Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Folgen und Reihen Susanna Pohl Vorkurs Mathematik TU Dortmund 12.03.2015
Folgen und Reihen Folgen und Grenzwerte Rechenregeln für konvergente Folgen Monotone Folgen und Teilfolgen Reihen Absolut konvergente Reihen Die Exponentialreihe Potenzreihen Susanna Pohl Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Folgen und Reihen 2
Folgen und Grenzwerte Folge Definition Unter einer Folge versteht man eine Abbildung f : N R. Jedem n N wird ein a n R zugeordnet. Man schreibt (a n ) n N oder (a 1, a 2,... ) Beispiele a n = a definiert die konstante Folge für alle n N a n = 1 n definiert die Folge (1, 1 2, 1 3, 1 4,... ) a n = ( 1) n definiert die Folge 1, 1, 1, 1,... Susanna Pohl Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Folgen und Reihen 3
Folgen und Grenzwerte Rekursive Folgen Beispiele a 1 = 1, a n = 2 a n 1 definiert 1, 2, 4, 8,... Fibonacci-Folge a 0 = 0, a 1 = 1, a n = a n 1 + a n 2 definiert 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,... Leonardo Fibonacci versuchte damit 1202 das Wachstum einer Kaninchenpopulation zu beschreiben. Susanna Pohl Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Folgen und Reihen 4
Folgen und Grenzwerte Konvergente Folgen Definition Eine Folge (a n ) n N heißt konvergent gegen a R, falls gilt: Zu jedem ɛ > 0 existiert ein n 0 N, sodass a n a < ɛ für alle n n 0. Beachte, dass n 0 von ɛ abhängt! Grenzwert und Nullfolge Definition Falls f gegen a konvergiert, so nennt man a den Grenzwert von f und schreibt: lim n a n = a oder a n a für n. Eine Folge, die gegen 0 konvergiert, heißt Nullfolge. Susanna Pohl Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Folgen und Reihen 5
Folgen und Grenzwerte Divergenz Definition Eine Folge die nicht konvergiert heißt divergent. Eindeutigkeit von Grenzwerten Der Grenzwert einer Folge ist, falls er existiert, eindeutig. Beweis (Eindeutigkeit mit ɛ/2) Für den Beweis brauchen wir erst wichtige Eigenschaften des Betrags und insbesondere die Dreiecksungleichung. Susanna Pohl Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Folgen und Reihen 6
Einschub Betrag und Dreiecksungleichung Eigenschaften des Absolutbetrags Der Absolutbetrag hat folgende Eigenschaften x R : x 0 ( x = 0 x = 0) x, y R : x y = x y x, y R : x + y x + y Dreiecksungleichung Für a, x, ɛ R mit ɛ > 0 gilt: x < ɛ x < ɛ und ɛ < x ɛ < x < ɛ x a < ɛ a ɛ < x < a + ɛ Diese Aussagen gelten auch, wenn man < durch ersetzt wird. Susanna Pohl Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Folgen und Reihen 7
Folgen und Grenzwerte Beweis (Eindeutigkeit mit ɛ/2) Sei (a n ) n N eine konvergente Folge. Angenommen, der Grenzwert ist nicht eindeutig: a, a, a a : lim a n = a lim a n = a. n n Dann existiert ein ɛ mit 0 < ɛ < a a /2 2ɛ < a a. Da sowohl a als auch a Grenzwert sind, muss ein n 0 existieren, sodass für alle n n 0 : a n a < ɛ und a n a < ɛ. Damit gilt aber dann auch a a = a a n + a n a a n a + a n a < 2ɛ Dies ist ein Widerspruch zu unserer Annahme, sodass a = a gelten muss. Susanna Pohl Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Folgen und Reihen 8
Folgen und Grenzwerte Beispiele Die konstante Folge (a, a,... ) konvergiert gegen a. Für die Folge ( 1 n ) 1 n N gilt lim n n = 0. Die Folge ( 1) n divergiert. Beweis: Angenommen, die Folge würde gegen a konvergieren, dann gibt es nach Definition für ɛ = 1 ein n, sodass a n a < 1 für alle n n 0. Es gilt aber 2 = a n+1 a n = (a n+1 a) + (a a n ) a n+1 a + a n a < 1 + 1 = 2 Dies ist ein Widerspruch zur Annahme. Susanna Pohl Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Folgen und Reihen 9
