Analysis Klausur zu Ableitung, Extrem- und Wendepunkten, Interpretation von Grapen von Ableitungsfunktionen, Tangenten und Normalen (Bearbeitungszeit: 90 Minuten) Gymnasium J Alexander Scwarz www.mate-aufgaben.com November 0
Pflictteil - one Hilfsmittel Aufgabe P: (,5 VP) Bilden Sie die ersten beiden Ableitungen der Funktion f mit f(x) = 6x + 4x + x Aufgabe P: (7,5 VP) Die folgende Abbildung zeigt den Grapen der Ableitungsfunktion f einer Funktion f. Entsceiden Sie für den abgebildeten Bereic, ob die folgenden Sätze rictig oder falsc sind, und begründen Sie Ire Antwort. ) Der Grap von f at bei x = - einen Hocpunkt. ) Der Grap von f at für x 6 genau zwei Wendepunkte. ) Für die Funktionswerte an den Stellen 0 und 4 gilt f(0) > f(4). 4) Für x > 4 ist der Grap von f streng monoton fallend. 5) Der Grap von f ist für,9 x 0,5 eine Linkskurve. Aufgabe P: (6 VP) Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = x + x. Die x-acse, die y-acse und die Normale im Wendepunkt bilden ein Dreieck. Berecnen Sie den Inalt dieses Dreiecks.
Walteil - mit GTR und Formelsammlung Aufgabe W: (4 VP) Aus einem dreieckigen Stück ORQ einer Glassceibe soll ein recteckiges Stück erausgescnitten werden (siee Abbildung). Berecnen Sie die Koordinaten des Punktes P so, dass der Fläceninalt A maximal wird. 5 Die Verbindungsgerade zwiscen Q und R at die Gleicung y= x+ 5. Aufgabe W: (0 VP) Die Scneeöe in einem Gebiet beträgt zu Beginn eines Wintertages 0. Die Scneefallrate wärend dieses Tages wird modellaft bescrieben durc die Funktion f mit 0,5t 5t+,5 f(t) = t 0t+ 5 (t in Stunden seit Tagesbeginn, f(t) in pro Stunde). Ir Scaubild sei K. a) Skizzieren Sie K in einem geeigneten Koordinatensystem. Bestimmen Sie den Zeitpunkt, an dem es am stärksten scneit. b) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, an dem die Scneefallrate am stärksten abnimmt. Wann würde es aufören zu scneien, wenn die Abname der Scneefallrate ab diesem Zeitpunkt gleic bleiben würde?
Lösungen Aufgabe P: 0,5 f(x) = 6x + 4x + x f (x) = x + 8x+ 0,5x = x + 8x+ x,5 f (x) = 4x+ 8 0,5x = 4x+ 8 4 x 0,5 Aufgabe P: ) Die Aussage ist falsc. An der Stelle x = - at f(x) eine Wendestelle, da die Ableitungsfunktion an dieser Stelle eine Extremstelle besitzt. ) Die Aussage ist rictig. Die Ableitungsfunktion at im Intervall x 6 genau zwei Extremstellen, also at f(x) genau zwei Wendestellen und damit zwei Wendepunkte. ) Die Aussage ist rictig. Im Intervall 0 x 4 verläuft die Ableitungsfunktion unteralb der x-acse. Damit ist f(x) in diesem Intervall streng monoton fallend. Daraus folgt f(0) > f(4). 4) Die Aussage ist falsc. Die Ableitungsfunktion verläuft für x > 4 oberalb der x-acse und damit ist f(x) dort streng monoton steigend. 5) Die Aussage ist falsc. Da f(x) bei x = - eine Wendestelle besitzt, bei der sic die Krümmung des Scaubildes ändert, kann im Intervall,9 x 0,5 keine gleic bleibende Krümmung existieren. Aufgabe P: Im ersten Scritt wird der Wendepunkt von f(x) berecnet. f(x) = x + x f (x) = x + 4x f (x) = 4x+ 4 f (x) = 4 Notwendige Bedingung für einen Wendepunkt: f (x) = 0 4x+ 4= 0 x= Hinreicende Bedingung: f ( ) = 4 0 also Wendepunkt W( /f( )) = W( /) Normalengleicung im Wendepunkt: y = (x u) + f(u) f (u) Einsetzen von u = -: y = (x+ ) + y= 0,5x+,5 4
Inalt des Dreiecks zwiscen der Normalen und den Koordinatenacsen: Scnittpunkt mit der y-acse: P(0/,5). Scnittpunkt mit der x-acse: Q(-/0). Inalt des Dreiecks: 9 A=,5 = Fläceneineiten 4 Aufgabe W: Da der Punkt P auf dem Scaubild der Geraden liegt, besitzt er die Koordinaten 5 P(u/ u+ 5). 5 5 Die Fläce des Rectecks beträgt daer A(u) = u ( u+ 5) = u + 5u mit 0 u Gesuct ist das absolute Maximum von A(u) im Intervall 0 u. Bestimmung des relativen Maximums mit dem GTR: Notwendige und inreicende Bedingung: A(u) = 0 und A (u) < 0 GTR: relatives Maximum für u =,5 mit A(,5) =,75. Randbetractung: A(0) = 0 und A() = 0. Damit liegt für u =,5 sogar ein absolutes Maximum vor mit A(,5) =,75 Fläceneineiten. Koordinaten von P: P(,5/,5) 5
Aufgabe W: a) Skizze: Der Zeitpunkt zu dem es am stärksten scneit ist das relative Maximum von f(t). Notwendige und inreicende Bedingung: f (t) = 0 und f (t) < 0 Mit dem GTR: Der Hocpunkt von f(t) lautet H(5/0). Zum Zeitpunkt t = 5 scneit es am stärksten mit 0 /Stunde. b) Die Scneefallrate nimmt am stärksten ab, wenn die erste Ableitungsfunktion f (t) minimal wird. Dies entsprict beim Scaubild von f(t) einem der beiden Wendepunkte. Bestimmung mit dem GTR: Die Ableitungsfunktion nimmt für t = 6,8 ir Minimum an. Zu diesem Zeitpunkt nimmt die Scneefallrate mit,95 am stärksten ab. Es gilt f(6,8) = 7,67. Würde ab diesem Zeitpunkt die Scneefallrate konstant 7,67 mit,95 abnemen, würde es nac 4 aufören zu scneien.,95 6