Kpitel 8 Anwendungen der Di erentilrechnung Kpitel 8 Anwendungen der Di erentilrechnung Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 99 / 235
Kpitel 8 Anwendungen der Di erentilrechnung Stz 8.1 (Mittelwertstz der Di erentilrechnung) Es sei f uf [, b] stetig und uf ], b[ di erenzierbr. Dnn gibt es ein x 0 2], b[ mit f 0 (x 0 )= f(b) f(). b Folgerung 8.2 Sei f uf [, b] stetig und uf ], b[ di erenzierbr. Dnn gilt: 1 Ist f 0 (x) 0(> 0) für lle x 2], b[, soistf uf [, b] (streng) monoton steigend. 2 Ist f 0 (x) pple 0(< 0) für lle x 2], b[, soistf uf [, b] (streng) monoton fllend. 3 Ist f 0 (x) =0für lle x 2], b[, soistf uf [, b] konstnt. Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 100 / 235
Kpitel 8 Anwendungen der Di erentilrechnung Wenn nicht nders ngegeben, sind im Folgenden die Intervlle stets o en (diese werden dnn mit I bezeichnet). Stz 8.3 (Krümmung) Es se f : I! zweiml di erenzierbr. Dnn heißt (der Grph von) f... 1.... linksgekrümmt, fllsf 00 > 0 uf gnz I. 2.... rechtsgekrümmt, fllsf 00 < 0 uf gnz I. Definition 8.4 (Wendestelle, Wendepunkt) Es sei f : I! zweiml di erenzierbr und f 00 (x 0 )=0für x 0 2 I. Dnn heißt x 0 eine Wendestelle und der Punkt x 0,f(x 0 ) ein Wendepunkt (des Grphen) von f. Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 101 / 235
Kpitel 8 Anwendungen der Di erentilrechnung Definition 8.5 (Extremum) Es sei D 2 eine beliebige Teilmenge, f : D! und x 0 2 D. (Der Grph von) f ht in x 0 ein... 1...globles Mximum, wennf(x) pple f(x 0 ) für lle x 2 D. 2...globles Minimum, wennf(x) f(x 0 ) für lle x 2 D. 3...lokles Mximum, wenn es eine Umgebung U " (x 0 ) gibt, so dss f(x) pple f(x 0 ) für lle x 2 U " (x 0 ) \ D. 4...lokles Minimum, wenn es eine Umgebung U " (x 0 ) gibt, so dss f(x) f(x 0 ) für lle x 2 U " (x 0 ) \ D. Mxim und Minim fssen wir uch unter dem Nmen Extrem zusmmen. Wir nennen x 0 eine Extremlstelle, f(x 0 ) ein Extremum und x 0,f(x 0 ) einen Extrempunkt (des Grphen) von f. Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 102 / 235
Kpitel 8 Anwendungen der Di erentilrechnung Stz 8.6 (Notwendiges Kriterium für Extrem) Es sei f : I! di erenzierbr in x 0 2 I. Htf in x 0 ein lokles Extremum, so ist f 0 (x 0 )=0. Bemerkung 8.7 Die Umkehrung von Stz 8.6 ist in der Regel nicht richtig. Ds zeigt schon ds Beispiel f(x) =x 3 und x 0 =0. Ds Phänomen des letzten Beispiels werden wir nun näher beleuchten. Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 103 / 235
Kpitel 8 Anwendungen der Di erentilrechnung Stz 8.8 (Hinreichendes Kriterium für Extrem) Es sei f : I! hinreichend oft di erenzierbr und x 0 2 I mit f 0 (x 0 )=0. Dnn gilt < 0 lokles Mximum 1. Ist f 00 (x 0 ) > 0,sohtf in x 0 ein lokles Minimum. 2. Ist f 00 (x 0 )=0und f 000 (x 0 ) 6= 0so ht f in x 0 eine Wendestelle. In diesem Fll spricht mn von einem Sttelpunkt. Allgemeiner gilt: 3. Ist f 00 (x 0 )=...= f (n 1) (x 0 )=0und f (n) 6=0, dnn gilt ( Ist n gerde, so ht f in x 0 ein lokles Mximum, flls f (n) (x 0 ) < 0 lokles Minimum, flls f (n) (x 0 ) > 0. Ist n ungerde, so ht f in x 0 einen Wendepunkt. Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 104 / 235
Kpitel 8 Anwendungen der Di erentilrechnung Beispiel: Wir betrchten f :! mit f(x) = sin x 2 + cos x.ddie Funktion 2 -periodisch ist, schuen wir sie uns nur uf einem Teilintervll n, nämlich uf [0, 2 ]. (genuer uf ], 2 + [, d wir ein o enes Intervll bruchen). y f(x) f 0 (x) f 00 (x) 2 x Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 105 / 235
Kpitel 8 Anwendungen der Di erentilrechnung Mit Hilfe der Di erentilrechnung lssen sich bestimmte Grenzwerte usrechnen, die mn ohne deren Hilfe nur schwer bekommt. Stz 8.9 (Stz von l Hospitl) Es sei ein Rndpunkt des o enen Intervlls I 2 (dbei ist = ±1 usdrücklich zugelssen), und f und g stetig di erenzierbr uf I. Dnn gilt: 1 Ist lim f(x) =limg(x) =0und existiert der Grenzwert x! x! f 0 (x) f(x) lim x! g 0 = C, so gilt ebenflls lim (x) x! g(x) = C 2 Anlog gilt der Stz uch für Ausdrücke der Form 1 1. 3 Mit leichten Modifiktionen knn mn uch Ausdrücke der Form 0 1und 1 1behndeln. Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 106 / 235
