Potenzen und Wurzeln, Exponentialfunktion und Logarithmus sowie Winkel- und Arkusfunktionen

Potenzen und Wurzeln, Eponentialfunktion und Logarithmus sowie Winkel- und Arkusfunktionen Katharina Brazda 8. März 7 Inhaltsverzeichnis Notation Potenzen und Wurzeln. Definition von Potenzen (mit ganzzahligen Eponenten................ Rechenregeln für Potenzen................................ 3.3 Definition von Wurzeln (Potenzen mit rationalen Eponenten........... 3.4 Rechenregeln für Wurzeln................................ 4.5 Potenz- und Wurzelfunktionen............................. 5 3 Eponentialfunktion und Logarithmus 7 3. Definition der Eponentiation bzw. der Eponentialfunktion............. 7 3. Definition des Logarithmus bzw. der Logarithmusfunktion.............. 8 3.3 Rechenregeln für Logarithmen.............................. 9 3.4 Logarithmen mit besonderen Basen........................... 9 4 Winkel- und Arkusfunktionen 4. Winkelfunktionen im rechtwinkeligen Dreieck..................... 4. Anwendung der Winkelfunktionen im schiefwinkeligen Dreieck............ 3 4.3 Einheitskreis und Bogenmaß............................... 4 4.4 Winkelfunktionen als periodische Funktionen auf R.................. 5 4.5 Definition der Arkusfunktionen............................. 8

Potenzen und Wurzeln, Eponentialfunktion und Logarithmus sowie Winkel- und Arkusfunktionen Notation In diesem Tet steht N für die natürlichen Zahlen N = {,, 3,... }. Mit N wird N inklusive der Null bezeichnet, d.h. es ist N := N {} = {,,, 3,... } Um Missverständnisse zu vermeiden, wird hier anstatt N auch N \ {} geschrieben. Wie gewohnt bezeichnet Z die Menge der ganzen, Q die Menge der rationalen und R die Menge der reellen Zahlen. Der positive reelle Halbstrahl ohne bzw. mit Nullpunkt wird mit R + := { R > } = (, bzw. R + := { R } = [, notiert. Potenzen und Wurzeln. Definition von Potenzen (mit ganzzahligen Eponenten Möchte man eine reelle Zahl öfters mit sich selbst multiplizieren, so schreibt man abkürzend n :=... }{{} n-mal R, n N \ {} wobei n-mal als n-mal kommt vor gelesen werden soll, sodass auch := mit inbegriffen ist. Die so erhaltene reelle Zahl n heißt n-te Potenz von. Dabei nennt man n den Eponenten (oder Hochzahl und die Basis (oder Grundzahl der Potenz n. Die Berechnung von Potenzen wird als Potenzieren bezeichnet. Weiters wird für alle R definiert: := Damit ist insbesondere die Vereinbarung := getrofffen worden, was etwa dem Wunsch Rechnung trägt, dass die Zuordnung = eine auf ganz R stetige Funktion mit sich bringt. Als einfaches Beispiel sei die n-te Potenz von angeführt: ( n = {... n gerade... n ungerade Der Begriff der Potenz kann auch auf ganzzahlige Eponenten n Z erweitert werden indem man setzt: n := n R \ {}, n N Um sehr große oder sehr kleine reelle Zahlen R (letztere im Sinne von Zahlen, die nahe bei liegen übersichtlich darzustellen, verwendet man häufig Potenzen von bzw. die sogenannte Gleitkommadarstellung : = a n Hierbei ist n Z und a R wird Mantisse genannt, welche üblicherweise eine Zahl zwischen und ist. So wird etwa die Lichtgeschwindigkeit, welche ungefähr gleich 99 79 m/s ist, häufig in der Form.9979 8 m/s angegeben oder die Newtonsche Gravitationskonstante anstatt unhandlich. 66 7 m 3 /(s kg in Gleitkommadarstellung als 6.67 m 3 /(s kg geschrieben. Katharina Brazda 8. März 7

