Sächsisches Sttsministerium für Kultus Schuljhr 00/0 Geltungsbereich: - Allgemein bildendes Gymnsium - Abendgymnsium und Kolleg - Schulfremde Prüfungsteilnehmer Schriftliche Abiturrüfung Leistungskursfch Mthemtik - Nchtermin - Mteril für den Prüfungsteilnehmer Allgemeine Arbeitshinweise Ihre Arbeitszeit (einschließlich der Zeit für ds Lesen der Aufgbentexte und der Zeit für die Auswhl der Whlufgbe) beträgt 300 Minuten. Auf dem Deckbltt der Arbeit hben Sie den verwendeten GTR-Ty nzugeben. Die Prüfungsrbeit besteht us den zu berbeitenden Pflichttellen A, B und C sowie dem Whlteil D. Es sind lle Aufgben der Pflichtteile zu berbeiten. Aus dem Teil D ist genu eine der beiden Aufgben zu berbeiten. Der Lösungsweg mit Begründungen, Nebenrechnungen und (bei Konstruktionen) Hilfslinien muss deutlich erkennbr in gut lesbrer Form drgestellt werden. Bei Verwendung von GTR-Progrmmen ist nzugeben, us welchen Eingbedten ds Progrmm welche Ausgbendten berechnet. Insgesmt sind 90 Bewertungseinheiten (BE) erreichbr, dvon im Teil A im Teil B im Teil C im Teil D 35 BE, 5 BE, 5 BE, 5 BE. Erlubte Hilfsmittel: Wörterbuch der deutschen Rechtschreibung grfikfähiger, rogrmmierbrer Tschenrechner (GTR) ohne Comuter-Algebr-System Tbellen- und Formelsmmlung ohne usführliche Musterbeisiele (im Unterricht eingeführt) Zeichengeräte beiliegende Mterilien für Aufgben zur Stochstik"
Prüfungsinhlt Pflichtufgben Teil A: Anlysis x Für jedes ( R, > 0) ist eine Funktion f durch y = f ( x) = x ln ( x D f ) und ihre x f x + gegeben. zweite Ableitung durch ( ) = ln ) Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion f n und bestimmen Sie die Nullstellen dieser Funktion. Weisen Sie nch, dss der Grh der Funktion f chsensymmetrisch zur y-achse ist. Ermitteln Sie die Koordinten der loklen Extremunkte des Grhen der Funktion f und untersuchen Sie die Art der Extrem. b) Begründen Sie, dss es genu eine Funktion gibt, die den Wertebereich und geben Sie den Wert für diesen Fll n. f Erreichbre BE-Anzhl: 3 f { y R, y } y besitzt Erreichbre BE-Anzhl: 3 c) Der Grh jeder Funktion besitzt genu zwei Wendeunkte. Alle Wendeunkte der Grhen der Funktionen liegen uf dem Grhen einer Funktion g. Ermitteln Sie eine Gleichung der Funktion g. f d) Weisen Sie nch, dss die Funktion F mit der Gleichung 3 y F ( x) = x 5 3 ( Erreichbre BE-Anzhl: 5 ( x ) = ln ) eine 9 Stmmfunktion der Funktion f ist. Der Grh der Funktion f, die x-achse sowie die Gerden mit den Gleichungen x = z ( z R, 0 < z < ) und x = begrenzen eine Fläche mit dem Inhlt A( z) vollständig. Berechnen Sie den Flächeninhlt A z. Geben Sie den Flächeninhlt für ( ) z = n. e Erreichbre BE-Anzhl: 5 e) Der Grh der Funktion f rotiert im Intervll 0,5 x e um die x-achse. Ermitteln Sie ds Volumen des betreffenden Rottionskörers. Erreichbre BE-Anzhl: f) Für jedes u ( u R, u > 0) existiert im Punkt R u ( u; f ( u) ) eine Tngente t u n den Grhen der Funktion f. Ermitteln Sie eine Gleichung dieser Tngente. Bestimmen Sie die Werte u, für die die Tngente t u den ositiven Teil der x-achse und den negtiven Teil der y-achse schneidet. Erreichbre BE-Anzhl: 7
Teil B: Geometrie /Algebr ( ) In einem krtesischen Koordintensystem mit dem Koordintenursrung O sind die Punkte A 3; ; 5, B ( ;5; ) und C ( ;; ) sowie für jedes ( R) eine Gerde 5 durch x = + t 3 7 6 gegeben. g ( t R) ) Begründen Sie ohne Rechnung, dss es keinen Punkt gibt, der uf llen Gerden g liegt. Untersuchen Sie, ob es einen Wert gibt, für den der Punkt B uf der Gerden g liegt. Zeigen Sie, dss jede der Gerden windschief zur x-achse ist. b) Alle Gerden g liegen in ein und derselben Ebene E. g Erreichbre BE-Anzhl: 7 Die Strecke OA wird durch senkrechte Prllelrojektion in die Ebene E bgebildet. Berechnen Sie die Länge der Projektionsstrecke. Erreichbre BE-Anzhl: 5 c) Die Punkte A, B und C sind Eckunkte eines Dreiecks. Durch die Gerde g 5 wird dieses Dreieck in zwei Teilflächen zerlegt. Weisen Sie rechnerisch nch, dss eine der Teilflächen ein Trez ist. Ermitteln Sie ds Verhältnis der Flächeninhlte der beiden Teilflächen. d) Die Gerde h geht durch die Punkte A und C. Untersuchen Sie die Lgebeziehung zwischen den Gerden und h. g Es gibt genu eine Gerde g, die von der Gerden h minimlen Abstnd besitzt. Beschreiben Sie, wie eine Gleichung dieser Gerden ermittelt werden knn. Erreichbre BE-Anzhl: 8 Erreichbre BE-Anzhl: 5
