Die Maxwell'sche Geschwindigkeitsverteilung von Gasen

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1 HTBLA Neufelen Die Maxwell'sche Geschwinigkeitsveteilung Seite n Pete Fische pe.fische@atn.nu Die Maxwell'sche Geschwinigkeitsveteilung n Gasen Mathematische / Fachliche Inhalte in Stichwoten: Exponentialfunktion, Wahscheinlichkeitsichte (-funktion), Veteilungsfunktion, Kuvenuntesuchung; Gauss'sche Nomalveteilungsfunktion Kuzzusammenfassung Untesuchung e Maxwellschen Geschwinigkeitsveteilung; Einfluss e Masse un e Tempeatu auf ie Veteilung un insbesonee ie Lage es Maximums. Es wi e elative Anteil jene Gasmoleküle beechnet, welche eine Geschwinigkeit innehalb eines bestimmten Intevalls besitzen. Die Dichtefunktion wi mit e Gauss'schen Nomalveteilungsfunktion veglichen. Lehplanbezug (bzw. Gegenstan / Abteilung / Jahgang): Angewante Mathematik un Angewante Physik, alle Abteilungen, 3. Jahgang Mathca-Vesion: Mathca 2 Inhaltsübesicht Die Maxwell sche (Maxwell-Boltzmann sche) Geschwinigkeitsveteilung n Gasen Wie hängt ie Maxwellsche Geschwinigkeitsveteilung n en Paameten m un T ab? Fü welche Geschwinigkeit ist ie Veteilungsfunktion maximal? Welche elative Anteil n Gasmolekülen befinet sich in einem bestimmten Geschwinigkeitsintevall? Pete Fische 22

2 HTBLA Neufelen Die Maxwell'sche Geschwinigkeitsveteilung Seite 2 n Die Maxwell'sche (Maxwell-Boltzmann'sche) Geschwinigkeitsveteilung n Gasen Wi sin auf e Eobefläche stänig n meh oe wenige Gasteilchen umgeben, nehmen iese abe wegen ihe geingen Masse - falls sie nicht geae uch ihen Duft, ihe Tempeatu oe ihe Feuchtigkeit auf sich aufmeksam machen - im Allgemeinen kaum bewußt wah. Gehen alleings Wassemoleküle m flüssigen in en gasfömigen Zustan übe, so ist ies allen ein aus em (Koch-) Alltag vetautes Bil, welches schon vemuten läßt, ass Gase eine bestimmte Geschwinigkeitsveteilung besitzen. Auf Gun e Beeutung e Wämelehe fü unseen Alltag sei ganz kuz Einiges zusammengestellt, was zum Vestännis e Beeutung e Maxwell'schen Geschwinigkeitsveteilung beitagen soll. Wäme(enegie) ist ie kinetische Enegie (Bewegungsenegie) e ungeoneten Molekülbewegung. Da sich ie kinetische Enegie als E kin = mv 2 /2 egibt, wi kla, ass ie Geschwinigkeit v e Moleküle n funamentale Beeutung ist. Die (absolute) Tempeatu T ist somit nu ein Maß fü ie mittlee kinetische Enegie W mittel = mv 2 mittel /2 e Moleküle. Wenn man nu Tanslationsenegie betachtet, egibt sich: W mittel, tans = mv 2 mittel /2 = 3kT/2. Dies ist ie allgemeinste un llstänigste Definition e absoluten Tempeatu in Kelvin, wobei m ie Masse, v 2 mittel ie quaatisch gemittelte Geschwinigkeit e Moleküle un ie Konstante k ie Boltzmann-Konstante ist. Fomt man iese Definitionsgleichung nach T um, also T = mv 2 mittel /3k, so folgt zunächst, ass es einen absoluten Tempeatu-Nullpunkt gibt, a e Ausuck auf e echten Seite iese Gleichung (als Poukt positive Gößen) stets göße oe gleich Null ist. Fomt man ie Definitionsgleichung