Numerische Methoden der Strömungsmechanik

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1 Numersche Methoden der Strömungsmechank Dr.-Ing. habl. Dpl.-Phys. Andreas Malcherek Vorlesungsskrpt, Verson 5.6 Bundesanstalt für Wasserbau, Außenstelle Küste, Wedeler Landstr. 57, Hamburg, Tel.: 040 / , emal: malcherek@hamburg.baw.de

2 2 Vorwort De Anfänge deses Skrptes gehen zurück auf mene Telnahme an enem NATO-Workshop m Jahr 993 über Computer Modelng of Free-Surface and Pressurzed Flows, dessen Ergebnsse n enem glechnamgen Buch veröffentlcht wurden. Her gab mr Prof. Zelke de Möglchket, enen Betrag über numersche Verfahren zur Advekton zu machen. Im Rahmen deser Arbet lernte ch vor allem, daß es unmöglch st, ene belebge Funkton exakt auf enem dskreten Gtter zu verscheben. Des bedeutet nchts anderes, als daß es ne und nmmer möglch st, Strömungen n enem Computermodell naturglech zu modelleren. Dese Erkenntns nahm mr men Mßtrauen vor deser Technk und begesterte mch für de Aufgabe, Natur m Computermodell so gut we möglch zu smuleren, ohne dabe de Ehrfurcht vor derselben zu verleren zu müssen. En Lehrauftrag über Numersche Methoden für Strömungen, Stoff- und Wärmetransport m Wntersemester 995/96 am Insttut für Strömungsmechank und elektronsches Rechnen m Bauwesen der Unverstät Hannover leß de Versonen.0ff entstehen. Da ch n desem Semester außerdem noch ene Vorlesungsrehe über Turbulenz- und Stofftransportmodelle für Fleßgewässer am Insttut für Geodynamk der Unverstät Bonn halten durfte, bestand glech zweerle Anlaß neben der renen Numerk auch das darzustellen, was zu modelleren st. Dabe hatte ch Physk und Numerk aus ddaktschen Gründen vermscht, so daß weder das ene noch das andere langwelg werden sollte, glechzetg aber der Schwergketsgrad kontnuerlch stegt. Verson des Skrptes wuchs m Laufe dreer Vorlesungszyklen auf über 230 Seten. Deses Skrpt wurde n der Verson 2 m wesentlchen n senem hydrodynamschen Tel zur Buchform erwetert. Mt der Verson 3 wurde de 400-Seten-Schwelle überschrtten und de Hydrodynamk der Fleßgewässer von der her vorlegenden Schrft Numerschen Methoden der Hydrodynamk vollständg nhaltlch aber ncht örtlch getrennt. Verson 4 dente der Verbesserung des hydrodynamschen Tels und refte schleßlch zur Habltatonsschrft. Mt der Verson 5 legen de numerschen Methoden nun als egene Schrft vor. Damt sollte den Studenten menes weder aufgenommenen Lehrauftrages n Hannover zunächst enmal en egenständges Skrpt geboten werden, welches den Stoff der Hydromechank auf das wesentlche beschränkt. Ferner habe ch mt desem Lehrauftrag zusammen mt den Studenten Java-Applkatonen entwckelt, mt denen de Numerk spelersch erprobt werden kann. De vorlegende Verson 5.6 st durch Anregungen bem Klausursemnar des Graduertekollegs 65 der Unverstät Hannover entstanden. Das Galerknverfahren wrd nun am enfacheren Bespel der Possonglechung erklärt, zetabhänggen FE-Methoden st en egenständges Kaptel gewdmet.

3 Inhaltsverzechns Enführung 9 2 Zetschrttverfahren 3 2. De Dskretserung der Zet De allgemene Evolutonsglechung Enschrttverfahren Das Eulerverfahren Das mplzte Verfahren Das Crank-Ncolson-Verfahren Taylorverfahren Runge-Kutta-Verfahren Konsstenz Mehrschrttverfahren Numersche Integraton Leap-Frog-Verfahren Zetlche Mttlung der Grundglechungen Das Entty-Relatonshp-Modell der Zet Das Entty-Relatonshp-Modell Das ER-Modell der Zet De logstsche Dfferentalglechung als Bespel Zusammenfassung Stabltät Stetge Abhänggket von den Engangsdaten Stetge Abhänggket bem kontnuerlchen Problem Stetge Abhänggket bem dskretserten Problem Der Verfahrensoperator Matrxnormen Spektralradus und Stabltät Allgemene Stabltätskrteren Stabltätskrteren für explzte Enschrttverfahren Stabltätskrteren für mplzte Enschrttverfahren Iteratve und Prädktor-Korrektor-Verfahren Operator-Splttng-Verfahren Konvergenz

4 4 INHALTSVERZEICHNIS 4 De Methode der Fnten Dfferenzen 4 4. Enfache Dfferenzenquotenten Dfferenzenverfahren n Matrxschrebwese De statonäre Transportglechung Konsstenz Stabltät Verallgemenerungen De Advektonsglechung 5 5. Theore der Advektonsglechung De Advektonsglechung als Evolutonsglechung Dfferentalglechungssysteme. Ordnung Bahnlnen als Charakterstken der Advektonsglechung Das Anfangswertproblem Das Randanfangswertproblem FD-Verfahren für de Advektonsglechung Explzte Verfahren Implzte Verfahren Prädktor-Korrektor-Verfahren Numersche Dffuson Numersche Dsperson Interpolaton auf Fnten Elementen Lagrangesche Interpolatonspolynome Fnte Elemente Endmensonale Elemente Lneare Interpolaton Der Interpolatonsfehler Quadratsche Interpolaton Postvtät und andere Extremalprnzpen Zwedmensonale Elemente Dreeck mt lnearem Ansatz Vereck mt blnearem Ansatz Vereck mt bquadratschem Ansatz Sechseck mt quadratschem Ansatz Interpolaton m Dredmensonalen En Prsma mt lnearem Ansatz De Dffusonsglechung De Dffusonsglechung als Evolutonsglechung Parabolsche semlneare Dfferentalglechungen Das Anfangswertproblem (D) FD-Verfahren für de Dffusonsglechung Das Forward-Tme-Centered-Space-Verfahren (FTCS) Das Randanfangswertproblem Rchardson- und DuFort-Frankel-Verfahren

5 INHALTSVERZEICHNIS Das mplzte Verfahren Das Crank-Ncolson-Verfahren Bewertung Lagrange-Verfahren Das Lagrange-Verfahren für de Advektonsglechung Numersche Dämpfung Monotone Bespele Stufenfunkton Hunte Jade De Transportglechung Das Anfangswertproblem (D) Das Randanfangswertproblem FD-Verfahren für de Transportglechung De stossartge und punktförmge Enletung Explzte Verfahren Implzte Verfahren Lagrange-Verfahren für de Transportglechung Bewertung De Burgersglechung 0. Der Ansatz von E. Hopf Der Ansatz von J.D. Cole FD-Verfahren für de Burgersglechung Lagrange-Verfahren für de Burgersglechung Harmonsche Anfangsbedngungen Zusammenfassung Fnte-Volumen-Verfahren 2. De Dvergenzform der Grundglechungen Dskretserung De Behandlung der Zetabletung De Behandlung des Quellterms De Behandlung des Flußterms De Dffusonsglechung auf äqudstantem Gtter De Dskretserung advektver Terme Zentrale Verfahren Upstream-Verfahren QUICK- und QUICKEST-Verfahren Globale und lokale Massenerhaltung Gestaffelte Gtter Fnte Volumen auf Dreecksnetzen Der äußere Normalenvektor m Dreeck