Potenzen und Wurzeln, Eponentialfunktion und Logarithmus sowie Winkel- und Arkusfunktionen. Rechenregeln für Potenzen Falls Klammern nicht eine andere Reihenfolge erzwingen, hat das Potenzieren Vorrang gegenüber den Grundrechenoperationen Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren reeller Zahlen. Eine Addition bzw. Subtraktion von Potenzen ist nur dann möglich, wenn sowohl Eponenten als auch Basen aller beteiligten Terme übereinstimmen. Es gilt z.b. 3 + 7 3 = 8 3, aber Ausdrücke wie 3 + 4 oder 3 + y 3 ( y können nicht weiter detrartig zusammengefasst werden. Für die Multiplikation von Potenzen zur gleichen Basis gilt: m n = m+n R \ {}, n, m Z Die Potenz eines Produktes ist gleich dem Produkt der jeweiligen Potenzen: ( y n = n y n, y R \ {}, n Z Allgemeiner ist die n-te Potenz einer m-ten Potenz gleich der (m n-ten Potenz: ( m n = m n R \ {}, n, m Z Die Rechenregel für die Division zweier Potenzen zur gleichen Basis m n = m n R \ {}, n, m Z ist Konsequenz der Regel für das Produkt zweier Potenzen. Ebenso gilt für die Potenz eines Quotienten: ( n n =, y R \ {}, n Z y Beispiele: 7 3 7 5 7 = 7 = y n oder ( ( 3 3 ( = 3 3 = 3 ( 3 3 = 7 3 8 ( y ( y = (+y ( y ( y = ( + y für, y R, y (( 5a 4 3b y ( 5a 3 ( by 4 b 3 y a = ( 5a 4 (b 3 y 3 (by 4 (3b y 4 (5a 3 (a = (5a (3 b 9 y 6 (b 4 y 4 4 (3 4 b 8 y 4 ( 4 a 4 4 = 5 33 6 b 3 y 3 4 4 a3 b 8 3 y 4 = 5 b 5 y 6 3a 3 = b5 y 6 3 3 a 3 3.3 Definition von Wurzeln (Potenzen mit rationalen Eponenten Die n-te Wurzel n y (für n N, n einer reellen, nichtnegativen Zahl y ist als diejenige nichtnegative Zahl definiert, deren n-te Potenz y ergibt. Damit ist n y die reelle, nichtnegative Lösung der Gleichung n = y. Es gilt also = n y : n = y y R +, n N \ {} Im Symbol n y heißt n der Wurzeleponent und y der Radikand. Das Ziehen der n-ten Wurzel wird als Radizieren bezeichnet. Wegen = ist =, weshalb keine neue Operation liefert und daher auch nicht geschrieben wird. Für die Quadratwurzel ist es hingegen üblich, statt gleich zu schreiben und sie zudem nur als Wurzel zu bezeichnen. Per Definition ist Radizieren die Umkehroperation zum Potenzieren - aber nur für nichtnegative Radikanden bzw. Basen! Die (reelle Wurzel einer reellen, nichtnegativen Zahl ist nie negativ! Ignoriert man dies, so stösst man leicht auf falsche Aussagen wie etwa = ( = =. Katharina Brazda 3 8. März 7

Potenzen und Wurzeln, Eponentialfunktion und Logarithmus sowie Winkel- und Arkusfunktionen Motiviert durch den Vergleich von ( n n = n n = (wobei die Rechenregel zur Potenzierung von Potenzen auf den Fall des rationalen Eponenten /n hier zunächst rein formal übertragen wurde mit ( n n = für und n N \ {} setzt man n := n R +, n N \ {} Den Potenzen nichtnegativer Zahlen mit rationalen Eponenten der Form des Stammbruches /n für n N \ {} wird also genau als die n-ten Wurzeln Sinn gegeben. Betrachtet man analog ( m n n = m n n = m und ( n m n = m veranlasst dies zur Definition von: m n := n m R +, m Z, n N \ {} So wurde der Potenzbegriff im Fall nichtnegativer reeller Basen auf Potenzen mit rationalen Eponenten q = m n Q ausgedehnt. Wie im Fall ganzzahliger Eponenten gilt auch q = q R +, q Q, q > Der Ausdruck q ist nun für > (bzw. R + für alle q Q definiert. Möchte man auch negative reelle Zahlen als Basen und insbesondere als Radikanden zulassen, verlangt dies nach dem Grundkörper der kompleen Zahlen C..4 Rechenregeln für Wurzeln Die für Potenzen mit ganzzahligen Eponenten gültigen Rechengesetze (siehe Teil. sollen auch im Fall rationaler Eponenten gelten (sofern die Basis nicht negativ ist, da Wurzeln im Reellen ansonsten nicht definiert sind. So können Wurzeln auch nur dann zueinander addiert bzw. voneinander abgezogen werden, wenn sowohl Wurzeleponent als auch Radikand übereinstimmen. Es zeigt sich, dass die Potenzrechenregeln angewandt auf Potenzen mit Stammbrüchen als Eponenten genau den Rechengesetzen für Wurzeln entsprechen. Für, y R + und m, n N \ {} gilt: ( m n = m n ( m n = ( y n = n y n n y = n n y mk = nk = ( n m ( n = n y m n = ( y n n m n m = ( n m = nk mk n n y = n y m = m n = m Bei Umformungen ist oft auch ein teilweises Wurzelziehen nützlich bzw. umgekehrt Faktoren unter die Wurzel zu bringen. Beispiele hierfür sind von der Form: n n y = n n y y oder n = n y Ob in konkreten Rechnungen (im Fall nichtnegativer Basen die Wurzel- oder die Potenzschreibweise mit rationalen Eponenten vorgezogen wird, ist reine Geschmackssache. Bei komplizierteren Ausdrücken erweist sich die Potenzschreibweise jedoch meist als übersichtlicher, wie man an nachfolgendem Beispiel für R + sieht: 3 5 = 3 5 = 3 5 = 3 3 = oder alternativ ( 5 Weiteres Beispiel: ( 3 3 a a 3 = ( 5 3 = 5 3 = 3 3 = = ( 3 a 3 a = 3 a 3 a = a 3 + + 3 = a 4+3 6 3+4 6 n = ( 7 a 6 ( = 6 a 7 n Katharina Brazda 4 8. März 7