Folgen und Grenzwerte Beschränkte Folgen Definition Eine Folge f = (a n ) n N heißt nach oben (nach unten) beschränkt, falls es eine Konstante K R gibt, sodass a n K für alle n N (a n K für alle n N). Eine Folge heißt beschränkt falls a n K für alle n N. Divergent gegen Eine Folge f = (a n ) n N heißt bestimmt divergent gegen, falls ein n 0 N existiert, sodass für alle n n 0, a n > 0 und ( 1 a n ) n N,n n0 gegen 0 konvergiert. Susanna Pohl Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Folgen und Reihen 10
Folgen und Grenzwerte Konvergente und beschränkte Folgen Jede konvergente Folge f ist beschränkt. Bemerkung: Die Umkehrung des Satzes gilt natürlich nicht, da z.b. a n = ( 1) n beschränkt, aber nicht konvergent ist. Beweis Sei lim a n = a und n 0 N so gewählt, dass a n a < 1 für alle n n n 0. Daraus folgt a n = a + a n a a + a n a a + 1 für alle n n 0. Setze K := max( a 1, a 2,..., a n0 1, a + 1), dann ist a n K für alle n N. Susanna Pohl Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Folgen und Reihen 11
Rechenregeln für konvergente Folgen Grenzwerte kombinierter Folgen Seien f = (a n ) n N und g = (b n ) n N zwei konvergente Folgen und c R. Dann definieren wir: f + g = (a n ) n N + (b n ) n N = (a n + b n ) n N c f = c (a n ) n N = (c a n ) n N f g = (a n ) n N (b n ) n N = (a n b n ) n N f g = (an) n N (b n) n N = ( an b n ) n N falls (b n ) 0 für alle n N Susanna Pohl Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Folgen und Reihen 12
Rechenregeln für konvergente Folgen Grenzwerte kombinierter Folgen Seien f = (a n ) n N und g = (b n ) n N zwei konvergente Folgen und c R. Dann gilt: lim (f + g) = lim (a n) + lim (b n) n n n lim c f = c lim (a n) n n lim f g = lim (a n) lim (b n) n n n f lim n g = lim (an) n lim (bn) falls b n 0 für alle n N und lim b n 0. n n Susanna Pohl Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Folgen und Reihen 13
Rechenregeln für konvergente Folgen Grenzwerte kombinierter Folgen Anwendung Berechne den Grenzwert von a n = 3n2 +13n n 2 2 mit n N: Kürze mit n 2 : a n = 3n 2 n 2 + 13n n 2 1 Mit lim n n 13 (3 + lim n n n 2 n 2 2 = 0 und lim n Damit gilt insgesamt: 3+ lim 13 n = lim 13 (3+ n n ) n 1 2 n 2 lim (1 2 n = 3+ 13 n 1 2 n 2 n 2 1 = 0: n 2 ) = 3 und lim (1 2 ) = 1 n n 2 n 2 ) = 3 1 = 3 Susanna Pohl Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Folgen und Reihen 14
Rechenregeln für konvergente Folgen Seien (a n ) n N und (b n ) n N zwei konvergente Folgen mit a n b n. Dann gilt auch lim a n lim b n n n Sandwich-Theorem Seien (a n ) n N, (b n ) n N und (c n ) n N Folgen mit a n b n c n. Seien (a n ) n N und (c n ) n N konvergent und lim a n = lim c n. n n Dann ist auch (b n ) n N konvergent und es gilt lim a n = lim b n = lim c n. n n n Susanna Pohl Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Folgen und Reihen 15
Monotone Folgen und Teilfolgen Monotone Folge Definition Eine Folge (a n ) n N heißt monoton wachsend, falls a n a n+1 für alle n N streng monoton wachsend. falls a n < a n+1 für alle n N monoton fallend, falls a n a n+1 für alle n N streng monoton fallend. falls a n > a n+1 für alle n N Teilfolge Definition Sei (a n ) n N eine Folge und n 1 < n 2 < n 3 <... eine aufsteigende unendliche Folge natürlicher Zahlen, dann heißt (a nk ) k N = a n1, a n2 eine Teilfolge der Folge (a n ) n N. Susanna Pohl Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Folgen und Reihen 16