6 6 INHALTSVERZEICHNIS.7.2 Upstreamng auf Dreecksnetzen Fnte Dfferenzen und Fnte Volumen De Sant-Venantschen Glechungen Hyperbolztät der Sant-Venant-Glechungen Charakterstken der D-Glechungen Das nverse Charakterstkenverfahren Randbedngungen Charakterstken der 2D-Glechungen De statonären tefengemttelten Glechungen Inverse Bcharakterstkenverfahren für de 2D-Glechungen Das semmplzte Verfahren von Casull Bewertung Galerknverfahren Das Standard-Galerknverfahren De Possonglechung n der Hydrodynamk Potentalströmungen Druck-Korrektur-Verfahren Lösung der D-Possonglechung Integratonsverfahren De Integraltransformatonsformel Analytsche Integraton Numersche Integraton De Possonglechung auf Dreecken Zusammenfassung Zetabhängge Fnte-Elemente-Methoden Lösung der D-Transportglechung De Dskretserung der Zet durch Fnte Elemente Schwache Lagrangeverfahren Upstream-Strategen: Petrov-Galerkn-Verfahren Das Verfahren nach Chrste Das Streamlne Upwnd/Petrov-Galerkn (SU/PG) Verfahren Zusammenfassung Fnte Elemente und Funktonalanalyss Funktonenräume Hlberträume Der Hlbertraum L 2 (Ω) Schwache Abletungen und Sobolevräume Operatoren n Hlberträumen Egenwerte lnearer Operatoren Dualräume Blnearformen Varatonsaufgaben

7 INHALTSVERZEICHNIS De Possonglechung De Helmholtzglechung De statonäre Transportglechung Gemschte Fnte Elemente Das Stokes-Problem De Babuska-Brezz-Bedngung Konvergenz Glechungslöser Dskretserung und Systemmatrx Drekte Glechungslöser Iteratve Glechungslöser

8 8 INHALTSVERZEICHNIS

9 Kaptel Enführung Dese Schrft beschäftgt sch mt dem Repertore numerscher Methoden, de man für den Entwurf enes hydrodynamsch-numerschen Modells für Oberflächengewässer verwenden kann. Bevor wr uns desen m enzelnen zuwenden, fragen wr uns, was man unter enem hydrodynamsch-numerschen Modell - n Kurzform auch HN-Modell - versteht. En hydrodynamsch-numersches Modell st zunächst erst enmal en numersches Modell. Unter enem solchen versteht man en Verfahren, welches n der Regel große Mengen von Zahlen verarbetet. Der Prozess der Verarbetung von Zahlen kann durch Flußdagramme dargestellt werden, welche n ener endlchen Abfolge von Schrtten en Ergebns lefern. Solche Flußdagramme sollten mmer ene Klasse von Problemen repräsenteren, von denen das Enzelproblem durch ene bestmmte Konfguraton der Engangsdaten bestmmt wrd. Zu jedem spezellen Problem sollte das Flußdagramm ene endeutge Menge von Ausgangsdaten lefern. Hat deses das Flußdagramm de genannten Egenschaften, sprcht man von enem Algorthmus. En hydrodynamsch-numersches Modell sollte de guten Egenschaften enes Algorthmus bestzen. De von hm gelefert numersche Lösung besteht weder aus ener sehr großen Menge von Zahlen bzw. Daten, deren Struktur der der hydrodynamschen Probleme angepaßt st. Hydrodynamsche Probleme bezehen sch mmer auf en (natürlches oder künstlches) Modellgebet n Raum und Zet, also etwa auf de Elbe zwschen Stromklometer 400 und 500 n der Zet vom. bs zum 30 Jun 990. Dazu wrd das Modellgebet mt enem Netz von Punkten überdeckt, de man als Knoten bezechnet. An jedem deser Knoten lefert das numersche Modell Ergebnsse für de gesuchten hydrodynamschen Größen. Das Raumgtter kann dabe ene dre-, zwe- oder endmensonale Struktur aufwesen. Be zwedmensonalen Gttern wrd dabe de über de Tefe, be endmensonalen Gttern de über den Fleßquerschntt ntegrerte Strömung modellert. Der Smulatonszetraum wrd ebenfalls durch enzelne Zetpunkte dskretsert, zu denen de Smulatonsergebnsse gewonnen werden. So entstehen nsgesamt ver-, dre- oder zwedmensonale Datenstrukturen als Ergebns enes hydrodynamsch-numerschen Modells. Abbldung.2 veranschaulcht für en zwedmensonales Raumgtter de entstehende dredmensonale Datenstruktur. Wr werden uns de n enem HN-Modell benötgten numerschen Methoden konstruktv d.h. Schrtt für Schrtt erarbeten. Dazu benötgt der Leser kaum Kenntnsse aus dem Berech der 9

10 0 KAPITEL. EINFÜHRUNG Engangsdaten? Algorthmus = Flußdagramm + Allgemenhet + Endeutgket + Endlchket? Ausgangsdaten Abbldung.: De Struktur enes numerschen Modells J, J J, J J 5 JH K C I C A > EA J Abbldung.2: Dredmensonale Datenstruktur für ene tefenntegrerte Strömung

11 Hydrodynamk der Oberflächengewässer. Methodsch funktonert das folgendermaßen: Wr werden uns enfache Dfferentalglechungen vornehmen und studeren, was dese smuleren können. Dann werden wr Verfahren zur numerschen Behandlung derselben konstrueren. Im Laufe der Schrft werden dese Modelle aus Dfferentalglechungen und zugehörgen numerschen Verfahren sch der tatsächlchen Hydromechank mmer weter annäherten aber auch komplexer werden. Unser Weg begnnt be den gewöhnlchen Dfferentalglechungen erster Ordnung. Mt denen kann man dynamsche d.h. zetabhängge aber räumlch homogene Prozesse beschreben. Durch de Advektonsglechung bekommen wr m folgenden en Werkzeug n de Hand, de Bewegung von Stoffen oder Egenschaften mt ener Strömung zu beschreben. Se st von hrer Struktur de enfachste partelle Dfferentalglechung, wr werden aber an hr schon de Grenzen der numerschen Verfahren ledvoll studeren können. Dann werden wr uns dem Prozess der Dffuson zuwenden. Koppeln wr desen mt der Advekton, dann snd wr schon n der Lage, de verschedensten Transportvorgänge n Fleßgewässern naturnah zu smuleren. So transportert de Strömung aber auch hren egenen Impuls und damt rgendwe sch selbst, wodurch ene Rückkopplung entsteht. Deses Phänomen kann man m enfachsten Fall durch de Burgersglechung beschreben, de uns n das fasznerende Gebet der nchtlnearen Dynamk und hre numersche Smulaton enführen wrd. Mt den Sant-Venant-Glechungen treffen wr dann auf en System von partellen Dfferentalglechungen, wodurch wetere Anforderungen an de Qualtät der numerschen Verfahren gestellt werden. Das Modell st aber nun schon n der Lage, tefengemttelte Strömungen n Fleßgewässern zu smuleren. Letztlch wenden wr uns den Reynolds- und Naver-Stokes- Glechungen zu, de dann de vollständge Hydrodynamk der Fleßgewässer beschreben.

