Elektromagnetische Feldtheorie

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1 Harald Klingbeil Elektromagnetische Feldtheorie Ein Lehr-und Übungsbuch 2., überarbeitete und erweiterte Auflage STUDIUM VIEWEG+ TEUBNER

2 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen Mathematische Grundlagen Ausdrücke aus der Vektoralgebra Differentialoperatoren Gradient Divergenz Rotation Linearität der Differentialoperatoren Mehrfache Anwendung von Differentialopei'atoi'en Transformation von Dift'erentialoperatoren Gradient in Kugelkoordinaten Divergenz in Kiigelkoordinaten Rotation in Kugelkoordinaten Laplaceoperator in Kiigelkoordinaten Gefahren bei der Anwendung des Nablaoperators Integrale Kurvenintegrale Umfaufintegrale Flächenintegrale Raumintegrale Integralsätze Gaufi'scher Integralsatz Stokes'scher Integralsatz Erste Green'sehe Integralformel Zweite Green'sche Integralformel Distributionen Separationsansätze Feldtheoretische Grundlagen Differentialforni der Maxwellgleichungen Integralform der Maxwellgleichungen Spannung und Strom Stetigkeitsbedingungen Stetigkeit der elektrischen Feldstärke Stetigkeit der elektrischen Verschiebungsdichte Stetigkeit der magnetischen Erregung 45

3 X INHALTSVERZEICHNIS Stetigkeit der magnetischen Flussdichte Stetigkeit der Stromdichte Stetigkeitsbedingungen in vektorieller Form Elektrisch und magnetisch ideal leitende Wände Elektrisch ideal leitende Wände Magnetisch ideal leitende Wände Komplexe Form der Maxwellgleichungen Energie." Mechanische Einflüsse elektromagnetischer Felder Lösungsmethodeu und Vertiefung der Grundlagen Potentialansätze Elektrostatik Stationäres Strömungsfeld Magnetostatik Wellengleichung Skineffekt Raumladungsdichte in metallischen Leitern Verallgemeinerung ideal leitender Wände Harmonisch zeitveränderliche Felder Statische Felder Leiteroberflächen im stationären Strömungsfeld Längshoinogene Wellenleiter Power-Loss-Methode Bezüge zur Optik Elektrostatisches Potential für eine beliebige Ladungsverteilung Symmetriebetrachtung bei der Punktladimg Feld einer Punktladung Potential einer Punktladung Potential einer beliebigen Ladungsverteilung Delta-Distribution und Fundamentallösung der Poissongleichung Lösung der Wellengleichung Eindimensionale homogene Wellengleichung Dreidimensionale homogene Wellengleichung Dreidimensionale inhomogene Wellengleichung Green'sche Funktionen Dreidimensionaler Fall Zweidimensionaler Fall Beispiel Magnetischer Multipol Inverse Operatoren ' Inverser Laplaceoperator Inverser Operator für die Divergenz Inverser Operator für den Gradienten Inverser Operator für die Rotation Olim'scher Widerstand, Kapazität und Induktivität Kapazität 118

4 INHALTSVERZEICHNIS XI Ohm'scher Widerstand Induktivität Definition von ohmschem Widerstand, Kapazität und Induktivität mit Hilfe der Energie Kapazität Ohin'scher Widerstand Induktivität Kapazitätsbelag, Induktivitätsbelag und Widerstandsbelag Energieausdrücke für komplexe Amplituden Anwendungsbeispiel: Bandleitung Potentialansatz Stromverteilung für hohe Frequenzen Bezug zur Power-Loss-Methode Koordinatentransformationen und Wellenleiter Wahl des Koordinatensystems Kartesische Koordinaten Kugelkoordinaten Vergleich der Koordinatensysteme Anwendungsbeispiel Berechnung des Potentials Widerstandsberechnung Konforme Abbildungen Eigenschaften Laplaceoperator und Laplacegleichung Elektrisches Feld Anwendungsbeispiel Berechnung des Potentials Berechnung der elektrischen Feldstärke Stromstärke, Spannung und Widerstand Anwendungsbeispiel Schwarz-Christoffel-Transformation ~^ Transformationsvorschrift Anwendungsbeispiel: Koplanare Zweibandleitung Dualität zwischen magnetischem und elektrischem Feld Leitungstheorie Feldtheoretische Basis der Leitungstheorie Wellenwiderstände gebräuchlicher Leitungen Zweidrahtleitung Koaxialkabel Bandleitung und koplanare Leitungen Dämpfung der Bandleitung Näherung für hohe Frequenzen Näherung für niedrige Frequenzen 197

