6. Folgen und Grenzwerte

56 Adreas Gathma 6. Folge ud Grezwerte Wie scho am Ede des letzte Kapitels ageküdigt wolle wir u zur eigetliche Aalysis, also zur lokale Utersuchug vo Fuktioe komme. Der zetrale Begriff ist dabei der des Grezwerts, de ihr ja sicher i der Schule scho i der eie oder adere Form keegelert habt ud de wir jetzt exakt eiführe wolle. Wir begie dabei mit Grezwerte vo Folge, da sie für de Afag eifacher sid als die später auch och wichtige Grezwerte vo Fuktioe. Wir werde solche Grezwerte sowohl i R als auch i C beötige. Das ist auch kei Problem, weil wir dafür i der Regel ur die Körperaxiome sowie die Betragsfuktio mit ihrer Multiplikativität xy = x y ud der Dreiecksugleichug x + y x + y brauche werde, die ja sowohl für R (ach Lemma 4.6) als auch für C (ach Lemma 5.9) gelte. Die meiste Kostruktioe ud Beweise sid daher für R ud C wörtlich idetisch ud köe somit für beide Fälle gleichzeitig durchgeführt werde. Wir vereibare daher: Im Folgede steht K immer für eie der Körper R oder C. 6.A Grezwerte vo Folge Zur Utersuchug des Grezwertbegriffs müsse wir als Erstes exakt defiiere, was wir damit meie, dass sich eie (uedlich lage) Folge vo Zahle i K eiem Wert beliebig geau aähert. Defiitio 6.1 (Folge ud Grezwerte). (a) Eie Folge i K ist eie Abbildug N K, a. Ma schreibt eie solche Folge als (a ) N, eifach ur als (a ) (we dies icht zu Verwechsluge führt), oder durch Aufzähle der Folgeglieder als (a 0,a 1,a 2,...). Machmal ist es bequem, Folge icht beim Idex 0, soder bei eiem adere Startidex 0 Z begie zu lasse we ma dies i der Notatio deutlich mache möchte, schreibt ma derartige Folge als (a ) 0. (b) Es sei (a ) eie Folge i K. Eie Zahl a K heißt Grezwert vo (a ), we ε R >0 0 N 0 : a a < ε. Wir werde gleich i Lemma 6.4 sehe, dass eie Folge höchstes eie solche Grezwert besitze ka. We ei solches a existiert, köe wir also sage, dass a der Grezwert der Folge (a ) ist. Ma et die Folge i diesem Fall koverget (gege a) ud schreibt dies als lim a = a oder machmal auch kurz als a a (die Bezeichug kommt vom eglische Wort limit bzw. dem lateiische limes ). Existiert ei solcher Grezwert icht, so heißt die Folge diverget. Bemerkug 6.2 (Aschauliche Deutug des Grezwertbegriffs). Um die Defiitio des Grezwertes i leicht verstädliche Worte zu fasse, führe wir ei paar ituitive Notatioe ei. Für a K ud ε R >0 heißt die Mege U ε (a) := {x K : x a < ε}

6. Folge ud Grezwerte 57 die ε-umgebug vo a. Die geometrische Iterpretatio dieser Mege hägt vom Körper K ab: Im Fall K = R (wie im Bild ute liks) ist U ε (a) das offee Itervall (a ε,a+ε), im Fall K = C (wie im Bild rechts) der Kreis um a mit Radius ε i der komplexe Zahleebee. U ε (a) a a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 R U ε (a) ε a a 4a3 a 2 a 1 a 0 a ε a + ε C Die Grezwertbedigug besagt u geau, dass i jeder solche ε-umgebug vo a egal wie klei das ε gewählt ist alle Folgeglieder ab eiem gewisse 0 liege, wobei dieses 0 atürlich vo dem gewählte ε abhäge darf. I usere Beispielbilder obe wäre das z. B. für 0 = 3 der Fall, de a 3,a 4,a 5,... liege alle i U ε (a). Ma ka diese Tatsache auch so ausdrücke, dass i jeder ε-umgebug alle bis auf edlich viele Folgeglieder liege müsse (ämlich alle bis auf evtl. a 0,...,a 0 1). I der Aalysis verwedet ma gere die Sprechweise fast alle für alle bis auf edlich viele ud ka damit die Grezwertbedigug auch i Worte formuliere: Eie Zahl a ist geau da Grezwert eier Folge, we i jeder ε-umgebug vo a fast alle Folgeglieder liege. Aschaulich bedeutet das atürlich eifach, dass sich die Folgeglieder immer mehr dem Grezwert aäher. Beachte auch, dass dies isbesodere bedeutet, dass das Abäder oder Weglasse edlich vieler Folgeglieder ichts dara ädert, ob ud gege welche Grezwert eie Folge kovergiert. Beispiel 6.3. Hier sid ei paar sehr wichtige Beispiele vo Grezwerte: (a) Es ist offesichtlich, dass eie kostate Folge, i der alle Folgeglieder de gleiche Wert a K habe, gege ebe dieses a kovergiert, d. h. dass lim a = a gilt: Hier liege ja sogar alle Folgeglieder i jeder beliebige ε-umgebug vo a. (b) Wir behaupte, dass lim 1 = 0 gilt. Um dies mit Hilfe der Defiitio 6.1 (b) zu beweise, sei zuächst ei ε > 0 beliebig vorgegebe; wir müsse zeige, dass fast alle Glieder der Folge 1 i der ε-umgebug vo 0 liege. Dies ist aber sehr eifach: Da N ach Lemma 4.26 ach obe ubeschräkt ist, gibt es ei 0 N mit 0 > ε 1. Mit eiem solche 0 gilt da für alle 0 1 0 = 1 1 < ε, 0 wobei wir die Recheregel für Ugleichuge aus Lemma 4.4 verwedet habe. Fast alle Folgeglieder, ämlich alle 1 für 0, liege also i der ε-umgebug vo 0. Damit gilt ach Defiitio lim 1 = 0. (c) (Geometrische Folge) Es sei q K mit q < 1; wir behaupte, dass da lim q = 0 gilt. Für q = 0 ist dies atürlich klar, da wir da eie kostate Folge habe. Asoste sei wie i (b) wieder ε > 0 beliebig vorgegebe. Wir setze x := 1 1 q 1, also q = 1+x ; wege q < 1 ist atürlich x > 0. Aufgrud der Ubeschräktheit vo N gibt es u ei 0 N mit