Kpitel 9 Integrlrechnung Kpitel 9 Integrlrechnung Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 107 / 235
Kpitel 9 Integrlrechnung Definition 9.1 (Stmmfunktion) Es seien f,f : I! Funktionen. F heißt Stmmfunktion von f uf I, wennf uf I di erenzierbr ist und F 0 (x) =f(x) für lle x 2 I. Wenn wir für f eine Stmmfunktion suchen, so sgen wir uch: wir integrieren f. Wenn wir eine Stmmfunktion gefunden hben, so nennen wir f integrierbr. Stz 9.2 1 Ist F eine Stmmfunktion zu f, soistuchg = F + c mit einer Konstnten c 2 eine Stmmfunktion von f. 2 Alle Stmmfunktionen zu f sind von dieser Form. Sind lso G und F zwei Stmmfunktionen, so gibt es eine Konstnte c 2 mit G(x) =F (x)+c. Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 108 / 235
Kpitel 9 Integrlrechnung Definition 9.3 (unbestimmtes Integrl) Die Menge ller Stmmfunktionen von f heißt unbestimmtes Integrl von f und wird mit f(x) dx bezeichnet. Ist F eine Stmmfunktion zu f so schreiben wir uch f(x) dx = F (x)+c. Stz 9.4 (erste Eigenschften: Linerität) 1. f(x)+g(x) dx = f(x) dx + g(x) dx. 2. c f(x) dx = c f(x) dx für c 2. Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 109 / 235
Kpitel 9 Integrlrechnung Nun folgen zwei wichtige Eigenschften des Integrls, die sich uf Produkte und Verkettungen von Funktionen beziehen. Sie folgen direkt us den Rechenregeln für ds Di erenzieren (Stz 7.7). Stz 9.5 (Prtielle Integrtion) f(x) g 0 (x) dx = f(x) g(x) f 0 (x) g(x) dx. Stz 9.6 (Substitution) Ist F eine Stmmfunktion zu f und ist g di erenzierbr, so gilt f g(x) g 0 (x) dx = F g(x) + c. Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 110 / 235
Kpitel 9 Integrlrechnung Folgerungen 9.7 Es sei F eine Stmmfunktion zu f. Dnnist 1. f(x + ) dx = F (x + )+c 2. f( x) dx = 1 F ( x)+c 3. g(x) g 0 (x) dx = 1 2 g(x) 2 + c 4. x f x 2 dx = 1 2 F x2 + c Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 111 / 235
Kpitel 9 Integrlrechnung Beispiele 9.8 1. Wir bekommen grundlegende Beispiele für Stmmfunktionen, wenn wir die Tbellen zu Beispiel 7.2 von rechts nch links lesen. 2. Insbesondere können wir lle Polynome integrieren und bekommen für nx p(x) = k x k k=0 n+1 X p(x) dx = c + k=1 k 1 k xk Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 112 / 235
Kpitel 9 Integrlrechnung Definition 9.9 (bestimmtes Integrl) Es sei f :[, b]! eine Funktion. Dnn ht der Wert F (b) F () für jede Stmmfunktion F von f den gleichen Wert. Dieser Wert heißt bestimmtes Integrl von f in den Grenzen und b und wird mit b f(x) dx = F (x) b := F (b) F (). bezeichnet. f heißt Integrnd und bzw. b untere bzw. obere Integrtionsgrenze sowie [, b] ds Integrtionsintervll. Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 113 / 235
Kpitel 9 Integrlrechnung Stz 9.10 (Eigenschften des bestimmten Integrls) 1 2 3 b b f(x) dx =0 f(x) dx = c und b f(x) dx + f(x) dx = b f 0 (x) g(x) dx = f(x) g(x) b c f(x) dx. b b f(x) dx. f(x) g 0 (x). 4 Ist F eine Stmmfunktion zu f und ist g di erenzierbr, so gilt b g(b) f g(x) g 0 (x) dx = f(t) dt = F (t) g(b). g() g() 5 Ist g di erenzierbr und bijektiv, so gilt b f(x) dx = g g 1 (b) 6 Ist f(x) pple g(x) so ist 1 () b f g(t) g 0 (t) dt. f(x) dx pple b g(x) dx. Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 114 / 235
Kpitel 9 Integrlrechnung y y = f(x) A f (, b) b x Folgerung 9.12 (Integrl und Flächeninhlt) Ds Integrl R b f(x) dx lässt sich ls der (orientierte) Inhlt der Fläche unter dem Grphen der Funktion f im Intervll [, b] deuten. Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 115 / 235