nach v 2 mittel um, so ehält man fü Ausstömgänge ins Vakuum (beispielsweise in e Raketen- un Tubinentechnik) als Wuzel ieses quaatischen Mittelwetes ie themische Geschwinigkeit als v th = (3kT/m) /2. Wenn man ie Zusammensetzung eines Gases kennt un ie elative Molekülmasse µ (m = µm H mit m H = Masse es H-Atoms) angeben kann, folgt somit fü ie themische Geschwinigkeit v th = (3kT/µm H ) /2. Fü Luft (mittlees µ = 29) folgt bei 2 C eine Molekülgeschwinigkeit n un 5 m/s. Das soll sogleich übepüft ween. Auf ie Angabe n Einheiten wi - abgesehen n en Kommentaen - vezichtet, a stets ie SI-Guneinheiten (m, kg, s, K un mol) vewenet ween. De Vollstänigkeit halbe sei angefüht, ass mit en beien Einheiten Ampee (A) un Canela (c) as System e sieben SI-Guneinheiten beeits komplett ist. T := Die Tempeatu betage 293,5 Kelvin, also 2 Ga Celsius. k := Die Boltzmannkonstante in Joule po Kelvin. m := Die Masse eines Wassestoffatoms in Kilogamm. µ := 29 Die elative Molekülmasse n Luft betägt wegen e etwa 8% Stickstoff N 2 un e 2 vth := % Sauestoff O 2 un 29. 3k T µ m vth = Die vespochenen 5 m/s ween geliefet. Auch e gaphische Velauf e Ausstömgeschwinigkeit in Vakuum als Funktion e absoluten Tempeatu in Kelvin veient eine gesonete Bescheibung. T_ :=,... 2 Pete Fische 22

3 HTBLA Neufelen Die Maxwell'sche Geschwinigkeitsveteilung Seite 3 n vth( := 3k T µ m vth( T_ ) Schön ekennt man en Anstieg e Wuzelfunktion; Da in e Raketentechnik ie Tempeatu alleings nach oben uch en Schmelzpunkt es Wanmateials beschänkt ist, egibt sich ie Foeung nach möglichst leichten Gasen, wie e nachstehene Gaph belegt. 2 T_ Die Ausstömgeschwinigkeit ins Vakuum bei konstante Tempeatu als Funktion e elativen Masse µ. µ :=,... T := vth ( µ ) := 3k T µ m 4 vth ( µ ) 2 Man ekennt ie Beeutung n leichten Gasen, um hohe Ausstömgeschwinigkeiten zu eeichen. Die leichtesten Poukte eine nomalen chemischen Reaktion sin HF un H 2, weshalb beispielsweise e "Space Shuttle" mit Knallgas betieben wi. 5 µ Die gesamte Heleitung e Maxwellschen Geschwinigkeitsveteilung wüe zu umfangeich ausfallen. Ich af auf as Lehbuch n Gethsen un Vogel Physik (7. Auflage) hinweisen, wo man ab Seite 27 eine Ableitung finet. Dabei geht man n e bekannten baometischen Höhenfomel aus; man betachtet ein Mol un echnet mittels e Zustansgleichung auf molekulae Gößen um. Da ie Teilchenichte n bei konstante Tempeatu zum Duck popotional ist, kann man auch ie baometische Höhenfomel fü ie Teilchenichte anscheiben. p :=.3 h:= ρ g h ρ := Diese Gößen müssen efiniet ween, um ie baometische Höhenfomel angeben zu können. ph ( ) := p e p p V n := nt ( ) := n e = R T = N A k m g h kt T Die Zustansgleichung fü ein Mol eines iealen Gases. Die Teilchenzahlichte in Abhängigkeit n e absoluten Tempeatu. Esetzt man en Duck p im Nenne es Exponenten e baometischen Höhenfomel, so egibt sich im Exponenten beeits e Ausuck mgh - also ie potentielle Enegie. Da in einem iealen Gas ein Molekül nu ie kinetische Enegie mv 2 /2 besitzt, egibt sich fü ie Maxwell-Boltzmann'sche Veteilung folgene Ausuck. mv 2 2kT fv ( ) v = C e v Pete Fische 22

4 HTBLA Neufelen Die Maxwell'sche Geschwinigkeitsveteilung Seite 4 n In iese Fom besagt ie Veteilung, ass man bei höheen Enegien exponentiell wenige Moleküle antifft. In e Göße C steckt noch as statistische Gewicht e einzelnen v-intevalle. Beenkt man nun noch, ass as Intevall [v, v + v] es Geschwinigkeitsbetages uch eine Kugelschale m Volumen 4 πv 2 v epäsentiet wi, so ehält man ie nachfolgene Gleichung. mv 2 fv ( ) v c 4π v 2 2kT = e v Die Konstante c egibt sich aus e Nomieungsbeingung, as heisst, ass as uneigentliche Integal übe ie Veteilungsfunktion n Null bis Unenlich Eins egeben muss, a jees Teilchen igeneinen Wet azwischen mit Gewißheit annimmt. Damit ehält man fü ie Veteilungsfunktion folgenen Ausuck. fm (, v, := 2 π 3 2 m v 2 e k T m v 2 2k T Die Maxwell'sche Geschwinigkeitsveteilung ist eine Funktion e Geschwinigkeit v mit en Paameten m un T un as bestimmte Integal zwischen en Geschwinigkeiten v un v 2 gibt an, welche elative Anteil e betachteten Gasmoleküle geae eine Geschwinigkeit zwischen iesen beien Genzen besitzt. T := 3 Die Tempeatu betage 3 Kelvin, also un 26,85 Ga Celsius. :=,.. 75 Um im Folgenen Gleichungen nach e Vaiablen v symbolisch auflösen zu können, wi ie Laufvaiable gewählt, a Mathca 2 iese amit als Vekto ientifiziet. Die oben zitiete Nomietheit e Geschwinigkeitsveteilung, welche e Fläche n eine Einheit zwischen e Kuve un e Abszisse entspicht, kann uch as folgene uneigentliche Integal nachgewiesen ween. fm (, v, v = fm (,, T2 ). 4 Die Maxwell'sche Geschwinigkeitsveteilung zeigt fü ie gewählten Paamete, also ein ieales Gas mit e Molekülmasse n H-Atomen bei Raumtempeatu ein gut ausgepägtes Maximum bei un 22 m/s un einen abfallenen Anteil fü hochenegetische Gasteilchen Im Folgenen soll ie Maxwellveteilung etwas eingehene auf ie Beeutung ihe Paamete untesucht ween. Zuück zu Inhaltsübesicht Pete Fische 22

5 HTBLA Neufelen Die Maxwell'sche Geschwinigkeitsveteilung Seite 5 n. Wie hängt ie Maxwellsche Geschwinigkeitsveteilung n en Paameten m un T ab? Wi halten zuest ie Tempeatu (bei 3 Kelvin) konstant un vaiieen ie Masse e betachteten Gasmoleküle.. fm (,, f2m (,, 5. 4 f4m (,, f6m (,, De nebenstehene Gaph zeigt ie Geschwinigkeitsveteilung fü Gasmoleküle n 4 veschieenen Aten, wobei ie Masse e jeweiligen Gasmoleküle as Doppelte, Viefache bzw. Sechsfache e Masse e esten Gassote betage. Kla ekennt man, ass schweee Gasteilchen bei gleiche Tempeatu eine wesentlich geingee häufigste Geschwinigkeit besitzen, welche auch entspechen "schäfe" ausgepägt ist, as heisst, ass ie Veteilung schmäle ist als bei geingee Masse, was sich auch auf Gun e Nomietheit e Veteilungsfunktion egibt. Nun soll ie Masse konstant gehalten ween un entspechen ie Tempeatu vaiiet ween f2m (,, 4. 