Potenzen und Wurzeln, Eponentialfunktion und Logarithmus sowie Winkel- und Arkusfunktionen.5 Potenz- und Wurzelfunktionen Eine Funktion p n : R R bzw. p n : R \ {} R mit der Zuordnungsvorschrift p n ( = n für n N bzw. n Z heißt Potenzfunktion mit natürlichem bzw. ganzzahligem Eponenten. Im Fall negativer Eponenten (d.h. für n Z \ N muss aus dem Definitionsbereich von p n ausgeschlossen werden. Potenzfunktionen p n zu geraden Eponenten n sind gerade, d.h. für alle aus dem Definitionsbereich gilt p n ( = p n (. Potenzfunktionen p n zu ungeraden Eponenten n sind ungerade, d.h. für alle aus dem Definitionsbereich gilt p n ( = p n (. Dieses Verhalten begründet sich leicht aus folgender Tatsache: p n ( = ( n = ( n n = { n = p n (... n gerade n = p n (... n ungerade für n Z, Die Graphen von geraden Funktionen sind symmetrisch bezüglich der Ordinatenachse (y-achse. Ungerade Funktionen weisen antisymmetrische Graphen auf. 3 3 = y / /3 = 3 3 3 Abbildung : Graphen verschiedener Potenz- und Wurzelfunktionen (positive Eponenten, inklusive. Da die Gleichung y = n für y R + und n N \ {} mit = n y genau eine Lösung in R + hat, ist die Einschränkung der Potenzfunktion auf R + bijektiv, d.h. invertierbar bzw. umkehrbar. Die zur (bijektven Potenzfunktion p n : R + R+ mit n N \ {} inverse Funktion ist die Wurzelfunktion. Die Wurzelfunktion ist gegeben durch die Abbildung p : R+ n R+ mit der Zuordnung: p ( = n n = n für n N \ {} Katharina Brazda 5 8. März 7

Potenzen und Wurzeln, Eponentialfunktion und Logarithmus sowie Winkel- und Arkusfunktionen 3 / 3 / / / / / /3 y 3 3 3 Abbildung : Graphen verschiedener Potenz- und Wurzelfunktionen (negative Eponenten. Wie immer erhält man die Funktionsgraphen inverser Funktionen durch die Spiegelung an der ersten Mediane (das ist jene Gerade, die durch den Ursprung gehend den ersten und dritten Quadranten halbiert. Es ist zu beachten, dass Potenzfunktionen mit natürlichen Eponenten ungleich nur auf R + invertiert werden können (Wurzeln können auf R nie negativ sein. Potenzfunktionen mit ganzzahligen Eponenten ungleich sind auf R + bijektiv. Zum einen sind sie für negative Eponenten in nicht definiert und zum anderen im Fall gerader Eponenten auf ganz R nicht injektiv. Die Funktion p (Potenzfunktion mit Eponenten stellt einen Sonderfall dar. Als konstante Funktion mit p ( = = R ist p nirgends injektiv (völlig beliebige verschiedene Punkte, y R haben stets denselben Funktionswert = p ( = p (y. Erlaubt man mit q := / q auch negative rationale Zahlen q als Eponenten, so sind sowohl Potenz- als auch Wurzelfunktionen Funktionen von der allgemeinen Form p q : R + R + mit p q ( = q für q Q Wegen q = für beliebiges q Q gehen die Graphen sämtlicher Potenz- und damit auch Wurzelfunktionen durch den Punkt (, R. Katharina Brazda 6 8. März 7

Potenzen und Wurzeln, Eponentialfunktion und Logarithmus sowie Winkel- und Arkusfunktionen 3 Eponentialfunktion und Logarithmus 3. Definition der Eponentiation bzw. der Eponentialfunktion Im vorigen Kapitel wurden Potenzen mit natürlichen, ganzzahligen und bis hin zu rationalen Eponenten (für positive reelle Basen definiert. Potenzieren kann auch auf reelle Eponenten stetig erweitert werden. Der Begriff der Potenz a eistiert damit für beliebige reelle und insbesondere auch irrationale Zahlen als Eponenten. Dabei behalten die Rechengesetze für Potenzen aus Teil. ihre Gültigkeit! Wiederum wird festgelegt: a := a a R +, R + Die Zuordnung a für R und a R + als Basis heißt Eponentialfunktion ep a : R R + mit ep a ( = a für a R + In der Eponentialfunktion kommt dem Eponenten die Rolle der unabhängigen Variablen zu. Die Funktion ep a ist daher nicht zu verwechseln mit der Potenz- bzw. Wurzelfunktion p q : R + R + mit p q ( = q (q Q, in der die Basis als unabhängige Variable betrachtet wird. Mit ep a ( = a = geht der Graph einer jeden Eponentialfunktion durch den Punkt (, R und wegen der Voraussetzung a > sind sämtliche Eponentialfunktionen positiv, d.h ihr Graph verläuft zur Gänze oberhalb der -Achse. Für a > ist ep a streng monoton wachsend bzw. für < a < streng monoton fallend, wobei sich der Funktionsgraph der negativen bzw. der positiven -Achse asymptotisch nähert. Des Weiteren liegen die Graphen von ep a und ep a wegen a = (/a symmetrisch zur Ordinatenachse (y-achse. Im Spezialfall a = ist die Eponentialfunktion wegen ep ( = = konstant gleich. Als die Eponentialfunktion schlechthin wird ep e mit der (irrationalen Eulerschen Zahl e.7888845945 als Basis bezeichnet. Die Eulersche Zahl tritt in bestimmten Wachstums- bzw. Zerfallsprozessen auf (z.b. beim radioaktiven Zerfall in der Natur oder bei der Augenblicksverzinsung von Bankguthaben. Sie lässt sich etwa als der folgende Grenzwert definieren: Man schreibt ep := ep e und somit ist e := lim n ( + n n ep : R R + mit ep( = e Unter Verwendung der Identität a = e (ln a (ln a bezeichnet hier den natürlichen Logarithmus von a; siehe die Teile 3. bzw. 3.4 können alle Eponentialfunktionen zu beliebigen Basen a > auf die Eponentialfunktion zur Basis e zurückgeführt werden. Die Eponentialfunktion ep besitzt vielerlei mathematisch bemerkenswerte und äußerst nützliche Eigenschaften. So ist sie beispielsweise ihre eigene Ableitung bzw. Stammfunktion (e = e bzw. e y dy = e und ist damit unendlich oft differenzierbar. Des Weiteren ist ihre Darstellung als Potenzreihe (Taylorreihe besonders einprägsam: e k = k! k= Katharina Brazda 7 8. März 7

