Lineare Algebra 1 Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Fachhochschule Nordwestschweiz Hochschule für Technik Institut für Geistes- und Naturwissenschaft HS 2008/09
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Einführung Definition lineare Abbildung sind Funktionen zwischen zwei Vektorräumen. Als Argument und als Resultat einer linearen Abbildungen haben wir also Vektoren. Abbildungen zwischen Vektorräumen gibt es unendlich viele und sehr verschiedenartige. Wir betrachten hier die einfachsten Abbildungen: Definition Seien V und W Vektorräume über den Körper K. Eine Abbildung f : V W heisst linear (oder ein Homomorphismus), wenn für alle v, w V, λ K folgendes gilt: f (v + w) = f (v) + f (w) (1) f (λv) = λf (v) (2)
Einführung Beispiel Die Projektionsabbildung p x : R 3 R 2, p x (x,, z) = (x, ) ist eine lineare Abbildung. Diese Abbildung ist linear, da die beiden Abbildungsgesetze gelten: p x ((x 1, 1, z 1 ) + (x 2, 2, z 2 )) = p x ((x 1, 1, z 1 )) + p x ((x 2, 2, z 2 )) p x ((x 1 + x 2, 1 + 2, z 1 + z 2 )) = (x 1, 1 ) + (x 2, 2 ) (x 1 + x 2, 1 + 2 ) = (x 1 + x 2, 1 + 2 ) p x (λ(x,, z)) = λp x ((x,, z)) p x ((λx, λ, λz)) = λ(x, ) (λx, λ) = (λx, λ)
Einführung Beispiel Eine sehr interessante lineare Abbildung ist die folgende: ( ) ( d α : R 2 R 2 cos(α) sin(α) x, d α (x, ) = sin(α) cos(α) ) Hier werden Punkte (oder Ortsvektoren zu Punkten) des zweidimensionalen Raumes um den Ursprung um den Winkel α im gegenuhrzeigersinn rotiert. cos sin sin cos x x x
Einführung Fortsetzung: Diese Abbildung ist linear, da die beiden Abbildungsgesetze gelten: d α ((x 1, 1 ) + (x 2, 2 )) = d α ((x 1, 1 )) + d α ((x 2, 2 )) d α (λ(x, )) = λd α ((x, )) Verallgemeinerung dieses Sachverhalts: Theorem Jede n m-matrix A beschreibt eine lineare Abbildung zwischen den m- und n-dimensionalen Vektorräumen R m und R n : A : R m R n, A x 1. x m = 1. n (3)
Einführung Um die Vielfalt linearer Abbildungen zu zeigen betrachten wir noch ein weiteres Beispiel (mit einem allgemeineren Vektorraum): Beispiel Aus der Analsis ist bekannt, dass das Differential (und auch das Integral) eine lineare Operation ist. D.h. es gelten die folgenden Ableitungsregeln: Summenregel: d dx (f (x) + g (x)) = d dx f (x) + d dx g (x) Regel konstanter Faktor: d dx (λf (x)) = λ d dx f (x)
Einführung Fortsetzung: So ist die Ableitung von Polnomfunktionen mit reellen Koeffizienten höchstens dritten Grades eine lineare Abbildung im Vektorraum der Polnome höchstens dritten Grades. V ={Menge aller Polnome höchstens drittengrades} V V a 3 x 3 a 2 x 2 a 1 x a 0 d dx 3 a 3 x 2 2 a 2 x a 1