12 2 KAPITEL. EINFÜHRUNG

13 Kaptel 2 Zetschrttverfahren De Ergründung des Wesens der Zet st enes der fasznerendsten Abenteuer des menschlchen Gestes. Zunächst snd da de Fragen nach hrem Anfang, präzser, ob se überhaupt enen solchen hatte und wenn, wann er war. Der Krchenlehrer Augustnus ( ) formulerte dese Frage theologsch : Was machte Gott, bevor er Hmmel und Erde machte? Ich gebe ncht das zur Antwort, was jemand gesagt haben soll, der mt enem Wtzwort der schwergen Frage auswechen wollte und sagte: Er baute ene Hölle für de Leute, de zu hohe Dnge erforschen wollen. Das wll ch ncht zur Antwort geben, Ensehen und Lachen snd zwe verschedene Dnge.... Ich hngegen sage, du, unser Gott, sest der Schöpfer aller Kreatur, und wenn man unter dem Wort Hmmel und Erde alle Kreatur versteht, sage ch mt Zuverscht: Bevor Gott Hmmel und Erde machte, machte er nchts. Denn wenn er etwas machte, was machte er, wenn ncht en Geschöpf? Augustnus fragt sch weter, warum Gott vor der Schöpfung ene unbestmmt lange Zet nchts tat, denn wenn er Hmmel und Erde schon m Snn hatte, hätte er ja auch früher anfangen können. Deser absurde Gedanke läßt nur enen Schluß zu: Gott hatte zunächst bzw. mt der Schöpfung de Zet erschaffen. Denn eben dese Zet hattest du gemacht, und es konnte kene Zet vorübergehen, bevor du de Zeten gemacht hattest. De moderne Physk seht das ncht anders, auch se geht davon aus, daß es vor der Entstehung des Unversums Zet so ncht gegegeben, bzw. hr Begrff kene Gültgket hat. In vollkommener Analoge zu Augustnus gbt es kenen Grund, warum der Urknall ncht auch schon hätte früher stattfnden können, wenn es so etwas we de Zet schon vorher gegeben hätte. Nachdem er deses so endeutg geklärt hat, macht sch Augustnus daran, den Ablauf der Zet zu ergründen. Er stellt zunächt enmal fest, daß es Vergangenhet und Zukunft ncht gbt, Vergangenes exstert nur n der gegenwärtgen Ernnerung und de Zukunft nur n der gegenwärtgen Erwartung: Denn mene Kndhet, de ncht mehr st, legt n ener vergangenen Zet, de ncht mehr st; aber hr Bld, das ch heraufhole, wenn ch von hr erzähle, sehe ch m gegenwärtgen Augenblck, wel es noch n menem Gedächtns st.... Sagt man vom Zukünftgen, es werde gesehen, dann wrd ncht deses Zukünftge selbst gesehen, das noch ncht st, sondern wohl dessen Ursachen und Zechen, de schon snd.... Aus hnen erfaßt der Gest das Zukünftge und kann es dann vorhersagen.... Es gbt dafür unzählge Bespele; ch nehme nur enes davon: Ich sehe de Morgenröte und sage voraus, de Sonne werde aufgehen. Was ch sehe st gegenwärtg; was ch voraussage, st zukünftg. Somt exstert allerhöchstens de De folgenden Ztate stammen aus Augustnus, Bekenntnsse, Reclam Unversal-Bblothek Nr. 2792, Stuttgart

14 4 KAPITEL 2. ZEITSCHRITTVERFAHREN Gegenwart. Doch we lang st dese? Augustnus sezert den gegenwärtgen Tag und fndet darn vergangene und zukünftge Stunden. Zwar geht er teratv zu kleneren Zetntervallen, kommt aber ncht zu ener Grenzwertbldung gegen Null, wodurch auch de Gegenwart als exstent bezwefelt würde. Er läßt sch ncht berren und blebt dabe, daß Zet aus gewssen Zetspannen besteht. Tatsächlch schretet de Zet n Zetsprüngen bzw. Zetquanten voran, deren Länge man als Plancksche Fundamentalzet bezechnet. Se st t Pl = p Gμh=c 5 =0: s wobe G de unverselle Gravtatonskonstante, μh das Plancksche Wrkungsquantum und c de Lchtgeschwndgket st. Da ene Sekunde somt aus sehr velen Zetquanten besteht, entsteht der Endruck, als fleße de Zet kontnuerlch dahn. Für unser weteres Modelleren des Phänomens Zet st de Tatsache entschedend, daß sch de Zet grundsätzlch ncht n Zetpunkte, sondern nur n Zetntervalle bzw. Zetschrtte zerlegen läßt, de aber praktscherwese ncht so kurz we de Plancksche Fundamentalzet sen müssen. 2. De Dskretserung der Zet In den Grundglechungen der Hydrodynamk tauchen zetlche Abletungen auf, dese Glechungen beschreben also, we sch entsprechende Größen mt der Zet entwckleln. Um deses Geschehen numersch zu behandeln, gehen wr genau so vor, we es de Ontologe der Zet verlangt: Wr legen enen Anfangszetpunkt t 0 fest und smuleren den Lauf der Zet durch das fortwährende Hnzufügen von Zetschrtten t, wodurch ene Folge von Zetpunkten entsteht: t n = t 0 + n t; (2.) Des st de Dskretserung der Zet. Wr gehen davon aus, daß zur Zet t 0 alle physkalschen Größen n Form von Anfangsbedngungen bekannt snd. Gesucht snd Rechenvorschrften, de de Lösungswerte zum Zetschrtt t und dann sukzessve für alle weteren Zetpunkte t 2, t 3,...,t n ergeben. Nach der Dskretserung der Zet wollen wr nun den Typ der Dfferentalglechung spezfzeren, den wr n desem Kaptel numersch untersuchen wollen. An desen stellen wr de Anforderungen, daß er möglchst allgemen st, damt wr alle zetabhänggen Dfferentalglechungen der Hydrodynamk erfassen und daß er möglchst enfach st, damt wr es her am Anfang noch ncht zu schwer haben. Dese Bedngungen erfüllt de allgemene Evolutonsglechung. 2.2 De allgemene Evolutonsglechung Wr betrachten ene zetabhängge Dfferentalglechung der + Au = f; de auch als allgemene Evolutonsglechung bezechnet wrd. In deser Darstellung enthält der Operator A nur noch Ortsabletungen, so ergbt sch de x-naver-stokes-glechung durch