58 Adreas Gathma 11 0 > ε 1 x. Es gilt da für alle 0 q 0 = q 1 = (1 + x) 1 1 + x < 1 x 1 0 x < ε (mit x > 0 ach der Beroulli-Ugleichug aus Satz 4.8) (wege 1 > 0) (wege 0 ) ( wege 0 > 1 ε x woraus die Behauptug folgt. Zur Frage, wie wir dabei auf die Werte vo x ud 0 gekomme sid, gilt atürlich wieder Bemerkug 4.19 etspreched: Wir habe das gaze zuerst rückwärts gerechet ud so herausgefude, welche Bedigug wir a stelle müsse. Die Idee des Beweises ist letztlich eifach, die Beroullische Ugleichug azuwede, um die etwas uliebsame -te Potez i eie Multiplikatio mit zu verwadel, die wir eifacher behadel köe. Dabei musste wir vorher zum Kehrwert übergehe, weil die Beroullische Ugleichug die Potez ja ach ute abschätzt, wir hier aber eie Abschätzug ach obe brauchte. Beachte auch, dass wir aufgrud der Abschätzuge obe (isbesodere wege der Verwedug der Beroullische Ugleichug) atürlich icht eimal aäherd das kleiste 0 bestimmt habe, ab dem alle Folgeglieder i der ε-umgebug des behauptete Grezwerts liege. Das ist aber auch gar icht ötig ach Defiitio 6.1 (b) ist ja lediglich die Existez eies solche 0 wichtig. Wir wolle u die bereits i Defiitio 6.1 versprochee Aussage beweise, dass der Grezwert eier Folge (sofer er existiert) immer eideutig ist. Aschaulich ist diese Aussage atürlich sofort eileuchted: Es köe icht fast alle Folgeglieder beliebig ahe a zwei verschiedee Zahle liege. De we wir disjukte ε-umgebuge der beide Grezwerte wähle, ka jedes Folgeglied atürlich immer ur i eier der beide Umgebuge liege ud somit köe icht fast alle i beide Umgebuge liege. Formal aufgeschriebe sieht diese Beweisidee so aus: Lemma 6.4 (Eideutigkeit des Grezwerts). Jede Folge hat höchstes eie Grezwert. ), Beweis. Ageomme, die Aussage wäre falsch, d. h. es gäbe eie Folge (a ) mit a a ud a b für gewisse a,b K mit a b. Wir setze ε := a b 2 > 0. Wege a a gilt da a a < ε für fast alle (also für alle 1 mit eiem gewisse 1 N). Wege a b gilt geauso a b < ε für fast alle (also für alle 2 mit eiem gewisse 2 N). Damit folgt für fast alle (ämlich für alle, bei dee beide Aussage gelte, also für max( 1, 2 )) ach der Dreiecksugleichug a b = a a + a b a a + b a < ε + ε = 2ε = a b, was ei Widerspruch ist ud somit das Lemma beweist. Bemerkug 6.5. Wir sehe im Beweis vo Lemma 6.4, dass die fast alle -Notatio de Vorteil hat, dass wir us oft das explizite Arbeite mit dem 0 aus Defiitio 6.1 (b) (vo dem wir ja meistes ohehi icht wirklich wisse müsse, welche Wert es geau hat) spare köe. Die eizige Eigeschaft, die wir hier wirklich gebraucht habe, ist die: We eie Aussage A() für fast alle gilt, ud eie weitere Aussage B() ebefalls für fast alle (aber icht otwedig für die gleiche), da gelte auch A() ud B() zusamme für fast alle ämlich für alle bis auf die edlich viele Ausahme für A() ud B().

6. Folge ud Grezwerte 59 Bemerkug 6.6 (Folge mit Grezwert ugleich 0). Es sei (a ) eie Folge, die gege eie Grezwert a > 0 kovergiert. Eie umittelbare, aber deoch oft ützliche Folgerug aus der Grezwertdefiitio 6.1 ergibt sich, we wir dort ε = 2 a > 0 setze: Für fast alle ist da a (a ε,a + ε) = ( 2 a, 3a 2 ), ud damit isbesodere a > a 2 > 0. Für a < 0 ergibt sich für fast alle aalog a < a 2 < 0. Hat eie Folge also eie Grezwert a 0, so sid auch fast alle Folgeglieder ugleich 0 (ud betragsmäßig sogar größer als a 2 ). Bisher habe wir i usere Beispiele ur kovergete Folge betrachtet. Wie köe u divergete Folge aussehe? Eie eifache Möglichkeit hierfür ist eie Folge der Art (( 1) ) = (1, 1,1, 1,...), i der ei Teil der Folgeglieder gege eie ud ei aderer Teil gege eie adere Wert kovergiert, so dass für die gesamte Folge kei Grezwert existiere ka. Formal köe wir dies mit dem Begriff vo Teilfolge ausdrücke. Defiitio 6.7 (Teilfolge ud Umorduge). Es sei (a ) eie Folge i K. (a) Eie Teilfolge vo (a ) ist eie Folge der Form (a 0,a 1,a 2,...) = (a k ) k N für gewisse 0 < 1 < 2 <, also eie Folge, die aus (a ) durch Auswähle bestimmter Folgeglieder uter Beibehaltug ihrer Reihefolge etsteht. (b) Eie