Einführung Die Forderungen der Abbildungsgesetze bei linearen Abbildungen bewirken, das eine Linearkombination unter der linearen Abbildung erhalten bleibt. Sei also f eine lineare Abbildung zwischen den Vektorräumen V und W und sei v V als Linearkombination v = k 1 b 1 +... + k n b n darstellbar, so kann der Funktionswert f (v) ebenfalls als Linearkombination geschrieben werden: f (v) = f (k 1 b 1 +... + k n b n ) = k 1 f (b 1 ) +... + k n f (b n ) Diese Tatsache bewirkt, dass eine lineare Abbildung aus den Funktionswerten der Basisvektoren eindeutig definiert ist. Beispiel Wir betrachten die lineare Abbildung f : R 3 R 3, wobei für die Vektorräume die kanonische Basis verwendet wird. Von der linearen Abbildung kennen wir die Funktionswerte der Basisvektoren:
Einführung Fortsetzung: f (1, 0, 0) = (1, 1, 1), f (0, 1, 0) = (1, 1, 0), f (0, 0, 1) = (1, 0, 0) Wir suchen die Abbildungsvorschrift der linearen Abbildung f. D.h. wir suchen den Funktionswert eines beliebigen Vektors v = (x,, z). Da sich dieser Vektor als Linearkombination der Basisvektoren schreiben lässt v = x(1, 0, 0) + (0, 1, 0) + z(0, 0, 1), gilt nun für den gesuchten Funktionswert: f (v) = f (x(1, 0, 0) + (0, 1, 0) + z(0, 0, 1)) f (v) = xf (1, 0, 0) + f (0, 1, 0) + zf (0, 0, 1) f (v) = x(1, 1, 1) + (1, 1, 0) + z(1, 0, 0) f (x,, z) = (x + + z, x +, x)
Einführung Es gilt also: Theorem Eine lineare Abbildung ist durch die Bilder (Funktionswerte) der Basisvektoren eindeutig bestimmt. Weiter vorne haben wir gesehen, dass die Multiplikation eines Spaltenvektors mit einer Matrix immer eine lineare Abbildung beschreibt. Diesen Sachverhalt kann man auch umkehren. In einem allgemeinen, endlich dimensionalen Vektorraum V mit der Basis B = {b 1,..., b n } lässt sich jeder Vektor v V des Vektorraums eindeutig als Linearkombination der Basisvektoren schreiben: v = n k=1 λ kb k. Diese Linearkombination lässt sich kurz auch als Spaltenvektor mit den Koeffizienten der Linearkombination ausdrücken: v B = (λ 1, λ 2,..., λ n ) T.
Einführung Abbildungsmatrix Theorem Sind V und W endlich dimensionale Vektorräume mit den Basen A = {a 1,..., a m } von V und B = {b 1,..., b n } von W und f : V W eine lineare Abbildung von V nach W, so existiert eine n m-matrix MB A = M, welche die lineare Abbildung beschreibt: v V f (v) = MB A v = Mv W (4) V A ={a1,..., a m } f W B={b1,..., b n } R m a1,..., a m M A B R n b1,...,b n
Einführung Dabei nennt man diese Matrix MB A die Abbildungsmatrix der linearen Abbildung f. Sind die Basen der Vektorräume klar, kann die Basenbezeichnung weggelassen werden: MB A = M. Die (linearen) Abbildungen Φ (a1,...,a m) und Φ (b1,...,b n) sind die Basisisomorphismen für eine allfällige Basiszuordnung! Diese Abbildungsmatrix ist zu den gegebenen Basen eindeutig definiert und es gilt: Theorem Die Spalten der Abbildungsmatrix sind die Bilder (Funktionswerte) der Basisvektoren: M A B = (f (a 1),..., f (a m )) (5)