Potenzen und Wurzeln, Eponentialfunktion und Logarithmus sowie Winkel- und Arkusfunktionen 8 7 6 5 4 y 3 5 5 e e.5.5.5.5 Abbildung 3: Graphen der Eponentialfunktionen ep( = e und / ep( = ep( = e sowie ep 5 ( = 5 und ep /5 ( = ep 5 ( = 5. 3. Definition des Logarithmus bzw. der Logarithmusfunktion Der Logarithmus von y zur Basis a (a, y > und a, der mit a log y notiert wird, ist diejenige reelle Zahl, mit welcher a potenziert werden muss um y zu erhalten. Der Logarithmus a log y ist damit Lösung der Eponentialgleichung a = y in R und es gilt: = a log y : a = y a, y R +, a Im Logarithmus a log y heißt die Zahl y Logarithmand oder Numerus. Andere gebräuchliche Schreibweisen für a log y sind etwa a log y oder log a y. Für, y, a > und a gilt: = a log y y = a a = y = y. Beispiele: Berechnung von Logarithmen: 3 log 7 = 3 = 7 = 3 Berechnung von Logarithmanden: log = 8 8 = = 56 Berechnung von Basen: log 3 = 5 5 = 3 = 5 3 Nach Definition ist Logarithmieren, d.h. das Bilden des Logarithmus (einer positiven reellen Zahl, die Umkehroperation zur Eponentiation. Anders ausgedrückt sind Eponentialfunktion ep a : R R +, ep a ( = a (a R + und Logarithmusfunktion zueinander invers. a log : R + R mit a log( = a log für a R + Katharina Brazda 8 8. März 7

Potenzen und Wurzeln, Eponentialfunktion und Logarithmus sowie Winkel- und Arkusfunktionen Dieser Sachverhalt lässt sich auch als a log ( ep a ( = für R und ep a ( alog(y = y für y R + bzw. als a log ep a = id R und ep a a log = id R + ausdrücken, wobei die Zusammensetzung (oder Nacheinanderausführung von Funktionen anzeigt und id C für die identische Abbildung id C : C C, steht. 3.3 Rechenregeln für Logarithmen Die Rechenregeln für Logarithmen lassen sich aus den Rechenregeln für Potenzen (siehe Teil. ableiten. In folgender Herleitung bezeichne a stets eine positive Basis. Mit Hilfe der für z > gültigen Identität z = a a log z kann die Gleichung y = y mit, y > in der Form a a log( y = a a log a a log y = a a log + a log y geschrieben werden, woraus sich nach Logarithmieren zur Basis a die Funktionalgleichung der Logarithmusfunktion ergibt: a log( y = a log + a log y, y R + Auf analoge Weise erhält man die Rechenregeln: ( a log = a log a log y, y R + y a log( q = q alog, y R +, q R a log( q = q alog, y R +, q R + Man sieht: Die Rechenoperationen im Logarithmanden auf der linken Seite sind jeweils um eine Rechenstufe höher als die Rechenoperationen außerhalb der Logarithmen auf der rechten Seite obiger Gleichungen. Beispiele (stets ist a,, y R + und a vorausgesetzt: a log( 3 y = a log 3 + a log y = 3 a log + a log y ( a 8 log 3 5 y = a log(8 5 a log( 3 y = a log 8 + 5 a log a 3 log y 3.4 Logarithmen mit besonderen Basen Um Logarithmen der Form a log für beliebige Argumente R + konkret zu berechnen, muss man eine bestimmte Basis a festlegen. Besondere Relevanz kommt hierbei den Zahlen und e (Eulersche Zahl, siehe Teil 3. als Basis zu. Der Logarithmus zur Basis a = heißt dekadischer Logarithmus log. Weit verbreitet ist die Schreibweise: log = lg Beispiele: log = log = 3 log. = Katharina Brazda 9 8. März 7

