es soll geprüft werde, ob die Date des Zoos (siehe obe) zu dieser Normkurve passe. Ermittel Sie dazu aus der Normkurve die Wahrscheilichkeit, dass ei 14 Tage altes Meerschweiche mehr als M 144,1g wiegt. Begrüde Sie mit Hilfe der berechete Wahrscheilichkeit, dass die Gesamtheit der zweiwöchige Meerschweiche dieses Zoos bei eier Sicherheitswahrscheilichkeit vo 95% icht durch die Normkurve beschriebe werde ka. Bestimme Sie eie Erwartugswert 2 für eie adere Normkurve, bei der bei gleicher Stadardabweichug 6,80 g P Y M mit der utere Greze 0,453 des die Wahrscheilichkeit i b) ermittelte Vertrauesitervalls übereistimmt. Umgebuge des Erwartugswertes bei Biomialverteiluge ud die zugehörige Wahrscheilichkeite Radius der Umgebug 1 1,64 1,96 2 2,58 3 Wahrscheilichkeit 68 % 90 % 95 % 95,5 % 99 % 99,7 %

13 Mathe-Lerzettel Lösuge: Ermittel Sie uter Aahme eier Biomialverteilug für die ubekate Wahrscheilichkeit p, dass im haoversche Zoo ei zweiwöchiges Meerie schwerer als M=144,1g ist, zur Sicherheitswahrscheilichkeit vo 95% das Vertrauesitervall Da wir p icht kee, müsse wir folgedes Vertrauesitervall betrachte: [ 1,96 ; + 1,96 Der Stichprobeumfag beträgt = 436, das Strichprobeergebis r beträgt r = 218. Daraus ergibt sich = r = = 0,5. Für das Vertrauesitervall gilt demach: ] [0,5 1,96 = [0,453 ; 0,547] 0,5 1 0,5 436 ; 0,5 + 1,96 0,5(1 0,5) 436 ] Begrüde Sie, dass das Produkt der ubekate Wahrscheilichkeit p mit der Gegewahrscheilichkeit 1-p durch p (1 p) 0,25 abgeschätzt werde ka ud leite Sie damit die folgede Abschätzug für die Itervallläge d i Abhägigkeit vom Stichprobeumfag zur Sicherheitswahrscheilichkeit 95% her: d 1,96 1. Gegebe ist p 1 p p p² ud das Itervall [0,453 ; 0,547]. Stellt ma dies als Fuktio da mit f p = p p² so ergibt sich eie ach ute geöffete Parabel mit dem Maximum (0,5 0,25). Setzt ma für p die like bzw. rechte Itervallgreze ei, so erhält ma de Radwert 0,2478. Also schwake die Werte für 0,453 bis 0,547 zwische 0,2478 ud 0,25. Um die Itervallläge zu bestimme hilft folgede Skizze: μ mi p mi Daraus folgt: d = 2 1,96σ 1,96σ 1,96σ = 2 1,96 p (1 p) = 2 1,96 mit der Näherugsformel obe gilt weiter: 1,96σ 1,96σ μ max p max p (1 p) : Da usere Itervallgreze mit der Wahrscheilichkeit p agegebe sid ud icht i absolute Zahle, müsse wir auch hier wieder durch teile (siehe obe -> Vertrauesitervalle) d 2 1,96 0,25 = 1,96 4 0,25 = 1,96 1 q. e. d

14 Mathe-Lerzettel Bereche Sie auf der Grudlage dieser Abschätzug de miimale Stichprobeumfag für die Utersuchug zweiwöchiger Meerschweiche, so dass die Greze des Vertrauesitervalls um höchstes 0,01 vo der Mitte des Vertrauesitervalls abweiche. Es muss also gelte: d = 0,02, da d agibt, wie weit die Greze des Vertrauesitervall voeiader etfert sid. Aus 2) etehme wir: d 1,96 1 Durch Umforme erhält ma: 1,962 d 2 1,96 Eisetze vo d = 0,02: 2 0,02 2 Also ist 9604 ud ma braucht midestes 9604 Meerschweiche, die gewoge werde, um die obe agegebee Vorrausetzug zu erfülle. Es soll aus der Normkurve zum Körpergewicht Y für zweiwöchige Meerschweiche mit μ = 142g ud σ = 6,80g die Wahrscheilichkeit ermittelt werde, dass ei zwei Woche altes Meerschwei mehr als M=144,1g wiegt. Gesucht ist P Y > 144,1 = 1 P(Y 144,1). Der Flächeihalt uter der Glockekurve gibt die Wahrscheilichkeit für das etsprechede Itervall a. P Y > 144,1 = 1 144,1 0 f x dx = 1 144,1 0 1 (x 142) 2 2π 6,8 e 2 6,8 2 dx 0,379 (Ka mit dem GTR im STAT-Meü berechet werde (siehe obe)). Die Wahrscheilichkeit, dass ei zweiwöchiges Meerschweiche mehr als 144,1 g wiegt, beträgt somit ca. 37,9%. Begrüde Sie mit Hilfe der berechete Wahrscheilichkeit, dass die Gesamtheit der zweiwöchige Meerschweiche dieses Zoos bei eier Sicherheitswahrscheilichkeit vo 95% icht durch die Normkurve beschriebe werde ka. Da die berechete Wahrscheilichkeit vo p = 0,379 icht im i Aufgabe 1 berechete Sicherheitsitervall [0,453; 0,547] liegt, ka ma sage, dass die Gesamtheit der zweiwöchige Meerschweiche bei eier Sicherheitswahrscheilichkeit vo 95% icht mit Hilfe der Normkurve beschriebe werde ka. Bestimme Sie eie Erwartugswert μ 2 für eie adere Normkurve, bei der bei gleicher Stadardabweichug σ = 6,8g die Wahrscheilichkeit P(Y > M) mit der utere Greze 0,453 des ermittelte Vertrauesitervalls übereistimmt. Der zu bestimmede Erwartugswert µ für eie adere Normkurve mit σ = 6,8g, für de gilt P Y > M = 0,453, ka durch Ausprobiere bestimmt werde. Dies geschieht mit Hilfe des GTR ereut im STAT-Meü, ereut über die Gegewahrscheilichkeit P Y M = 0,547: Für µ = 143,2 ist p = 0,552 Für µ = 143,3 ist p = 0,547 gesuchter Wert! Für µ = 143,4 ist p = 0,541 Somit beträgt der gesuchte Erwartugswert 143,3g.