Monotone Folgen und Teilfolgen Divergenzkriterium Besitzt eine Folge (a n ) n N eine divergente Teilfolge oder zwei konvergente Teilfolgen (a nk ) k N und (a nl ) l N mit lim (a n k ) lim (a nl ) so ist die Folge divergent. k l Susanna Pohl Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Folgen und Reihen 17
Monotone Folgen und Teilfolgen Monotonoiekriterium Jede beschränkte monotone Folge ist konvergent. Genauer formuliert: Ist f = (a n ) n N monoton wachsend und nach oben beschränkt, so ist f konvergent und es gilt lim n a n = sup{a n n N}. Ist f = (a n ) n N monoton fallend und nach unten beschränkt, so ist f konvergent und es gilt lim n a n = inf{a n n N}. Susanna Pohl Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Folgen und Reihen 18
Monotone Folgen und Teilfolgen Satz von Bolzano-Weierstraß Jede beschränkte Folge (a n ) n N besitzt eine konvergente Teilfolge. Häufungspunkt Für eine Folge (a n ) n N heißt a Häufungspunkt, wenn es eine Teilfolge (a nk ) k N von (a n ) n N gibt und lim k (a n k ) = a. Susanna Pohl Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Folgen und Reihen 19
Monotone Folgen und Teilfolgen Cauchy-Folge Definition Eine Folge (a n ) n N heißt Cauchy-Folge, wenn gilt: ɛ > 0 n 0 N n > n 0 a n a n0 < ɛ Konvergente Folgen und Cauchy-Folgen Jede Cauchy-Folge ist beschränkt. Besitzt die Cauchy-Folge eine konvergente Teilfolge, so ist die Cauchy-Folge selbst konvergent. Eine Folge (a n ) n N ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchy-Folge ist. Susanna Pohl Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Folgen und Reihen 20
Reihen Reihe Definition Man nennt den formalen Ausdruck a k = a 1 + a 2 +... mit a k R eine (unendliche) Reihe und s n = n a k die n-te Teilsumme. Wenn die Folge der Teilsummen konvergiert, dann heißt die Reihe konvergent. Eine nicht konvergente Reihe heißt divergent. Konvergiert sogar a k, so nennt man die Reihe absolut konvergent. Susanna Pohl Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Folgen und Reihen 21
Reihen Cauchy-Konvergenzkriterium Die Reihe a k konvergiert genau dann, wenn es zu jedem ɛ > 0 n ein n 0 N gibt, sodass a k < ɛ für alle n m n 0. k=m Es gilt offensichtlich s n s m = n k=m+1 Eine Reihe a k mit a k 0 für alle k N konvergiert genau a k. dann, wenn die Folgen der Teilsummen beschränkt sind. Susanna Pohl Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Folgen und Reihen 22
Reihen Rechnen mit konvergenten Reihen Seien a k und b k konvergente Reihen, so sind auch (a k + b k ) und (a k b k ) konvergent, und es gilt: (a k + b k ) = a k + b k (a k b k ) = a k + b k. Susanna Pohl Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Folgen und Reihen 23
Reihen Rechnen mit konvergenten Reihen Ist die Reihe a k konvergent und c R, dann gilt: c a k = c a k Für jedes l N mit l > 1 gilt: a k konvergent k=l konvergent. Sind die Reihen a k und b k konvergent und gilt a k b k k N, so gilt a k b k a k Susanna Pohl Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Folgen und Reihen 24
Reihen Leibniz-Kriterium Sei a k eine monoton fallende Folge reeller nicht negativer Zahlen mit lim a k = 0. Dann konvergiert die alternierende Reihe k ( 1) k a k. Susanna Pohl Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Folgen und Reihen 25