Potenzen und Wurzeln, Eponentialfunktion und Logarithmus sowie Winkel- und Arkusfunktionen 5 4 e 3 y ln log 3 4 5 Abbildung 4: Graphen der Eponentialfunktionen zur Basis e und zur Basis sowie die zugehörigen Logarithmen ln und log. Der Logarithmus zur Basis e ist der sogenannte natürliche Logarithmus, welcher anstatt e log gewöhnlich mit ln notiert wird: e log = ln So wie die Eponentialfunktion zur Basis e mit ep abgekürzt wird, findet man mitunter auch log als Bezeichnung für den natürlichen Logarithmus. Beispiele: ln e = ln(e 6 = 6 ln e = 6 ( 4 ln e = 4 ln e = 4 ln e = 4 Achtung: Auf den meisten Taschenrechnern ist die mit der Funktion log bzw. lg belegte Taste als LOG ausgewiesen, wohingegen sich der natürliche Logarithmus hinter der Taste LN verbirgt! Allgemein gilt, dass Logarithmen zu zwei verschiedenen Basen a und b wie folgt zusammenhängen: b log = a log b alog R +, a, b R +, a, b Diese Identität ersieht man für gegebenes a, b und ausgehend von der Gleichung = b y, wobei y = b log ist. Wendet man a log auf = b y an, so ergibt sich: a log = a log(b y a log = y alog b a log = b log alog b b log = a log b alog Katharina Brazda 8. März 7

Potenzen und Wurzeln, Eponentialfunktion und Logarithmus sowie Winkel- und Arkusfunktionen Insbesondere ist: a log = ln a ln = log a log R +, a R +, a Somit können auch Logarithmen zu beliebigen Basen mit Hilfe des Taschenrechners bestimmt werden. Um beispielsweise 5 log zu erhalten, dividiert man einfach nur ln durch ln 5 oder entsprechend log durch log 5. Katharina Brazda 8. März 7

Potenzen und Wurzeln, Eponentialfunktion und Logarithmus sowie Winkel- und Arkusfunktionen 4 Winkel- und Arkusfunktionen 4. Winkelfunktionen im rechtwinkeligen Dreieck Ein rechtwinkeliges Dreieck ist ein Dreieck, welches einen rechten Winkel von 9 besizt. Diejenige Dreiecksseite, welche dem rechten Winkel gegenüberliegt, heißt Hypotenuse des rechtwinkeligen Dreiecks. Für einen Winkel, der nicht der rechte ist, nennt man die dem Winkel gegenüberliegende Dreiecksseite Gegenkathete des Winkels. Jene Seite, die mit der Hypotenuse des Dreiecks den nämlichen Winkel einschließt, heißt Ankathete. Sofern nicht anders angegeben, sollen hier - wie in der Schule üblich - die (Längen der Seiten eines rechtwinkeligen Dreiecks mit den Buchstaben a, b, c bezeichnet werden, wobei die Seite c die Hypotenuse ist, also dem rechten Winkel gegenüber liegt (a, b, c > sei immer vorausgesetzt. Mit den Symbolen α und β werden jene Winkeln versehen, zu denen die Dreiecksseiten a und b die jeweiligen Gegenkatheten sind. Da die Winkelsumme in allen Dreiecken immer gleich 8 ist, sind α und β in einem rechtwinkeligen Dreieck stets zueinander komplementäre spitze Winkel, denn es ist α + β = 8 9 = 9, was < α, β < 9 impliziert (die Fälle α = bzw. β = und damit α = 9 bzw. β = 9 werden ausgeschlossen, da dann kein Dreieck mehr vorliegt. c β a α b Abbildung 5: Seiten- und Winkelbezeichnungen im rechtwinkeligen Dreieck. Für ein beliebiges rechtwinkeliges Dreieck sind die sogenannten Winkelfunktionen (bzw. die trigonometrischen Funktionen Sinus sin, Cosinus cos, Tangens tan und Cotangens cot als reellwertige Funktionen auf dem Winkelbereich zwischen und 9 folgendermaßen definiert (die Wertebereiche von Sinus uns Cosinus beruhen darauf, dass keine Dreiecksseite verschwinden darf sowie, dass die Hypotenuse eines rechtwinkeligen Dreiecks stets länger als eine Kathete ist: sin : (, 9 (,, sin(α = a ( Länge der Gegenkathete = c Länge der Hypotenuse cos : (, 9 (,, cos(α = b ( Länge der Ankathete = c Länge der Hypotenuse tan : (, 9 R +, tan(α = a ( Länge der Gegenkathete = b Länge der Ankathete cot : (, 9 R +, cot(α = b ( Länge der Ankathete = a Länge der Gegenkathete Unmittelbar aus dieser Definition ersichtlich ist, dass für α (, 9 gilt: tan(α = sin(α cos(α = cot(α Katharina Brazda 8. März 7