Einführung Beispiel Die Projektionsabbildung p x : R 3 R 2, p x (x,, z) = (x, ) des Einführungsbeispiels lässt sich in der kanonischen Basis durch die folgende Abbildungsmatrix beschreiben: M = ( p x (1, 0, 0) p x (0, 1, 0) p x (0, 0, 1) ) ( ) 1 0 0 = 0 1 0 Wenn das Produkt mit dem allgemeinen Spaltenvektor v = (x,, z) T berechnet wird, erhält man die ursprüngliche Beschreibung der Abbildung (als Spaltenvektor). Mv = ( 1 0 0 0 1 0 ) x z = ( x )
Einführung Beispiel Wir suchen für die lineare Abbildung f : V V der Ableitung von Polnomen höchstens dritten Grades die Abbildungsmatrix. Dazu verwenden wir die folgende Basis B = { 1, x, x 2, x 3} für den Vektorraum V der Polnome. Es gilt also: M = ( Φ 1 B ( d dx 1) M = ( Φ 1 B (0) Φ 1 B ( d dx x) M = Φ 1 B (1) Φ 1 B ( d dx x 2 ) Φ 1 B (2x) 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 Φ 1 B ( d dx x 3 ) ) Φ 1 B (3x 2 ) )
Einführung Fortsetzung: Die Ableitung (z.b. p(x) = 17x 3 + 2x 2 14) kann nun durch Multiplikation mit der Abbildungsmatrix berechnet werden: p B = Φ 1 B (p(x)) = Φ 1 B (17x 3 + 2x 2 14) = d(p B ) = Mp B = 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 14 0 2 17 = 14 0 2 17 0 4 51 0 d dx p(x) = Φ B(d(p B )) = Φ B ( ( 0 4 51 0 ) T ) = 51x 2 + 4x
Kern und Bild Vektorräume Kern und Bild Im weiteren betrachten wir zwei spezielle Vektorräume die im Zusammenhang mit linearen Abbildungen von grosser Bedeutung sind: Definition Sei f : V W eine lineare Abbildung. Dann ist Bild(f ) := {w W : v V, w = f (v)} (6) ein Untervektorraum von W (alle möglichen Bilder die vorkommen können) und Kern(f ) := {v V : f (v) = 0} (7) ein Untervektorraum von V (alle Vektoren die auf den Nullvektor abgebildet werden).
Kern und Bild f :V W V Kern f 0 Bild f 0 W Um diese beiden Vektorräume besser zu verstehen betrachten wir einige Beispiele:
Kern und Bild Beispiel Die Projektionsabbildung p x : R 3 R 2, p x (x,, z) = (x, ) des Einführungsbeispiels hat als Bild die x-ebene (also den ganzen Vektorraum), da ja jeder Vektor in diese projeziert wird. Analtisch bekommt man das Bild einer linearen Abbildung als Spaltenraum der Abbildungsmatrix: ( ) 1 0 0 Bild(p x ) = S(M) = S 0 1 0 = { w R 2 : w = λ 1 ( 1 0 = ) ( 0 + λ 2 1 )} {( λ1 λ 2 ) + λ 3 ( 0 0 )}
Kern und Bild Fortsetzung: Der Kern der linearen Abbildung ist die z-achse, da diese Punkte auf den Nullpunkt abgebildet werden. Analtisch ist der Kern gleich dem Nullraum der Abbildungsmatrix (also die Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssstems Mv = 0): ( ) 1 0 0 Kern(p x ) = null(m) = null 0 1 0 ( 1 0 0 0 1 0 ) x z = ( 0 0 Kern(p x ) = v R3 : v = 0 0 λ )
Kern und Bild Beispiel Wir wollen das Bild und den Kern der Ableitungsabbildung d : V V bestimmen. 0 1 0 0 λ 1 Bild(d) = S(M) = S 0 0 2 0 0 0 0 3 = p V : 2λ 2 3λ 3 0 0 0 0 0 Dies sind Polnome höchstens zweiten Grades (λ 1 + 2λ 2 x + 3λ 3 x 2 ). λ Kern(d) = null(m) = p V : 0 0 0 Dies sind die konstanten Polnome (p(x) = λ).