Umordug vo (a ) ist eie Folge der Form (a σ(0),a σ(1),a σ(2),...) = (a σ() ) N für eie bijektive Abbildug σ : N N. Sie etsteht also eifach durch eie beliebige Permutatio aller Folgeglieder. Lemma 6.8. Kovergiert eie Folge (a ) i K gege eie Grezwert a, so kovergiert auch jede Teilfolge ud jede Umordug vo (a ) gege a. Beweis. Es sei ε > 0 beliebig. Da die Folge (a ) gege a kovergiert, hat sie ur edlich viele Glieder, die außerhalb vo U ε (a) liege. Jede Teilfolge oder Umordug vo (a ) hat damit aber ebefalls ur edlich viele Glieder außerhalb vo U ε (a), ud somit kovergiert eie solche Teilfolge oder Umordug ebefalls gege a. Beispiel 6.9. Die obe betrachtete Folge (a ) = (( 1) ) = (1, 1,1, 1,...) besitzt die beide kostate Teilfolge (a 2 ) N = (1,1,1,...) ud (a 2+1 ) N = ( 1, 1, 1,...), die ach Beispiel 6.3 (a) atürlich gege 1 bzw. 1 kovergiere. Wäre (a ) koverget, so müsste die beide Teilfolge ach Lemma 6.8 aber gege deselbe Wert, ämlich de (ach Lemma 6.4 eideutig bestimmte) Grezwert vo (a ) kovergiere. Also ist (a ) diverget. Eie weitere Möglichkeit, weswege eie Folge diverget sei ka, ist atürlich, dass ihre Glieder ubeschräkt wachse ud sich somit keier Zahl aäher köe. Auch diese Sachverhalt wolle wir jetzt formal utersuche. Defiitio 6.10 (Beschräkte Folge). Eie Folge (a ) i K heißt beschräkt, we die Mege ihrer Folgeglieder beschräkt ist, also we es ei s R gibt mit a s für alle N. Im Fall K = R köe wir atürlich aalog auch vo ach obe bzw. ach ute beschräkte Folge spreche. Lemma 6.11. Jede kovergete Folge i K ist beschräkt. Beweis. Es sei (a ) eie kovergete Folge i K mit Grezwert a. Da gibt es zu ε = 1 ei 0, so dass a a < ε = 1 ud damit ach der Dreiecksugleichug auch a = a a + a a a + a < 1 + a für alle 0 gilt. Damit ist da aber a s für alle N, we wir s := max( a 0, a 1,..., a 0 1,1 + a ) setze. Also ist (a ) beschräkt.

60 Adreas Gathma Beispiel 6.12. Die beide reelle Folge (a ) = (0,1,2,3,...) ud (b ) = (1,0,2,0,3,0,...) sid atürlich ubeschräkt (da die Mege N ihrer Folgeglieder ach Lemma 4.26 ubeschräkt ist) ud damit ach Lemma 6.11 diverget. Allerdigs verhalte sich diese beide Folge recht uterschiedlich: Währed ma vo der Folge (a ) sage ka, dass sie sich immer mehr dem Wert ähert, sprigt die Folge (b ) auch städig wieder auf 0 zurück. Wir wolle daher sage köe, dass (a ) im Gegesatz zu (b ) de Grezwert hat. Die folgede Defiitio ermöglicht dies im Fall vo reelle Folge. Defiitio 6.13 (Ueigetliche Grezwerte vo Folge). Für eie Folge (a ) i R schreibe wir a bzw. lim a =, we s R 0 N 0 : a > s, also we zu jeder vorgegebee Schrake s fast alle Folgeglieder größer als s sid. Aalog defiiert ma die Eigeschaft lim a =. Beachte, dass derartige Folge atürlich isbesodere ubeschräkt ud damit ach Lemma 6.11 diverget sid. Ma bezeichet sie als bestimmt diverget ud et bzw. eie ueigetliche Grezwert. Ist (a ) diverget ud besitzt icht i obigem Sie de Grezwert oder, so et ma (a ) ubestimmt diverget. Beispiel 6.14. Für die Folge (a ) = (0,1,2,3,...) ud (b ) = (1,0,2,0,3,0,...) aus Beispiel 6.12 ist (a ) bestimmt diverget mit ueigetlichem Grezwert lim a =, währed (b ) ubestimmt diverget ist (da z. B. icht fast alle Folgeglieder größer als 1 sid). Wie rechet ma u aber Grezwerte kokret aus, we ma icht jedesmal wieder auf die Defiitio zurückgehe möchte? Dafür gibt es eiige Recheregel, die wir jetzt bespreche wolle. Wir beötige zuächst ei Lemma. Defiitio 6.15 (Nullfolge). Eie Folge i K heißt Nullfolge, we sie gege 0 kovergiert. Offesichtlich kovergiert eie Folge (a ) damit ach Defiitio geau da gege a K, we (a a) eie Nullfolge ist. Lemma 6.16. Es seie (a ) ud (b ) zwei Folge i K. Ist (a ) beschräkt ud (b ) eie Nullfolge, so ist auch (a b ) eie Nullfolge. Beweis. Es sei ε > 0 beliebig. Da (a ) beschräkt ist, gilt a s für ei s R >0 ud alle N. Da (b ) eie Nullfolge ist, ist weiterhi b < ε s für fast alle. Also gilt für fast alle auch a b = a b < s εs = ε, d. h. (a b ) ist eie Nullfolge. Satz 6.17 (Grezwertsätze für Folge). Es seie (a ) ud (b ) zwei kovergete Folge i K mit a a ud b b. Da gilt: (a) a + b a + b ud a b a b. (b) a b ab. (c) Ist b 0, so sid auch fast alle b 0, ud es gilt a b a b. Beweis. (a) Es sei ε > 0 beliebig. Wege a a ud b b gilt a a < ε 2 ud b b < ε 2 für fast alle. Damit folgt für fast alle (siehe Bemerkug 6.5) mit der Dreiecksugleichug a + b (a + b) a a + b b < ε 2 + ε 2 = ε, also wie behauptet a + b a + b. Die Aussage über die Differez der Grezwerte folgt atürlich geauso.