Potenzen und Wurzeln, Eponentialfunktion und Logarithmus sowie Winkel- und Arkusfunktionen Aus dem Satz von Pythagoras (nach dem bekanntlich in jedem rechtwinkeligen Dreieck die Formel a + b = c und damit (a/c + (b/c = gilt folgt die fundamental wichtige Relation cos (α + sin (α = Zu beachten ist, dass das Quadrat von Winkelfunktionen anstatt wie etwa im Fall des Sinus (sin(α generell kurz zu sin (α notiert wird, wodurch Klammern eingespart werden können. Besteht das Argument von Winkelfunktionen nur aus einem Zeichen, so werden auch häufig die Argumentklammern selbst weggelassen und man findet statt etwa sin(α Schreibweisen wie sin α. Kompelementärwinkelsätze: Überträgt man die Definition der Winkelfunktionen auf den Winkel β (vertausche die Rollen der Dreiecksseiten a und b, erkennt man wegen sin(α = a/c = cos(β bzw. sin(β = b/c = cos(α und β = 9 α die Zusammenhänge sin(α = cos(9 α bzw. cos(α = sin(9 α Der Cosinus eines Winkels ist also gleich dem Sinus des Komplementärwinkels, was auch die Namensgebung für cos als lateinisch sinus complementi erklärt. Mit tan(α = sin(α/ cos(α = / cot(α ergibt sich analog für Tangens und Cotangens: tan(α = cot(9 α bzw. cot(α = tan(9 α 4. Anwendung der Winkelfunktionen im schiefwinkeligen Dreieck Im Folgenden seien einige grundlegende trigonometrische Formeln angeführt, welche in ganz allgemeinen schiefwinkeligen Dreiecken Gültigkeit haben. Im Prinzip ließe sich jedes schiefwinkelige Dreieck durch geschickte Zerlegung oder Ergänzung in rechtwinkelige Dreiecke auflösen (Bestimmung aller Winkel und Seitenlängen, nachstehende Formeln erlauben im Allgemeinen jedoch wesentlich kürzere Rechnungen. Stets seien den Dreiecksseiten a, b und c jeweils die Winkel α, β und γ gegenübergestellt. Neben der Bedingung, dass alle Seiten(längen reell und positiv sein müssen und kein Winkel gleich sein darf, hat als Winkelsumme des Dreiecks auch α + β + γ = 8 gewährleistet zu sein. c β a α γ b Abbildung 6: Seiten- und Winkelbezeichnungen im schiefwinkeligen Dreieck. Obwohl die Funktionen Sinus und Cosinus bis jetzt erst für spitze Winkel aus dem Intervall (, 9 definiert wurden, sind sämtliche nachfolgende Aussagen auch in stumpfwinkeligen Dreiecken richtig. Dazu ist noch die Ausweitung des Definitionsbereiches der Winkelfunktionen auf zumindest das Intervall (, 8 nötig (siehe Teil 4.4. Die im rechtwinkeligen Dreieck bekannten Formeln werden somit zu Spezialfällen mit γ = 9. Katharina Brazda 3 8. März 7

Potenzen und Wurzeln, Eponentialfunktion und Logarithmus sowie Winkel- und Arkusfunktionen Nach der trigonometrischen Flächenformel errechnet sich der Flächeninhalt A eines allgemeinen Dreiecks zu A = b c sin(α = a c sin(β = a b sin(γ Der Sinussatz besagt, dass das Verhältnis einer Seite zum Sinus des ihr gegenüberliedenden Winkels konstant ist. Formal gilt also: sin(α a = sin(β b = sin(γ c Der Kosinussatz verallgemeinert den im rechtwinkeligen Dreieck gültigen Satz von Pythagoras und besteht aus den drei Formeln: 4.3 Einheitskreis und Bogenmaß a = b + c b c cos(α b = a + c a c cos(β c = a + b a b cos(γ Der Definitionsbereich der Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens soll nun von (, 9 auf das halb abgeschlossene Intervall [, 36 ausgedehnt werden. Zuvor wird mit dem Bogenmaß noch ein zum (Alt-Gradmaß alternatives Winkelmaß eingeführt. Der Einheitskreis ist als der Kreis in der Ebene R definiert, dessen Radius gleich ist und dessen Mittelpunkt im Ursprung (, R liegt (mit Kreis ist nur die Randkurve und nicht die gesamte Kreisscheibe gemeint!. Der vom Ursprung zu einem Punkt auf dem Einheitskreis zeigende Vektor wird Radiusvektor des Punktes genannt (siehe auch Abbildung 7, S. 5. Mit ϕ soll nun derjenige Winkel mit Scheitel in (, bezeichnet werden, welchen der Radiusvektor eines Punktes P am Einheitskreis mit der positiven -Achse eines kartesischen Koordinatensystems im R einschließt, wobei ausgehend von der -Achse entgegen des Uhrzeigersinns gezählt wird. Die Länge des Kreisbogenstückes zwischen dem Punkt (, R (auf der positiven -Achse und P definiert das Bogenmaß des zu P gehörenden Winkels ϕ. Das Bogenmaß wir auch oft in der Einheit Radiant oder kurz rad angegeben. Wohingegen ein (Alt-Grad (bzw. ein Neugrad gon als ein neunzigstel (bzw. ein hundertstel des rechten Winkels definiert werden kann, gibt rad den Zentriwinkel jenes Kreissektors des Einheitskreises an, dessen Kreisbogen die Länge hat. Es gilt also: π rad = 36 bzw. rad = 36 π 57.3 Schreibt man zur Unterscheidung ϕ... Zahlenwert des Winkels ϕ in (Alt-Grad ϕ rad... Zahlenwert des Winkels ϕ im Bogenmaß bzw. in rad so errechnet sich das Bogenmaß ϕ rad des Winkels ϕ aus seinem (Alt-Gradmaß ϕ mittels (vgl. Tabelle, S. 5: ϕ rad = π 36 ϕ = π 8 ϕ Wenn bei Winkelangaben keine Einheit angeführt ist, ist üblicherweise das Bogenmaß gemeint. Auf den meisten Taschenrechnern ist der Rechenmodus im (Alt-Gradmaß mit DEG und der Modus im Bogenmaß mit RAD abgekürzt (Achtung, verwirrend: der mit GRAD bezeichnete Modus steht gewöhnlich fr Neugrad, also die Einheit gon = 36 4 =.9. Katharina Brazda 4 8. März 7

