Gerald Teschl Susanne Teschl Mathemathik für Informatiker Band 1: Diskrete Mathematik und Lineare Algebra Springer
Inhaltsverzeichnis Grundlagen 1 Logik und Mengen 1 1.1 Elementare Logik 1 1.2 Elementare Mengenlehre 10 1.3 Schaltalgebra 15 1.3.1 Anwendung: Entwurf von Schaltkreisen 21 1.4 Mit dem digitalen Rechenmeister 23 1.5 Kontrollfragen 24 1.6 Übungen 28 2 Zahlenmengen und Zahlensysteme 33 2.1 Die Zahlenmengen N, Z, Q, R und C 33 2.2 Summen und Produkte 44 2.3 Vollständige Induktion 46 2.4 Stellenwertsysteme 48 2.5 Maschinenzahlen 51 2.6 Teilbarkeit und Primzahlen 55 2.7 Mit dem digitalen Rechenmeister 57 2.8 Kontrollfragen 61 2.9 Übungen 65 Diskrete Mathematik 3 Elementare Begriffe der Zahlentheorie 71 3.1 Das kleine Einmaleins auf endlichen Mengen 71 3.1.1 Anwendung: Hashfunktionen 74 3.2 Gruppen, Ringe und Körper 77 3.2.1 Anwendung: Welche Fehler erkennen Prüfziffern? 87 3.3 Der Euklid'sche Algorithmus und diophantische Gleichungen 89 3.3.1 Anwendung: Der RSA-Verschlüsselungsalgorithmus 94 3.4 Der Chinesische Restsatz 99
X Inhaltsverzeichnis 3.4.1 Anwendung: Rechnen mit großen Zahlen 101 3.5 Mit dem digitalen Rechenmeister 102 3.6 Kontrollfragen 105 3.7 Übungen 107 4 Relationen und Funktionen 111 4.1 Relationen 111 4.1.1 Anwendung: Relationales Datenmodell 120 4.2 Funktionen 123 4.3 Kontrollfragen 136 4.4 Übungen 140 5 Folgen und Reihen 145 5.1 Folgen 145 5.1.1 Anwendung: Wurzelziehen ä la Heron 155 5.2 Reihen 156 5.3 Mit dem digitalen Rechenmeister 162 5.4 Kontrollfragen 164 5.5 Übungen 167 6 Kombinatorik 171 6.1 Grundlegende Abzählverfahren 171 6.2 Permutationen und Kombinationen 175 6.3 Mit dem digitalen Rechenmeister 181 6.4 Kontrollfragen 182 6.5 Übungen 183 7 Rekursionen und Wachstum von Algorithmen 187 7.1 Grundbegriffe 187 7.1.1 Ausblick: Iterationsverfahren und Chaos 191 7.2 Lineare Rekursionen 194 7.2.1 Anwendung: Sparkassenformel 202 7.3 Wachstum von Algorithmen 204 7.4 Mit dem digitalen Rechenmeister 210 7.5 Kontrollfragen 213 7.6 Übungen 215 Lineare Algebra 8 Vektorräume 219 8.1 Vektoren 219 8.2 Lineare Unabhängigkeit und Basis 227 8.3 Teilräume 232 8.4 Mit dem digitalen Rechenmeister 237 8.5 Kontrollfragen 238 8.6 Übungen 240
Inhaltsverzeichnis XI 9 Matrizen und Lineare Abbildungen 245 9.1 Matrizen 245 9.2 Multiplikation von Matrizen 250 9.3 Lineare Abbildungen 257 9.3.1 Anwendung: Lineare Codes 265 9.4 Mit dem digitalen Rechenmeister 268 9.5 Kontrollfragen 270 9.6 Übungen 273 10 Lineare Gleichungen 279 10.1 Der Gauß-Algorithmus 279 10.1.1 Anwendung: Elektrische Netzwerke 287 10.1.2 Anwendung: Input-Output-Analyse nach Leontjef 289 10.2 Rang, Kern, Bild 290 10.3 Determinante 295 10.4 Mit dem digitalen Rechenmeister 300 10.5 Kontrollfragen 301 10.6 Übungen 303 11 Lineare Optimierung 307 11.1 Lineare Ungleichungen 307 11.2 Lineare Optimierung 310 11.3 Der Simplex-Algorithmus 311 11.4 Mit dem digitalen Rechenmeister 317 11.5 Kontrollfragen 318 11.6 Übungen 320 12 Skalarprodukt und Orthogonalität 323 12.1 Skalarprodukt und orthogonale Projektion 323 12.1.1 Anwendung: Matched-Filter 333 12.1.2 Anwendung: Lineare Klassifikation 334 12.1.3 Anwendung: Ray-Tracing 334 12.2 Orthogonalentwicklungen 336 12.3 Orthogonale Transformationen 342 12.3.1 Anwendung: QR-Zerlegung 346 12.4 Mit dem digitalen Rechenmeister 347 12.5 Kontrollfragen 348 12.6 Übungen 350 13 Eigenwerte und Eigenvektoren 355 13.1 Koordinatentransformationen 355 13.2 Eigenwerte und Eigenvektoren 358 13.2.1 Anwendung: Bewertung von Webseiten mit PageRank 367 13.3 Eigenwerte symmetrischer Matrizen 370 13.3.1 Anwendung: Die diskrete Kosinustransformation 373 13.4 Mit dem digitalen Rechenmeister 376 13.5 Kontrollfragen 376 13.6 Übungen 378
XII Inhaltsverzeichnis Graphentheorie 14 Grundlagen der Graphentheorie 381 14.1 Grundbegriffe 381 14.2 Darstellung von Graphen am Computer 387 14.3 Wege und Kreise 389 14.4 Mit dem digitalen Rechenmeister 397 14.5 Kontrollfragen 398 14.6 Übungen 401 15 Bäume und kürzeste Wege 407 15.1 Bäume 407 15.2 Das Problem des Handlungsreisenden 413 15.3 Minimale aufspannende Bäume 415 15.4 Kürzeste Wege 417 15.4.1 Anwendung: Routing im Internet 420 15.5 Mit dem digitalen Rechenmeister 421 15.6 Kontrollfragen 422 15.7 Übungen 425 16 Flüsse in Netzwerken und Matchings 431 16.1 Netzwerke 431 16.2 Matchings 439 16.3 Mit dem digitalen Rechenmeister 445 16.4 Kontrollfragen 447 16.5 Übungen 449 Anhang A Einfuhrung in Mathematica 455 A.l Erste Schritte 455 A.2 Funktionen 457 A.3 Gleichungen 459 A.4 Programme 460 B Lösungen zu den weiterführenden Aufgaben 463 B.l Logik und Mengen 463 B.2 Zahlenmengen und Zahlensysteme 463 B.3 Elementare Begriffe der Zahlentheorie 464 B.4 Relationen und Funktionen 464 B.5 Folgen und Reihen 464 B.6 Kombinatorik 465 B.7 Rekursionen und Wachstum von Algorithmen 465 B.8 Vektorräume 465 B.9 Matrizen und Lineare Abbildungen 466
Inhaltsverzeichnis XIII B.10 Lineare Gleichungen 466 B.ll Lineare Optimierung 466 B.12 Skalarprodukt und Orthogonalität 467 B.13 Eigenwerte und Eigenvektoren 467 B.14 Grundlagen der Graphentheorie 467 B.15 Bäume und kürzeste Wege 468 B.16 Flüsse in Netzwerken und Matchings 468 Literatur 469 Verzeichnis der Symbole 471 Index 473