4 f2m (,, 2 f2m (,, f2m (,, 8 De nebenstehene Gaph zeigt ie Geschwinigkeitsveteilung fü Gasmoleküle eines bestimmten Gases bei 4 veschieenen Tempeatuen, welche jeweils veoppelt wue. Kla ekennt man, ass ientische Gasteilchen bei höhee Tempeatu eine wesentlich gößee häufigste Geschwinigkeit besitzen un ass ie Veteilung entspechen beite wi, was sich auch auf Gun e Nomietheit e Veteilungsfunktion egibt Zuück zu Inhaltsübesicht 2. Fü welche Geschwinigkeit ist ie Veteilungsfunktion maximal? Die Lösung efolgt übe ie este Ableitungsfunktion; Aus em Gaph folgt beeits ie Existenz eine waagechten Tangente an ie Veteiungsfunktion fü enliche Geschwinigkeiten. fm (, v, v = auflösen, v Da nu positive Geschwinigkeiten in e Paxis n Beeutung sin, ehalten wi un 2227 m/s als häufigste Geschwinigkeit. f2m (, v, v = auflösen, v Das Maximum iese Geschwinigkeitsveteilung liegt bei un 575 m/s. Pete Fische 22

6 HTBLA Neufelen Die Maxwell'sche Geschwinigkeitsveteilung Seite 6 n v f4m (, v, = auflösen, v Das Maximum iese Geschwinigkeitsveteilung liegt bei un 4 m/s. v f6m (, v, v f2m (, v, 2 v f2m (, v, 4 v f2m (, v, 8 = auflösen, v = auflösen, v = auflösen, v = auflösen, v Das Maximum iese Geschwinigkeitsveteilung liegt bei un 99 m/s. Das Maximum iese Geschwinigkeitsveteilung liegt bei un 2227 m/s un stimmt mit em esten übeein, a ie Paamete m un T jeweils als Quotient aufteten. Das Maximum iese Geschwinigkeitsveteilung liegt bei un 35 m/s. Das Maximum iese Geschwinigkeitsveteilung liegt bei un 4454 m/s. Zuück zu Inhaltsübesicht 3. Welche elative Anteil n Gasmolekülen befinet sich in einem bestimmten Geschwinigkeitsintevall? Diese Fage läßt sich seh elegant mit Hilfe e Integalechnung beantwoten un liefet eine wunebae Egänzung oe soga Motivation fü ie Beechnungen mittels kontinuieliche Veteilungsfunktionen wie beispielsweise e Nomalveteilungsfunktion. Einigen SchüleInnen wi sichelich schon e konstante Wuzelfakto aus /π aufgefallen sein, e auch bei e Nomalveteilungsfunktion als Nomieungskonstante auftitt. ( ) Zuest sollen einige ausgesuchte Zahlenwete angegeben ween, be ie Funktion selbst neben e zugehöigen Geschwinigkeitsveteilung gaphisch agestellt wi. := := fm (, v, v 3 4 =.6 =.343 =.696 Eine obee Geschwinigkeitsgenze wi efiniet, um as bestimmte Integal allgemein anscheiben zu können. ( ) = Die Funktion gibt en elativen Anteil jene Gasmoleküle an, welche eine Geschwinigkeit zwischen un Mete po Sekune besitzen. =.982 =.998 Man ekennt, ass bei T = 3 Kelvin un e Masse n Wassestoffatomen 6 % e Gasmoleküle Geschwinigkeiten zwischen un m/s besitzen. Bis 2 m/s sin es beeits 34,3 %; Bis 3 m/s beeits 69,6 % un bei 4 m/s übe 9 Pozent. Eine Geschwinigkeit übe 6 m/s besitzen nu un 2 Pomille e Gasmoleküle, wie as letzte Egebnis zeigt. De elative Anteil nimmt also asant zu un stebt (efinitionsgemäß) gegen. Pete Fische 22

