Abiturprüfug Mathematik 008 Bade-Württemberg (ohe CAS) Wahlteil - Aufgabe Aalysis I Aufgabe I.: Ei Tal i de Berge wird ach Weste vo eier steile Felswad, ach Oste vo eiem flache Höhezug begrezt. Der Querschitt des Gelädes wird beschriebe durch das Schaubild der Fuktio f mit 3 f(x) = 0,5x + 0,75x 3,5 im Bereich,5 x 5, dabei weist die positive x-achse ach Oste ( LE etspricht 00 m). a) Skizziere Sie de Querschitt des Gelädes. Bereche Sie die Stelle, a der die östliche Talseite am steilste ist, ud da die Stelle, a der die westliche Talseite gleich steil ist. Quer zum Tal befidet sich i West-Ost-Richtug eie Staumauer. Vom tiefste Pukt des Tals aus gemesse ist sie 3,5 m hoch. Bereche Sie die Breite der Staumauer a ihrer Oberkate. Bevor das Wasser aufgestaut wird, muss die dem See zugewadte Seite der Staumauer versiegelt werde. Bestimme Sie de Ihalt dieser Fläche. (8 VP) b) I der Talsohle befidet sich ei Dorf, das bereits achmittags im Schatte liegt. Nach dem Vorbild des italieische Ortes Vigaella soll auf dem höchste Pukt des Höhezugs östlich des Dorfes ei Gerüst mit eiem drehbare Spiegel zur Reflexio vo Soelicht aufgestellt werde. Auch hier wird der Querschitt des Gelädes durch das Schaubild der Fuktio f beschriebe. Bestimme Sie die Midesthöhe dieses Gerüstes, bei der das Soelicht de tiefste Pukt des Gelädequerschitts erreiche ka. Wie hoch müsste das Gerüst werde, damit der gesamte Gelädequerschitt zwische Dorf ud Gerüst beleuchtet werde ka? (6 VP) Aufgabe I.: Hiweis: ab der Abiturprüfug 0 icht mehr prüfugsrelevat Die Fuktio g ist gegebe durch g(x) = ; x 0, 5. x Zeige Sie durch vollstädige Iduktio, dass g für alle die -te Ableitug () g (x) =! besitzt, wobei! 3 ( ) ( x) = für gilt. (4 VP) Zuletzt aktualisiert: 0..0

Abiturprüfug Mathematik 008 Bade-Württemberg (ohe CAS) Lösuge Wahlteil - Aalysis I Aufgabe I.: a) Skizze vom Querschitt des Gelädes: Die östliche Talseite ist beim Wedepukt am steilste. Berechug des Wedepuktes vo f: f (x) = 0,375x +,5x f (x) = 0,75x +,5 f (x) = 0,75 f (x) = 0 0,75x +,5 = 0 x = f () = 0,75 0 WP( /,5) A der Stelle x = ist die östliche Talseite am steilste mit der Steigug f () =, 5. Nu ist die Stelle a der westliche Talseite gesucht, die gleich steil ist. Damit ist gemeit, dass die Steigug etweder m =,5 oder m = -,5 sei muss. Ma erket ahad des Schaubildes, dass die Tagetesteiguge a der westliche Talseite alle egativ sid. Damit ist die Stelle x gesucht mit f (x) =,5 0,375x +,5x =, 5,5 ±,5 +,5 0,375x +,5x +,5 = 0 x, = 0,75 Daraus folgt x 0, 88 ud x 4, 88.,5 ± 4,5 = 0,75 Da sich ur x a der westliche Talseite befidet, ist die gesuchte Stelle x = -0,88. Als tiefster Pukt des Tals ergibt sich mit dem GTR der Pukt T(0/-3,5). Addiert ma zum y-wert des Tiefpuktes u 3,5 Meter, besitzt die Staumauer, die ma sich als waagrechte Gerade vorstelle ka, auf der Höhe y = 0 (die Staumauer etspricht somit aschaulich der x-achse). Zuletzt aktualisiert: 0..0