Kern und Bild Dimensionsformel In den letzten Abschnitten haben wir gesehen, dass die linearen Abbildungen eng mit den Matrizen verknüpft sind. Mit dem Dimensionsatz bei den Matrizenräumen (Kap. 5) folgt nun sofort der Dimensionssatz für die linearen Abbildungen: Theorem Sei f : V W eine lineare Abbildung und seien A = {a 1,..., a m } und B = {b 1,..., b n } Basen der endlich dimensionalen Vektorräume V und W. Im weiteren sei M die Abbildungsmatrix, so gilt: rg(m) + dim(null(m)) = m. Also gilt für die Vektorräume Bild(f ) und Kern(f ) die Dimensionsformel: dim(bild(f )) + dim(kern(f )) = m = dim(v) (8)
Kern und Bild Beispiel Für die untersuchte Projektionsabbildung p x gilt: Beispiel dim(bild(f )) + dim(kern(f )) = m = 3 }{{}}{{} 2 1 Für die untersuchte Ableitungsabbildung d gilt: dim(bild(d)) + dim(kern(d)) = m = 4 }{{}}{{} 3 1 Mit Hilfe der Dimensionsformel können die linearen Abbildungen analog zur Analsis (injektiv, surjektiv und bijektiv) klassifiziert werden!
Kern und Bild Klassifizierung linearer Abbildungen Klassifizierung Monomorphismus Ein Monomorphismus zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung f : V W, die injektiv ist. Dies trifft genau dann zu, wenn die Spaltenvektoren der Abbildungsmatrix linear unabhängig sind, d.h. dim(kern(f )) = 0. Epimorphismus Ein Epimorphismus zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung f : V W, die surjektiv ist. Dies trifft genau dann zu, wenn die Spaltenvektoren der Abbildungsmatrix W erzeugen, d.h. dim(bild(f )) = dim(w).
Kern und Bild Klassifizierung (Fortsetzung) Isomorphismus Ein Isomorphismus zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung f : V W, die bijektiv ist. Dies trifft genau dann zu, wenn die Spaltenvektoren der Abbildungsmatrix eine Basis von W bilden, d.h. dim(kern(f )) = 0 dim(bild(f )) = dim(w). Die beiden Räume V und W bezeichnet man dann als isomorph. Endomorphismus Ein Endomorphismus zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung f : V W, bei der die Räume V und W gleich sind, also f : V V. Die Abbildungsmatrix dieser Abbildung ist eine quadratische Matrix.
Kern und Bild Klassifizierung (Fortsetzung) Automorphismus Ein Automorphismus zwischen Vektorräumen ist eine bijektive lineare Abbildung, bei der die Räume V und W gleich sind. Er ist also sowohl ein Isomorphismus als auch ein Endomorphismus. Die Abbildungsmatrix dieser Abbildung ist eine reguläre Matrix.
Verkettung von linearen Abbildungen Verkettung von linearen Abbildungen Theorem Die Verkettung zweier linearer Abbildungen f 1 : U V und f 2 : V W ist wieder eine lineare Abbildung: f 1 f 2 : U W, v f 2 (f 1 (v)) (9) f 1 f 2 U V W f 1 f 2
Verkettung von linearen Abbildungen Beispiel Gegeben seien die beiden linearen Abbildungen f 1 : R 3 R 4 und f 2 : R 4 R 2 mit: f 1 (x,, z) = (x + 2 2z, 2x + + z, x + 2 z, x 2 + 2z) f 2 (a, b, c, d) = ( 8 5 a + 2 5 b 4 c + d, 2a + b c + d) 5 Wir suchen die Verkettung der beiden Abbildungen f 1 f 2 : f 2 (f 1 (x,, z)) = f 2 (x +2 2z, 2x + +z, x +2 z, x 2 +2z) = ( 8 5 (x + 2 2z) + 2 5 ( 2x + + z) 4 (x + 2 z) + (x 2 + 2z), 5 2(x +2 2z)+( 2x + +z) (x +2 z)+(x 2 +2z)) = (x, ) Die Verkettung ergibt die Projektionsabbildung p x!