6. Folge ud Grezwerte 61 (b) Für alle N gilt zuächst a b ab = a b a b + a b ab = a (b b) + b(a a). (1) Die Folge (a ) ist ach Voraussetzug koverget ud damit beschräkt ach Lemma 6.11. Weiterhi ist b b eie Nullfolge wege b b. Also ist auch (a (b b)), d. h. der erste Summad rechts i (1), ach Lemma 6.16 eie Nullfolge. Geauso ergibt sich, dass auch der zweite Summad (b(a a)) eie Nullfolge ist. Damit ist (1) die Summe zweier Nullfolge, ach (a) also ebefalls eie Nullfolge. Dies zeigt a b ab 0 ud damit a b ab. (c) Da ach Bemerkug 6.6 mit b 0 auch fast alle b ugleich 0 sid, köe wir (ach evtl. Weglasse edlich vieler Glieder) die Quotietefolge ( a ) b betrachte. Weil ach derselbe Bemerkug da sogar b > b 2 ud damit 1 b < 2 b ist, ist die Folge ( ) 1 b außerdem beschräkt. Schreibe wir also a a b b = a b ab = a b ab + ab ab = 1 (a a) + a (b b ), (3) bb bb b bb so ergibt sich die Behauptug geauso wie i (b): ( 1 b (a a) ) ist eie Nullfolge (ach Lemma 6.16 als Produkt der beschräkte Folge ( ) 1 b mit der Nullfolge (a a)), aalog ist auch ( a bb (b b ) ) eie Nullfolge. Damit ist (3) wieder die Summe zweier Nullfolge, ach (a) also ebefalls eie Nullfolge woraus a b b a folgt. Bemerkug 6.18 (Grezwertsätze für ueigetliche Grezwerte). Die Grezwertsätze aus Satz 6.17 gelte auch für ueigetliche Grezwerte wie i Defiitio 6.13, we ma die formale Recheregel für a + = für a R, + =, a = für a R >0, =, a = 0 für a R ud aalog für bzw. a R <0 defiiert. Die Beweise dieser Aussage sid letztlich aalog zu dee vo Satz 6.17, jedoch i de eizele Fälle immer etwas uterschiedlich, da die Bedigug für de Grezwert aus Defiitio 6.13 ja formal aders aussieht als die eies edliche Grezwerts i Defiitio 6.1. Wir werde die Beweise hier ur exemplarisch i Aufgabe 6.19 betrachte. Beachte aber, dass die Grezwertsätze auch weiterhi keie Aussage liefer, we eie der betrachtete Folge ubestimmt diverget ist oder sich Ausdrücke der Form, 0 oder ergebe, die sich icht sivoll defiiere lasse. Aufgabe 6.19. Es seie (a ) ud (b ) zwei reelle Zahlefolge. (a) Ma zeige: Gilt a a R >0 ud b, so ist auch a b. (b) Ma zeige: Gilt a ud b, so ist auch a + b. (c) Ka ma i (b) die Bedigug des Grezwerts auch durch ach obe ubeschräkt ersetze, d. h. gilt für ach obe ubeschräkte Folge (a ) ud (b ) auch, dass (a + b ) ach obe ubeschräkt ist? Beispiel 6.20 (Grezwerte vo Quotiete vo Polyome). Wolle wir de Grezwert der Folge ( 2 2 ) 2 +1 bestimme, so köe wir (auch i der Fassug vo Bemerkug 6.18) icht direkt die Grezwertsätze awede, da Zähler ud Neer de Grezwert habe ud sich so der ubestimmte Ausdruck ergebe würde. Durch Kürze mit 2 köe wir die Folgeglieder aber umschreibe, so dass wir de Grezwert da mit Satz 6.17 i de Quotiete, die Summe ud das Produkt

62 Adreas Gathma hieiziehe köe ud (mit Beispiel 6.3) 2 2 2 + 1 = 2 2 1 + 1 = 1 + 1 2 1 2 1 + 0 0 = 2 für erhalte. Auf die gleiche Art ka ma offesichtlich de Grezwert jeder Folge bereche, die ei Quotiet vo zwei Polyomfuktioe i ist, idem ma zuerst mit der höchste auftretede Potez vo kürzt. 12 Aufgabe 6.21. (a) Für N >0 sei a = +2 +. Was ist der Grezwert a := lim a? Beweise diese Grezwert direkt ach Defiitio, d. h. gib für alle ε > 0 ei 0 N a, so dass a a < ε für alle 0 gilt. (b) Es sei (a ) eie Folge i C. Beweise, dass (a ) geau da gege die komplexe Zahl a kovergiert, we die Folge (Rea ) ud (Ima ) ihrer Real- ud Imagiärteile gege Rea bzw. Ima kovergiere. (c) Ma zeige: Ist (a ) eie Folge icht-egativer reeller Zahle mit a a, so gilt a a. Im Fall des Körpers K = R sid Grezwertbilduge i folgedem Sie auch kompatibel mit Ugleichuge. Satz 6.22 (Verträglichkeit des Grezwerts mit Ugleichuge). Es seie (a ) ud (b ) kovergete Folge i K = R mit a a ud b b. Da gilt: (a) Ist a b für fast alle, so auch a b. (b) (Eischachtelugssatz) Ist a = b, kovergiere also beide Folge gege deselbe Grezwert, ud ist (c ) eie weitere reelle Folge mit a c b für fast alle, so kovergiert auch (c ) gege diese Grezwert. Beweis. (a) Ageomme, es wäre a > b. Wir setze ε = a b 2. Wege a a ud b b wäre da für fast alle a (a ε,a + ε) ud b (b ε,b + ε). Zusammesetze liefert a ε < a b < b + ε für fast alle, ud damit a b < 2ε im Widerspruch zu ε = a b 2. (b) Es sei ε > 0 beliebig. Diesmal gilt wege a a ud b a für fast alle a (a ε,a + ε) ud b (a ε,a + ε), ud damit a ε < a c b < a+ε, also c (a ε,a+ε). Da ε > 0 beliebig war, folgt daraus wie behauptet c a. Bemerkug 6.23. Beachte, dass Satz 6.22 (a) icht auch aalog für die echte Ugleichug < gilt: Ist z. B. a = 0 ud b = 1 für alle 1, so gilt zwar a < b für alle, aber die Grezwerte beider Folge sid atürlich gleich 0, d. h. es gilt ur lim a lim b gemäß Satz 6.22 (a), aber icht lim a < lim b. Aufgabe 6.24. Bestimme die Grezwerte (sofer sie existiere) ( (c) lim + ), (d) lim 3 3 (a) lim ( (b) lim 3), 3, k=1 2 + k.