15 2.3. EINSCHRITTVERFAHREN 5 und Au u u 2 f = f : Später werden wr de Ortsabletungen ebenfalls dskretseren; wr werden sehen, daß der Operator A dann zu ener Matrx degenerert. Ene formale Lösung der homogenen (f = 0) zetabhänggen Dfferentalglechung (2.2) st durch u(t) =e ta u(0) = e ta u 0 (2.3) gegeben. Formal st de Lösung deshalb, wel wr zuerst klären müssen, we man ene Potenz mt enem Operator als Exponenten behandelt. Nahelegend st her de Bldung der Taylorrehe: e ta := X n=0 ( ta) n n! = ta + 2 t2 A 2 ::: (2.4) Um alle Formaltäten zu erledgen, blebe noch de Konvergenzfrage für de Rehe zu untersuchen. Auch de Lösung der nhomogenen Evolutonsglechung kann formal angegeben werden; se lautet: u(t) =e ta u 0 + Z t 0 e (t t0 )A f (t 0 )dt 0 Schleßlch wollen wr noch ene ähnlche Abschätzung für nchlneare Glechungen vom Typ der Naver-Stokes-Glechungen gewnnen. Dazu schreben wr de Evolutonsglechung n der Form + Au + B(u)u = wobe der Operator A lnear und B nchtlnear st. Indem de Nchtlneartät als Inhomogentät behandelt wrd, ergbt sch de formale Lösung u(t) =e ta u 0 + Z t e (t t0 )A f (t 0 )dt 0 Z t e (t t0 )A B(u(t 0 ))dt 0 : Enschrttverfahren Zur Bestmmung der Lösung an enem neuen Zetpunkt t n+ wrd de Zetabletung n der Form

16 6 KAPITEL ' un+ u n t approxmert werden. De zetlch semdskretserte Glechung wrd zu u n+ u n + Au =0 t und es verblebt de Frage, zu welchem Zetpunkt wr Au und be nhomogenen Glechungen b auswerten sollen Das Eulerverfahren Be desem Verfahren wrd Au zum bekannten Zetschrtt t n ausgewertet: u n+ u n + Au n =0 (2.5) t Ene Dfferentalglechung st nun ncht mehr zu lösen; das Problem hat sch auf de Auswertung enes renen Dfferentalausdruckes reduzert. Das Eulerverfahren benötgt somt enen sehr gerngen Rechenaufwand pro Zetschrtt, allerdngs hat es be zu hohen Zetschrtten Probleme mt der Stabltät, worauf später noch engegangen wrd. Wr werden später sehen, daß der Fehler des Eulerverfahrens proportonal zum Zetschrtt t gegen Null geht Das mplzte Verfahren Be mplzten Verfahren wrd Au zum unbekannten Zetschrtt t n+ ausgewertet: u n+ u n + Au n+ =0 (2.6) t Da nun Dfferentalausdrücke der unbekannten Funkton u n+ verbleben, st weterhn ene partelle Dfferentalglechung zu lösen. Das mplzte Verfahren st somt wesentlch rechenntensver als das Eulerverfahren. Sen Vortel legt jedoch n den wesentlch besseren Stabltätsegenschaften, wodurch erheblch größere Zetschrtte gewählt werden können und der Nachtel der Rechenntenstät somt weder kompensert wrd Das Crank-Ncolson-Verfahren Das Crank-Ncolson-Verfahren besteht aus ener Wchtung des bekannten Zetschrttes t n und des unbekannten Zetschrttes t n+ mt enem Wchtungsparameter : u n+ u n + Au n+ +( )Au n =0 (2.7) t Genauso we bem mplzten Verfahren verblebt weterhn de Lösung ener partellen Dfferentalglechung zum Zetschrtt t n+.für = 0:5 geht der Verfahrensfehler proportonal zu

17 2.3. EINSCHRITTVERFAHREN 7 t 2 zu Null. En klenerer Zetschrtt führt m Verglech zum Eulerverfahren her zu günstgeren Ergebnssen. Das Crank-Ncolson-Verfahren betet de Möglchket kontnuerlch zwschen den Zetschrtten zu wchten. Es wrd daher n den mesten Codes verwendet, wenn ncht das mplzte Verfahren aus Stabltätsgründen zwngend erforderlch st. In Verallgemenerung dessen lassen sch sogar verschedene Crank-Ncolson-Faktoren für verschedene Terme der Dfferentalglechungen enführen, stellt dese sch z.b. + A u + A 2 u =0 so wäre das entsprechende Crank-Ncolson-Verfahren durch gegeben. u n+ u n t + A u n+ +( )A u n + 2 A 2 u n+ +( 2 )A 2 u n = Taylorverfahren De formale Lösung der homogenen Evolutonsglechung kann auch zur Konstrukton numerscher Verfahren verwendet werden. Dazu schreben wr de formale Lösung für den Zetschrtt n +als u n+ = e ta u n und erhalten be der Berückschtgung der ersten beden Gleder der Taylorrehe das Eulerverfahren. Nmmt man noch den drtten Term hnzu so ergbt sch das Verfahren u n+ = ta + 2 t2 A 2 u n u n+ u n + Au n t 2 ta2 u n =0 (2.8) welches auch Lax-Wendroff-Verfahren [7] genannt wrd. Vollkommen analog zu deser Herletung st de Berückschtgung des lokalen Verfahrensfehlers mt umgekehrtem Vorzechen n der zu dskretserenden Ausgangsglechung. Dese Vorgehenswese wrd als Defektapproxmaton ([9]) bezechnet Runge-Kutta-Verfahren Entwckelt man de formale Lösung bs zur verten Ordnung, so entsteht das Verfahren u n+ = welches man n der sehr enfachen Form ta + 2 t2 A 2 6 t3 A t4 A 4 u n u n+ = u n 6 (K +2K 2 +2K 3 + K 4 ) (2.9)

18 8 KAPITEL 2. ZEITSCHRITTVERFAHREN mt K = tau n K 2 = ta u n K 2 K 3 = ta u n K 2 2 K 4 = ta (u n K 3 ) programmeren kann. Das Verfahren wrd als Runge-Kutta-Verfahren bezechnet. 2.4 Konsstenz De exakte Lösung der Dfferentalglechung st.a. kene Lösung der dskreten Glechung. Setzt man de exakte Lösung dennoch n letztere en, so erhält man en Maß für das Abwechen des dskreten Verfahrens von der zu lösenden Dfferentalglechung, welches man als lokalen Verfahrensfehler bezechnet. Für das allgemene Enschrttverfahren setzt man den lokalen Verfahrensfehler e( ) n der Form e( ) = u(tn+ ) u(t n ) + Au(t n+ )+( )Au(t n ) t an, wobe mt u de exakte Lösung bezechnet wrd. Offenschtlch wrd der Fehler genau dann Null, wenn de exakte Lösung auch de dskretserte Glechung erfüllt. Wrd u(t n+ ) durch de Taylorrehe u(t n+ )=u(t n )+ X k= t k k u(t n k dargestellt, so erhält der lokale Dskretserungsfehler nach kurzer Rechnung de Form und e( ) = X k= + Au(t n )=0 ::: = t k k! X k=2 und da u(t n ) u(t n k+ ::: k u(t n k + t k X k=2 = k! t k X k= k! X k u(t n k + t k k! t k u(t n ) k! k + Au(t n )=::: X k u(t n k t k u(t n ) k! k = ::: X k= t k+ u(t n k+ u(t n k+ k +

