Mathematik im Berufskolleg

Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Bohner Ott Deusch Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Ausführliche Lösungen zu im Buch gekennzeichneten Aufgaben ab. Auflage 06 ISBN 978--80-059-7 Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu 5 a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen. Merkur M Verlag Rinteln Umschlag: Adrian Schulz Foto: Mall of Berlin Bild Kreis links: Christian Schwier fotolia.com Bild Kreis rechts: Kirill Kedrinski fotolia.com

Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite a) Die Stelle wird mit x = bezeichnet. Funktionswert ist ein -Wert bzw. f(x)-wert. f() = b) Der zugeordnete -Wert ist 4, der Funktionswert f(x) ist 4. f(x) = 4 c) x =, = 5 Für schreibt man f(x). f() = 5 d) Funktionswert wird mit f(x) bezeichnet. f(x) = 4 e) Funktionswert wird mit f(x) bezeichnet. f(x) > 7 für alle x e R f) Stelle ist ein x-wert: x = 7 Der Funktionswert ist 9. f( 7) = 9 g) Der -Wert an der Stelle x = ist null. f() = 0 h) Funktionswert ist f(x). f(x) = 5 für alle x e R i) Koordinaten x und stimmen überein: = x Für schreibt man f(x). f(x) = x j) Schnittpunkt mit der -Achse: x = 0 -Wert ist 4 f(0) = 4

Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 9 f(x) = 5 x ; x R a) Vergleich mit der Wertetabelle ergibt: 9 P( 5 0) liegt auf dem Schaubild von f: f( 9 5 ) = 0 Q( 0 ) liegt oberhalb des Schaubildes von f: f() = 4 < 0 R( 0 ) liegt unterhalb des Schaubildes von f: f( ) = 9 > 0 b) Ansatz: f(x) = Umformung: 5 x = 5 x = 5 x = Interpretation: Der Punkt P( ) liegt auf dem Schaubild von f. 9 c) f( ) = Da der neue Funktionswert an dieser Stelle sein soll, muss die Gerade um die Differenz ( 9 ) = verschoben werden. Verschiebung um nach oben: = 5 x + 5 d) Ansatz: f() = a = a Wert für a: a = Der Punkt P ( ) liegt auf der Geraden. Lehrbuch Seite Ansatz: G(x) = mx + b; x in ME und G(x) in GE Stückgewinn (Gewinn pro ME): m = 75 ( GE ME ) Bei ME Gewinn 50 GE entspricht dem Kurvenpunkt P( 50). Gewinnfunktion: Punktprobe mit P( 50): G(x) = 75x + b 50 = 75 + b b = 00 Gewinnfunktion G mit G(x) = 75x 00 Ansatz: G(x) = 075 75x 00 = 075 Produktionsmenge: x = 4,64 Bei einer Produktionsmenge von 4,64 ME ist der Gewinn 075 GE.

4 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 5 6 Schnittpunkt mit der -Achse: f(0) = S (0 ) Schnittpunkt mit der x-achse: N(0,5 0) Begründung: Die Nullstelle liegt rechts von x = 0 (VZW der -Werte). Vergrößert sich x um, so vergrößert sich um. Vergrößert sich x um 0,5, so vergrößert sich um, also ist x = 0,5 eine Nullstelle und damit N(0,5 0). Funktionsterm bestimmen: Ansatz: = mx Punktprobe mit z. B. P( ): = m m = Funktionsterm: f(x) = x Varianten Aus der Tabelle lässt sich ablesen: Vergrößert sich x um, so vergrößert sich um, d.h. die Steigung der Geraden beträgt m =. Der -Achsenabschnitt ist b =. Funktionsterm: f(x) = x oder Steigung der Geraden: m = ( ) x x = 0 = -Achsenabschnitt: b = Funktionsterm: f(x) = x

Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband 5 Lehrbuch Seite 8 a) Ansatz für G: g(x) = 4x + b G schneidet die x-achse in x = 4: g(4) = 0 4 4 + b = 0 b = 6 Gleichung von G: g(x) = 4x 6 b) H verläuft durch P( ) und schneidet die x-achse in x = : Ansatz: = mx + b Punktprobe mit P( ): m + b = Punktprobe mit N( 0): m + b = 0 4m = m = 0,5 Einsetzen ergibt b: 0,5 + b = b = 0,75 Gleichung von H: h(x) = 0,5x + 0,75 ( ) Variante: Bestimmung der Steigung aus P( ) und N( 0): m = 0 ( ) = 4 Punktprobe mit P( ) in = x + b: = 4 4 + b b = 4 Gleichung von H: h(x) = 4 x + 4

6 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 40 6 K: f(x) =,75x + 8 = 7 4 x + 8 a) Schaubild K von f b) G schneidet die -Achse in S(0,5) G schneidet die Gerade K senkrecht: m G = 4 7 k(x) = 4 7 x + Gleichsetzen: 7 x + 8 = 4 4 7 x + 8 49x + 4 = 6x + 4 65x = 8 x = 4 5 Einsetzen ergibt: = f( 4 5 ) = 7 4 ( 4 ) + 8 = 5 0 4 Schnittpunkt von G und K: S( 5 0 ) 4 S(,8,) K 8 x c) Ansatz für H: h(x) =,75x + b P(0 8) wird auf P*( 8) abgebildet. Punktprobe mit P*( 8) ergibt: 8 =,75 + b b = 4,5 Geradengleichung von H =,75x + 4,5 H schneidet die -Achse in 4,5. Variante: Verschiebung von K um nach rechts: h(x) = f(x ) =,75(x ) + 8 Ausmultiplizieren ergibt h(x) =,75x + 4,5 H schneidet die -Achse in 4,5.

Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband 7 Lehrbuch Seite 4 a) Aus der Abbildung: G hat die Steigung m = und geht durch (0 ). 4 (Steigungsdreieck mit den Eckpunkten (4 0), (0 0) und (0 )) Gerade G: g(x) = 4 x + Aus der Abbildung: H verläuft durch (0 4) und (4 ). H hat also die Steigung m = und geht durch (0 4). 4 Gerade H: h(x) = 4 x 4 Gleichsetzen: x + = 4 4 x 4 4 x + = x 6 6x = 8 x = 8 6 = 4 Einsetzen: 4 4 4 = Schnittpunkt von G und H: S( 4 ) b) G: S x (4 0); S (0 ) 6 H: S x ( 0); S (0 4) Fläche mit der x-achse: A x = ( 6 4) = Fläche mit der -Achse: A = 4 7 = 49 Die Behauptung stimmt. c) g(,5) h(,5) =,875 (,875) = 4,75 Der Abstand der Punkte P und Q ist gleich der Länge der Strecke PQ. g(,5) h(,5) > 0: G verläuft oberhalb von H in x =,5. 4 5 6 A Ax 4 G 4 5 6 4 Q P G H H x x

8 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 55 5 = 0, x a) g(x) = 0, x b) g(x) = 0, x = f(x) Die gespiegelte Parabel G und die Ausgangsparabel sind gleich. = 0,x G 5 4 4 5 x c) g(x) = 0, (x ) = 0,(x ) = 0,x Ersetze x durch (x ) G d) g(x) = 0, x 4 e) Streckung in -Richtung mit Faktor 5: = 5 0, x = 0,5 x Verschiebung um nach links: = 0,5( x + ) Verschiebung um,5 nach oben: 5 4 4 5 6 7 = 0,x 5 4 4 5 x G 4 = 0,x 4 5 = 0,5(x + ) +,5 8 7 G 4 56 x = 0,5x = 0,x 5 4 4 5 x = 0,5( x + ) +,5 g(x) = 0,5( x + ) +,5

Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband 9 Lehrbuch Seite 6 a) h (t) = 4 t + 5 t + ; t 0 h(t) = 0 4 t + 5 t + = 0 Lösung der Gleichung: t = 0, < 0; t =,88 Interpretation: Nach,88 s kommt der Pfeil auf dem Boden (h = 0) an. 5 0 5 Schaubild von h 0 4 t b) Abschusshöhe: h(0) = h(t) = 4 t + 5 t + = 4 t + 5 t = 0 t( 4 t + 5) = 0 Lösungen der Gleichung: t = 0 ; t =,75 Nach,75 s hat der Pfeil wieder die Höhe von m erreicht. Hinweis: Die Lösung t = 0 bedeutet, dass die Abschusshöhe m ist.

0 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 67 4 G 6 K: f(x) = 0,5 x x + G: g(x) = x 8x + K ist nach unten geöffnet, verläuft durch S (0 ) K 4 5 6 x S (0 ) legt die Achseneinteilung auf der -Achse fest. S(,5) legt die Achseneinteilung auf der x-achse fest. G ist nach oben geöffnet; G hat Normalparabelform G schneidet die x-achse u. a. in N( 0) 4 h Gerade h verläuft durch S (0 ) und P( ). (P ist gleichzeitig Schnittpunkt von h und K.) h hat also die Steigung m = und damit die Gleichung = x +. Schnittpunkte mit K durch Gleichsetzen: 0,5 x x + = x + Nullform: 0,5 x + x = 0 Ausklammern: x( 0,5x + ) = 0 zwei einfache Lösungen: x = 0; x = h schneidet K in 0 und. Schnittpunkte mit G durch Gleichsetzen: x 8x + = x + Nullform: x 6x + 9 = 0 Binomische Formel: (x ) = 0 doppelte Lösung = Berührstelle: x = h berührt G in B( ).

Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 7 a) Berühren bedeutet doppelte Lösung x = x =. Ansatz mit Linearfaktoren: = a(x + ) (x + ) Punktprobe mit A( 5 7): 7 = a ( 5 + ) ( 5 + ) Parabelgleichung: 7 = a ( ) ( ) 7 a = 4 = 7 4 (x + ) = 7 4 ( x + 6x + 9) b) Einfache Nullstellen: x = ; x = Ansatz mit Linearfaktoren: = a(x ) (x + ) Punktprobe mit A( ): = a( ) ( + ) = a( ) a = Parabelgleichung: = (x ) (x + ) = x x c) Verschobene Normalparabel: a = Berührstelle x = bedeutet doppelter Faktor (x + ) Ansatz mit Linearfaktoren: = (x + ) (x + ) = (x + ) Parabelgleichung: = (x + ) d) Ansatz wegen der = x + 4x + 4 Smmetrie zur -Achse: = a x + c Punktprobe mit A( 0,5): a + c = 0,5 Punktprobe mit A( 5,5): 4a + c = 5,5 ( ) Addition: a = 6 Lösung des Gleichungssstems: a = ; c =,5 Parabelgleichung: = x +,5

Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 75 4 a) K schneidet die x-achse in 0 und in 4. f(x) = 0 0,5 x + x = 0 K Ausklammern: x( 0,5x + ) = 0 einfache Nullstellen: x = 0; x = 4 Aus Smmetriegründen gilt x S = G x Einsetzen von x = in f(x) ergibt: f() = Scheitelpunkt: S( ) b) Ursprungsgerade H durch P hat die Steigung m = =. Gleichung von H: =,5x Gleichsetzen: 0,5 x + x =,5x Nullform: 0,5 x +,5x = 0 Ausklammern: x( 0,5x +,5) = 0 einfache Lösungen: x = 0; x = 0 Einsetzen in die Geradengleichung ergibt die Schnittpunkte: S (0 0); S (0 5) c) Gleichung der Parallelen zu H: =,5x + b Gleichsetzen ergibt: 0,5 x + x =,5x + b Nullform: 0,5 x +,5x b = 0 Vereinfachung: x 0x + 4b = 0 Bedingung für Berühren: D = 00 6b = 0 b = 6,5 doppelte Lösung für b = 6,5: x = 0 = 5 Gleichung der Parallelen: =,5x + 6,5 (Tangente an K) Einsetzen in die Geradengleichung ergibt den Berührpunkt: B(5,5) d) Der Scheitelpunkt der Parabel G muss auf der x-achse liegen, also Verschiebung um nach unten: g(x) = 0,5 x + x

Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 76 8 f(x) = x + bx ; x, b R Das Schaubild K von f ist eine verschobene Normalparabel (a = ), nach oben geöffnet. K verläuft duch den Punkt S (0 ). Schaubild K ist eine nach unten geöffnete Parabel und somit kein Schaubild von f. Schaubild K ist keine verschobene Normalparabel. Vom Scheitelpunkt geht man nach rechts und (etwa) nach oben (a = ). K ist kein Schaubild von f. Schaubild K ist eine verschobene Normalparabel, vom Scheitelpunkt geht man nach rechts und nach oben (a = ). K verläuft durch den Punkt S (0 ). Punktprobe mit P( ): = + b Für b = ist K ein Schaubild von f. b =