Teil C: Stochstik Ein Sezilbetrieb für Stoßdämferrerturen n PKW ht ermittelt, dss die Defekte n Stoßdämfern eines Tys in genu drei einnder usschließende Fehlerktegorien (F, F, F3) eingeteilt werden können. F tritt in 70% und F in 5% der Schdensfälle uf. Ein Stoßdämfer, der den Fehler F ufweist, verurscht in 90% dieser Fälle ein Klofgeräusch beim Durchfhren von Fhrbhnunebenheiten. Bei Fehler F beträgt die entsrechende Whrscheinlichkeit 50%, während Fehler F3 keine Klofgeräusche verurscht. Die Kosten für die Behebung der einzelnen Fehlerrten betrgen in diesem Betrieb ro Stoßdämfer: 400 bei F, 00 bei F und 00 bei F3. Ein Fhrzeug mit Klofgeräuschen n einem Stoßdämfer wird in die Werksttt gebrcht. ) Bestimmen Sie die Whrscheinlichkeit, dss die kostenintensivste Fehlerrt FI vorliegt. b) Berechnen Sie den Erwrtungswert der Rerturkosten. Erreichbre BE-Anzhl: 3 Erreichbre BE-Anzhl: 4 Im Betrieb werden ro Woche durchschnittlich 5 defekte Stoßdämfer n Autos dieses Tys reriert. In den Fällen, in denen Fehler F uftritt, wird ein bestimmtes Erstzteil benötigt. Die Anlieferung der Erstzteile erfolgt wöchentlich und der verfügbre Lgerrum ist klein. c) Berechnen Sie, wie viele solcher Erstzteile wenigstens eingelgert werden müssen, dmit in einer Woche bei durchschnittlichem Bedrf die Fhrzeuge mit mindestens 90%-iger Whrscheinlichkeit ohne Nchbestellung von Stoßdämfern sofort reriert werden können. Erreichbre BE-Anzhl: 3 Der Hersteller roduziert die Stoßdämfer rllel und zu gleichen Anteilen uf 6 Mschinen. Die jeweilige Tgesroduktion wird in einer Hlle gelgert. d) Ermitteln Sie die Whrscheinlichkeit dfür, dss vier zufällig dieser Hlle entnommenen Stoßdämfer von vier unterschiedlichen Mschinen stmmen. Erreichbre BE-Anzhl: Ein Test von Stoßdämfern dieser Firm ergb, dss diese eine durchschnittliche Luf Leistung von 50000 km erbringen. Weiter zeigte sich, dss die Luf Leistung normlverteilt ist und eine Stndrdbweichung von 0000 km ufweist. e) Ermitteln Sie die Whrscheinlichkeit dfür, dss ein Stoßdämfer dieser Mrke weniger ls 90/o der durchschnittlichen Lufleistung bringt. Erreichbre BE-Anzhl: 3
Teil D: Whlufgben Wählen Sie genu eine der folgenden Aufgben zur Berbeitung us. Aufgbe D : Anlysis 4 Für jedes ( R, > 0) ist eine Funktion f durch y = f ( x) = x 3x + 4 zeigt die Grhen einiger der Funktionen f in einem x-y-koordintensystem. gegeben. Die Abbildung ) Ermitteln Sie lle Werte ( N), für die die Grhen der zugehörigen Funktion f drgestellt sind. Untersuchen Sie die Grhen der Funktionen Es gibt Funktionen f vollständig begrenzt. f uf Symmetrie. Erreichbre BE-Anzhl: 3, deren jeweiliger Grh mit der x-achse im I. und II. Qudrnten eine Fläche b) Ermitteln Sie lle Werte, für die eine solche Fläche existiert. Ermitteln Sie den Inhlt der Fläche A 3. Begründen Sie, dss die Fläche A die größte ller Flächen A ist. 3 A Erreichbre BE-Anzhl: 7 c) Untersuchen Sie, ob es eine Funktion gibt, uf deren Grh lle loklen Minimumunkte der Funktionen f liegen und geben Sie gegebenenflls eine Gleichung dieser Funktion n. Erreichbre BE-Anzhl: 5
Aufgbe D : Geometrie / Algebr In einem krtesischen Koordintensystem sind die Punkte A ( 0;5; ), B ( 0; ; 8) sowie ; 3; 3 R, > gegeben. C ( ) ( 0) Für jedes wird durch die Punkte A, B und eine Ebene E bestimmt. Die Ebene E und die drei C Koordintenebenen begrenzen eine Pyrmide P mit dreiseitiger Grundfläche. ) ) Zeigen Sie, dss für jedes ( R, > 0 die Ebene E die x-achse in genu einem Punkt X ( ;0; 0) schneidet. Ermitteln Sie ds Volumen der Pyrmide P. Jeder Pyrmide P Erreichbre BE-Anzhl: 5 sind Quder so einbeschrieben, dss der Koordintenursrung Eckunkt des Quders ist und der einzige nicht in den Koordintenebenen liegende Eckunkt zur Ebene E gehört. b) Einige der Quder besitzen in der x-y-koordintenebene liegende qudrtische Grundflächen mit der Seitenknte. Berechnen Sie den Wert, für den ds Volumen dieses Quders 7 beträgt. c) Einige der Quder sind Würfel. 5 Berechnen Sie den Wert, für den ds Volumen des Würfels beträgt. 8 Ermitteln Sie die obere Grenze ller derrtigen Würfelvolumin. Erreichbre BE-Anzhl: 3 Erreichbre BE-Anzhl: 7