19 2.5. MEHRSCHRITTVERFAHREN 9 wobe de Lneartät von A vorausgesetzt werden muß. Betrachtet man nur den führenden Term der Rehe, so e(0) ' 2 t@2 u(t n 2 e() ' 2 t@2 u(t n 2 e(=2) 3 Das Verhalten der führenden Fehlerterme gbt Anlaß zu folgender Defnton: 2 u(t n ) Def: De Konsstenzordnung enes Verfahrens st de jewels mnmale Potenz, mt denen de Schrttweten m lokalen Verfahrensfehler auftauchen. Tauchen Fehlerterme auf, de kene Schrttwete enthalten, heßt das Verfahren ncht-konsstent mt dem gestellten Problem. De Konsstenzordnung gbt an, wevel besser en Verfahren wrd, wenn man de jewelgen Schrttweten verngert. Halberen wr n unserem Bespel den Zetschrtt, so reduzeren sch de zetabhänggen Antele des Verfahrensfehlers auf de Hälfte. Wählen wr den Crank- Ncolson-Faktor zu ==2, soführt ene Halberung des Zetschrttes sogar zu ener Redukton des Verfahrensfehlers auf en Vertel. De Konsstenzordnung sagt jedoch (noch) nchts darüber aus, ob de dskrete Lösung gegen de exakte Lösung des Problems konvergert. Man st demzufolge bemüht, Verfahren mt hoher Konsstenzordnung zu konstrueren. So haben das Eulerverfahren und das mplzte Verfahren de Konsstenzordnung, das Lax- Wendroff- und das Crank-Ncolson-Verfahren snd Verfahren 2. Ordnung und das Runge- Kutta-Verfahren bestzt sogar de Konsstenzordnung Mehrschrttverfahren Bsher wurde zur Berechnung der Strömung zum Zetpunkt t n+ nur der drekt vorangehende Zetschrtt t n verwendet. Mehrschrttverfahren verwenden auch noch wetere Zetschrtte. Herdurch kann man höhere zetlche Konsstenzordnungen errechen Numersche Integraton In desem Abschntt se nur kurz an de dre grundsätzlchsten numerschen Integratonsverfahren ernnert. De Mttelpunktsregel verwendet den Funktonswert auf der Intervallmtte Z b a a + b f (x)dx ' (b a)f ; (2.0) de Trapezregel das Mttel der Funktonswerte an den Integratonsgrenzen Z b a f (x)dx ' b a 2 2 (f (a) +f (b)) (2.)

20 20 KAPITEL 2. ZEITSCHRITTVERFAHREN und de Smpsonregel en gewchtetes Mttel aus den Funktonswerten an den Intervallgrenzen und n der Intervallmtte: Z b a f (x)dx ' b a Leap-Frog-Verfahren f (a) +4f a + b 2 + f (b) (2.2) Zur Herletung enes Verfahrens, welches auch den Zetpunkt t n auswertet, ntegreren wr de zetabhängge Dfferentalglechung (2.2) zwschen t n und t n+ : tz n+ dt + tz n+ t n Audt =0 Auf den ersten Term wenden wr den Hauptsatz der Dfferental- und Integralrechnung, auf den zweten de Mttelpunkteregel an: bzw. u n+ u n +2 tau n =0 u n+ u n + Au n =0: (2.3) 2 t Das Verfahren wrd n der Lteratur als Leap-Frog-Verfahren bezechnet, es st en explztes Verfahren und benötgt zwe Zetebenen zur Berechnung der gesuchten Werte auf ener neuen Zetebene. Es bestzt de Konsstenzordnung O( t 2 ). 2.6 Zetlche Mttlung der Grundglechungen En enfache Anwendung des Hauptsatzes der Dfferental- und Integralrechnung lefert: u n+ u n t Z t n+ t n udta (2.4) Dese Glechung gewährt enen tefen Enblck n das, was wr ener Dfferentalglechung antun, wenn wr se (n der Zet) dskretseren. Man berechnet egentlch de Abletung der Mttlung der Funkton u zwschen den Zetschrtten n und n +, de durch u = t udt (2.5) gegeben st. In desem Snne st de Dskretserung tz n+ u n+ u n (2.6)

21 2.7. DAS ENTITY-RELATIONSHIP-MODELL DER ZEIT 2 H= BJ 9 A HJ - E D A EJ HJ A EJ Abbldung 2.: De Attrbute der physkalschen Größe Kraft. exakt. Daher legt es nahe, de hydrodynamschen Grundglechungen über de Zetntervalle t zu mtteln und dann de zetlche Dskretserung ohne Dskretserungsfehler durchzuführen. Nach der zetlchen Dskretserung der Naver-Stokes-Glechungen löst man egentlch de Reynoldsglechungen und man hat sch an deser Stelle Gedanken über de durch de Numerk erzeugten Reynoldsspannungen zu machen. 2.7 Das Entty-Relatonshp-Modell der Zet Im letzten Abschntt deses Kaptels wollen wr uns der Modellerung der Zet aus der Scht der Informatk wdmen Das Entty-Relatonshp-Modell Der erste Schrtt zur Modellerung von rgendetwas aus der Realwelt st der Entwurf enes konzeptonellen Modells. In der Lteratur werden dabe ene Rehe von Archtekturen für den Entwurf des konzeptonenellen Modells vorgeschlagen. Grundlegend st dabe der Entty- Relatonshp-Ansatz (ER-Ansatz), der 976 von Chen [7] vorgeschlagen und n der Folge velfach erwetert wurde. De dahntersteckende Methodk wrd n der modularen als auch objektorenterten Softwarekonzepton und dem Entwurf von Datenbanken angewendet. De Modellbldung erfolgt dadurch, de Dnge der zu modellerenden Welt, de sogenannten Enttäten n Enttätstypen zu ordnen. En Enttätstyp beschrebt also ene Menge glechwertger matereller oder nchtmatereller Dnge der realen Welt, de für den Problemberech relevant snd. De Anwendung deser Betrachtungswese auf de Physk lefert de physkalschen Größen als Enttätstypen. Geschwndgket und Kraft snd also Enttätstypen, während man F = N als Instanz des Enttätstyps Kraft ansehen würde. In der graphschen Darstellung werden Enttätstypen durch Rechtecke symbolsert. En Enttätstyp wrd durch ene Menge von Attrbuten charaktersert. Ene Instanz oder Ausprägung des Enttätstyps erhält man durch de Zuordnung enes Wertes zu jedem Attrbut des Enttätstyp. De Attrbute werden m ER-Dagramm durch Strche am repräsenterenden Rechteck, manchmal aber auch durch mt hm verbundene Krese dargestellt. De Attrbute ener physkalschen Größe snd zunächst enmal hr Zahlenwert und hre Enhet, be raumzethaften Problemen kommen noch der Ort und der Zetpunkt hnzu. Durch de Angabe deser ver Attrbute wrd ene Instanz der physkalschen Größe defnert. Zwschen den Enttäten der realen Welt bestehen Bezehungen bzw. Relatonen, zwschen den Enttätstypen Bezehungstypen. Dese werden m ER-Dagramm durch Rauten dargestellt. De Bezehungstypen zwschen den physkalschen Größen snd de physkalschen Gesetze. Das