Kpitel 9 Integrlrechnung Definition/Stz 9.13 (geometrischer Flächeninhlt) Es sei f integrierbr. Der geometrische Flächeninhlt A f (, b) von f uf dem Intervll [, b] ist definiert ls Inhlt der Fläche, die der Grph von f mit der x-achse einschließt. Dieser lässt sich gemäß A f (, b) = Beispiel 9.14: b f(x) dx berechnen. 1. Für f(x) =x 3 ist F (x) = 1 4 x4 eine Stmmfunktion. Dmit gilt lso 1 1 f(x) dx = F (x) 1 1 =0,ber A f ( 1, 1) = 1 1 f(x) dx =2 1 0 f(x) dx = F (x) 1 0 = 1 2. Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 116 / 235
Kpitel 9 Integrlrechnung Beispiel 9.14 [cont.]: 2. Wir betrchten f :[ 1, 1]! mit f(x) = p 1 x 2. Diese Funktion 1 p ist positiv, und deshlb gilt A f ( 1, 1) = 1 x 2 dx. Eine Stmmfunktion von f ist durch F (x) = 1 2 xp 1 gegeben, lso folgt A f ( 1, 1) = F (x) 1 1 = 2. 1 x 2 + rcsin x Dss F wirklich eine Stmmfunktion zu f ist, zeigt mn, indem mn F 0 = f nchweist oder indem mn Stz 9.5 geschickt usnutzt. Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 117 / 235
Kpitel 9 Integrlrechnung Wir hben schon gesehen, dss Integrtion in einem gewissen Sinne die Umkehrung der Di erentition ist. um Abschluß dieses Kpitels zitieren wir noch den Stz, der diesen Schverhlt mthemtisch formuliert. Dieser heißt Stz 9.15 Huptstz der Di erentil- und Integrlrechnung Jede uf einem Intervll [, b] stetige Funktion f besitzt eine Stmmfunktion F. Genuer gilt: Definiert mn für x 2 [, b] F (x) := x f(t) dt so ist diese Funktion uf [, b] stetig, uf ], b[ stetig di erenzierbr und es gilt F 0 (x) =f(x). Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 118 / 235
Kpitel 10 Logrithmus- und Exponentilfunktion Kpitel 10 Logrithmus- und Exponentilfunktion Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 119 / 235
Kpitel 10 Logrithmus- und Exponentilfunktion Wir können lut Huptstz der Di erentil- und Integrlrechnung lle stetigen Funktionen integrieren. Die Funktion f(x) = 1 x tuchte llerdings in unseren Beispielen zur Di erentition nie ls Ergebnis uf (vgl. Tbellen us Beispiel 7.2). Ihre Stmmfunktion kennen wir lso bisher nicht und wir definieren deshlb wie folgt: Definition 10.1 (Logrithmusfunktion) Die Logrithmusfunktion (oder der Logrithmus) ln : +! ist definiert über eine Stmmfunktion der uf + stetigen Funktion x 7! 1 x.genuer: ln x := x 1 1 t dt. Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 120 / 235
Kpitel 10 Logrithmus- und Exponentilfunktion Stz 10.2 (Eigenschften des Logrithmus) 1. ln 0 (x) = 1 x. 2. ln 1 = 0. 3. ln 1 = ln x. x 4. ln(x y) =lnx +lny. 5. ln ist streng monoton steigend. 6. lim ln x = 1 und lim ln x = 1 x!1 x!0+ D der Logrithmus ln streng monoton ist, existiert seine Umkehrfunktion. Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 121 / 235
Kpitel 10 Logrithmus- und Exponentilfunktion Defnition 10.3 (Exponentilfunktion) Die Exponentilfunktion exp :! + ist die Umkehrfunktion des Logrithmus ln : +!. Die hl e := exp(1) = ln 1 (1) 2, 718281828... heißt Eulersche hl. Stz 10.4 (Eigenschften der Exponentilfunktion) 1. exp ist streng monoton wchsend. 2. exp(ln x) =ln(expx) =x. 3. exp(0) = 1 und exp(x) > 0. 4. lim exp(x) =1 und lim exp(x) =0 x!1 x! 1 5. exp(x) exp(y) =exp(x + y), insbesondere gilt für n 2 dmit exp(n x) = exp(x) n. 6. exp 0 (x) =exp(x). Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 122 / 235
Kpitel 10 Logrithmus- und Exponentilfunktion Bemerkung 10.5 Aus Stz 10.4 Punkt 5. folgt exp(q) =e q für lle q 2. Deshlb schreiben wir exp(x) =e x sogr für x 2. Sinn bekommt die Schreibweise us der vorigen Bemerkung durch Definition 10.6 (llgemeine Potenz) Für, b 2 mit >0 definieren wir die llgemeine Potenz b durch b := exp(b ln ). Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 123 / 235
Kpitel 10 Logrithmus- und Exponentilfunktion Mit Hilfe des Logrithmus können wir unsere Integrlregeln weiter ergänzen: Stz 10.6 1 1 dx =ln x + c. x f 0 (x) 2 dx =ln f(x) + c. f(x) Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 124 / 235