5 XII INHALTSVERZEICHNIS 3 Tensoranalysis Vektoren Auswirkungen der Summa.tionskonvention Gradient Weitere Abkürzungen Anwendungsbeispiele 213 '3.5.1 Elektrisches Feld Gradient in Kiigelkoordinaten Gradient in Zylinderkoordinaten Differentiationsregeln Produktregel Kettenregel Divergenz Christoffelsymbol Praktische Berechnung der Christoffelsymbole Divergenz in Kiigelkoordinaten Divergenz in Zylinderkoordinaten Rotation Rotation in Kugelkoordinaten Rotation in Zylinderkoordinaten Vereinfachte Berechnung der Divergenz Laplaceoperator Laplaceoperator in Kugelkoordinaten Laplaceoperator in Zylinderkoordiiiateu Raumintegrale Transformationseigenschaften Transfonnation der Basisvektoren Transformation der Komponenten eines Vektors Transformation der Metrikkoeffizienten Kovariante Ableitung von Vektorkomponenten Kovariante Ableitung eines Skalars Transformationsverhalten Transforniationsverhalten des Christoffelsymbols ^ Transfomiatiousverhalten der partiellen Ableitung Transformationsverhalten der kovarianten Ableitung Gradient; mit Hilfe der kovarianten Ableitung Divergenz mit Hilfe der kovarianten Ableitung Rotation mit Hilfe der kovarianten Ableitung Invarianz Invariante Darstellung von Produkten Skalarprodukt Vektorprodukt Definition von Tensorkoinponenten Heben und Senken von Indizes Äquivalenz von Hin- und Rücktransformation Heben und Senken von Indizes bei Transformationen 264

6 INHALTSVERZEICHNIS XIII 3.22 Tensoren nullter Stufe Spezielle Tensoren Metriktensor e' M als Tensor dritter Stufe ' Gradient als Tensor erster Stufe Divergenz als Tensor nullter Stufe Rotation als Tensor erster Stufe Tensorgleichungen Invarianz von Tensorgleichungen Heben und Senken von Indizes in Tensorgleichungen Kovariante Ableitung von Tensoren zweiter Stufe Kovariante Ableitung des Metriktensors Kovariante Ableitung von Tensoren höherer Stufe Produktregeln für kovariante Ableitungen Ableitung des vollständig antisymmetrischen Tensors Tensorielles Produkt Verjüngendes Produkt Tensorgleichungen Nablaoperator Divergenz mit Hilfe des Nablaoperators Gradient mit Hilfe des Nablaoperators Rotation mit Hilfe des Nablaoperators Besonderheiten des Nablaoperators Anwendung des Nablaoperators auf Tensoren Divergenz von Tensoren zweiter und höherer Stufe Gradient von Tensoren erster und höherer Stufe Rotation von Tensoren höherer Stufe Mehrfache Anwendung von Differentialoperatoreii Der Operator grad, div Der Operator Div Grad Der Operator rot rot Anwendung von Differentialoperatoren auf Produkte Rotation eines Vektorproduktes > Divergenz eines Vektorproduktes Gradient eines Skalarproduktes Orthogonale Transformation Drehmatrix Orthogonale Matrix Abweichendes Transformationsverhalten Mathematischer Ausblick Lorentztransforrnation und Relativitätstheorie Spezielle Lorentztraiisformation Drehungen und Verschiebungen Zeitdilatation Längenkontraktion 341