22 22 KAPITEL 2. ZEITSCHRITTVERFAHREN H= BJ = I I A A M J I? D A I / A I A J * A I? D A K E C K C Abbldung 2.2: Das Entty-Relatonshp-Modell für das Newtonsche Gesetz. A EJ A = A H A EJ > A I JA D J = K I A EJ E JA HL = M EH@ > A C HA K H? D A EJ F K J = D H = J 6 = C 5 A 5 A A E K JA Abbldung 2.3: Das Entty-Relatonshp-Modell für de Zet. Newtonsche Gesetz stellt ene Bezehung zwschen den Enttäten Kraft F, Masse m und Beschleungung a dar, dessen Entty-Relatonshp-Dagramm n Abbldung 2.2 zu bestaunen st. Zwe Enttäten können nur mttels ener Bezehung verbunden werden. Gbt es zwschen zwe Enttäten kene Bezehung, dann bleben dese m ER-Dagramm unverbunden. Anders st des be Bezehungen, zwschen hnen braucht kene Enttät zu stehen. In der Welt der Physk kann man gekoppelte Gesetze bzw. gekoppelte Glechungssysteme durch Verbndungen von Relatons ohne dazwschenlegende Entty modelleren. Auch Bezehungstypen können durch Attrbute näher charaktersert werden. Man bezechnet se dann als assozatve Enttätstypen und stellt hre Attrbute an enen de Bezehung substantverenden Enttätstyp, der graphsch durch ene gerchtete Kante vom Bezehungs- zum Enttätssymbol dargestellt wrd Das ER-Modell der Zet De Ontologe der Zet geht von enem Zetursprung und dem darauffolgenden Verlauf der Zet n Zetschrtten bzw. Zetntervallen aus. Erst der Anfang und das Ende enes Zetntervalls werden durch Zetpunkte markert. Zusammenfassend ergbt sch das n Abbldung 2.3 dargestellte ER-Modell für de Zet. Zur Messung enes Zetntervalles hat man set menschengedenk de Rotaton der Erde sowe de Revoluton der Erde um de Sonne als perodsche Zetmaße und de damt verbundenen archetypschen Erfahrungen von Tag und Nacht und der Jahreszeten verwendet. De nternatonal gültge Defnton des Zetmaßes basert heute auf der Spezfkaton der Sekunde als Velfaches enes perodschen Vorganges aus dem Rech der Atomphysk. Schwerger als de Angabe enes Zetntervalles st de exakte Spezfkaton von Zetpunkten. Des legt daran, daß es Zetpunkte physkalsch ncht gbt, se müssen also durch de Angabe

23 2.8. DIE LOGISTISCHE DIFFERENTIALGLEICHUNG ALS BEISPIEL 23 enes Zetntervalles relatv zu enem Bezugseregns spezfzert werden. Das Jahr Null, sowe ene wllkürlche Untertelung des Jahres n Monate und Wochen wrd durch de Angabe enes Kalenders spezfzert. Im westlchen Kulturkres hat sch der Gregoransche Kalender so etablert, daß de Angabe desselben zumest entfällt. Wchtger als de Angabe des Kalenders st de Spezfkaton der Zetzone und gegebenenfalls ener Sommerzet, wodurch de Tageszet an enem bestmmten geographschen Ort festgelegt wrd. Solche Angaben snd ncht nur be Softwaresystemen aus dem Flugwesen, sondern auch n der ozeano- und geographschen Smulaton unentbehrlch. In der Programmersprache Java wrd der Enttätstyp Zetpunkt durch de Klasse java.utl.date dargestellt. De Genaugket recht dabe bs zur Sekunde. Der Enttätstyp Zetntervall gehört ncht mehr zum Umfang der Standardsprache und soll daher durch ene Klasse TmeStep realsert werden. Dese enthält de sechs prvaten nt-komponenten years, months, days, hours, mnutes, seconds. Neben dem leeren Konstruktor sollte man Objekte der Klasse TmeStep durch de Angabe der sechs Werte, sowe durch zwe Datums konstrueren können. De Methode ncrementtme lefert für en gegebenes Objekt der Klasse Date en um den Zetschrtt nkrementertes Objekt der Klasse Date. 2.8 De logstsche Dfferentalglechung als Bespel De = flu fu2 fl;f 0 (2.7) besteht auf der rechten Sete aus zwe Summanden: Für f = 0 wächst de Lösung u n der Zet proportonal zu sch selbst, wr haben es n desem Fall mt der Dfferentalglechung des exponentellen Wachstums zu tun. Der zwete Term begrenzt deses Wachstum jedoch, er wächst überproportonal zu u und bekommt gegenüber dem Wachstumsterm umso mehr Gewcht, desto größer u st. De Dfferentalglechung beschrebt also das logstsche Wachstum, en Wachstum also, welches durch rgendenen begrenzenden Faktor, we etwa de Verknappung von Ressourcen, gebremst wrd. Nach Heuser [5] kann man mt der logstschen Dfferentalglechung so verschedenartge Dnge we das Wachsen der Kregslust n enem Land, de Ausbretung von Gerüchten, Populatonen und Sonnenblumen sowe de Gewchtszunahme be Ratten modelleren. Aus dem Berech der Fleßgewässerphysk se das Wachstum von Rffeln und Dünen als Bespel genannt, welches durch dese Dfferentalglechung beschreben wrd. Um ene numersche Lösung deser Dfferentalglechung brauchen wr uns ncht zu bemühen, da se ene analytsche Lösung bestzt. Dese lautet u(t) = f + fl u 0 fl f e flt wobe u 0 de Anfangspopulaton zum Zetpunkt t =0angbt. Für t!strebt de Lösung für jeden Anfangswert u 0 gegen u() = fl, m Laufe der Zet f errecht jede logstsch begrenzte Populaton enen Endwert, der umso größer st, desto größer de Wachstumsrate fl und umso klener st, desto klener de Sterberate f st.

