Vollständige Kurvendiskussion mit Erläuterungen Aufgabe: Gegeben ist die Funktion =³ 3 +. Führen Sie eine vollständige Kurvendiskussion durch. 1.) Ableitungen: =3 6+1 =6 6 =6 (relevant für die Steigung der Funktion) (relevant für das Kurvenverhalten der Funktion) 2.) Einfache Symmetrie: Wir unterscheiden nur zwischen einer Symmetrie zur y-achse (alle Exponenten der Funktion sind gerade) und einer einfachen Punktsymmetrie zum Ursprung (alle Exponenten sind ungerade & der y-achsenabschnitt ist 0). In der Funktion f(x) treten sowohl gerade als auch ungerade Exponenten auf und damit hat die Funktion keine einfache Symmetrie. 3.) Definitons-/Wertebereich: Definitionsbereich: Welche x-werte dürfen in die Funktion eingesetzt werden? Es dürfen alle reelle Zahlen eingesetzt werden, also gilt: D f = R Wertemenge: Welche Funktionswerte kann die Funktion f annehmen? Die Funktion f kann den Wert aller reeller Zahlen annehmen, also gilt: W f = R. 4.) Grenzwerte: Da D f = R prüfen wir nur die Grenzwerte an den beiden Rändern. Für die Grenzwerte ist nur der Term mit dem größten Exponenten relevant, also x³. Für große positive Zahlen wird der Wert beliebig groß, für kleine also negative Zahlen wird dieser Wert beliebig klein. lim = = lim 5.) Nullstellen: Die Nullstellen sind die Stellen, an denen die Funktion die x-achse schneidet. 3 + 3+1 =>,=1,5±!1,5 1=1,5±!1,25 2,62 0,38 % 0 0 ; % 0,38 0 ; % 2,62 0
6.) Extremstellen: Die notwendige Bedingung für Extremstellen ist Die Funktion besitzt an der Extremstelle also eine waagrechte Tangente. Wir müssen jedoch mit dem Vorzeichenwechsel (oder der zweiten Ableitung) nachweisen, dass es sich tatsächlich um eine Extremstelle handelt. Es könnte auch ein Sattelpunkt sein. 3² 6+1 3 2+ 1 3, =1±*1 1 3 =1± * 2 3 1,82 0,18 Wir haben also an den beiden Stellen x 1 und x 2 potentielle Extremstellen. Wir prüfen nun mit Hilfe der zweiten Ableitung auf Hoch-/Tiefpunkte. 1,82=6 1,82 6=4,92>0 =>./ 1,82 1,82 0123./1,82 2,09 0,18=6 0,18 6= 4,92<0 =>5/ 0,18 0,18 0123 5/0,18 2,09 Alternativ könnten wir auch auf Vorzeichenwechsel prüfen: An den Stellen x 1 =1,82 und x 2,18 beträgt die Steigung 0, der Graph hat also hier jeweils eine waagrechte Tangente. Wir untersuchen nun wie die Steigung vor diesen Stellen, bzw. zwischen diesen beiden Stellen aussieht: 0=3 0 6 0+1=1>0 Also steigt die Funktion Intervall ] ;0,18[ 1=3 1 6 1+1= 2<0 Also fällt die Funktion Intervall ]0,18;1,82[ Tipp: wähle jeweils einen beliebigen Punkt aus dem Intervall aus 2=3 2 6 2+1=7>0 Also steigt die Funktion Intervall ]1,82; [ Tabellarisch halten wir dies nun fest: An den Extremstellen haben wir also einen Vorzeichenwechsel. Am Hochpunkt HP haben wir einen Vorzeichenwechsel von + nach und am Tiefpunkt TP von nach +.
7.) Wendestellen: Die notwendige Bedingung einer Wendestelle ist: 6 6 +6 6=6 6 =1 Wir haben also an der Stelle x = 1 eine mögliche Wendestelle. Wir prüfen mit Hillfe der dritten Ableitung, ob es sich tatsächlich um eine Wendestelle handelt (alternativ Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung) 1=6 0 Wir erhalten somit den Wendepunkt : 1 1 0123 :1 1 8.) Kurvenverhalten: Wir wissen nun, dass der Graph der Funktion f an der Stelle x=1 sein Kurvenverhalten ändert. Er könnte von einer Links- in eine Rechtskurve übergehen oder umgekehrt. Wir prüfen dies mit Hilfe der zweiten Ableitung. Gemäß unserer bisherigen Zeichnung müsste der Graph von einer Rechts- in eine Linkskurve übergehen. Wir belegen dies aber nun noch rechnerisch: Dazu nehmen wir eine beliebige Zahl aus dem Intervall ]- ; 1[ beispielsweise die Zahl 0: 0=6 0 6= 6<0 0123 ;<2=h?<@;A <? B?0Ch @D EA<?F011 ] ;1[ <@< G<=hA2H?F< Da wir einen Wendepunkt an der Stelle x=1 erhalten haben, muss der Graph von einer Rechts- in eine Linkskurve übergehen. Wir prüfen trotzdem nochmals zur Kontrolle, indem wir eine Zahl aus dem Intervall ]1 ; [ auswählen, bspw. die Zahl 2. 2=6 2 6=6>0 0123 ;<2=h?<@;A <? B?0Ch @D EA<?F011 ]1; [ <@< I@H2H?F< Wir können das Ergebnis nun auch tabellarisch festhalten:
9.) Graph: Der Funktionsgraph sieht also folgendermaßen aus: