Schnelle Darstellung und Berechnung von Polfiguren. 1. Einführung. 2. Das Wulffsche Netz. 3. Koordinaten-Berechnung. 4. Projektionen ganz einfach

Transkript

1 Shnelle Drstellung und Berehnung von Polfiguren Gert Nole, Bundesnstlt für Mterilforshung und prüfung, Berlin. Einführung. Ds Wulffshe Net. Koordinten-Berehnung 4. Projektionen gn einfh

2 Stereogrphishe Projektion Es gibt eine gne Reihe untershiedliher Projektionen, die eine rdile Verteilung einer Eigenshft (.B. der bgestrhlten Intensität (EBSD pttern) oder der detektierten Intensität (Tetur)) uf eine Ebene bbildet. Die stereogrphishe Projektion ist nur ein von vielen. Entwikelt.50 V.Chr. von APOLLONIUS VON PERGA, diente sie lnge Zeit ls Messinstrument für die Astronomie. In die Kristllogrphie wurde sie von F.E. NEUMANN eingeführt, llerdings 89 von WILLIAM HALLOW MILLER in A Tretise on Crstllogrph erstmls publiiert. Durh die intensive Nutung von YURI V. WULFF sette sih ds Wulffshe Net ur Vermessung von Kristllflähen erst Anfng des 0.Jhrhunderts durh. Al-Srrj-Astrolbium (8)

3 Stereogrfishe Projektion Prinip Der Shnittpunkt P der Verbindungslinie wishen Projektionspunkt P und Südpol S mit der Äqutorebene wird ls dessen stereogrfishe Projektion beeihnet. Der Abstnd vom Zentrum wird durh ngegeben. OP' R tn

4 Koordintenbeshreibung mittels Groß- und Kleinkreisen (Polrkoordinten) Großkreis (GK): lle Kreise durh den Kugel-Mittelpunkt GK-e, die sih in Nord- und Südpol treffen, entsprehen den Längenkreisen der Erde Winkelbstände werden entlng GK-en vermessen (kürester Abstnd!) Kleinkreis (KK): Kreise, die niht durh den Mittelpunkt der Kugel verlufen KK-e senkreht ur Verbindungslinie von Süd- und Nordpol entsprehen den Breitenkreisen der Erde Rottionen uf der Kugel folgen KK-en 4 BEACHTE: Längen- und Breitenkreise shneiden sih n jeder Stelle unter einem Winkel von 90!

5 Stereogrfishe Projektion Groß- und Kleinkreise Zur mnuellen Vermessung ist ds Wulffshe Net nh wie vor sehr verbreitet. Allerdings ersheint ds Zeihnen niht gn einfh, und Kopien stellen sih in der Regel ls vererrt herus. Es lässt sih eigen, dss die Rdien R und die Abstände D der Mittelpunkte von Großund Kleinkreisen um Zentrum der stereogrfishen Projektion sehr große Ähnlihkeiten ufweisen: Großkreis Kleinkreis 0 Rdius R 0 sin R 0 tn Auh der Kreissektor ist mit fiiert. Abstnd um Mittelpunkt R 0 tn R 0 sin

6 Stereogrfishe Projektion Berehnung der Projektionsdten In der Regel interessieren ber nur die Koordinten des Projektionspunktes (,). Sie lssen sih gn untershiedlih berehnen: 984 Die Winkel f und q definieren die Polrkoordinten des Vektors [pqr]., d und m sind dgegen ls Rihtungskosinusse beknnt und bsieren uf der Winkel-Differen u den Ahsen des Referen-KS s.

7 Stereogrfishe Projektion Berehnung der Projektionsdten LIU & LIU rbeiten ebenflls mit den Rihtungskosinussen, b und g, llerdings ändert sih durh Wehsel des KS s ds Voreihen: J. Appl. Crst. (0) s R g ; s b R g Ohne Einshränkung knn R= gesett werden. Müssen wir wirklih die Winkel u llen Vektoren ermitteln, um die Punkt-Koordinten [ s, s ] der stereogrfishen Projektion der Vektor-Pole u bestimmen?

8 b b b Stereogrfishe Projektion Berehnung der Projektionsdten Wir wissen doh.b. dss die Rihtungen der Bsisvektoren orthogonler Kristllgitter ls normierte Vektor-Komponenten in den Zeilen der Orientierungsmtri stehen, d.h. shon ls [,,] ngegeben werden, gleiheitig ber uh ls Rihtungskosinusse beshrieben werden. Somit sheint für einen normierten, krtesishen Vektor u gelten: g b ; ; b g b g b g b

9 Stereogrfishe Projektion Berehnung der Projektionsdten Wenn Sie für eine beliebige Gitter-Rihtung [uvw] oder reiproke Gitter- Rihtung (hkl) die Beshreibung ls normierten, krtesishen Vektor V=[,,] hben, müssen Sie niht erst die, b und g bestimmen, um die stereogrfishe Projektion des Punktes u berehnen: s R g ; s b R g Für R= ergeben sie sih sofort us den [,,]: s ; s