24 24 KAPITEL 2. ZEITSCHRITTVERFAHREN Ist deser Grenzwert erst enmal errecht, ändert sch de Lösung ncht mehr, d.h. se sollte und st zudem de Lösung der statonären Dfferentalglechung 0=flu fu 2 De Lösung der logstschen Dfferentalglechung bezechnet man als asymptotsch stabl, da se für jeden Anfangswert gegen de statonäre Lösung konvergert. Desen statonären Wert kann man nahelegend auch als Attraktor bezechnen. De logstsche Dfferentalglechung betet sch als Valderungsbespel für Zetschrttverfahren an, da wr hre analytsche Lösung kennen und mt deser mmer verglechen können. Starten wr also mt dem Eulerverfahren, es lautet für de logstsche Dfferentalglechung: u n+ = u n + t(flu n fu n2 ) Dese Form offenbart sofort en erstes Problem. Begnnen wr mt dem Startwert u 0 = 0, so wrd jeder Folgewert u n+ Null bleben. Das Verfahren wrd also nur dann gegen den rchtgen asymptotschen Wert konvergeren, wenn man mt Startwerten unglech Null begnnt. Des kann praktsch große Probleme aufwerfen, wenn man es mt Phänomenen zu tun hat, de aus dem Nchts entstehen. Schon allen deshalb sollte das explzte Verfahren ncht zur numerschen Lösung der logstschen Dfferentalglechung herangezogen werden. Wr wollen dennoch en Lösungsprogramm schreben, welches de Wachstums- und Sterberaten fl und f, den Startwert u 0 und den Zetschrtt t aus den Textfeldern ener Benutzeroberfläche übernmmt und de Ergebnsse graphsch darstellt. Dese kann man n Abbldung 2.4 bewundern. Sowohl numersche als auch analytsche Lösung konvergeren gegen den rchtgen asymptotschen Wert, de numersche Lösung wächst dabe jedoch erst wesentlch später als de analytsche. Be ener Erhöhung des Zetschrttes auf 2 s schwngt de numersche Lösung um de Asymptote, be t =3s wrd hr Verhalten chaotsch und be jedem Zetschrtt t >3s wächst de numersche Lösung undarstellbar ns Unendlche. Das Verhalten des explzten Verfahrens st also noch keneswegs befredgend. Wenden wr uns daher dem mplzten Verfahren zu. Nach kurzem Auflösen nach u n+ hat es de Darstellung: u n+ = fl t 2f t + s fl t 2f t 2 + un f t Im Gegensatz zum Eulerverfahren st das mplzte Verfahren für belebge Zetschrtte stabl und lefert kene Oszllatonen. Es konvergert zudem auch für den Anfangswert u 0 =0gegen de rchtge Lösung. Es stegt allerdngs wesentlch schneller als de analytsche Lösung an und st daher m Anfangsberech ebenfalls ncht brauchbar. Als Verfahren der Konsstenzordnung zwe hatten wr das Lax-Wendroff-Verfahren und der Ordnung ver das Runge-Kutta-Verfahren kennengelernt, de entsprechenden Schemata sollte man zur Übung selbst entwckeln. De höhere Ordnung deser Verfahren zahlt sch n der besseren Reprodukton des Ansteges aus. Bede Verfahren negen aber sehr schnell zu oszllerendem, chaotschem und nstablen Verhalten. Wenn das explzte Verfahren nstabl wrd und das mplzte Verfahren stabl blebt, dann sollten wr für den quadratschen Term ene Mschung aus explztem und mplzten Verfahren n der Form

25 2.8. DIE LOGISTISCHE DIFFERENTIALGLEICHUNG ALS BEISPIEL 25 Abbldung 2.4: Verglech der mt dem Eulerverfahren gewonnenen numerschen (rot) und der analytschen (grün) Lösung der logstschen Dfferentalglechung Abbldung 2.5: Verglech der mt dem Eulerverfahren gewonnenen numerschen (rot) und der analytschen (grün) Lösung der logstschen Dfferentalglechung

26 26 KAPITEL 2. ZEITSCHRITTVERFAHREN Abbldung 2.6: Verglech der mt dem Eulerverfahren gewonnenen numerschen (rot) und der analytschen (grün) Lösung der logstschen Dfferentalglechung Abbldung 2.7: Verglech der mt dem mplzten Verfahren gewonnenen numerschen (rot) und der analytschen (grün) Lösung der logstschen Dfferentalglechung

27 2.9. ZUSAMMENFASSUNG 27 Abbldung 2.8: Verglech der mt dem semmplzten Verfahren gewonnenen numerschen (rot) und der analytschen (grün) Lösung der logstschen Dfferentalglechung u n+ u n = flu n fu n u n+ t proberen. Das Verfahren kann man als semmplzt bezechnen und es st genau we das mplzte Verfahren stabl. Aus Abbldung 2.8 st erschtlch, daß de Lösung we bem explzten Verfahren der analytschen hnterherhnkt. In der Hydromechank kommen nchtlneare quadratsche Terme n den tefen- und querschnttsgemttelten Impulsglechungen als Sohlschubspannungs- bzw. Rebungsterme vor. Dese werden n der Regel semmplzt dskretsert, wel hermt der gerngste Rechenaufwand be garanterter Stabltät verbunden st. Allerdngs sollte man m Kopf behalten, daß das numersche Verfahren de dämpfende Wrkung deser Terme überschätzen kann, was wr her am verzögerten Ansteg der Lösung der logstschen Dfferentalglechung gesehen haben. 2.9 Zusammenfassung Wr haben n desem Kaptel verschedene Verfahren zur numerschen Behandlung der Zetabletung kennengelernt. Als erstes Qualtätskrterum zur Beurtelung deser Verfahren haben wr ene möglchst hohe Konsstenzordnung gefordert. Unsere Untersuchungen haben ergeben, daß das Euler- und das mplzte Verfahren. Ordnung, Crank-Ncolson-, Lax-Wendroff- und Leap-Frog-Verfahren 2. Ordnung und das Runge-Kutta-Verfahren sogar 4. Ordnung konsstent snd.

28 28 KAPITEL 2. ZEITSCHRITTVERFAHREN Abbldung 2.9: Verglech der mt dem Lax-Wendroff-Verfahren gewonnenen numerschen (rot) und der analytschen (grün) Lösung der logstschen Dfferentalglechung Abbldung 2.0: Verglech der mt dem Runge-Kutta-Verfahren gewonnenen numerschen (rot) und der analytschen (grün) Lösung der logstschen Dfferentalglechung

29 Kaptel 3 Stabltät In der nchtlnearen Dynamk bezechnet man Systeme dann als stabl, wenn sch für zwe sehr nahe beenanderlegenden Anfangszuständen u(t = 0) und v(t = 0) de Zustände zu späteren Zeten höchstens stetg vonenander entfernen, d.h. es gbt zwe sehr klene Zahlen ff und ffl mt ku(t =0) v(t =0)k»ff )ku(t) v(t)k»ffl(ff;t) Deses Stabltätskrterum seht dem berüchtgten ffl ff-krterum für Stetgket sehr ähnlch. Be der Stetgket steht de Wahl des ffl m Vordergrund, d.h. zum Zetpunkt t snd de Unterschede zwschen u und v belebg klen, wenn nur de Anfangswerte hnrechend nahe anenander legen. Der Stabltätsbegrff wecht dese Anforderung en weng auf, da er ledg fordert, daß zwe m Anfang sehr ähnlche Funktonen sch zu späteren Zetpunkten nur allmählch unterschedlch verhalten. Turbulente Strömungen snd n desem Snne stabl, da de turbulenten Fluktuatonen n enem gewssen Intervall um enen wohldefnerten Mttelwert schwanken. En System heßt asymptotsch stabl, wenn für zwe sehr nahe beenanderlegenden Anfangszuständen sch spätere Zustände rgendwann enmal ncht mehr unterscheden, d.h. es gbt rgenden sehr klenes ff, so daß ku(t =0) v(t =0)k»ff )ku(t) v(t)k!0 für t! Wr werden n desem Kaptel das Phänomen Stabltät be dynamschen numerschen Verfahren m Rahmen der Operatorentheore beschreben und allgemene Stabltätskrteren für explzte und mplzte Verfahren aufstellen. Da konsstente numersche Verfahren ncht notwendg stabl sen müssen, werden wr als weteres Gütekrterum de Stabltät von Zetschrttverfahren untersuchen und n den Begrff der Konvergenz enmünden lassen. Es se an deser Stelle betont, daß der Begrff der Stabltät nchts mt dem des Chaos zu tun hat oder etwa dessen Gegentel st. Chaotsche Systeme snd n der Regel stabl. En Zechen des Chaos st de Senstvtät auf Anfangslösungen, wesen dese nur wnzge Unterschede auf, dann verhalten sch de Lösungen chaotscher Systeme zu späteren Zetpunkten vollkommen anders. Des st n stablen Systemen kenesfalls ausgeschlossen, de Lösungen entfernen sch her ledglch ncht abrupt vonenander. 29

