B.7 Kurzzusammenfassung zum Thema Kurvendiskussion

B.7 Kurzzusammenfassung zum Thema Kurvendiskussion B.7.a Übersicht Charakteristische Punkte/Verläufe einer Kurve Eine Funktion bzw. Gleichung wird üblicherweise auf folgende charakteristische Punkte analysiert: a) Nullstellen (Schnittpunkt mit der x-achse) b) Extremstellen: - Unterscheidung von lokalen bzw. relativen Extrema absoluten bzw. globalen Extrema - Arten von Extremwerten werden unterschieden: Maxima Minima c) Sattelstellen: Sonderfall bei dem die Steigung in einem Punkt zwar Null ist aber dennoch kein Extrempunkt vorliegt (siehe unten) d) Wendestellen e) Polstellen Asymptoten B.7.b Nullstellen Die Schnittpunkte mit der x-achse des Funktions-/Gleichungsgraphen sind gesucht. Beispiel: f(x)=x 4 +9x 3 +6x +74x+4 -> Abspaltung von Linearfaktoren: f(x)=(x+4)(x+3)(x+)(x+) Aus der rechten Darstellung der Funktion sind direkt die Nullstellen erkennbar: Folgende x-werte sind Nullstellen von f(x) (f(x)=): x Nullstellen ={-4;-3;-;-/} Das Auffinden der Nullstellen für ein Polynom 4. Ordnung in der Form x 4 +9x 3 +6x +74x+4 kann sich hier recht kompliziert gestalten. Da der höchstwertige Koeffizient ungleich ist ( auch nicht alle Koeffizienten ganzzahlig durch teilbar sind), sind nicht alle rationalen Nullstellen notwendigerweise ganzzahlige Teiler von 4. Praktisch muss man bei einem Polynom 4.Grades Nullstellen durch probieren finden (ggf. durch Anwendung des Zwischenwertsatzes ). Die Nullstellen des Restpolynoms.Ordnung kann man dann mittels pq-formel oder binomische Ergänzung bestimmen.. Zwischenwertsatz: Wenn f(x) im Intervall [a;b] stetig ist, f(a)> f(b)< ist, so muss es einen Wert c im Intervall [a;b] geben mit f(c)=

Die Nullstellen der Funktion sind in folgendem Graphen gekennzeichnet: f(x)=(x+4)(x+3)(x+)(x+)=x^4+9x^3+6x^+74x+4 - - - - -4-3 - - B.7.c Extremstellen Sattelstellen Vorbemerkung: Für die folgenden Betrachtungen wird davon ausgegangen, daß die benötigten Ableitung für den Definitionsbereich der Ausgangsfunktion existieren. Dies muß nicht zwangsläufig der Fall sein (vergl. Abschnitt Vorgehen, wenn die Definitionsmenge von f (x) kleiner ist als die von f(x) ). Vor der formalen Definition sollen zunächst die Extremstellen der unter B.7.b bereits behandelte Funktion f(x) der Funktion g(x)=-f(x) betrachtet werden.

f(x)=(x+4)(x+3)(x+)(x+)=x^4+9x^3+6x^+74x+4 lokales bzw. relatives Maximum (f (a )=) Umgebung, in der das lokale Maximum ein Maximum ist ( ) Umgebung, in der das lokale Minimum ein Minimum ist ) - - lokales bzw. relatives Minimum (f (a )=) globales bzw. absolutes Minimum (f (a )=) - - -4 a -3 a - a - f (x)=8x^3+7x^+x+74 - - - - -4-3 - - Die stetige Funktion f(x) weist Extremstellen für x={a ;a ;a } auf. Das absolute Minimum für x=a ist ein globales bzw. absolutes Minimum, weil es kein x D gibt für das f(x) kleiner ist als f(a ). Die lokalen bzw. relativen Extremstellen sind nur in den gekennzeichneten Umgebungen (Intervallen) Extremstellen. Die Steigung dy/dx von f(x) an den Extremstellen ist. Der Graph der. Ableitung schneidet die x-achse für x={a ;a ;a }. 3