Verkettung von linearen Abbildungen Theorem Seien M 1 und M 2 die Abbildungsmatrizen der linearen Funktionen f 1 : U V und f 2 : V W, so ist das Matrizenprodukt M = M 2 M 1 die Abbildungsmatrix der Verkettung f 1 f 2 : U W. Beispiel Die Abbildungsmatrizen der beiden Abbildungen des letzten Beispiels lauten: M 1 = 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 2 ( 8 M 2 = 5 5 2 1 1 1 2 4 5 1 )
Verkettung von linearen Abbildungen Fortsetzung: Die Abbildungsmatrix der Verkettung lautet somit: ( 8 M = M 2 M 1 = 5 5 2 1 1 1 = 2 4 5 1 ( 1 0 0 0 1 0 ) 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 2 Im folgenden beschränken wir uns auf Isomophismen (bijektive Abbildungen). Ein Isomorphismus f : V W besitzt eine Umkehrabbildung f 1 : W V, so das folgendes gilt: f f 1 = id V bzw. f 1 f = id W. Dabei ist id die identische Abbildung, welche jeden Vektor auf sich selbst abbildet. )
Verkettung von linearen Abbildungen f V W f 1 Theorem Sei M die Abbildungsmatrix eines Isomorphismus f : V W, so ist die Inverse von M die Abbildungsmatrix der Umkehrfunktion f 1 : W V.
Verkettung von linearen Abbildungen Beispiel Wir wollen hier ein ausführlicheres Beispiel behandeln. Wir betrachten den Vektorraum V der Polnome höchstens zweiten Grades mit der Basis B = { 1, x, x 2}. Im weiteren sei die Abbildung L(p(x)) = (x 2 + 1) d2 dx 2 p(x) + p(x) gegeben. Zuerst zeigen wir, dass diese Abbildung linear ist: Summe: L(p 1 (x) + p 2 (x)) = (x 2 + 1) d 2 dx 2 (p 1(x) + p 2 (x)) + (p 1 (x) + p 2 (x)) = (x 2 + 1) d 2 dx 2 p 1(x) + p 1 (x) + (x 2 + 1) d 2 }{{} dx 2 p 2(x) + p 2 (x) }{{} L(p 1 (x)) L(p 2 (x)) = L(p 1 (x)) + L(p 2 (x))
Verkettung von linearen Abbildungen Fortsetzung: Konstanter Faktor: L(λp(x)) = (x 2 + 1) d 2 (λp(x)) + (λp(x)) dx 2 = λ (x 2 + 1) d 2 p(x) + p(x) = λl(p(x)) dx 2 }{{} L(p(x)) Im weiteren suchen wir für den Basisisomorphismus Φ ( Φ((1, 0, 0) T ) = 1, Φ((0, 1, 0) T ) = x und Φ((0, 0, 1) T ) = x 2 ) die Abbildungsmatrix der linearen Abbildung L. Dazu bestimmen wir die Bilder der Basisvektoren: L(1) = (x 2 + 1) d 2 (1) + (1) = 1 dx 2
Verkettung von linearen Abbildungen Fortsetzung: Φ 1 (L(Φ((1, 0, 0) T ))) = (1, 0, 0) T L(x) = (x 2 + 1) d 2 (x) + (x) = x dx 2 Φ 1 (L(Φ((0, 1, 0) T ))) = (0, 1, 0) T L(x 2 ) = (x 2 + 1) d 2 dx 2 (x 2 ) + (x 2 ) = 3x 2 + 2 Φ 1 (L(Φ((0, 0, 1) T ))) = (2, 0, 3) T Die Abbildungsmatrix lautet somit: 1 0 2 M = 0 1 0 0 0 3
Verkettung von linearen Abbildungen Fortsetzung: V L p x = x 2 1 d 2 p x p x 2 dx V B={1, x, x 2 } 1 x 3x 2 2 B={ 1 0 0 0, 1 0 0, 0 1 } R 3 R 3 0 2 M = 1 1 0 1 0 0 0 0 3 0 0 1 0 2 0 3
Verkettung von linearen Abbildungen Fortsetzung: Nun wollen wir von dieser Abbildung das Bild und den Kern bestimmen und die Abbildung entsprechend klassifizieren. Da die Abbildungsmatrix M regulär ist, gilt: dim(bild(l)) + dim(kern(l)) = 3 + 0 = 3 = dim(v) D.h. der Kern der Abbildung hat die Dimension Null und besteht nur aus dem Nullpolnom Kern(L) = {0} (nur das Nullpolnom wird durch die Abbildung auf das Nullpolnom abgebildet!). Das Bild der linearen Abbildung ist der gesamte Vektorraum (d.h. jedes Polnom von V kommt als Funktionswert der linearen Abbildung vor!). Die lineare Abbildung ist somit ein Isomorphismus (invertierbar). Da die lineare Abbildung auf sich selbst operiert ist die Abbildung auch ein Endomorphismus und somit auch ein Automorphismus.