4 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 79 4 a) Nullstellen von f: f(x) = 0 5 x 9 + x = 0 Ausklammern: x( 5 x + 9 ) = 0 Einfache Nullstellen: x = 0; x =,8 Die Dicke des Diskus beträgt,8 cm. Scheitelkoordinaten: x S =,8 =,9 S = f(,9)= 5 (,9) 9 + (,9) S = 9,05 0 8 6 4 H 0 4 x Scheitelpunkt der Parabel: H(,9 9,05) Durchmesser: d = 9,05 = 8,05 Der Durchmesser beträgt 8,05 cm. b) Schnittstellen von Gerade und Parabel: 5 x 9 + x = 65 8 8 Nullform und Vereinfachung: 0 x 76x + 65 = 0 76 ± 76 Lösung mit Formel: x = 80 65 40 x = ± 4 76 40 einfache Lösungen: x =,; x =,5 Die Dicke des Diskus an der Stoffgrenze beträgt,5cm, cm =, cm.

Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband 5 Lehrbuch Seite 87 7 G(x) = x 4x a) G ist nicht punktsmmetrisch zu O. f() = 5; f( ) = 5 Die Bedingung für Punktsmmetrie f( x) = f(x) ist nicht erfüllt. G verläuft vom III. in den I. Quadranten. Verhalten für x + : f(x) + für x : f(x) b) H ist der höchste Punkt der Böschung. G ist smmetrisch zu P(0 ). Der tiefste Punkt (des Kanals) hat die Koordinaten x T,5 und T 5,08, denn,08 + =,08 und,08 = 5,08 Die größte Tiefe des Kanals beträgt 5,08 m.,6 H, x 4 5

6 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 9 7 A: Schaubild einer Polnomfunktion 4. Grades keine Smmetrie d. h. keine Parabel, nach oben geöffnet B: Schaubild einer Polnomfunktion. Grades, Smmetrie zur -Achse Parabelform C: Schaubild einer Polnomfunktion. Grades, Smmetrie zu P(0 ) D: Schaubild einer Polnomfunktion 4. Grades, Smmetrie zur -Achse Zwei Tiefpunkte" und ein Hochpunkt" Schaubild hat nicht die Form einer Parabel, ist somit kein Schaubild einer Polnomfunktion. Grades.

Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband 7 Lehrbuch Seite 97 a) Gleichung: x + 5 x = 4 x 4 x Nullform: x + x = 0 Ausklammern: x( + x )= 0 Satz vom Nullprodukt: x = 0 oder + x = 0 Mit + x 0 erhält man: x = 0 Lösung der Gleichung: x = 0 b) Gleichung: 5 ( x 0 x ) = 9 5 x ( 5) x 0 x = 9 x + 9x Nullform x 0 x + 9x = 0 Ausklammern: x( x 0 x + 9) = 0 Satz vom Nullprodukt: x = 0 oder x 0 x + 9 = 0 Lösungen: x = 0; x = 9; x = c) Gleichung: 8 ( x 0 x) = 0 8 x 0 x = 0 Ausklammern: x( x 0) = 0 Satz vom Nullprodukt: x = 0 oder x 0 = 0 Lösungen: x = 0; x = ± 0 d) Gleichung: 4 x = x 4 x 4 x = 8 x 6 x Nullform: x 8 x + 6 x = 0 Ausklammern: x( x 8 x + 6) = 0 Satz vom Nullprodukt: x = 0 oder x 8 x + 6 = 0 Lösungen: x = 0; x = 4

8 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 97 e) Gleichung: 9 x (x ) (x + 4) = 0 Satz vom Nullprodukt: x = 0 oder x = 0 oder x + 4 = 0 Lösungen: x = 0; x = ; x = 4 f) Gleichung: x ( 4 x) = 0 8 Satz vom Nullprodukt: x = 0 oder 4 x = 0 Lösungen: x = 0; x = 4 g) Gleichung: x 0,5 x 4 = 0 Ausklammern: x( 0,5 x ) = 0 Satz vom Nullprodukt: x = 0 oder 0,5 x = 0 0,5 x = 0 Lösungen: x = x = 0; x = h) Gleichung: x 4 + x = 0 x 4 + x = 0 Ausklammern: x ( x + ) = 0 Satz vom Nullprodukt: x = 0 oder x + = 0 Lösungen: x = 0; x 4 = i) Gleichung: ( x 4 x 48 x ) = 0 x 4 x 48 x = 0 Ausklammern: x ( x x 48) = 0 Satz vom Nullprodukt: x = 0 oder x x 48 = 0 Lösungen: x = 0; x = 8; x 4 = 6

Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband 9 Lehrbuch Seite 97 j) Gleichung: x 4 6 x + 9 x 8 = 0 6 x 4 8x + 8 x = 0 Ausklammern: x ( x 8x + 8) = 0 Satz vom Nullprodukt: x = 0 oder x 8x + 8 = 0 x 8x + 8 0, da D = 8 < 0 Lösung: x = 0 k) Gleichung: 0,4 x 4 x = 0,8 x 5 x 4 5x = 4 x 4 x Nullform: x 4 4 x 5x = 0 Ausklammern: x ( x 4 x 5) = 0 Satz vom Nullprodukt: x = 0 oder x 4 x 5 = 0 56 Lösungen: x = 0; x 4 = 4 4 ± l) Gleichung: x 4 = x x 4 = x Nullform: x 4 x = 0 Ausklammern: x ( x ) = 0 x Satz vom Nullprodukt: x = 0 oder x = 0 Lösungen: x = 0; x = ±

0 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 08 5 Bogen: f(x) = 4 ( x 4 x + 5x 40) Probe: f() = 0; f(5) = 0 d.h. das Koordinatensstem kann wie abgebildet gezeichnet werden. Gebäudewand D P Bühnenrückwand Bühne Befestigungsseil B C x Mit f() = 5 ergibt sich P( 5). Gerade durch D(0 8) und P. Die Gerade hat die Steigung m =. Geradengleichung: = x + 8 Schnittpunkt mit der x-achse: Bedingung: = 0 0 = x + 8 x = 8 Die Gerade schneidet die x-achse in 8. Befestigungspunkt: C(8 0) Der Abstand des Punktes C vom Punkt B beträgt m.

Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 5 Alle drei Nullstellen ; und 0 sind bekannt. Ansatz mit Produktform: f(x) = a(x + )(x )(x + 0) Für a < 0 verläuft der zugehörige Graph vom II. in das IV. Feld. Z. B.: a = f(x) = (x + )(x )(x + 0) Punktprobe mit P( 6): 6 = a( + )( )( + 0) 6 = a a = 6 Funktionsterm: f(x) = (x + )(x )(x + 0) 6 6 Gleichung der. Winkelhalbierenden: = x Punkte auf der. Winkelhalbierenden: A( ) und B( ) Ansatz: f(x) = x + b x + 4x + d Punktprobe mit A( ): + b 4 + d = Punktprobe mit B( ): 8 + 4b + 8 + d = LGS: b + d = 4 4b + d = 4 ( ) Addition ergibt: b = 8 b = 6 Einsetzen von b = 6 in z. B: b + d = 4 ergibt: 6 + d = 4 d = 0 Ergebnis: b = 6 und d = 0 Funktionsterm: f(x) = x 6 x + 4x + 0

Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 5 a) Der Wasserspiegel im Becken steigt in den ersten 6 s (Zuflussgeschwindigkeit positiv) und fällt von der 6. bis zur 9. Sekunde (Zuflussgeschwindigkeit negativ). b) Die ersten 6 Sekunden fließt Wasser in das Becken, danach wird Wasser entnommen. Nach 6 s befindet sich am meisten Wasser im Becken. Lehrbuch Seite 0 4 a) g(x) = f(x) + = e x + Vergleich mit g(x) = a e x + b ergibt: a = ; b = b) g(x) = f(x) = e x Vergleich mit g(x) = a e x + b ergibt: a = ; b = 0 c) g(x) = 0,5f(x) 6 = 0,5 e x 6 Vergleich mit g(x) = a e x + b ergibt: a = 0,5; b = 6 d) g(x) = e (x ) = e x + = e e x Vergleich mit g(x) = a e x + b ergibt: a = e ; b = 0 Bemerkungen: Eine horizontale Verschiebung lässt sich durch eine Streckung in -Richtung (Faktor e ) ersetzen (vgl. Potenzgesetze). Gemeinsame Eigenschaft: Alle Kurven haben eine waagrechte Asmptote.

Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuchseite 5 K: f(x) = e x K verläuft vom. in das. Feld. Die Gerade mit = ist waagrechte Asmptote. Schnittpunkt mit der -Achse: S (0 ) Schnittpunkt mit der x-achse: S x ( 0,7 0) f( 0,70) 0,0 < 0; f( 0,69) = 0,006... > 0 VZW von f(x) zwischen 0,70 und 0,69. K entsteht aus dem Schaubild von g durch Spiegelung an der x-achse: = e x und Verschiebung um nach oben: = e x + = 4 5 K x

4 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 4 5 a) Gleichung: e e 0,5x = 0 Umformung: e 0,5x = e Definition des Logarithmus: b) Gleichung: e 0,5x e = 0,5x = ln( e ) e x = ln( ) e x = 0 e x = e x = x = ln() x = ln() c) Gleichung: e x ( 5x) = 0 Satz vom Nullprodukt: e x = 0 5x = 0 wegen e x 0: 5x = 0 einzige Lösung: x = 5 d) Gleichung: e x = x = ln() x = ln() e) Gleichung: e 0,x + = 0 e 0,x + = 0,x + = ln() Mit ln() = 0: 0,x + = 0 x = 5

Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband 5 Lehrbuch Seite 4 5 f) Gleichung: 0,5 e 0,5x = 0 0,5 e 0,5x = e 0,5x = 6 0,5x = ln(6) x = 4ln(6) g) Gleichung: ( + x) e x = 0 Satz vom Nullprodukt: + x = 0 e x = 0 + x = 0 wegen e x 0: x = (einzige Lösung) h) Gleichung: 8 e x = 7 e x 8 e x = 7 e x e x 8 e x e x = 7 7 Nullform: e x + 8 e x 7 = 0 Substitution: u = e x u + 8u 7 = 0 Lösung mit Formel: u = ; u = 7 Rücksubstitution: e x = x = 0 e x = 7 x = ln(7) Lösungen: x = 0; x = ln(7) i) Gleichung: e 0,5x = e x e 0,5x e x = 0 Ausklammern: e 0,5x ( e 0,5x ) = 0 Satz vom Nullprodukt: e 0,5x = 0 e 0,5x = 0 e 0,5x = 0 e 0,5x = wegen e 0,5x 0: e 0,5x = 0,5x = ln() einzige Lösung: x = ln()

6 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 44 b) Schnittpunkte von K und G Bedingung: f(x) = g(x) e x + 6 = 5 e x 5 e x Nullform: e x 5 e x + 6 = 0 Substitution: u = e x u 5u + 6 = 0 Lösung mit Formel: u = ; u = Rücksubstitution: e x = x = ln() e x = x = ln() Lösungen der Gleichung: x = ln(); x = ln() -Werte der Schnittpunkte: = g(ln()) = 5 e ln() = 5 = 0 = g(ln()) = 5 e ln() = 5 = 5 Schnittpunkte: S (ln() 0); S (ln() 5) c) Schnittpunkte von K und G Bedingung: f(x) = g(x) e x + x = x 5 x e x = 5 ( ) e x = 5 Definition anwenden: x = ln(5) : x = ln(5) ln(5) -Werte des Schnittpunktes: = 5 = ln(5) 5 ln(5) Schnittpunkt: S( ln(5) 5)

Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband 7 Lehrbuchseite 5 Reale Situation In einem See von der Größe 8 ha wachsen Seerosen. Reales Modell Die bedeckte Fläche nimmt wöchentlich um 0% zu. Anfangs sind 50 m der Oberfläche bedeckt. Annahme: Die Zunahme erfolgt exponentiell. Die bedeckte Fläche nach t Wochen (t = 0 entspricht dem Beginn der Messung) soll durch eine Funktion beschrieben werden. Mathematisches Modell: B(0) = 50; B(t): bedeckte Fläche in m Mit a =,0 ergibt sich: B(t) = 50,0 t Dieser Funktionsterm beschreibt die bedeckte Fläche in Abhängigkeit von der Zeit t. Schreibweise mit e-basis mit,0 = e ln(,0) = e 0,64 Funktionsterm: B(t) = 50 e 0,64t Mathematische Lösung: Ansatz: B(t) = 80000 50,0 t = 80000 Logarithmieren: oder mit der Basis e:,0 t = 5, ln(,0) t = ln(5,) t =,9 Ansatz: B(t) = 80000 50 e 0,64t = 80000 Logarithmieren: Bewertung: e 0,64t = 5, 0,64 t = ln(5,) t = ln(5,) =,9 0,64 Die Wasserrose bedeckt die gesamte Fläche nach ca. 4 Wochen. Exponentielles Wachstum ist also nur in den ersten 4 Wochen möglich.

8 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuchseite 5 8 a) Jahr 009: t = 0 Jahr 09: t = 0 Anzahl der Einwohner: h(0) = 085,5 Zu Beginn des Jahres 09 sind ca. 0850 Einwohner zu erwarten. b) h() 788, = h(0) 7500,0 =,057 oder e 0,05,057 Die jährliche Zunahme beträgt,6%. c) Verdoppelungszeit Bedingung: h(t) = 7500 e 0,05 t = 0,05 t = ln() t = ln() = 60,7 0,05 In etwa 60 Jahren kann man von einer Verdoppelung der Einwohnerzahl ausgehen.

Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband 9 Lehrbuch Seite 54 Ansatz: g(t) = a 0 e kt ; t 0; a, k > 0 a) t = 0: g(0) = a 0 e k 0 = a 0 t = 0: g(0) = a 0 e 0k Aus g(0) = 0 folgt: a 0 = 0 a = 0 Aus g(0) = 6, folgt: a 0 e 0k = 6, a = 0 eingesetzt: 0 0 e 0k = 6, Auflösung nach k: 0 e 0k =,679 e 0k = 0,679 0 k = ln(0,679) k = ln(0,679) = 0,099994 0, 0 Funktionsterm: g(t) = 0 0 e 0, t b) Für t : g(t) 0 wegen e 0,t 0 Das Schaubild von g hat die waagrechte Asmptote mit der Gleichung = 0. Die Biomasse strebt gegen 0 0 Tonnen. c) 95 % von 0 = 9 Bedingung: g(t) = 9 0 0 e 0, t = 9 0 e 0, t = e 0, t = 0, 0,t = ln(0,) t = 0 ln(0,),0 Die Zeit bis zur Verwertung beträgt etwa Jahre.

0 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 75 d) f(x) = 4cos(πx) + ; a = 4; p = π π = ; = (Mittellinie) x e) f(x) = 6sin( ); a = 6; p = π = 4π; = π f) f(x) = cos( x) ; a = ; p = π = 4; = π Lehrbuch Seite 8 6 a) sin(x) = 0 sin(x) = WTR: x = 0,7 Mit Hilfe der Sinus-Kurve: x = π 0,7 =,4 Weitere Lösungen durch Addition der Periode p = π liegen nicht im gegebenen Intervall. Lösungen: x = 0,7;,4 b) sin(x) = WTR: x = 0,4 Mit Hilfe der Sinus-Kurve: x = π 0,4 =,80 Weitere Lösungen durch Addition der Periode p = π liegen nicht im gegebenen Intervall. Lösungen: x = 0,4; x =,80 c) sin(x) = 5 = 0,6 WTR: x = 0,64 z = 0,64 z = 0,64; z = π + 0,64 =,78 Mit z = x: x = 0,;,89 Weitere Lösungen im gegebenen Intervall durch Addition der Periode p =π: x = 0, + π =,8; x =,89 + π = 5,0; x = 0, + π = 5,96

Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg - Gesamtband Lehrbuch Seite 85 a) cos(x) = 0,5 WTR: x = π Wegen Smmetrie zur -Achse: x = π Weitere Lösungen durch Addition der Periode p = π: x = π + π = 4 π x = π + π > 6,5 Lösungen: π ; 4 π b) cos(x) = WTR: x = 0 Weitere Lösungen durch Addition der Periode p = π: x = π Lösungen: x = 0; π c) cos(x) = 4 WTR: x =,8 Wegen Smmetrie zur -Achse: x =,8 Weitere Lösungen durch Addition der Periode p = π: x =,8 + π = 4,46 x =,8 + π >6,5 Lösungen: x =,8; 4,46

Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 90 4 a) f (x) = 0,5 sin (x) + 0,5; x e [ ; π] f(x) = 0 sin (x) = Nullstellen von f: π 6 ; 7 6 π; 6 π b) f(x) = sin (x) = Schnittstellen: x = π 6 ; x = 5 6 π π Schnittpunkte: S ( 6 0,5); S ( 5 6 π 0,5) c) f* (x) = 0,5 sin (x + ) + 0,5 S S = 0,5 K f 4 5 6 x Um nach links verschieben heißt x durch (x + ) ersetzen. Lehrbuch Seite 0 a) ( 7 0 7 ) ( ) ~ ( 0 5 4 0 x = 4; x = ; x = ; Lösungsvektor: x = ( ) 4 b) ( 5 0 ) ~ ( 0 4 8 5 6 4 6 ) ~ ( 0 0 8 ) ~ ( 0 0 4 5 ) 0 0 40 8 5 6 ) 0 5 x =,5; x = ; x = ; Lösungsvektor: x = (,5 )

Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg - Gesamtband Lehrbuch Seite 0 7 Es können x ME an W, x ME an W und x ME an W hergestellt werden. ( 0 4 0 448 44 0 ) ~ ( 0 4 0 7 448 44 54 ) ~ ( 0 4 0 0 9 448 44 60 ) x = 90; x = 88; x = 60; Lösungsvektor: x = ( 60 88 90 ) Es können 60 ME an W, 88 ME an W und 90 ME an W hergestellt werden. Lehrbuch Seite 08 c) ( 4 0 6 0 4 0 0,5 ) ~ ( 0 4 8 6 6 0 4 0 0,5 ) ~ ( 0 4 8 0 6 6 0 0 0 ) x = r; 8 x 6r = x = 4 r; x + 4( 4 r) + 6r = 0 x = + r; Lösungsvektor: 0,5 + r x = ( 0,5 r r ) d) ( 5 0 7 5 0 ) ( ~ 0 0 5 5 5 6 5 5 x = r; 5 x 5r = 5 x = + r ) ~ ( 0 5 5 0 0 5 0 5 5 0 ) x + 5( + r) r = 0 x = 0 7r Lösungsvektor: x 0 7r = ( + r ) r

4 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 09 9 ( 5 ) ( ~ 0 0 6 4 ) ( ~ 0 0 0 0 ) 0 x = r; x + r = x = r x ( r) + r = x = r Lösungsvektor: r x = ( r ) r Einsetzen von x = ( 5 ) ergibt z. B. 5 = r und 8 = r 8 Es gibt also kein r, so dass x 5 = ( ) ein Lösungsvektor ist. 8 x + x + x = : r + r + r = r = 0,5 spezielle Lösung: 0,5 x = (,5 ) 0,5 Lehrbuch Seite Es werden x, x, x g der Präparate P, P, P genommen. 0, x + 0, x + 0, x = LGS: 0 x + 0 x + 0 x =00 0, x + 0,5 x + 0,5 x =, LGS in Matrixform: ( 0 0,5 0,5 0 00 ) ( ~ 0 0 5 0 5 4 0 0 4 ) x = ; 5 x + 5 = 0 x = x + + = 0 x = 5 Lösungsvektor: x = ( 5 ) Die Mischung enthält 5 g von P, g von P und g von P.

Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg - Gesamtband 5 Lehrbuch Seite 7 4 f(x) = 4 x x a) Mittlere Änderungsrate auf [; 5]: f(5) f() =,5 5 b) Sekante g durch P( ) und Q(5,75): g: =,5x 7,5 Schaubilder von f und g: 5 4 Graph von g Graph von f 4 5 waagrechte Tangente x c) Momentane Änderungsrate in x = : f( + h) f () = 4 ( + h) ( + h) + = h h = + h + 4 h 6 h + = h 0 für h 0 h 4 Die Steigung des Graphen von f an der Stelle x = ist null, waagrechte Tangente.

6 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 5 4 f(x) = 4 x (x ) = 4 x 4 x ; f (x) = 4 x x a) Tangente in W( ): f () = 4 : Einsetzen in = mx + b: = 4 + b b = 4 = 4 x + 4 b) Stellen mit Steigung 9 4 Bedingung: f (x) = 9 4 4 x x = 9 4 Lösungen: x = ; x = Tangente in x = : Tangente in x = : = 9 4 x 7 4 = 9 4 x + 5 4 c) Stellen mit Steigung (negativer Kehrwert von,5) Bedingung: f (x) = Stellen: x = 4 ; x = Tangente in x = 4 : Tangente in x = : = x + 4 7 = x + 5 7 d) Punkte mit waagrechter Tangente Bedingung: f (x) = 0 Stellen: x = 0; x = Punkte: O(0 0); E( ) e) Stellen mit Steigung 5 (negativer Kehrwert von,4 = 5 ) Bedingung: f (x) = 5 Stellen: x = 5 ; x = Kurvenpunkte: P ( 5 5 7 ); P ( 7 )

Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg - Gesamtband 7 Lehrbuch Seite 6 6 f(x) = x x ; f (x) = x Steigung in x = 4: f (4) = Steigung entspricht einem Steigungswinkel von 5 (bzw. 45 ). Der Geländewagen kommt die Rampe wahrscheinlich nicht hoch. Lehrbuch Seite 9 Gemeinsame Punkte aus der Zeichnung oder durch Berechnung. f(x) = g(x) 8 ( x 6 x + ) = x 4 8 x 4 x = 0 Ausklammern: x ( 8 x + 4 ) = 0 Satz vom Nullprodukt: x = 0; x = Berührpunkt in S(0 4): f(0) = g(0) = 4 und f (0) = g (0) = 0 Schnittpunkt in S( 0): f( ) = g( ) = 0 Lehrbuch Seite 4 und f ( ) = 4,5 g ( ) = 4 5 K C: K hat für < x < eine positive Steigung, C verläuft für < x < oberhalb der x-achse. K ist der Graph einer Polnomfunktion. Grades, C eine Parabel. G B: G ist steigend. Die Ableitungsfunktion hat keine Nullstelle, sie nimmt nur positive Werte an. H A: H hat in x,7 eine waagrechte Tangente. Die Ableitungsfunktion hat in x,7 eine Nullstelle. Die Steigung von H in x = 0 ist ca., dies entspricht dem -Achsenabschnitt von A.

8 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 48 6 a) f (x) > Die Steigung des Graphen von f ist größer als, f ist streng monoton wachsend. Z. B. f(x) = x + x oder z. B. f(x) = x Graph von f x b) f (x) 0 f ist monoton fallend. Graph von f Z. B. f(x) = e x der Graph von f kann z. B. auch eine Parallele zur x-achse sein. x c) f (x) 0; ] f ist (streng) monoton wachsend. Steigungen zwischen 0 und Z. B. f(x) = x + sin(x) Waagrechte Tangente in x = ± π oder z. B. f(x) =,5x d) f(x) [ 4; 4] Funktionswerte zwischen 4 und 4 Z. B. f(x) = 4 cos(x) 4 5 Graph von f 5 4 4 5 4 x 5 4 5 Graph von f 5 4 4 5 4 x 5

Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg - Gesamtband 9 Lehrbuch Seite 54 a) f (x) = 4 x + x ; f (x) = x + ; f (x) = < 0 Bedingung: f (x) = 0 x + = 0 x = f () < 0 und f() = ergibt H( ). b) f (x) = x x; f (x) = x ; f (x) = 6x Bedingung: f (x) = 0 x = 0 x = ± Mit f ( ) = 6 < 0 und f( ) = erhält man H( ) Mit f () = 6 > 0 und f() = erhält man T( ) c) f (x) = ( e x x); f (x) = ( e x ); f (x) = e x Bedingung: f (x) = 0 ( e x ) = 0 x = 0 Mit f (0) > 0 und f(0) = erhält man T(0 ). d) f (x) = cos(x); x e ] ; 5[ ; f (x) = sin(x); f (x) = cos(x) Bedingung: f (x) = 0 sin(x) = 0 x = 0; π; π;... Mit f (0) < 0 und f(0) = erhält man H(0 ). Mit f (π) > 0 und f(π) = erhält man T(π ). Hinweis: Kosinuskurve: H(0 ); T(π ) Das Schaubild von f erhält man durch Streckung von G: = cos(x) in -Richtung mit Faktor : H(0 ); T(π )

40 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 6 4 a) f (x) = 8 x x; f (x) = 9 8 x ; f (x) = 9 4 x W(0 0); f (0) = Wendetangente: = x b) f (x) = x x x + 5; f (x) = x 6x ; f (x) = 6x 6 W( ); f () = 4 Wendetangente: = 4x + 6 c) f(x) = cos(x) ; 0 < x < ; f (x) = 4sin(x); f (x) = 8cos(x) π Wendepunkte: W ( 4 0); W π ( 4 0) Wendetangente: = 4x + π = 4x π

Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg - Gesamtband 4 Lehrbuch Seite 6 9 f (x) = 0 für x = 0 und x = : f hat zwei Stellen mit waagrechter Tangente; f ist eine Polnomfunktion. Grades f () = 0 f (,9) < 0; f (,)> 0 Die Bedingungen bedeuten: Bei x = wechselt f (x) das Vorzeichen von minus nach plus, x ist Wendestelle. Bei x = liegt ein Krümmungswechsel von Rechtskurve zu Linkskurve vor. f ( ) < 0 und f () > 0: Zwischen und liegt eine Minimalstelle (VZW von f (x) von /+) Tiefpunkt T(0 f(0)) 4 4 x

4 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 76 4 Ansatz: f(x) = a x + b x + c x + d Ableitung: f (x) = a x + bx + c Bedingungen: geht durch den Ursprung: f(0) = 0 d = 0 durch A ( ): f() = : 8a + 4b + c + d = an der Stelle x = eine waagrechte Tangente: f () = 0 a + b + c = 0 In x = eine waagrechte Tangente: f () = 0 7a + 6b + c = 0 LGS ( d = 0 eingesetzt): 8a + 4b + c = In Matrixform: ( 8 4 0 7 6 a = ; b = ; c = 9 ; d = 0 A ist der Wendepunkt. a + b + c = 0 7a + 6b + c = 0 46 0 ) ~ ( 8 4 0 8 0 ) 0 Funktionsterm: f(x) = x x + 9 x (Eine waagrechte Tangente in x = bzw. x = ergibt die Wendestelle x W =.) 5 f mit f(x) = asin(kx) + c Man liest ab: Amplitude a = keine Verschiebung in -Richtung: c = 0 Periode p = π (Nullstellen bei 0 und ± π ) also k = f(x) = sin(x) K f x

Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg - Gesamtband 4 Lehrbuch Seite 77 4 f (x) = a e x + b x; f (x) = a e x + b h (x) = x (x ) = x + x; h (x) = x + Bedingungen: f() = a e + b = h() = und f () = a e + b = h () = Gleichungssstem: a e + b = a e + b = Addition ergibt: b = b =,5 Einsetzen: a e +,5 = Ergebnis: a e = 0,5 e e e = a = 0,5e a = 0,5e; b =,5 und f(x) = 0,5e e x +,5 x

44 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 8 4 Abstand: d(x) = e x + x + ( x + ) = e x + x d'(x) = e x + ; d''(x) = 4e x > 0 d'(x) = 0 e x + = 0 x = 0 d''(0) = 4 > 0 d wird minimal für x = 0. Minimaler Abstand: d(0) = Randwertuntersuchung: d( ) = 5,9 d() =,4 Der minimale Abstand beträgt m. 6 Abstand: d(x) = 0,0 x,07x + 5 0,x d(x) = 0,0 x,7x + 5; 0 x 70 Ableitungen: d (x) = 0,04 x,7; d (x) = 0,04 d'(x) = 0 0,04 x,7 = 0 x = 0, Mit d (x) > 0 gilt: d wird minimal für x = 0,. Minimaler Abstand: d(0,) = 5,7 Randwertuntersuchung: d(0) = 5 d(70) = 8,86 Der minimale Abstand beträgt 5,7 m, die Vorschrift wird eingehalten.

Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg - Gesamtband 45 Lehrbuch Seite 86 4 h(t) = 84 84 e 0,5t ; h (t) = 4,84 e 0,5t Langfristig kann der Supermarkt mit 84 wöchentlich verkauften Tuben rechnen. Das Schaubild von h hat die Asmptote mit der Gleichung = 84. Momentane Änderungsrate in t = : h'() =,7; in t = 0: h'(0) =,7 Zu Beginn nimmt die Verkaufszahl um,7 Tuben pro Woche zu, nach 0 Wochen ist die Zuwachsrate geringer, mit nur noch,7 Tuben pro Woche.

46 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 89 a) Ansatz: s(t) = a t + b t + ct + d; s (t) = a t + bt + c; s (t) = 6at + b Bedingungen: In t = 0 sind Weg und Geschwindigkeit gleich null: s(0) = 0 s (0) = v(0) = 0 der Sprinter beschleunigt mit m/ s : s (0) = Bei t = 7,5 ist die Beschleunigung null: s (7,5) = 0 LGS: d = 0 c = 0 b = b =,5 45a + b = 0 Mit b =,5 ergibt sich a = 5 s(t) = 5 t + t ; v(t) = s (t) = 5 t + t b) Für t < 7,5 nimmt die Geschwindigkeit zu: s (t) > 0 (Wendestelle t = 7,5) c) Laufzeit s(t) = 00 für t =,89 (s) Z. B. mit einer verfeinerten Wertetabelle im WTR. 00 5 s in m 6 0 4 t in s d) Mittlere Geschwindigkeit: v = 00,9 = 8,4 Größte Geschwindigkeit: v (t) = s (t) = 0 für t = 7,5; v max = v(7,5) =,5 Die größte Geschwindigkeit nach 7,5 s ist,5 m s.

Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg - Gesamtband 47 Lehrbuch Seite 0 a) F (x) = sin( x) + c; F(π) = 0 ergibt c = 0 F (x) = sin( x) b) F (x) = x x + c; F(0) = ergibt c = F (x) = x x c) F (x) = 0,5 e x + x + x + c; F( ) = ergibt: 0,5 e + c = c = 0,5 e 6 + (= 6,6) F (x) = 0,5 e x + x + x + 0,5 e 6 + d) F (x) = x x + c; F() = ergibt c = 4 F (x) = x x + 4 e) F (x) = x 8 + π cos ( π x ) + c; F( ) = 0 ergibt c = F (x) = x + 8 π cos ( π x ) Lehrbuch Seite 05 9 Nullstelle von f Extremstelle von F Graph von F A Graph von f x

48 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite a) Nullstellen: ; Skizze: - ( x )(x + )dx = - ( x x )dx = 9 A = 9 F(x) = x x x x b) Nullstellen: 0 ; 6 Skizze: 6 0 ( x + 4 x )dx = 7 F(x) = 6 x 4 + 4 x 4 0 6 8 4 4 5 6 x c) Nullstellen: 0; Skizze: 0 ( x 4 + x x )dx = 7 0 A = 7 0 x F(x) = 5 x 5 + x 4 x

Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg - Gesamtband 49 Lehrbuch Seite 8 Giebelrand: f(x) = 64 x 4 x + 4 Probe: f(4) = 0; Smmetrie zur -Achse 4 0 f(x)dx = [ 0 x 5 4 6 x + 4x ] = 7,07 0 Fläche zum Streichen: 7,07 m Farbverbrauch: 50 cm 7,07 = 5974,5 cm 5974,5 c m =,949 Liter Es müssen mindestens Dosen Farbe geliefert werden. ( Dosen zu je 5 Liter reichen nicht.) Lehrbuch Seite 7 4 a) f(x) = 0,5( x ); g(x) = 0,5x kein Schnittpunkt K verläuft oberhalb von G (f(x) g(x)) dx = 4,67 ; A = 4,67 b) K: f(x) = x(x ); Normalparabelform G: g(x) = sin( π x) Schnittstellen: x = 0 und x = K verläuft unterhalb von G auf [0; ] 0 (f(x) g(x)) dx =,88 A =,88

50 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 0 a) f(x) = x + ; g(x) = x + Schnittstelle von f und g: x = 0 (f(x) g(x)) dx = 7 6 ; (f(x) g(x)) dx = 6 A = 7 6 b) f(x) = x x ; g(x) = x Schnittstellen von f und g: x = 0; x = ± 0 (f(x) g(x)) dx = 4 + 6 = Wegen der Smmetrie der beiden Kurven zum Ursprung: A = 8 c) f(x) = cos(x) + ; g(x) = Schnittstellen von f und g: x = ± 0,5π 0,5π 0 (f(x) g(x)) dx = Beide Kurven sind smmetrisch zur -Achse, die Fläche besteht aus drei gleichgroßen Teilen: A = = 6

Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg - Gesamtband 5 Lehrbuch Seite 7 f(x) = 8 x 4 x + 4; f (x) = 8 x x; f (x) = 4 x ; f (x) = 4 a) Wendepunkt: f (x) = 0 für x = f () 0; f() = ergibt den Wendepunkt W( ); Mit f () = und Punktprobe mit W in = x + b: Wendetangente mit = x + 5 Fläche zwischen Wendetangente und Kurve: 0 ( x + 5 f(x)) dx = ; A = 5 4 4 5 x b) f( ) = 0; f(6) = 4 ergibt Steigung m = 4 = 8 Punktprobe mit (6 4) in = 0,5x + b ergibt b =. Gerade g mit g(x) = 0,5x + Schnittstellen: x = ; x = ; x = 6 (f(x) ( x + )) dx = 8 A = 8 5 4 4 5 x c) Fläche setzt sich aus Flächenstücken zusammen. Dreiecksfläche: A = 4 = 4 4 f(x)dx =,5; A = 4 +,5 = 5,5

5 Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg Gesamtband Lehrbuch Seite 8 0 Steigung der Tangente f'(0) = π Tangente t mit Steigung π durch (0 ): t (x) = πx + Die Gerade mit = t (x) = πx + π + ist Tangente an K f an der Stelle x =, da m = f '() = π und ( ) liegt auf K f und auf der Geraden: f() = t () = Die Fläche ist smmetrisch zur Geraden mit der Gleichung x =. 0 ( t (x) f(x))dx = 0 (πx + (sin( π x) + ))dx = 0 (πx sin( π x))dx π = [ x 4 π + π cos( x) ] 0 = π 4 π Flächeninhalt: A = ( π 4 π )= π 8 π Lehrbuch Seite 4 4 a) 4 (8 f(x))dx = 4,; A = 4, Der Wasserquerschnitt ist etwa 4 dm groß. b) Höhe,5: Bedingung: f(x) =,5 x 4 + x =,5 Durch Substitution erhält man: x = ± ( x 4 = ± 5,9) (,5 f(x))dx = 9,07 Es fließen 9,07 = 6,6 % der maximalen Wassermenge. 4,

Ausführliche Lösungen zu Mathematik im Berufskolleg - Gesamtband 5 Lehrbuch Seite 47 a) Schaubild einer Stammfunktion F von v mit F(0) = 0,5 F(t) =,5 e 0,5t + b) 0 v(t) dt : Höhenzuwachs im. Jahr 4 v(t) dt : Höhenzuwachs vom. bis zum 4. Jahr 4 0,5 + 0 v(t) dt : Höhe nach 4 Jahren 4 0 Graph von F 4 5 6 7 8 t Lehrbuch Seite 48 7 Entnahmegeschwindigkeit in m pro Stunde: f(x) = 4x x ; 0 x 4 a) f(x)dx = 5,67 Zwischen Uhr und Uhr werden dem Speicher 5,67 m Wasser entnommen. b) 800 5 0 f(x)dx = 54,67 5 0 f(x)dx gibt die Entnahme in den ersten 5 Stunden an. Zu Beginn sind 800 m im Speicher. Im Wasserspeicher sind nach 5 Stunden noch 54,67 m Wasser.