7 HTBLA Neufelen Die Maxwell'sche Geschwinigkeitsveteilung Seite 7 n Seh gut ekennt man en typischen S-fömigen Velauf eine Veteilungsfunktion, welche angibt, wieviel Pozent e Gasmoleküle höchstens ie Geschwinigkeit v besitzen. Zu Begiffsuntescheiung sei aauf hingewiesen, ass ie Funktion f(v,m, eine Wahscheinlichkeitsichtefunktion un (v) eine Veteilungsfunktion im Sinne e Wahscheinlichkeitsechnung astellen. Unte en Physiken ist es abe üblich, bei f(v,m, beeits n e Veteilungsfunktion zu spechen. Möchte man ie Dichtefunktion un ihe Veteilungsfunktion gemeinsam astellen, so empfiehlt sich zuest eine Nomieung e Dichtefunktion uch en Funktionswet an e Stelle e häufigsten Geschwinigkeit. Das soll im Folgenen gezeigt ween. fm (, v, v = auflösen, v f( m, , =.3728 Ein gutes Beispiel fü ie Wahl e angezeigten Dezimalstellen. In e Stanaeinstellung ween nu 3 Dezimalstellen angezeigt, so ass sich. egeben wüe. fm (,, Hie sin also ie nomiete Dichtefunktion un ie Veteilungsfunktion - also ie aufintegiete Dichtefunktione - gemeinsam agestellt. Inteessant sin ie Pozentanteile bei Vielfachen e häufigsten Geschwinigkeit. Das wi im Folgenen beechnet v h := v h 4 v h 2 3v h 4 =. v ( h ) =.428 =.8 =.229 5v h 4 3v h 2 =.627 =.788 Man ekennt beeits hie en Unteschie zu eine symmetischen Dichte- bzw. Veteilungsfunktion, bei e beim Maximum e Wet e Veteilungsfunktion natülich,5 sein muss, wie man es bei e Nomalveteilungsfunktion gewöhnt ist. Auf Gun e Symmetie genügt es, ie Nomalveteilungsfunktion nu fü positive Wete zu tabellieen. Pete Fische 22

8 HTBLA Neufelen Die Maxwell'sche Geschwinigkeitsveteilung Seite 8 n Inteessant ist es nun, ie asymmetische Dichtefunktion n Mawell un Boltzmann mit e symmetischen Dichtefunktion e Nomalveteilung mit en Paameten µ un σ zu vegleichen. Dabei ist µ uch ie häufigste Geschwinigkeit v h fixiet. Fü σ steht e Keativität e SchüleInnen est nichts im Wege. µ := Nv (, µ, σ) := 2 π σ e σ := ( v µ ) 2 2 σ fm (,, Nµ (,, σ) 2. 4 Nµ (,, 8) Man ekennt, ass sich ie Nomalveteilung fü µ = 2227,24 un σ = 8 um as Maximum (fü ieses haben wi uns uch µ entschieen) beeits seh gut an ie Maxwell-Boltzmann-Veteilung anschmiegt. Natülich können ie Ungleichheiten wegen e Asymmetie nie ganz ausgeglichen ween un e steilee Anstieg e Maxwell-Veteilung liegt im Allgemeinen unte e Nomalveteilung wogegen e langsamee Abfall fü höhee Geschwinigkeiten stets obehalb e Nomalveteilung liegen wi. Die Höhe e Nomalveteilung kann man uch eine gößee Stanaabweichung absenken un umgekeht. Auch ies ient zu guten Veanschaulichung e Nomieungsbeingung also e konstanten Gesamtfläche. In eine obigen Übelegung ist beeits e Pozentsatz n Molekülen mit eine Geschwinigkeit göße als eine obee Genze beechnet woen. Un zwa haben wi uns wieeum e Nomieungsbeingung beient, inem wi n Eins en Funktionswet n () abgezogen haben. Auf Gun e Beeutung soll as nochmals explizit angefüht ween, un wi efinieen ahe ie Funktion g(), welche en Pozentanteil jene Moleküle angibt, welche ein gößee Geschwinigkeit als besitzen. g ( ) := ( ) Diese Funktion kann nun beispielsweise folgene Fagen beantwoten:. Wie viele Gasmoleküle haben genug kinetische Enegie, um eine enotheme chemische Rekation auszulöen? 