7 XIV INHALTSVERZEICHNIS 4.5 Dopplereffekt Spezialfall Allgemeiner Fall, ;6 Transformation der Geschwindigkeit ' Transfonnation der Beschleunigung Vierdimensionale Form der Maxwell'schen Gleichungen Maxwellgleichungen für das Vektorpotential und das skalare Potential Maxwellgleichungen für das elektrische und das magnetische Feld Transformation des elektromagnetischen Feldes Rücktransformation Transfonnation von Ladung und Stromdichte Beispiel Plattenkondensator/Bandleitung Dielektrische und permeable Medien Gleichförmig bewegte Ladung Gesetz von Biot-Savart Herleitimg Anwendungsbeispiel: Regelmäßiges n-eck als Leiterschleife Vergleich mit bewegter Ladung Induktionsgesetz für bewegte Körper Leiterschleife im Magnetfeld Unipolare Induktion Induktion bei Materie-abhängiger Geschwindigkeit Leiterschleife im Magnetfeld Unipolare Induktion Magnetischer Fluss und Induktion In 2-Richtung bewegte, rechteckige Integrationsfiäclie Gleichförmig bewegte Integrationsfläche beliebiger Form Zeitveränderliche Integrationsfläche Leiterschleife im Magnetfeld Unipolare Induktion Anwendungsbeispiel Fazit Bewegte Körper..^ Kraft und bewegte Masse Beispiel Transformationsgesetz für die Kraft Transformationsgesetz für den Impuls Vierervektor des Ortes Vierervektor der Geschwindigkeit, Eigenzeit Viererimpuls Äquivalenz von Masse und Energie Viererbeschleunigung und Viererkraft Lorentzkraft und Viererkraft Lorentz-Faktoren Vierdimensionale Potentialtheorie Lösung der Wellengleichung 450

8 INHALTSVERZEICHNIS XV Raumintegral über die Viererstromdichte einer Punktladung Vierdimensionales Potential einer bewegten Punktladung Magnetisches Feld Elektrisches Feld Schwingende Punktladiingen und Hertz'sche Dipole Schwingende Punktladung in Kugelkoordinaten Verschiebung des Koordinatensystems Elektrisches Feld Magnetisches Feld Vergleich mit dem Hertz'schen Dipol Strahlungsverluste Larmor'sche Formel Lienard'sche Formel Bewegungsgleichung Transformation vom Ruhessystem zum bewegten Bezugssystem Lösung der vierdimeusionalen Poissougleichuiig Skalares Potential Vektorpotential 491 t Anwendung auf die Maxwellgleichungen Anwendung des R,esiduensatzes Ausblick Paradoxa Definition der imaginären Einheit Hering'sches Experiment Geschwindigkeit als Konstante Geschwindigkeit als Eigenschaft des Raumpunktes Uhrenparadoxon Erste Hypothese Schlagartige Richtungsumkehr Zweite Hypothese Fazit Anhang Tangentenvektor und Basisvektoren Spatprodukt dreier Vektoren Flächenintegrale Kontinuitätsgleichung Differentiation von Parameterintegralen Quellen und Wirbel Konzentrierte Bauelemente in der Feldtheorie Energie, Spannung und Ladung im elektrostatischen Feld Verlustleistung im stationären Strömungsfeld Energie, magnetischer Fluss und Strom in der Magnetostatik Umkehrfunktion einer analytischen Funktion Transformation der Basisvektoren 531

9 XVI INHALTSVERZEICHNIS 6.10 Verschiedene konforme Abbildungen Potenzfunktion Summe zweier analytischer Funktionen Produkt zweier analytischer Funktionen Verkettung zweier analytischer Funktionen Polynome und rationale Funktionen Elliptische Integrale: Schwarz-Christoffel-Transformation Leitungsparanieter Suinmationskonvention Vollständig antisymmetrischer Tensor und Metriktensor Kovariante Ableitung als Tensor Heben und Senken von Indizes bei der kovarianten Ableitung Transformationsverhalten der kovarianten Ableitung Vertauschen der Differentiationsreihenfolge Divergenz als Tensor Gradient als Tensor Invarianz des A'bstandes bei orthogonaler Transformation Ableitung von Determinanten Vollst, antisyinmetrischer Tensor im u-dimensionalen Raum Christoffelsymbole und Determinante des Metiktensors Duale Tensoren Banach'scher Fixpunktsatz Vierdimensionale Kugeln Mehrdimensionale Kugeln Lösung der Übungsaufgaben Literatur und Tabellen 691