Ist (a;f(a)) ein Minimum weist f(x) links vom Minimum eine fallende Monotonie rechts davon eine steigende Monotonie auf. D.h., daß f (x) links von x=a in diesem Fall negativ (<) ist rechts davon positiv (x>) ist. Wenn dies der Fall ist, dann ist f (a)>. Ist (a;f(a)) ein Maximum weist f(x) links vom Minimum eine steigende Monotonie rechts davon eine fallende Monotonie auf (gilt nur in der weiter unten definierten Umgebung). D.h., daß f (x) links von x=a in diesem Fall positiv (>) ist rechts davon negativ (x<) ist. Wenn dies der Fall ist, dann ist f (a)<. In der folgenden Abbildung sind f(x), f (x) f (x) dargestellt. f(x)=(x+4)(x+3)(x+)(x+)=x^4+9x^3+6x^+74x+4 f (x)=8x^3+7x^+x+74 f (x)=4x^+4x+ Maximum: f (x=a )= f (x=a )< - Minimum: f (x=a )= f (x=a )> - Minimum: f (x=a )= f (x=a )> - - -4 a -3 a - a - Wenn man f(x) an der x-achse spiegelt (Multiplikation mit -: g(x)=-f(x)) erhält man für die x- Werte, die bei f(x) ein Minimum aufweisen ein Maximum umgekehrt. D.h. g(x) weist ein globales Maximum, ein lokales Maximum lokales Minimum auf. g(x)=-(x+4)(x+3)(x+)(x+)=-x^4-9x^3-6x^-74x-4 g (x)=-8x^3-7x^-x-74 g (x)=-4x^-4x- globales bzw. absolutes Maximum (f (a )=) - - - -4-3 - - a 4

Nach dieser anschaulichen Betrachtung von Extremstellen sollen diese nun mathematisch beschrieben werden: a) Definition absolutes (globales) Extremum: gegeben: f( x) D R, W R a D f(a) ist ein absolutes (globales) Maximum wenn folgendes gilt: fa ( ) fx ( ) für alle x D f(a) ist ein absolutes (globales) Minimum wenn folgendes gilt: fa ( ) fx ( ) für alle x D Globale Maxima Minima werden auch als Extremwerte bezeichnet. Weitere Bedingung siehe Punkt c! b) Definition relatives (lokales) Extremum: f(a) ist ein relatives (lokales) Maximum wenn in der Umgebung U(a) Ua ( ) D folgendes gilt: fa ( ) fx ( ) für alle f(a) ist ein relatives (lokales) Minimum wenn in der Umgebung U(a) Ua ( ) D folgendes gilt: fa ( ) fx ( ) für alle Weitere Bedingung siehe Punkt c! c) Ein Extremum liegt nur dann vor wenn f(x) zu beiden Seiten von x=a eine entgegengesetzte Monotonie aufweist - d.h.: - f (a)= - f (a) ist nicht selbst ein Extremum (hinreichend Bedingung: f ( a) ) (vergleiche auch Sattelstelle - Punkt e) d) Definition Umgebung: Eine Menge Ua ( ) D heißt Umgebung der reellen Zahl a, wenn es ein offenes Intervall (b;c) gibt, das a enthält mit abc,, D. (Achtung: z.b.: D=[;4] -> U(a=4) existiert nicht, weil es kein offenes Intervall gibt, das a=4 enthält) e) Definition Sattelstelle: Eine Sattelstelle liegt dann vor wenn - f(x) bei x=a eine waagerechte Tangente hat (also f (a)=) - f(x) zu beiden Seiten von x=a die gleiche Monotonie aufweist bzw. f (a) ein Extremwert von f (x) ist. Die Funktion h(x)=x 3 weist bei x=a= eine Sattelstelle auf: h ()= h () ist ein Extremwert von h (x): h ()= h () 3 h(x)=x^3-3 h (x)=3x^ h (x)=6x h (x)=6 - - Sattelstelle: h ()=, h ()=, h () -3-3 - - 3