2. Wie viele Gasmoleküle haben genug kinetische Enegie, um einem aneen Teilchen ein Elekton zu enteissen, also zu eine Stoßionisation zu fühen? 3. Wie viele Gasmoleküle haben genug kinetische Enegie, um ein anees Teilchen zu Stahlung anzuegen, also zu eine Stoßanegung zu fühen? 4. Wie viele Gasmoleküle haben genug kinetische Enegie, um em Schweefel e Ee oe em eines aneen Planeten zu entweichen? Die Funktion g wi gaphisch agestellt un fü einige Zahlenwete übepüft. g ( ) Die Funktion beginnt efinitionsgemäß mit em Funktionswet, a alle Moleküle eine positive Geschwinigkeit besitzen. g( ) =.572 ( ) =.428 Natülich egänzen sich ie beien Funktionen g un stets auf Gun ihe Definition zu konstanten Einsfunktion. g( 5) =.8 Nu,8 % e Moleküle besitzen eine Geschwinigkeit n meh als 5 m/s. Pete Fische 22

9 HTBLA Neufelen Die Maxwell'sche Geschwinigkeitsveteilung Seite 9 n Zum Vegleich sin im folgenen Gaph ie nomiete Dichtefunktion, ie Funktion un ie Funktion g in Abhängigkeit n e Geschwinigkeit angegeben. Dabei wue wiee eine Tempeatu n 3 Kelvin un ie Masse e Wassestoffatome vewenet. g ( ) fm (,, Da ie Abweichung e Maxwell-Boltzmann-Veteilung n e symmetischen Nomalveteilung nicht allzu goß ist, ekennt man mit feiem Auge nicht, ass ie Lage es Schnittpunkts n g un nicht mit em Maximum e Veteilungsfunktion zusammenfällt. Dahe ist im nachfolgenen Gaph ie Paallele zu y-achse uch as Maximum eingetagen. Es sei aauf hingewiesen, ass ie Agumente fü jee Funktion einzeln angegeben ween müssen g ( ) fm (,,.3728 g ( ).5 Auf Gun es langsameen exponentiellen Abfalls ist ie häufigste Geschwinigkeit links m Schnittpunkt e Funktionen g un. Das heisst, ass est bei eine Geschwinigkeit obehalb e häufigsten (hie bei 2227,24 m/s) 5 Pozent e Gasmoleküle eine Geschwinigkeit zwischen Null un iesem Wet besitzen. Da sich ie Gleichung (v) =.5 leie nicht auflösen läßt, kann man sich uch Pobieen heantasten. Man kann hie as Pinzip e Intevallschachtelung wieeholen ,,, ( 24) =.492 ( 25) =.528 ( 242) =.499 ( 245) =.5 ( 2425) =.5 ( 2422) =.5 Nach kuzem Pobieen ekennt man, ass 5 Pozent e Gasmoleküle eine Geschwinigkeit n höchstens 2422 m/s besitzen =.87 Das heisst, ass ie Asymmetie e Veteilungsfunktion fü 3 Kelvin un ie Wassestoffatommasse eine Veschiebung um 8,7% aus em Maximum liefet. Man kann noch püfen, wie sich ie Asymmetie aus en Paameten m un T egibt.. Einfluss e Molekülmasse auf ie Asymmetie ( ) := f2m (, v, 4 v Pete Fische 22

10 HTBLA Neufelen Die Maxwell'sche Geschwinigkeitsveteilung Seite n f2m (,, ,, f( 2m, , =.53 ( 7) =. ( 75) =.8 ( 72) =.3 ( 75) =.2 ( 73) = =.88 Die Veschiebung betägt nun 8,8 %. 2. Einfluss e Tempeatu auf ie Asymmetie ( ) := f2m (, v, 2 v f2m (,, ,, f( 2m, , 2 =.373 ( 2422) = =.87 Da - wie oben beeits ewähnt - in ie Veteilung as Vehältnis n m/t eingeht, liefet iese Beechnung wie oben ie 8,7 % Abweichung. Die Veschiebung betägt nun 8,8 %. Zuück zu Inhaltsübesicht Pete Fische 22