6. Folge ud Grezwerte 63 6.B Kovergezkriterie für Folge Wir habe jetzt eiige Kriterie keegelert, mit dee ma Grezwerte vo Folge oft eifach bereche ka. Leider führe diese Kriterie aber icht immer zum Erfolg, weil sich icht jede Folge auf eie der obe betrachtete Arte auf Folge mit bereits bekate Grezwerte zurückführe lässt. I der Tat werde wir im weitere Verlauf dieser Vorlesug viele Größe wie z. B. π ud e oder de Sius ud Kosius eier gegebee Zahl überhaupt erst als geeigete Grezwerte kostruiere, ud i diesem Fall kee wir diese Grezwerte da vorher atürlich och icht. Wir beötige daher auch Kriterie, mit dee ma die Kovergez eier Folge selbst da achweise ka, we ma ihre Grezwert och icht vorher ket oder gleichzeitig aus bereits bekate adere Grezwerte bereche ka. Im Gegesatz zu usere Ergebisse aus Abschitt 6.A, die uverädert auch i Q gelte würde, hadelt es sich hierbei u um Resultate, die gaz zetral das Supremumsaxiom verwede ud daher ur i R (ud dem daraus kostruierte Körper C) gelte. Das erste Kriterium dieser Art, das wir jetzt behadel wolle, ist für reelle Folge awedbar, dere Folgeglieder mit wachsedem immer größer werde. Ist eie solche Folge ach obe beschräkt, so ist aschaulich klar, dass die Folgeglieder wie im Bild ute für wachsedes immer äher zusamme rücke müsse, was letztlich zur Kovergez der Folge führe sollte. Dies ist der Ihalt des folgede Satzes. a 0 a 1 a 2 a 3 R lim a obere Schrake Defiitio 6.25 (Mootoe Folge). Eie Folge (a ) i R heißt mooto wachsed oder steiged, we a a +1 für alle N, also a 0 a 1 a 2 ud damit a m a für alle m gilt. Gilt sogar a < a +1 für alle N, so heißt (a ) streg mooto wachsed oder steiged. Aalog heißt (a ) (streg) mooto falled, we a a +1 (bzw. a > a +1 ) für alle N gilt. Satz 6.26 (Mootoiekriterium). Jede mooto wachsede, ach obe beschräkte Folge (a ) i R ist koverget. (Aalog ist da atürlich auch jede mooto fallede, ach ute beschräkte Folge koverget.) Beweis. Da die Mege M := {a : N} R aller Folgeglieder ach obe beschräkt ist, existiert a := supm ach dem Supremumsaxiom. Wir behaupte, dass a a. Es sei dazu ε > 0 beliebig. Da a die kleiste obere Schrake für M ist, ist a ε keie obere Schrake mehr. Es gibt also ei 0 N mit a 0 > a ε. Für alle 0 folgt da a ε < a 0 a a < a + ε, (Mootoie) also a a < ε. Damit kovergiert (a ) gege a. (a ist obere Schrake der Folgeglieder) Beispiel 6.27 (Rekursive Folge). Es sei c R >0 gegebe. Wir defiiere eie reelle Folge (a ) rekursiv durch a 0 = 1 ud a +1 = 1 ) (a + ca für alle N. (1) 2 Dies ist offesichtlich eie Folge positiver Zahle, für die gilt: (a) (a ) ist für 1 durch c ach ute beschräkt, de für N gilt a +1 c = 1 ( a + c 2 ) c = 1 ( ) a c 2 0. 2 a 2 a

64 Adreas Gathma (b) (a ) ist für 1 mooto falled, de ach (a) gilt c a, ud damit ist a +1 = 1 ) (a + ca 1 ( ) a + a2 = a. 2 2 a Nach dem Mootoiekriterium aus Satz 6.26 ist die Folge (a ) also koverget. Über de Grezwert gibt us das Kriterium zuächst keie Auskuft; allerdigs köe wir ih trotzdem bestimme, idem wir i der defiierede Gleichug (1) zum Grezwert a := lim a übergehe, vo dem wir jetzt ja wisse, dass er existiert: Wir erhalte da ach de Recheregel aus Satz 6.17 lim a 1 +1 = lim 2 (a + ca ) a = 1 2 ( a + c a ), (2) ud durch Auflöse dieser Gleichug a = c. Die gegebee rekursive Folge kovergiert also gege c, d. h. sie liefert eie eifache Möglichkeit, uter alleiiger Verwedug der Körperoperatioe äherugsweise Wurzel zu bereche. Beachte, dass die Bestimmug des Grezwerts durch Grezwertbildug i der rekursive Gleichug (1) letztlich sehr eifach war, dass die Awedug des Mootoiekriteriums jedoch vorher driged erforderlich war, da die Schlussweise (2) ur da korrekt ist, we der Grezwert der Folge (a ) überhaupt existiert. Die folgede Tabelle zeigt am Beispiel c = 2 übriges, dass usere hier betrachtete Folge extrem schell kovergiert ud daher sehr gut zur äherugsweise Berechug vo Wurzel geeiget ist z. B. we ma eiem Computer, der bisher ur weiß, wie ma die vier Grudrechearte ausführt, das Wurzelziehe beibrige möchte. I der Tat ka ma zeige, dass jeder Schritt die Azahl der korrekte Dezimalstelle (die i der Tabelle ute fett gedruckt sid) äherugsweise verdoppelt. Wir werde us i dieser Vorlesug jedoch icht weiter mit der Geschwidigkeit der Kovergez vo Folge beschäftige; derartige Fragestelluge werdet ihr später i de Vorlesuge zur Praktische Mathematik utersuche. a 0 1,000000000000000000000000000000000000000000000000... 