Verkettung von linearen Abbildungen Fortsetzung: Im weiteren suchen wir von diesem Isomorphismus die Umkehrabbildung. Dazu invertieren wir die Abbildungsmatrix: 1 0 2 1 0 2 M = 0 1 0 M 1 3 = 0 1 0 1 0 0 3 0 0 3 Die entsprechende Umkehrabbildung lautet nun: L 1 (p(x)) = L 1 (a 0 + a 1 x + a 2 x 2 ) = a 0 + a 1 x + ( 2 3 a 0 + 1 3 a 2)x 2 Zum Schluss suchen wir die Lösung der Differentialgleichung (x 2 + 1) + = x 2. Die linke Seite dieser Differentialgleichung entspricht gerade unserer linearen Abbildung L, also lässt sich die Differentialgleichung auch wie folgt schreiben:
Verkettung von linearen Abbildungen Fortsetzung: L() = x 2. D.h. wir suchen alle Polnome in V, welche durch die lineare Abbildung auf das Polnom x 2 abgebildet werden. Wir können dieses Problem nun mittels Matrizen lösen. Es gilt: 1 0 2 0 1 0 0 0 3 a 0 a 1 a 2 = Multiplikation mit der inversen Abbildungsmatrix ergibt: a 0 1 0 2 3 0 2 3 a 1 = 0 1 0 0 = 0 1 1 a 2 0 0 3 1 3 Eine Lösung des Problems ist das Polnom p(x) = 2 3 + 1 3 x 2. 0 0 1
Geometrische Abbildungen Einführung geometrische Abbildungen Wir betrachten lineare Abbildungen T : R 2 R 2 (mit der kanonischen Basis) beschrieben durch die Matrix: ( ) a b M = c d Diese Abbildung kann auf zwei verschiedene Arten interpretiert werden: Punkte-Abbildung: Hier wird ein Punkt (x, ) auf einen Bildpunkt (ax + b, cx + d) abgebildet: (x, ) T (x, ) = (ax + b, cx + d)
Geometrische Abbildungen Vektor-Abbildung: Hier wird ein Vektor ( ) ax + b neuen Vektor abgebildet: cx + d ( x ) M ( x ) = ( x ( ax + b cx + d ) auf einen ) T x p, p T x p, p w=m v x T v v= v x v x x
Geometrische Abbildungen Wichtige geometrische Abbildungen Im weiteren interpretieren wir die Abbildung als Operationen auf Punkten des zweidimensionalen Raumes. Dazu wenden wir die Abbildungen auf die Ortsvektoren zu den Punkten an. Wir untersuchen einige wichtige Abbildungen. Nullabbildung Sei M die Nullmatrix, so werden alle Punkte des zweidimensionalen Raumes durch die Abbildung auf den Nullpunkt (Ursprung) abgebildet! M = ( 0 0 0 0 ) ( x, M ) = ( 0 0 0 0 ) ( x ) = ( 0 0 )
Geometrische Abbildungen Identität Sei M die Einheitsmatrix, so werden alle Punkte des zweidimensionalen Raumes durch die Abbildung auf sich selbst abgebildet! M = Spiegelung ( 1 0 0 1 ) ( x, M ) = ( 1 0 0 1 ) ( x ) = ( x Hier untersuchen wir vier grundlegende Spiegelungen (an den Koordinatenachsen und an den Winkelhalbierenden der Koordinatenachsen). Möchten wir z.b. alle Punkte des zweidimensionalen Raumes an der x-achse spiegeln, so erhalten die transformierten Punkte die gleiche x-koordinate und in der neuen -Koordinate ein umgekehrtes Vorzeichen. Also: )