Ist die erste Ableitung einer Funktion/Gleichung für x=a mit a D gleich, so liegt hier also entweder ein Sattelpunkt oder ein Extremum vor. Ein Sattelpunkt liegt dann vor, wenn die.ableitung für x=a ein Extremum aufweist. Wenn die. Ableitung für x=a ebenfalls gleich ist so kann man nun iterativ/rekursiv überprüfen, ob die. Ableitung für x=a ein Extremum oder einen Sattelpunkt aufweist. Dies soll an folgendem Beispiel exemplarisch gezeigt werden: Untersuchung von ix ( ) = x 7 auf Extremwerte bzw. Sattelstellen für x=: Tabelle : Analyse, ob ix ( ) = x 7 bei x= eine Sattelstelle oder eine Extremstelle aufweist Schritt Ableitung Folgerung. Ableitung: i ()= i(x) weist für x= eine Sattelstelle oder ein i ( x) = 7x 6 Extremum auf. Ableitung: i ()= i (x) weist für x= eine Sattelstelle oder ein i ( x) = 4x Extremum auf 3 3. Ableitung: i ()= i (x) weist für x= eine Sattelstelle oder i ( x) = x 4 ein Extremum auf 4 4. Ableitung: i ()= i (x) weist für x= eine Sattelstelle oder i ( x) = 84x 3 ein Extremum auf. Ableitung: i ()= i (x) weist für x= eine Sattelstelle oder i ( x) = x ein Extremum auf 6 6. Ableitung: i ()= i (x) weist für x= eine Sattelstelle oder i ( x) = 3x ein Extremum auf 7 7. Ableitung: i ()> i (x) (6. Ableitung) ist bei x= monoton i ( x) = 3 steigend => i (x) (. Ableitung) weist für x= ein Minimum auf 8 4. Ableitung da.ableitung Extremum => 4.Ableitung Sattelstelle (monoton steigend) 9 3. Ableitung da 4.Ableitung Sattelstelle (monoton steigend) => 3.Ableitung Minimum. Ableitung da 3.Ableitung Extremum =>.Ableitung Sattelstelle (monoton steigend). Ableitung da.ableitung Sattelstelle (monoton steigend) =>.Ableitung Minimum Ausgangsfunktion da.ableitung Extremum => Ausgangsfunktion Sattelstelle (monoton steigend) Aus den Rechenschritten ist auch ersichtlich, daß die Funktion j(x)=7x 6 für x= ein Minimum hat. Die Analyse des kritischen Punkts (x=;y=) von i(x) ist nach diesem Verfahren recht aufwendig. Generell muß in jedem Fall die. Ableitung gebildet werden, um zeigen zu können, ob der 6

kritische Punkt ein Minimum, Maximum oder eventuell ein Sattelpunkt ist. In den meisten Fällen ist aber die.ableitung bereits ungleich damit ein Extremum eindeutig identifiziert. In der folgenden Abbildung ist ein Entscheidungsdiagramm für die Untersuchung von f(x) auf ein Minimum, Maximum eine Sattelstelle dargestellt. f (x=a)=? ja f (x=a)>? nein f (x=a)<? nein nein f(x=a) ist kein Extremum keine Sattelstelle ja f(x=a) ist ein Minimum ja f(x=a) ist ein Maximum 4 Möglichkeiten: ) f (x=a) Maximum => f(x=a) Sattelstelle monoton fallend ) f (x=a) Minimum => f(x=a) Sattelstelle monoton steigend 3) f (x=a) Sattelstelle monoton fallend => f(x=a) Maximum 4) f (x=a) Sattelstelle monoton steigend => f(x=a) Minimum nächster Schritt: rekursives Überprüfen von f (x=a) auf ein Extremum alternatives Verfahren zur Klassifikation eines kritischen Punktes Das oben behandelte Verfahren zur Analyse von Extrem- Sattelstellen hat Nachteile: a) wenn die. Ableitung für x=a Null ist, dann müssen rekursiv die nächst höhere(n) Ableitungen überprüft werden => aufwendig b) wenn bereits die. Ableitung ein komplizierter algebraischer Ausdruck ist, dann wird die. Ableitung oftmals noch komplizierter (z.b. durch Anwendung der Produkt-, Quotienten- oder Kettenregel) c) die Ableitungen f (a) f (a) existieren unter Umständen nicht - siehe Punkt Vorgehen, wenn die Definitionsmenge von f (x) kleiner ist als die von f (x) Als Alternative kann man auch - wenn f (x=a)= ist - f (x) oder f(x) in der Umgebung von x=a überprüfen. Dies soll nun für die 4 zu unterscheidenen Fälle gezeigt werden. Es ist jedesmal eine Beispielfunktion gewählt worden, um die Kriterien nochmal anschaulich überprüfen zu können. Die magenta-farbenen Linien kennzeichnen die gewählten x-werte in der Umgebung von x=a (a=- in den Beispielen). 7