Absolute Konvergenz Erinnerung Konvergiert sogar a k, so nennt man die Reihe absolut konvergent. Eigenschaften absolut konvergenter Reihen Wenn die Reihe a k absolut konvergiert, so konvergiert sie auch im gewöhnlichen Sinne. Susanna Pohl Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Folgen und Reihen 26
Absolute Konvergenz Majorantenkriterium Sei c k eine konvergente Reihe mit ausschließlich nicht-negativen Gliedern und (a k ) k N eine Folge mit a k c k für alle k N, dann konvergiert die Reihe a k absolut. Minorantenkriterium Sei c k eine divergente Reihe mit ausschließlich nicht-negativen Gliedern und (a k ) k N eine Folge mit a k c k für alle k N. Dann divergiert die Reihe a k. Susanna Pohl Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Folgen und Reihen 27
Absolute Konvergenz Majorantenkriterium Beispiel Die Reihe a 2 k konvergiert, da k a k 2 k a k 2 und 1 k n Damit konvergiert natürlich auch für n > 1 konvergiert. a k n = a 1 k n. Susanna Pohl Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Folgen und Reihen 28
Absolute Konvergenz Wurzelkriterium Sei a k eine Reihe. Gibt es ein c R und q R mit 0 q < 1, sodass a k c q k für alle k N, dann ist die Reihe absolut konvergent. Wurzelkriterium Beispiel Wir betrachten die Reihe (x + 1 k )k mit 0 x < 1. Es gilt (x k + 1 k )k = (x + 1 k ) und lim (x + 1 k k ) = x < 1. Damit konvergiert die Reihe. Susanna Pohl Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Folgen und Reihen 29
Absolute Konvergenz Quotientenkriterium Sei a k eine Reihe mit a k 0 für alle k n 0. Es gebe eine Zahl q R mit 0 < q < 1, sodass a k+1 a k < q für alle k n0, dann ist die Reihe absolut konvergent. Susanna Pohl Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Folgen und Reihen 30
Absolute Konvergenz Quotientenkriterium Beispiel Die Reihe x k k! ist absolut konvergent für alle x R. Für x = 0: trivial. Für x 0: Setze a k = xk k! 0 für alle k N. a k+1 = x = x a k k+1 k+1 x lim k k+1 = 0 Daraus folgt die Konvergenz. Susanna Pohl Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Folgen und Reihen 31
Absolute Konvergenz Umordnung Sei a k eine absolut konvergente Reihe. Dann konvergiert jede Umordnung der Glieder der Reihe gegen den selben Grenzwert. Susanna Pohl Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Folgen und Reihen 32
Die Exponentialreihe Exponentialreihe Definition Für jedes x R ist die Exponentialreihe exp(x) = konvergent. Die Exponentialreihe definiert die Eulersche Zahl e = exp(1) = 1 k! = 2, 71828... Es gibt weitere Darstellungen der Eulerschen Zahl, z.b.: n e = lim n n n! oder e = lim (1 + 1 n n )n. x k k! absolut Susanna Pohl Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Folgen und Reihen 33
Die Exponentialreihe Eigenschaften der Exponentialreihe Für die Exponentialreihe exp(x) gelten folgende Eigenschaften: x, y R : exp(x + y) = exp(x) exp(y) x R : exp( x) = 1 exp(x) x R : exp(x) > 0 n Z : exp(n) = e n Susanna Pohl Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Folgen und Reihen 34
Potenzreihen Potenzreihe Definition Sei (a k ) k N0 eine Folge und x R, dann ist eine Potenzreihe P(x) wie folgt definiert: P(x) = a k x k = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... k=0 Susanna Pohl Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Folgen und Reihen 35