Potenzen und Wurzeln, Eponentialfunktion und Logarithmus sowie Winkel- und Arkusfunktionen ϕ 45 9 8 36 ϕ rad π/8 π/4 π/ π π Tabelle : Zahlenwerte verschiedender Winkel im Grad- und Bogenmaß (Radiant. y P tan(φ sin(φ φ cos(φ Abbildung 7: Definition der Winkelfunktionen am Einheitskreis. 4.4 Winkelfunktionen als periodische Funktionen auf R Mit Hilfe des Einheitskreises können die Definitionsbereiche der Winkelfunktionen von (, 9 bzw. (, π/ zunächst auf den Winkelbereich [, 36 bzw. [, π ausgedehnt werden. Durch periodische Fortsetzung mit Periode π werden sie schließlich als Funktionen auf ganz R definiert. Sei ϕ [, π und P wie in Abbildung 7 (Beachte: der Winkel ϕ wird ausgehend von der positiven -Achse im Gegenuhrzeigersinn geöffnet; ϕ im Tet entspricht φ in der Abbildung. Dann werden die Werte von Sinus, Cosinus und Tangens für ebendiesen Winkel ϕ wie folgt festgelegt: sin(ϕ := y-koordinate von P cos(ϕ := -Koordinate von P tan(ϕ := y-koordinate des Schnittpunktes der den Radiusvektor von P verlängernden Geraden mit der durch den Punkt (, gehenden Parallelen zur y-achse (falls P nicht auf der y-achse liegt, d.h. für Winkel ϕ ungleich π/ oder 3π/ cot(ϕ := -Koordinate des Schnittpunktes der den Radiusvektor von P verlängernden Geraden mit der durch den Punkt (, gehenden Parallelen zur -Achse (falls P nicht auf der -Achse liegt, d.h. für Winkel ϕ ungleich oder π Katharina Brazda 5 8. März 7

Potenzen und Wurzeln, Eponentialfunktion und Logarithmus sowie Winkel- und Arkusfunktionen Aus dem Stahlensatz folgt: tan(ϕ = sin(ϕ cos(ϕ und damit ist wieder cot(ϕ = / tan(ϕ. und cot(ϕ = cos(ϕ sin(ϕ Der Tangens ist bei π/ und 3π/ (Nullstellen des Cosinus bzw. der Cotangens bei und π (Nullstellen des Sinus nicht definiert. Sinus und Cosinus nehmen nur Werte im Intervall [, ] an - die Werte von Tangens und Cotangens liegen hingegen in ganz R. Zusammenfassend gilt also: sin : [, π [, ] und tan : [, π \ { π, 3π } R cos : [, π [, ] cot : [, π \ {, π} R Für spitze, nichtverschwindende Winkel stimmen diese Definitionen der Winkelfunktionen am Einheitskreis mit jenen im rechtwinkeligen Dreieck (siehe Teil 4. überein. In diesem Fall entspricht der Radiusvektor von P der Hypotenuse welche damit die Länge besitzt. Die - bzw. y-koordinate kommt der An- bzw. Gegenkathete von ϕ gleich. In Tabelle sind einige interessante Werte der Winkelfunktionen angeführt. ϕ π/4 π/ 3π/4 π 5π/4 3π/ 7π/4 π sin(ϕ / / / / cos(ϕ / / / / tan(ϕ ± ± cot(ϕ Tabelle : Besondere Werte von Sinus-, Cosinus-, Tangens- und Cotangensfunktion (Winkel sind im Bogenmaß gegeben. Um Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens auf ganz R fortzusetzen und sie damit als reelle Funktionen anzusehen, wird nun als Argument R anstatt dem ϕ verwendet (ist ϕ in Radiant gegeben, so handelt es sich bei diesem Winkelmaß ohnedies um eine reelle Zahl. Den Definitionsbereich der (am Einheitskreis definierten Winkelfunktionen erweitert man durch folgende Periodizitäts-Bedingungen sin( + k π = sin( für k Z, R cos( + k π = cos( für k Z, R tan( + k π = tan( für k Z, R, π + m π (m Z cot( + k π = cot( für k Z, R, m π (m Z Dieser Vorgang wird periodische Fortsetzung vom Intervall [, π auf ganz R mit der Periode π genannt. Eigenschaften der Winkelfunktionen auf R: Als periodische Funktionen auf R zur Periode π weisen die Winkelfunktionen letztendlich folgende Definitions- und Wertebereiche auf: sin : R [, ] und tan : R \ { R = π + m π, m Z} R cos : R [, ] cot : R \ { R = m π, m Z} R Katharina Brazda 6 8. März 7

