Hans Walser, [20130119a] Schlinge um Kreis Anregung: R. S., Z. 1 Die Uralt-Aufgabe Um einen Kreis mit Radius r wird eine Schlinge im Abstand 1 gelegt (Abb. 1). Wie lang ist die Schlinge im Vergleich zum Kreisumfang? r 1 Rechnung ergibt: Abb. 1: Schlinge um Kreis im Abstand 1 ΔU = 2π( r +1) 2πr = 2π Die Differenz ΔU ist vom Kreisradius r unabhängig. Ursprünglich wurde diese Aufgabe allerdings in der inversen Form serviert: Die Schlinge ist um 1 länger als der Kreisumfang. Wie weit ist sie vom Kreis entfernt? 2 Polygon Wir machen dasselbe mit einem konvexen Polygon (Abb. 2). Abb. 2: Abstandskurve um Polygon Wir zerlegen die Schlinge in gerade Stücke und Kreisbögen (Abb. 3).
Hans Walser: Schlinge um Kreis 2 / 8 Abb. 3: Zerlegung Die geraden Stücke haben insgesamt die gleiche Länge wie der Umfang des Polygons. Die Kreisbögen machen insgesamt den Einheitskreis aus. Damit ist ΔU = 2π, unabhängig von Form und Größe des Polygons. Den Kreis können wir als Grenzfall eines regelmäßigen n-ecks mit n sehen. Frage 1: Wie ist das bei nicht-konvexen Polygonen? Frage 2: Gesucht ein Beispiel mit ΔU = 0. Frage 3: Wie groß ist ΔU beim Kreisring (Abb. 4). 3 Parallelpolygon Abb. 4: Kreisring Die Schlinge wird gemäß Abbildung 5 ausgelegt. Die Strecken der eckigen Schlinge sind parallel zu den Polygonseiten mit dem Abstand 1. Frage 4: Haben die Punkte der eckigen Schlinge immer noch den Abstand 1 vom Polygon? Frage 5: Ist die eckige Schlinge ähnlich zum Polygon?
Hans Walser: Schlinge um Kreis 3 / 8 Abb. 5: Eckige Schlinge Wie lang ist die eckige Schlinge im Vergleich zum Umfang des Polygons? Natürlich können wir wieder an den Ecken ausschneiden und die Schnipsel neu zusammenfügen (Abb. 6). Abb. 6: Ecken einschneiden und neu zusammenfügen Die Eckenfigur hat einen Inkreis mit dem Radius 1. Der Umfang dieser Eckenfigur, also unser ΔU, ist keine Konstante mehr, sondern hängt von den Winkeln des Polygons ab. Immerhin haben wir eine Abschätzung: ΔU > 2π. Zwei Polygone mit denselben Winkeln haben dasselbe ΔU. Frage 6: Sind Polygone mit denselben Winkeln ähnlich? Zur Berechnung von ΔU benötigen wir also die Winkel des Polygons. Es ist technisch einfacher, mit den Außenwinkeln ϕ i, i { 1,,n} (für ein Polygon mit n Ecken) zu arbeiten. Mit etwas Trigonometrie ergibt sich: ΔU = 2 n i=0 tan ϕ i ( 2 ) Frage 7: Wie lautete diese Formel für ein regelmäßiges n-eck? Was geschieht bei n? 4 Rund um die Erde Frage 8: Hat Magellan wirklich die Erde umrundet?
Hans Walser: Schlinge um Kreis 4 / 8 Die Schlingenaufgabe wird oft im Zusammenhang mit der Erdkugel formuliert: Wie viel länger als der Erdumfang ist die Schlinge im Abstand 1m von der Erde? Dabei wird stillschweigend vorausgesetzt, dass die Schlinge als Abstandskurve von einem Großkreis der Erdkugel genommen wird, zum Beispiel vom Äquator. In diesem Fall ist natürlich ΔU = 2π. Frage 9: Wie ist es, wenn die Schlinge 1m senkrecht oberhalb eines Breitenkreises um die Erde gelegt wird? Vorstellung: Auf Pfählen in der Höhe 1m. In der Abbildung 7 ist die Situation für die geografische Breite ϕ = 60 dargestellt, allerdings ist die Erdkugel viel zu klein gezeichnet. Eher der Planet des Petit Prince. Abb. 7: Schlinge um die Kugel auf 60 Nord und 1m Höhe Frage 10: Wie ist es, wenn die Schlinge 1m südlich des Breitenkreises auf der Erdoberfläche um die Erde gelegt wird? In der Abbildung 8 ist die Situation für die geografische Breite ϕ = 60 dargestellt, allerdings ist die Erdkugel viel zu klein gezeichnet. Abb. 8: Schlinge 1m südlich des Breitenkreises 60 Nord 5 Andere Dimensionen Wir ersetzen die Schlinge um die Kugel durch einen Sack (im Abstand 1) um die Kugel. In der Abbildung 9 ist der halbe Sack gezeichnet.