Die Breite der Staumauer etspricht dem Abstad der Nullstelle des Schaubilds vo f. Mit dem GTR ergebe sich die Nullstelle x = -,793 ud x =,793. Der Abstad zwische de beide Nullstelle beträgt d = 4,586 ud damit ist die Breite der Staumauer a ihrer Oberkate 458,6 Meter. Die zu versiegelde Fläche ist i dem folgede Schaubild markiert. Berechug der Fläche:,793 A = f(x)dx = 9,0,793 (Das egative Vorzeiche im Itegral kommt dadurch zustade, dass sich die Fläche uterhalb der x-achse befidet). Die zu versiegelde Fläche der Staumauer beträgt damit 9,0 0.000m² = 90.00 m² b) Das Gerüst befidet sich a der höchste Stelle östlich des Dorfes, also im Pukt H(4/0,875), wie ma leicht mit dem GTR ermittel ka. Um die Höhe des Gerüstes zu ermittel, wird vom tiefste Pukt T(0/-3,5) eie Tagete a das Schaubild vo f gelegt. Der och ubekate Berührpukt sei B(u/f(u)) ud die Tagetesteigug m = f (u) Aufstelle der Tagetegleichug: y = f (u) (x u) + f(u) 3 y = ( 0,375u +,5u) (x u) 0,5u + 0,75u 3,5 Nu wird der bekate Tagetepukt T(0/-3,5) eigesetzt: 3 3,5 = ( 0,375u +,5u) ( u) 0,5u + 0,75u 3,5 3 0,5u + 0,75u = 0 0,5u ( u + 3) = 0 u = 0 oder u = 3. Der Berührpukt B(0/f(0)) ist icht sivoll. Daraus folgt als Berührpukt B(3/f(3)) = B(3/0,5) 3 Zuletzt aktualisiert: 0..0

Die Tagetegleichug lautet u: y = f (3) (x 3) + f(3) y =,5 (x 3) + 0,5 y =,5x 3,5 Der Pukt G auf der Tagete a der Stelle x = 4 hat die Koordiate G(4/,375). Die Höhe h des Gerüstes ergibt damit h = (y-wert vo G) (y-wert vo H) =,375 0,875 = 0,5 also 50 Meter. Damit der gesamte Gelädequerschitt zwische Dorf ud Gerüst beleuchtet werde ka, muss die Tagete im Wedepukt W(/-,5) (im Pukt mit der größte Steigug) ermittelt werde. Die Steigug der Tagete i W ist m =,5 (siehe Teilaufgabe a)). Als Tagetegleichug ergibt sich y =,5x 4,5 (Wedetagete) Der Pukt F auf der Wedetagete besitzt die Koordiate F(4/,875). Die Höhe h des Gerüstes ergibt damit h = (y-wert vo F) (y-wert vo H) =,875 0,875 = also 00 Meter. 4 Zuletzt aktualisiert: 0..0

Aufgabe I.:.) Iduktiosafag: Zeige, dass die Aussage für = richtig ist. ( ) Es gilt g(x) = g (x) = = x ( x) ( x) () Laut der Formel gilt g =! =, damit ist die Aussage für = gezeigt. ( x) ( x).) Iduktiosschritt: a) Formulierug der Iduktiosvoraussetzug: Es gibt eie atürliche Zahl, so dass die Fuktio g () (x) =! besitzt. ( x) g(x) = die -te Ableitug x b) Formulierug der Iduktiosbehauptug: Die Aussage gilt für, das heißt die Fuktio Ableitug g ( ) (x) = ( + )! ( x) g(x) = besitzt die ()-te x c) Beweis des Iduktiosschrittes: ( ) () ( + )( x) g (x) = g (x) =! ( x) ( ) ( ) = ( + )! ( x) Die letzte Umformug ergibt sich durch! ( + ) = ( + )! ud = Damit ist die Aussage für alle atürliche Zahle bewiese. 5 Zuletzt aktualisiert: 0..0