Überprüfung von f(x) in der Überprüfung von f (x) in der kritischer Punkt von f(x) ist f(x)>f(a) für x< a x U( a) f (x)< für x < a Minimum f(x)>f(a) für x> a f (x)> für x > a 8 f(x)=(x+)^+ f (x)=(x+) 6 4 - -4-6 x<a x>a -8 x - a=- x + a a - -4-3 - - 8

Überprüfung von f(x) in der Überprüfung von f (x) in der kritischer Punkt von f(x) ist f(x)<f(a) für x< a x U( a) f (x)> für x < a Maximum f(x)<f(a) für x> a f (x)< für x > a 8 f(x)=-(x+)^+ f (x)=-(x+) 6 4 - -4-6 x<a x>a -8 x - a=- x + a a - -4-3 - - 9

Überprüfung von f(x) in der Überprüfung von f (x) in der kritischer Punkt von f(x) ist f(x)<f(a) für x< a x U( a) f(x)>f(a) für x> a f (x)> für f (x)> für x < a x > a Sattelstelle monoton steigend 8 f(x)=(x+)^3+ f (x)=3(x+)^ 6 4 - -4-6 x<a x>a -8 x - a=- x + a a - -4-3 - -

Überprüfung von f(x) in der Überprüfung von f (x) in der kritischer Punkt von f(x) ist f(x)>f(a) für x< a x U( a) f(x)<f(a) für x> a f (x)< für f (x)< für x < a x > a Sattelstelle monoton fallend 8 f(x)=-(x+)^3+ f (x)=-3(x+)^ 6 4 - -4-6 x<a x>a -8 x - a=- x + a a - -4-3 - - Die Beobachtungen für die 4 Flälle sind in folgender Tabelle nochmal zusammen gefaßt: Überprüfung von f(x) in der Überprüfung von f (x) in der kritischer Punkt von f(x) ist f(x)>f(a) für x< a x U( a) f (x)< für x < a Minimum f(x)>f(a) für x> a f (x)> für x > a f(x)<f(a) für x< a x U( a) f (x)> für x < a Maximum f(x)<f(a) für x> a f (x)< für x > a f(x)<f(a) für x< a x U( a) f(x)>f(a) für x> a f (x)> für f (x)> für x < a x > a Sattelstelle monoton steigend f(x)>f(a) für x< a x U( a) f(x)<f(a) für x> a f (x)< für f (x)< für x < a x > a Sattelstelle monoton fallend Nun stellt sich natürlich die Frage wie groß die Umgebung U(a) um x=a gewählt werden darf. Im Intervall (x a- ;x a+ ), das die Umgebung U(a) begrenzt, muß folgendes gelten: - f (x) darf keine weitere Nullstelle als f (a) aufweisen

- f (x) muß im gesamten Intervall stetig sein. Man kann sich in dieser Umgebung willkürlich je einen x-wert für x<a einen x-wert für x>a auswählen. Anschließend kann man nun einfach die Funktionswerte von f(x) bzw. f (x) bestimmen nach o.a. Tabelle den kritischen Punkt klassifizieren. Aufgabe : Untersuchen Sie die Funktion fx ( ) = x 7 auf Extrempunkte Sattelpunkte! Untersuchen Sie hierzu die Werte der.ableitung in der Umgebung von Nullstellen von f (x)! Vorgehen, wenn die Definitionsmenge von f (x) kleiner ist als die von f(x) Dieser Fall kann am besten an Hand eines Beispiels erklärt werden: Beispiel: kx ( ) = x = x für x < x für x k(x)= x =sqrt(x^) k (x)= x /x=sqrt(x^)/x 8 6 4 - - - Aus dem Graphen ist direkt ersichtlich, daß k(x) für x= ein Minimum hat k (x) hier nicht definiert ist. Mathematisch kann man wie folgt vorgehen: Aufgabe : a) Überprüfen Sie mathematisch, ob k(x)= x an der möglichen kritischen Stelle in den Intervallen ( ; ) ( ; ) stetig ist! b) Wenn k(x) hier stetig ist: Überprüfen Sie nach der Tabelle alternatives Verfahren zur Klassifikation eines kritischen Punktes ob ein Minimum oder ein Maximum vorliegt. Hierbei die Bedingungen für die Wahl der Umgebung beachten! Überprüfung von f(x) in der kritischer Punkt von f(x) ist f(x)>f(a) für x< a f(x)>f(a) für x > a Minimum f(x)<f(a) für x< a f(x)<f(a) für x > a Maximum