1 1,500000000000000000000000000000000000000000000000... 2 1,416666666666666666666666666666666666666666666666... 3 1,414215686274509803921568627450980392156862745098... 4 1,414213562374689910626295578890134910116559622115... 5 1,414213562373095048801689623502530243614981925776... 6 1,414213562373095048801688724209698078569671875377... Wie die folgede Aufgabe zeigt, ka ma dieses Verfahre i der Tat auch beutze, um überhaupt erst eimal die Existez vo Wurzel zu beweise. Aufgabe 6.28 (Existez höherer Wurzel i R). I dieser Aufgabe wolle wir beweise, dass jede icht-egative reelle Zahl c für alle k N >0 eie eideutige k-te Wurzel besitzt. Wir defiiere dazu für ei gegebees c > 0 ud k N >0 rekursiv die Folge (a ) durch a 0 := 1 ud a +1 := 1 ( (k 1)a + c ) k a k 1 für N. Ma beweise u: (a) Für alle N ist a k +1 c. (b) Die Folge (a ) ist ab dem zweite Folgeglied mooto falled. (c) Zu jeder Zahl c R 0 gibt es ei eideutiges a R 0 mit a k = c. Wir ee dieses a die k-te Wurzel aus c ud schreibe sie als k c. Bemerkug 6.29 (Mootoiekriterium mit ueigetlichem Grezwert). Ist eie reelle Folge (a ) zwar wie i Satz 6.26 mooto wachsed, aber icht ach obe beschräkt, so gibt es zu jedem s R zuächst ei 0 N mit a 0 > s, ud wege der Mootoie da auch mit a > s für alle 0. Nach Defiitio 6.13 ist damit da lim a =. Wir köe Satz 6.26 also dahigehed

6. Folge ud Grezwerte 65 verallgemeier, dass jede mootoe reelle Folge eie Grezwert i R {± } hat, also koverget oder bestimmt diverget ist. Kombiiert ma die Mootoiekriterie für wachsede ud fallede Folge miteiader, ka ma eie Grezwert wie folgt vo beide Seite eischachtel. Satz 6.30 (Itervallschachtelug). Gegebe sei für alle N ei abgeschlossees Itervall I = [b,c ] i R, so dass I 0 I 1 I 2 (also die Itervalle ieiader liege) ud lim (c b ) = 0 (also die Läge der Itervalle gege 0 kovergiere). Da gibt es geau ei a R, das i alle diese Itervalle liegt, ud es gilt b a ud c a. b 0 a c 0 R Beweis. Die Folge (b ) der utere Itervallgreze ist mooto wachsed ud ach obe beschräkt (z. B. durch c 0 ), ach dem Mootoiekriterium aus Satz 6.26 also koverget gege ei b R. Geauso ist (c ) mooto falled ud ach ute beschräkt, ud somit koverget gege ei c R. Da die Läge der Itervalle gege 0 kovergiere, folgt ach Satz 6.17 aber 0 = lim (c b ) = c b, ud damit b = c. Wir bezeiche de gemeisame Grezwert dieser beide Folge mit a := b = c. Nach dem Beweis vo Satz 6.26 ist a eie obere Schrake für alle b ud eie utere Schrake für alle c. Es gilt also a [b,c ] = I für alle. Ist umgekehrt a R mit a I ud damit b a c für alle, so folgt daraus durch Grezwertbildug mit Satz 6.22 auch a a a, also a = a. Somit gibt es geau eie Zahl i alle gegebee Itervalle, ämlich a. Das letzte wichtige Kovergezkriterium, das wir hier beweise wolle das sogeate Cauchy- Kriterium sieht fast so aus wie die Defiitio der Kovergez. Der Uterschied besteht lediglich dari, dass wir icht verlage, dass sich die Folgeglieder eiem gegebee Grezwert immer weiter aäher, soder ur, dass sie sich utereiader beliebig ahe komme. Auf diese Art müsse wir de Grezwert der Folge also wiederum icht vorher kee, um das Kriterium awede zu köe. Im Gegesatz zu usere bisherige Kriterie hat das Cauchy-Kriterium aber auch och zwei weitere etscheidede Vorteile: Es ist äquivalet zur Kovergez ud ka somit auch zum Beweis der Divergez eier Folge verwedet werde, ud es fuktioiert sowohl i R als auch i C. Die Eigeschaft, dass sich die Folgeglieder utereiader immer äher komme, sieht formal wie folgt aus. I 3 I 4 I 5 Defiitio 6.31 (Cauchyfolge). Eie Folge (a ) i K heißt Cauchyfolge, we ε > 0 0 N m, 0 : a m a < ε. Bemerkug 6.32. Jede kovergete Folge ist eie Cauchyfolge: Ist (a ) koverget mit Grezwert a K, so gibt es zu jedem ε > 0 ei 0 N mit a a < ε 2 für alle 0. Da gilt ach der Dreiecksugleichug aber auch für alle m, 0 d. h. (a ) ist eie Cauchyfolge. a m a = (a m a) + (a a ) a m a + a a < ε 2 + ε 2 = ε, Diese Tatsache, dass eie kovergete Folge immer eie Cauchyfolge ist, ist also sehr eifach zu zeige ud wäre z. B. auch i Q richtig: We die Folgeglieder immer mehr gege eie Grezwert strebe, müsse sie sich atürlich auch utereiader immer äher komme. Die Umkehrug dagege ist weit weiger klar: Da Q ja Löcher auf der Zahlegerade hat, köte es ja sei, dass sich die Glieder eier ratioale Folge zwar immer äher komme, aber sich a eiem solche Loch häufe ud daher kei Grezwert der Folge i Q existiert. Dass so etwas i R oder C icht passiere ka, weil es dort keie solche Löcher gibt, wird als Vollstädigkeit dieser Körper bezeichet (siehe auch Defiitio 23.26): I 2 I 1 I 0