10 Kristll- in krtesishe Koordinten Bleibt noh ds Problem: Wie kommt mn n die [,,]? Diese Trnsformtion erfolgt über die sogennnte Kristllmtri A. Dbei wird jeder Bsisvektor ls krtesisher Vektor beshrieben: Ds ist shon der shlimmste Fll! Zur Berehnung der normierten Vektoren V=[,,] nutt mn dnn folgende Gleihungen: u V uvw A v Vhkl A w T h k l

11 w v u V uvw A g ]',, [ l k h V T hkl ]',, [ A g Einfluss der Kristll-Orientierung Für EBSD-Messungen muss mn in der Regel noh eine beliebige Orientierung berüksihtigen, die durh eine Rottionsmtri g beshrieben wird. Dnn ergeben sih für die u eihnenden Flähenpole {hkl} bw. Rihtungspole uvw: ACHTUNG: Die [,,] sind jett wr krtesishe Vektoren, ber noh niht normiert. D es sih um Vektoren eines krtesishen KS hndelt, ist die Normierung ber sehr einfh! ]',, [ ],, [

12 Stereogrfishe Projektion Vorteile:. Geshwindigkeit: Die Berehnung von A und A - erfolgt nur einml und gilt für lle (hkl) und [uvw], während die Berehnung der Rihtungskosinusse überflüssigerweise für jedes (hkl) und [uvw] immer wieder neu erfolgen müsste.. Allgemeingültigkeit: Die Drstellung gilt für lle Kristllsmmetrien und wird lediglih durh A bestimmt. Geht es noh shneller? J. D sih die eigentlihen Orientierungsdten niht ändern, lssen sih Drehungen des Dtenstes (vgl. Virtul Chmber) deutlih beshleunigen.

13 Winkel- und flähentreue Projektion Stereogrphishe Projektion equl re- Projektion Sphärishe Projektion Die stereogrphishe Projektion ersheint im Zentrum komprimierter ls m Rnd. Bei der equl-re Projektion ist es umgekehrt.

14 4 Projektionsuntershiede stereogrphishe Projektion winkeltreue Projektion, d.h. Winkel, unter denen sih Ebenen shneiden, bleiben erhlten (Shnitte wishen GK und KK) sp sp equl re-projektion die Flähe eines Objektes bleibt für jede Orientierung erhlten Wenk 985 Preferred Orienttion in Deformed Metls nd Roks: An Introdution to Modern Teture Anlsis. e e

15 5 Stereogrphishe Projektion Drus folgt: Ist die Eigenshftsverteilung einml berehnet, muss mn beim Drehen der Verteilung keine Projektion etr berehnen. Sie ergibt sih utomtish, indem mn eine virtuelle Kmer m Südpol positioniert. Der Trik: Die stereogrfishe Projektion knn mn uh gn nders betrhten: Wenn mn vom Südpol nh oben in die Kugel shut, untersheidet sih ds Bild uf der Projektionskugel niht von dem in der Äqutor-Ebene. Ereugen von Bitmps, die die Eigenshftsverteilung drstellen Ehteit-Rottion von Dtenmengen unbegrenter Größe Wesentlih intuitiver bei der Dten- Interprettion (weniger bstrkt)

16 6 Siht von Außen, Siht von Innen Überrshend stellt sih herus, dss sih lle relevnten Projektionen mit ein und derselben Projektionskugel ereugen lssen: Es ist udem besser für ds Verständnis, wenn mn sih vorstellt, beim Betrhten der stereogrphishen oder einer nderen Projektion nur einen Blik in oder uf eine Kugel u werfen. Die bstnds- bw. flähentreue Visulisierung ist niht ekt, ber fst.

17 7 Fst Projetion mit geringer Abweihung G gnomoni projetion S stereogrphi projetion (onforml) ED equidistnt projetion EA equl-re projetion

18 8 Vorteile der shnellen Projektion Drstellung rdiler Verteilungen EBSD ptterns (eperimentell, simuliert) Orientierungsdten (Einelpunkt- oder gefltete Dten) Bild der Verteilung muss nur einml berehnet werden Ehteit-Rottion (des Bildes) unbhängig von der Zhl der Messdten bw. Polfiguren Ehteit-Umshltung wishen gnomonisher Projektion stereogrphisher Projektion equl re-projektion

19 9 Zusmmenfssung Eine vereinfhte Ableitung der stereogrfishen Projektion von Dtenpunkten wurde ufgeeigt. Der Ähnlihkeit wishen Klein- und Großkreisen beim Wulffshen Net wurde diskutiert. Die Projektion von Orientierungsdten uf eine Kugeloberflähe bietet eine Dten-Präsenttion mit deutlih verbesserter Fleibilität. Einml berehnet, ist sie shnell und intuitiv bedienbr bei notwendigen oder gewünshten Rottionen des Dtenstes. Die Verwendung der unverständlihen Euler-Winkel ur Probendrehung ist unnötig. Niht nur die Drehung der Orientierungsdten, sondern uh der Wehsel wishen untershiedlihen Projektionsrten ist prktish in Ehteit möglih.