B.7.d Wendestellen Eine Wendestelle liegt dort vor, - wo der Zuwachs der Steigung der Tangenten von f(x) sich umkehrt bzw. - f (x) eine Extremstelle aufweist. D.h., bei der Bestimmung von Wendestellen muß f (x) auf kritische Stellen überprüft werden (siehe Abschnitt B.7.c). Die Wendestellen sollen anhand der bekannten Funktion fx ( ) = x 4 + 9x 3 + 6x + 74x + 4 diskutiert werden. f(x)=(x+4)(x+3)(x+)(x+)=x^4+9x^3+6x^+74x+4 f (x)=8x^3+7x^+x+74 f (x)=4x^+4x+ - - Wendestelle: f(x=a3): Umkehrung Steigungs- Zuwachs der Tangenten f (x=a 3 ): Maximum f (x=a 3 )= Wendestelle: f(x=a4): Umkehr Steigungs-Zuwachs der Tangenten f (x=a 3 ): Minimum f (x=a 3 )= - - -4 a 3-3 a - a 4 - Sattelpunkte sind grsätzlich auch Wendepunkte. Der Graph von f(x) ändert am Wendepunkt seine Krümmung. Die Krümmung von f(x) ist in diesem Fall wie folgt: konvex ( nach oben geöffnet ): in den Intervallen (- ;a 3 ) (a 4 ; ) konkav ( nach unten geöffnet ): im Intervall (a 3 ;a 4 ) B.7.e Polstellen - vertikale Asymptoten Polstellen liegen immer dann vor, wenn eine der folgenden Bedingungen zutrifft: lim fx ( ) = ± x a lim x a - lim x a + fx ( ) fx ( ) = = ± ± 3

Bekannte Beispiele für Funktionen mit Polstellen sind: a) rationale Funktionen: Polstellen liegen bei den x-werten vor, die Definitionslücken bilden, weil der Nenner Null wird - z.b. lx ( ) = ---------------------- Polstelle für x= x= x ( x ) l(x)=/(x(x-)) - - - - 3 4 b) Logarithmusfunktion: Beispiel mx ( ) = log x m(x)=log_(x) - - -3 4 6 8 4

B.7.e Horizontale Asymptoten Im Gegensatz zur Definition von vertikalen Asymptoten läßt man bei horizontalen Asymptoten die Veränderliche x gegen ± streben. Wenn f(x) für x gegen ± gegen einen fixen Wert L strebt, so strebt f(x) asymptotisch gegen die waagerechte Gerade y=l. Also: Die Gerade y=l ist eine horizontale Asymptote der Funktion y=f(x) wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist: lim fx ( ) = L lim fx ( ) = L x x Dies soll wieder anhand des obiben Beispiels von l(x) betrachtet werden: lim fx ( ) = x ± Soll eine rationalen Funktionen mit einem Nennerpolynom vom Grad n> analysiert werden, so ist folgender grlegende Satz von Bedeutung: für r>: lim --- = lim x r = ± x ± x r x ± Wenn man eine rationale Funktion untersucht, so streben sowohl der Zähler als auch der Nenner gegen ±. Damit ist der Quotient aus Zähler Nenner erst einmal nicht offensichtlich. Expemplarisch soll hier die Funktion r(x) betrachtet werden: 3x x rx ( ) = ----------------------------- x gesucht: lim rx ( ) + 4x + x ± Um eine rationale Funktion auf horizontale Asymptoten zu untersuchen, muß man eine algebraische Umformung vornehmen kann hierauf nun die Grenzwertsätze anwenden: a) man teile sowohl das Zähler- als auch das Nennerpolynom durch x n, wobei n der Grad des Nennerpolynoms ist (eine Division durch wäre nicht erlaubt - da x jedoch sehr große/kleine Werte, die ungleich Null sind, annimmt, ist dies kein Problem) lim rx ( ) 3x 3 -- ---- x x lim ----------------------------- x = = lim ----------------------- x ± x ± x + 4x + x ± 4 -- + + ---- x x b) man wende die Grenzwertsätze an ermittele damit den Grenzwert: 3 -- ---- lim 3 lim -- lim ---- x lim rx ( ) x x ± x ± x x ± x lim ----------------------- ------------------------------------------------------------------ -------------------- 3 3 = = = = -- x ± x ± 4 -- + + ---- lim lim 4 -- lim ---- + + x x x ± x ± x x ± x Folgerungen: es können 3 Fälle für rationale Funktionen unterschieden werden: ) Grad des Zählerpolynoms größer als Grad des Nennerpolynoms: lim rx ( ) = ± x ± ) Grad des Zählerpolynoms kleiner als Grad des Nennerpolynoms: lim rx ( ) = x ± z max 3) Grad des Zählerpolynoms ist gleich dem Grad des Nennerpolynoms: lim rx ( ) = ----------, x ± n max wobei z max bzw. n max die höchstwertigen Koeffizienten des Zähler- bzw. Nennerpolynoms sind.