66 Adreas Gathma Satz 6.33 (Cauchy-Kriterium für Folge, Vollstädigkeit vo K). Jede Cauchyfolge i K ist koverget. Nach Bemerkug 6.32 ist eie Folge i K also geau da koverget, we sie eie Cauchyfolge ist. Beweis. (a) K = R: I diesem Fall kostruiere wir rekursiv eie Itervallschachtelug I 1 I 2 I 3, so dass jedes dieser Itervalle fast alle Folgeglieder ethält: Für alle k N >0 gibt es ach Defiitio 6.31 ei k N, so dass a m a < 1 k für alle m, k. Isbesodere gilt dies da für m = k, so dass also a a k < 1 k für k, ud damit ( a a k 1 k,a k + 1 ) für fast alle. k 13 Defiiere wir also rekursiv I 1 := [a 1 1,a 1 + 1] ud I k := [a k 1 k,a k + 1 k ] I k 1 für alle k 2, so gilt wie gewüscht: I 1 I 2 I 3, da wir jedes I k i der Kostruktio mit I k 1 scheide. Die Läge vo I k ist höchstes 2 k, ud kovergiert damit gege 0 für k. I jedem I k liege fast alle Folgeglieder, da sowohl i [a k 1 k,a k + 1 k ] als auch i I k 1 (per Iduktio) fast alle Folgeglieder liege. Nach Satz 6.30 gibt es also ei a R mit a I k für alle k N >0. Wir zeige, dass (a ) gege a kovergiert: Es sei ε > 0 gegebe. Wähle wir ei k N mit k > 2 ε, so gilt a I k sowie a I k für fast alle. Somit ist a a für diese höchstes gleich der Läge vo I k, d. h. es gilt a a 2 k < ε für fast alle. (b) K = C: Es sei (a ) eie Cauchyfolge i C. Geau wie i Aufgabe 6.21 (b) zeigt ma, dass da auch (Rea ) ud (Ima ) Cauchyfolge i R sid. Diese kovergiere ach (a) da aber gege ei a R bzw. b R, ud damit kovergiert (a ) wiederum ach Aufgabe 6.21 (b) gege a + ib. Beispiel 6.34 (Noch eimal die geometrische Folge). Wir betrachte och eimal die geometrische Folge (q ) N für ei q K. Aus Beispiel 6.3 (c) wisse wir bereits, dass q 0 für q < 1. Außerdem ist klar, dass die Folge für q = 1 eie kostate Folge ist ud damit kovergiert. Wir zeige u mit dem Cauchy-Kriterium i alle adere Fälle, also we q 1 ud q 1, dass die Folge divergiert. Dazu müsse wir also beweise, dass (q ) keie Cauchyfolge ist, d. h. (ach de Regel der Negatio aus Bemerkug 1.8) ε > 0 0 N,m 0 : q q m ε. Um dies zu zeige, setze wir ε := q 1 > 0. Nu sei 0 N beliebig; wir setze da = 0 + 1 ud m = 0. Mit diese Werte folgt q q m = q 0+1 q 0 = q 0 (q 1) = q 0 q 1 ε. }{{}}{{} 1 =ε Also ist (q ) keie Cauchyfolge ud damit ach Satz 6.33 icht koverget. Das Bild rechts illustriert dies im Fall eier komplexe Zahl q 1 mit q = 1. Nach der geometrische Iterpretatio der komplexe Multiplikatio aus Bemerkug 5.5 läuft die Folge da mit kostater Geschwidigkeit auf dem Eiheitskreis herum ud ähert sich somit keiem Grezwert beliebig a. q 4 q 3 q 2 q 1 q 0 = 1 C

6. Folge ud Grezwerte 67 6.C Häufugspukte Bisher habe wir das Verhalte vo Folge im Uedliche durch ihre Grezwert beschriebe. Selbst we wir hierbei ueigetliche Grezwerte wie i Defiitio 6.13 zulasse, fuktioiert dies aber atürlich icht bei ubestimmt divergete Folge, die keie solche Grezwert besitze. Wir wolle u sehe, wie ma auch solche Folge im Uedliche beschreibe ka. Die Idee hierbei ist, ach Grezwerte vo kovergete Teilfolge zu suche. Defiitio 6.35 (Häufugspukte). Eie Zahl a K heißt Häufugspukt eier Folge (a ) i K, we es eie Teilfolge vo (a ) gibt, die gege a kovergiert. Beispiel 6.36. Wir betrachte die im Bild dargestellte Folge (a ( ) mit a = ( 1) 1 + 1 ) für alle N >0. Die Teilfolge ihrer positive Glieder a 2 = 1 + 2 1 kovergiert 1 offesichtlich gege 1, die Teilfolge ihrer egative Glieder a 2+1 = 1 2+1 1 gege 1. Also sid 1 ud 1 Häufugspukte vo (a ). Wir werde i Beispiel 6.39 (b) och sehe, 1 dass dies i der Tat auch die eizige Häufugspukte dieser Folge sid. a 1 2 3 4 5 6 Zur kokrete Berechug vo Häufugspukte sid oft die folgede beide Lemmata ützlich. Lemma 6.37 (Äquivalete Charakterisieruge vo Häufugspukte). Für eie Folge (a ) i K sowie a K sid äquivalet: (a) a ist ei Häufugspukt vo (a ). (b) I jeder ε-umgebug vo a liege uedlich viele Folgeglieder vo (a ). (c) ε > 0 0 N 0 : a a < ε. Beweis. Wir beweise die Äquivalez dieser drei Aussage durch eie Rigschluss, also idem wir die drei Folgeruge (a) (b), (b) (c) ud (c) (a) zeige. (a) (b) : Kovergiert