Geometrische Abbildungen Spiegelung (Fortsetzung) T (x, ) = (x, ) M = ( 1 0 0 1 Für die weiteren Spiegelungen kann analog vorgegangen werden: ) Spiegelung an der x-achse x, x T M = 1 0 1 0 x, Spiegelung an der -Achse T x, x, M = 1 0 x 0 1 Spiegelung an der Geraden =x x, M = 0 1 T, x x Spiegelung an der Geraden =-x x, M = 0 1 1 0 T 1 0 x, x
Geometrische Abbildungen Projektion Hier untersuchen wir die Projektionen auf die Koordinatenachsen und auf eine Gerade durch den Ursprung. Die Abbildungsmatrix bestimmt man mit den Bildern der beiden Basisvektoren. Hier für die Projektion auf eine Gerade durch den Ursprung: T (1, 0) = (cos 2 (α), cos(α)sin(α)) T (0, 1) = (sin(α)cos(α), sin 2 (α)) Die Spalten der Abbildungsmatrix als Bilder der Basisvektoren: T (x, ) = (xcos 2 (α) + sin(α)cos(α), xcos(α)sin(α) + sin 2 (α)) ( cos M = 2 ) (α) sin(α)cos(α) sin(α)cos(α) sin 2 (α)
Geometrische Abbildungen Projektion (Fortsetzung) Projektion auf die x-achse x, T x, 0 M = 1 0 0 0 x Projektion auf die -Achse T 0, x, M = 0 0 0 1 x Projektion auf die Geraden =m*x x, T m=tan xcos 2 sin cos, xsin cos sin 2 cos M = 2 sin cos sin cos sin 2 x
Geometrische Abbildungen Rotation Als nächstes führen wir Rotationen (im gegenuhrzeigersinn) um den Ursprung aus. Um die Abbildungsmatrix zu erhalten, betrachten wir die Bilder der Basisvektoren: T (1, 0) = (cos(α), sin(α)) T (0, 1) = ( sin(α), cos(α)) Die Spalten der Abbildungsmatrix als Bilder der Basisvektoren: T (x, ) = (xcos(α) sin(α), xsin(α) + cos(α)) ( ) cos(α) sin(α) M = sin(α) cos(α)
Geometrische Abbildungen Rotation (Fortsetzung) sin,cos 0, 1 cos,sin 1, 0 x M = cos sin sin cos
Geometrische Abbildungen Streckung (Expansion) / Stauchung (Diletation) Bei der folgenden Operation betrachten wir die Auswirkung der Operation auf die Punkte eines Rechteck. Die Operation bewirkt, dass die ursprünglichen Koordinaten mit einem Skalar multipliziert werden. Dabei kann in Richtung der beiden Koordinatenachsen mit unterschiedlichen Faktoren skaliert werden. 0, k 0,1 1, 0 x, k, 0 kx, k x 0,1 0, k 2 x, 1,0 k 1,0 0 k 2 M = k 0 0 k M = k 1 0 k 1 x, k 2 x
Geometrische Abbildungen Scherrung Auch hier betrachten wir die Auswirkung der Operation auf die Punkte eines Rechtecks. Die Operation bewirkt, dass die Seiten des Rechtecks gegenüber den Koordinatenachsen gedreht werden. Dabei kann die Scherrung in beiden Richtungen oder in eine einzelne Richtung angewandt werden. 0,1 tan,1 x tan, x, 0,1 x, x tan x, 1, tan x tan, x tan tan,1 0,1 x, 1, tan 1,0 M = 1 tan 0 1 x 1,0 1 M = 1 0 tan x x 1,0 M 1 tan = tan 1
Geometrische Abbildungen 7 Einführung Definition Abbildungsmatrix Kern und Bild Vektorräume Kern und Bild Dimensionsformel Verkettung von linearen Abbildungen Verkettung Umkehrabbildung Geometrische Abbildungen Einführung Wichtige geometrische Abbildungen