Aufgabe 3: a) Untersuchen Sie qx ( ) = x --------------------- + auf horizontale Asymptoten! 3x b) Untersuchen Sie sx ( ) = x + x auf horizontale Asymptoten! formen Sie s(x) nach der 3.binomischen For- x Tip: Multiplizieren Sie s(x) mit --------------------------- + + x x + + x mel um! B.7.f Asymptoten im Unendlichen Eine weitere Kurvencharakteristik ist, wenn lim fx ( ) = ± - also für x gegen oder x ± die Funktion gegen oder strebt. Es soll nun noch das Verhalten einer rationalen Funktion noch genauer betrachet werden. Wie bereits festgestellt, strebt der Funktionswert gegen ± für x ± wenn der Grad des Zählerpolynoms größer ist als der Grad des Nennerpolynoms. Der Graph nähert sich in diesem Fall asymptotisch einem Graphen a(x). Diesen Graphen a(x) erhält man, indem man das Zählerdurch das Nennerpolynom so lange dividiert bis der Grad des Restpolynoms kleiner ist als der des Nennerpolynoms. 3x 3 x Beispiel: ex ( ) = ----------------------------- x gesucht: lim ex ( ) + 4x + x ± ( 3x 3 x ) : ( x + 4x + ) = 3x 3 + -----x + 3 --x 7 -----x 7 -----x 3 --x 68 -----x 7 ----- 3 33 -----x ----- 3 33 -----x ----- 3 7 lim ex ( ) lim --x ----- 3 7 = + lim ----------------------------- = lim --x ----- + x ± x ± x ± x + 4x + x ± 3 7 Für x ± nähert sich e(x) also asymptotisch dem Graphen ax ( ) = --x -----, der natürlich wiederum selbst gegen ± strebt. B.7.g Zusammenfassung 3 --x 7 ----- 3 33 -----x ----- + ----------------------------- x + 4x + Wenn man eine Funktion auf die in Kapitel B.7.a bis B.7.f behandelten Charakteristiken untersucht, dann kann man mit den Erkenntnissen den Graphen an den charakteristischen Stellen skizzieren. Dies soll anhand von Beispielen praktiziert werden. 6

Aufgabe 4: Der Graph der Funktion sieht wie folgt aus: 8 6 4 - -4-6 -8 wx ( ) = -------------------------------- x a ( x b) ( x c) Parameter a, bc, R w(x)=(x-a)/((x-b)(x-c)) - - -9-8 -7-6 - -4-3 - - 3 4 6 7 8 9 a) Bestimmen Sie aus dem Graphen die Parameter a,b c! b) Bestimmen Sie mathematisch - die Nullstellen von w(x) - die Extremstellen von w(x) - die Polstellen - die waagerechten Asymptoten 3x( x a) c) Untersuchen Sie w( x) = 3x w( x) = -------------------------------- auf waagerechte Asymptoten! ( x b) ( x c) d) Untersuchen Sie w3( x) 3x 3x ( x a) = wx ( ) = -------------------------------- auf Asymptoten für x ±! ( x b) ( x c) Allgemeine Anmerkung Die Darstellungen in diesem Skript zum Thema Kurvendiskussion gelten sowohl für Funktionen als auch allgemein für implizite Gleichungen deren Ableitungen. Übungen: siehe Aufgabenblatt 8 7