Hans Walser: Schlinge um Kreis 5 / 8 Abb. 9: Die Kugel im Sack Wie groß ist die Flächendifferenz ΔF zwischen der ganzen Sackfläche und der Kugeloberfläche? Wir erhalten: ΔF = 4π (( r +1) 2 r 2 ) = 8πr + 4π ΔF hängt linear von r ab. Frage 11: Wie ist es in der nächsten Dimension? 6 Bearbeitung der Fragen Bearbeitung der Frage 1: Bei nicht-konvexen Polygonen gibt es keine Konstante für ΔU. a) b) Abb. 10: Nicht-konvexe Beispiele
Hans Walser: Schlinge um Kreis 6 / 8 Im Beispiel der Abbildung 10a) ist ΔU = 5 π 2 5.85 < 2π. 2 Im Beispiel der Abbildung 10b) ist ΔU = 15 + 2π + π 3 ( ) 24 1.67 < 0. Bearbeitung der Frage 2: Es gibt viele Lösungen. Die Abbildung 11 zeigt ein Beispiel. In diesem Beispiel ist a = 1 2 + 4 3 π 4.69. a Abb. 11: Schlingenlänge = Umfang Bearbeitung der Frage 3: Es sei R der Außenradius und r der Innenradius (Lochradius) des Kreisringes. Fallunterscheidung bezüglich r: (I) r 1: In diesem Fall ist ΔU = 0. (II) 0 < r < 1: Wir erhalten ΔU = 2π 1 r ( ). Dies ist abhängig von r. Bemerkung: Die hässlichen Fälle der Abbildungen 10b) und 11 können umgangen werden, wenn wir den kanonischen Abstand 1 durch den Abstand ε ersetzen und dann den Grenzwert lim ΔU ε 0 ε bestimmen. Für den Fall des Kreises ergibt sich lim ΔU ε 0 ε = 2π, also soweit nichts neues. Allgemein kommen wir so zum Konzept der integralen Krümmung. Bearbeitung der Frage 4: Im Bereich der Ecken ist der Abstand vom Polygon größer als 1. Bearbeitung der Frage 5: Das eckige Schlingenpolygon ist genau dann ähnlich zum Ausgangspolygon, wenn dieses einen Inkreis hat. Im Beispiel der Abbildung 5 ist dies nicht der Fall.
Hans Walser: Schlinge um Kreis 7 / 8 Bearbeitung der Frage 6: Nein. Gegenbeispiel: Zwei Rechtecke mit ungleichen Seitenverhältnissen. Lediglich bei Dreiecken kann aus der Gleichheit der Winkel die Ähnlichkeit gefolgert werden. Bearbeitung der Frage 7: Für ein regelmäßiges n-eck ergibt sich: ΔU = 2n tan( π n ) Für n erhalten wir geometrisch einen Kreis. Rechnerisch können wir die Sau herauslassen: mit der Regel von Bernoulli-de l Hôpital ergibt sich: ΔU = 2 lim n ( n tan( π n )) = 2 lim n tan( π n ) 1 = 2 lim n n 1+tan 2 π ( ( n )) π 1 n 2 n 2 = 2π Nun ja, das wissen wir schon lange. Bearbeitung der Frage 8: Magellan selber starb während der Reise auf den Philippinen. Lediglich 18 Männer der ursprünglichen 237 Männer kehrten mit einem von ursprünglich 5 Schiffen in den spanischen Ausgangshafen zurück. Dabei wurden etwa 69'000 km zurückgelegt (für den Seemann im Ausguck einige Meter mehr), jedenfalls weit mehr als der Erdumfang. Die Erdumrundung geschah jedoch nicht auf einem Großkreis, was schon aus topografischen Gründen nicht möglich gewesen wäre. Die sophistische Frage ist, ob etwa eine Rundreise streng auf einem Breitenkreis als Erdumrundung zählen kann. Man geht zwar um die Erdachse herum, aber der zurückgelegte Weg ist kürzer als der Erdumfang. Ein kleiner Spaziergang um den Nordpol ist wohl noch keine Erdumrundung. Bearbeitung der Frage 9: Es sei r der Erdkugelradius. Damit wird: ΔU = 2π( r +1)cos( ϕ) 2πr cos( ϕ) = 2π cos( ϕ) ΔU hängt von der geografischen Breite ϕ ab. Bearbeitung der Frage 10: Wir erwarten nach Bearbeitung der Frage 9 natürlich in diesem Fall ΔU = 2π sin ϕ ( ). Das ist, cum grano salis, richtig. Exakt gilt: ( ( ) r cos( ϕ) ) = 2π r cos ϕ ΔU = 2π r cos ϕ 1 r ( ( )( cos( 1 r ) 1) + rsin ( ϕ )sin ( 1 )) r
Hans Walser: Schlinge um Kreis 8 / 8 Um die Situation für die Erdkugel mit r 1 zu klären, machen wir den Grenzübergang r. Es sind die beiden r-haltigen Terme r cos 1 r Mit Bernoulli-de l Hôpital ergibt sich: ( ( ) 1) und rsin( 1 r ) zu untersuchen. und ( ( ( ) 1) ) = lim lim r cos 1 r ( ) 1 cos( 1 r ) 1 sin 1 r r 1 = lim 2 r 1 = 0 r 2 Somit ist: lim ( rsin( 1 r )) = lim sin( 1 r ) cos 1 r 1 = lim r lim ΔU = 2π sin ( ϕ ) ( ) 1 r 2 1 r 2 = 1 Für r 1 gilt daher ΔU 2π sin( ϕ). Bearbeitung der Frage 11: Wir behandeln die Sache gleich allgemein. Im n eingebettete Sphäre die Oberfläche: hat die F = 2π n 2r n 1 Γ( n 2 ) Somit ist: ΔF = 2π n 2 Γ n 2 ( ) (( r +1) n 1 r n 1 ) Das ist eine Polynomfunktion in r vom Grad n 2. Genau im Fall des Kreises der Uraltaufgabe ergibt sich eine von Null verschiedene Konstante.