30 30 KAPITEL 3. STABILITÄT K K L A Abbldung 3.: Stabltät turbulenter Strömungen. De Anfangswerte unterscheden sch um den Wert ff. Unabhängg davon bleben de Fluktuatonen m Intervall ffl. 3. Stetge Abhänggket von den Engangsdaten De Stabltät enes numerschen Verfahrens st eng mt der Frage verbunden, ob de Egenschaft der stetgen Abhänggket von den Engangsdaten bem Übergang vom kontnuerlchen auf das dskrete Problem erhalten blebt. J 3.. Stetge Abhänggket bem kontnuerlchen Problem Ene der wchtgsten Egenschaften der Lösungen der allgemenen Evolutonsglechung st hre stetge Abhänggket von den Engangsdaten. Umgangssprachlch bedeutet des, daß de Lösungen n hrem zetlchen Verhalten kene abrupten Änderungen erfahren, se also der Anfangslösung umso ähnlcher snd, desto näher man sch am Anfangszetpunkt befndet. Setzen wr zur Abkürzung M (t) =ke ta k (3.) so folgt für de Lösungen der homogenen Evolutonsglechung de Abschätzung ku(t)k = ke ta u 0 k»ke ta kku 0 k)kuk»m ku 0 k Zu jedem belebgen Zetpunkt st de Norm der Lösung durch den Faktor M (t) mt der Norm der Anfangslösung verbunden. Deser Faktor st ene stetge Funkton der Zet t, ändert sch also ebenfalls nemals abrupt. Somt kann sch de Lösung m Laufe der Zet zwar belebg wet von der Anfangslösung entfernen und rgendwann vollkommen anders aussehen, dese Änderung gescheht aber stetg und ncht aus heterem Hmmel. Wr wollen nun enen wchtgen Spezalfall untersuchen, der n der Strömungsmechank sehr oft vorkommt, obwohl sene Voraussetzungen doch sehr enschränkend zu sen schenen.

31 3.. STETIGE ABHÄNGIGKEIT VON DEN EINGANGSDATEN 3 Satz: Falls der Operator A lnear st und nur Egenwerte mt nchtnegatvem Realtel bestzt und de zugehörgen Egenvektoren ene Orthonormalbass des Lösungsraumes blden, glt M = ke ta k» bzw ku(t)k»ku 0 k Da de Norm bsher ncht spezfzert wurde, glt der Satz für jede Operatornorm. Nehmen wr her z.b. de Maxmumnorm auf enem Intervall kuk = max ju(x)j x2[a;b] dann besagt der Satz, daß de Extremwerte der Lösung m Laufe der Zet ne größer werden, de Lösungsfunkton also mmer n den anfänglchen Schranken blebt. Bewes: Se (ff ) 2IN de Orthonormalbass des Lösungsraumes. De Anfangswerte lassen sch dann als darstellen. Somt folgt... und da A k ff = k ff... u 0 = X =0 ke ta u 0 k 2 = k P k=0 P = k (u 0 ;ff )ff ;k=0 ( ta) k k! ( ta) k k! P =0 (u 0 ;ff )ff k 2 (u 0 ;ff )ff k 2 P ke ta u 0 k 2 = k ( t ) k (u k! 0 ;ff )ff k 2 ;k=0 P = k e t (u 0 ;ff )ff k 2» = = P =0 =0 P P =0 =0 ke t (u 0 ;ff )ff k 2 je t (u 0 ;ff )j 2 je t j2 (u 0 ;ff ) 2... und da je z j = e Re(z) für z 2 IC = P =0 e 2t (u 0 ;ff ) 2... und da e 2t», wel 2t» ln = 0, denn de Zet t st größer Null und de Egenwerte waren laut Voraussetzung größer Null, folgt

32 32 KAPITEL 3. STABILITÄT bzw. ke ta u 0 k 2» X =0 (u 0 ;ff ) 2 ku(t)k»ku 0 k womt de Behauptung folgt. Hat der Operator A der homogenen Evolutonsglechung nur postve Egenwerte, so st de Wrkung der Evolutonsglechung n gewsser Form dämpfend, denn de Norm der Lösung nmmt mt der Zet mmer mehr ab. Wr betrachten nun Abschätzungen für de nhomogene Evolutonsglechung. Mt der Abkürzung M 2 = max ke (t t0)a k (3.2) 0»t 0»t glt für de Lösung der nhomogenen Evolutonsglechung de Abschätzung: R t ku(t)k» ke ta u 0 k + k e (t t0 )A f (t 0 )dt 0 k 0 Rt» M ku 0 k + M 2 kf (t 0 )kdt 0 Und schleßlch folgt für de nchtlneare Form: ku(t)k»m ku 0 k + M 2 Z t 0 kf (t 0 )kdt 0 + M 2 Z t kb(u(t 0 ))kdt 0 : Stetge Abhänggket bem dskretserten Problem De stetge Abhänggket der kontnuerlchen Lösung von den Engangsdaten hängt be der allgemenen Evolutonsglechung mt der Erfüllung der Abschätzung ku(t)k»m ku(t =0)k + M 2 zusammen. Somt können wr von der zetlch dskretserten Lösung ku n+ k»m ku 0 k + M 2 t Z t 0 Xn+ k=0 kf (t)kdt (3.3) kb(t k )k (3.4) verlangen. Dese Bedngung garantert zudem de Stabltät des Zetschrttverfahrens.

33 3.2. DER VERFAHRENSOPERATOR Der Verfahrensoperator Enschrttverfahren lassen sch mt der Operatorenschrebwese auf de folgende Form brngen: u n+ = Tu n + ff (3.5) Dabe wrd T auch Verfahrensoperator genannt. Schrebt man das Crank-Ncolson-Verfahren m Rahmen der Operatorentheore als (I + ta)u n+ =(I ( ) ta)u n ; dann seht man lecht, daß dem Eulerverfahren ( =0) dem mplzten Verfahren ( =) und dem Crank-Ncolson-Verfahren T = I ta; T =(I + ta) als Verfahrensoperatoren zugeordnet snd. T =(I + ta) (I ( ) ta) Geht man sukzessve von den Anfangsbedngungen bs zum Zetschrtt n +, so erhält das Verfahren de Form u n+ = T n+ u 0 + En Verglech mt der Stetgketsbedngung lefert de Stabltätsbedngung nx k=0 T k ff (3.6) kt n+ k»m (3.7) Ist M», so st dese Bedngung erfüllt, wenn kt k < : (3.8) st. Falls M und kt k >, dann st de Anzahl der Zetschrtte begrenzt, ab enem gewssen Zetschrtt wäre das Verfahren nstabl. Stabltät bedeutet dann, daß de Wrkung des Verfahrensoperators ncht unbeschränkt ausartet, sondern de Lösung n enem gewssen Snne kontraherend st. Um m folgenden Stabltätsanalysen durchzuführen, benötgt man noch zwe wesentlche Sätze. Der erste st der Form nach schon aus der Algebra bekannt. Satz: Neumannsche Rehe. Se A en beschränkter lnearer Operator mt kak < und I der Identtätsoperator. Dann exstert der folgende Operator (I A) = X k=0 A k : (3.9)