Potenzen und Wurzeln, Eponentialfunktion und Logarithmus sowie Winkel- und Arkusfunktionen Die Graphen von Sinus- und Cosinus bzw. Tangens- und Cotangens in den Abbildungen 8 bzw. 9 auf Seite 9 dargestellt. Man erkennt, dass es sich bei Tangens- und Cotangensfunktion um periodische Funktionen mit Periode π handelt. Winkelfunktionen sind (auf ihrem Definitionsbereich stetige und sogar glatte (d.h. unendlich oft differenzierbare Funktionen. Die Eigenschaften Monotonie, Etremstellen, Positivität bzw. Negativität und Symmetrieverhalten lassen sich leicht aus den Graphen ablesen. Die Cosinusfunktion ist symmetrisch bezüglich der y-achse (d.h. gerade, die Sinus-, Tangensund Cotangensfunktion sind allesamt antisymmetrisch bezüglich der y-achse (d.h. ungerade: sin( = sin( und tan( = tan( cos( = cos( Für die Nullstellen von Sinus- bzw. Cosinusfunktion gilt: cot( = cot( sin( = = m π (m Z cos( = = π + m π (m Z Wegen tan( = sin(/ cos( und cot( = cos(/ sin( sind dies auch die Nullstellen von Tangens- bzw. Cotangensfunktion: tan( = = m π (m Z cot( = = π + m π (m Z Summensätze (Additionstheoreme für Sinus und Cosinus: Für alle, y R gelten folgende bedeutsame Identitäten, mit deren Hilfe sich die Werte von Sinus und Cosinus an den Stellen ± y durch die entsprechenden Werte bei und y ausdrücken lassen: Insbesondere ergibt sich für y = : sin( ± y = sin( cos(y ± cos( sin(y cos( ± y = cos( cos(y sin( sin(y sin( = sin( cos( cos( = cos ( sin ( und wieder gilt: cos ( + sin ( = Nützlich sind auch Formeln für halbe Winkel: ( ( sin = cos( und ( cos = ( + cos( Da Wurzeln stets positiv sind, sind diese Formeln nur für / im ersten Quadranten, d.h. für [, π] gültig. Sonst ist das entsprechende Vorzeichen von Sinus und Cosinus noch vor die Wurzel zu schreiben. Katharina Brazda 7 8. März 7

Potenzen und Wurzeln, Eponentialfunktion und Logarithmus sowie Winkel- und Arkusfunktionen 4.5 Definition der Arkusfunktionen Werden Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens auf jeweils passende Intervalle eingeschränkt, sind sie dort bijektiv und daher invertierbar. Die Arkusfunktionen (bzw. zyklometrischen Funktionen Arkussinus arcsin, Arkuscosinus arccos, Arkustangens arctan, und Arkuscotangens arccot sind als Umkehrfunktionen der entsprechenden (eingeschränkten Winkelfunktionen Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens, definiert. Man setzt also für zulässige Werte von bzw. y: = arcsin(y : sin( = y = arccos(y : cos( = y = arctan(y : tan( = y = arccot(y : cot( = y Aufgrund der Periodizität der Winkelfunktionen ist ihr Invertierbarkeits-Bereich und damit der Wertebereich der Arkusfunktionen allerdings keineswegs eindeutig bestimmt! Eine mögliche (und übliche Wahl ist etwa (vgl. die Abbildungen und, S. arcsin : [, ] [ π, π ] und arctan : R ( π, π arccos : [, ] [, π] arccot : R \ {} [ π, π ] \ {} Mit der alternativen Konvention arccot : R [, π] wodurch auch der Arkuscotangens stetig wird, gelten folgende Zusammenhänge: arcsin( = π ( arccos( = arctan arccos( = π ( arcsin( = arccot arctan( = π ( arccot( = arcsin + arccot( = π ( arctan( = arccos + Die jeweils ersten Identitäten sind durch Spiegelung bzw. Verschiebung der Graphen der Arkusfunktionen an bzw. entlang der y-achse nachvollziehbar. Die Skizze zum Beweis der zweiten Gleichheit lautet etwa im Fall arcsin( = arctan(/ : y = arctan tan(y = ( Substitution: = sin(z tan(y = sin(z = tan(z y = z = arcsin( cos(z Des Weiteren ist mit, y (, y = + = y y zu verwenden. Katharina Brazda 8 8. März 7

Potenzen und Wurzeln, Eponentialfunktion und Logarithmus sowie Winkel- und Arkusfunktionen y = sin( 4π 3π π π π π 3π 4π 3π π π π π 3π 4π y = cos( 4π Abbildung 8: Sinus- und Cosinusfunktion. 4 y = tan( 4 4π 3π π π π π 3π 4π 3π π π π π 3π 4π 4 y = cot( 4 4π Abbildung 9: Tangens- und Cotangensfunktion. Katharina Brazda 9 8. Ma rz 7

Potenzen und Wurzeln, Eponentialfunktion und Logarithmus sowie Winkel- und Arkusfunktionen π/ π y = arcsin( y = arccos( π/ π/.5.5.5.5 Abbildung : Arkussinus- und Arkuscosinusfunktion. π/ π/ y = arctan( y = arccot( π/ π/ 5 5 5 5 Abbildung : Arkustangens- und Arkuscotangensfunktion. Katharina Brazda 8. März 7