eie Teilfolge vo (a ) gege a, so liege i jeder ε-umgebug vo a fast alle Glieder der Teilfolge ud somit isbesodere auch uedlich viele Glieder vo (a ). (b) (c) : Es seie ε > 0 ud 0 N gegebe. Da i der ε-umgebug vo a ach Voraussetzug uedlich viele Folgeglieder a liege, gibt es isbesodere auch eies mit 0. (c) (a) : Wir kostruiere rekursiv eie Teilfolge (a k ) k N der gewüschte Art wie folgt: Als Startidex ehme wir 0 = 0. Ist u für ei k N >0 der Idex k 1 bereits kostruiert, so wähle wir ei k N mit k k 1 + 1 ud a k a < 1 k (was ach Voraussetzug (c) mit ε = 1 k möglich ist). Für diese Teilfolge (a k ) k N gilt da 0 a k a 1 k für alle k > 0. Wege 1 k 0 folgt ach dem Eischachtelugssatz 6.22 (b) also auch lim k a k a = 0 ud damit lim k a k = a. Lemma 6.38 (Mischfolge). Es sei (a ) eie Folge i K. Ferer seie (a k ) ud (a mk ) Teilfolge vo (a ), die zusamme die Folge (a ) ergebe, also so dass { k : k N} {m k : k N} = N. Ma sagt i diesem Fall auch, dass (a ) eie Mischfolge vo (a k ) ud (a mk ) ist. Da ist eie Zahl a K geau da ei Häufugspukt vo (a ), we a ei Häufugspukt vo (a k ) oder (a mk ) ist. Beweis. Eie Zahl a ist ach Lemma 6.37 geau da ei Häufugspukt vo (a ), we i jeder ε-umgebug vo a uedlich viele Folgeglieder vo (a ) liege. Da (a ) eie Mischfolge vo (a k ) ud (a mk ) ist, ist dies atürlich äquivalet dazu, dass i jeder solche ε-umgebug uedlich viele Folgeglieder vo (a k ) oder (a mk ) liege, also dass a ei Häufugspukt (midestes) eier dieser beide Teilfolge ist.

68 Adreas Gathma Beispiel 6.39. (a) Ist eie Folge (a ) koverget, so kovergiert ach Lemma 6.8 auch jede ihrer Teilfolge gege deselbe Grezwert. Also ist dieser Grezwert da der eizige Häufugspukt vo (a ). (b) Die Folge (a ) mit a = ( 1) (1 + 1 ) aus Beispiel 6.36 ist eie Mischfolge ihrer positive ud egative Glieder, die gege 1 bzw. 1 kovergiere ud somit ach (a) diese Werte als eizige Häufugspukte besitze. Aus Lemma 6.38 folgt also, dass (a ) geau die beide Häufugspukte 1 ud 1 hat. (c) Da Q ach Beispiel 2.30 (a) abzählbar ist, köe wir eie Folge (a ) N = (a 0,a 1,a 2,...) wähle, die eie Aufzählug der Elemete vo Q darstellt. Diese Folge hat ach Lemma 6.37 da jede reelle Zahl a R als Häufugspukt, de ach Aufgabe 4.28 ethält jede ε- Umgebug vo a uedlich viele ratioale Zahle ud damit uedlich viele Folgeglieder. We wir usere bisherige Beispiele reeller Folge durchschaue, fällt dabei auf, dass jede vo ihe zumidest im ueigetliche Sie eie Häufugspukt hat also eie Teilfolge besitzt, die eie Grezwert i R {± } hat. I der Tat wolle wir jetzt zeige, dass dies bei jeder reelle Folge der Fall ist. Der Eifachheit halber betrachte wir hierfür zuächst ur beschräkte reelle Folge, dere Häufugspukte da i R liege müsse. I diesem Fall werde wir i Folgerug 6.44 sehe, dass die folgede Kostruktio stets eie Häufugspukt liefert ud zwar sogar eie gaz bestimmte, ämlich de größte. Kostruktio 6.40. Es sei (a ) eie beschräkte reelle Folge. Wie im Bild ute für die Folge a = ( 1) (1+ 1 ) aus Beispiel 6.36 dargestellt kostruiere wir u die reelle Hilfsfolge (s ) durch s := sup{a k : k }, d. h. wir betrachte das Supremum aller Folgeglieder, wobei wir aber für s erst beim -te Folgeglied afage. 1 1 a 1 2 3 4 5 6 s 1 = s 2 s 3 = s 4 s 5 = s 6 Beachte dabei, dass die Mege {a k : k } ach Voraussetzug beschräkt sid ud die Suprema s damit ach dem Supremumsaxiom i R existiere. Außerdem folgt aus der Beschräktheit der Folgeglieder, dass auch (s ) eie beschräkte Folge ist. Darüber hiaus ist die Folge (s ) mooto falled: Für m ist die obere Schrake s der Mege {a k : k } ja auch eie obere Schrake der Teilmege {a k : k m} {a k : k } ud muss damit größer oder gleich der kleiste obere Schrake s m vo {a k : k m} sei d. h. es ist s m s. Wir habe also gesehe, dass (s ) eie mooto fallede ud (ach ute) beschräkte reelle Folge ist. Nach dem Mootoiekriterium aus Satz 6.26 besitzt sie also eie Grezwert. Im obe dargestellte Beispiel ist dieser Grezwert offesichtlich 1, also gerade der größte Häufugspukt vo (a ). Bevor wir zeige, dass dies immer der Fall ist, gebe wir der so kostruierte Zahl och eie Name. Defiitio 6.41 (Limes superior ud Limes iferior). Für eie beschräkte reelle Folge (a ) defiiere wir ( de Limes superior limsup a := lim sup{ak : k } ) ud de Limes iferior limif a ( := lim if{ak : k } ).

6. Folge ud Grezwerte 69 I der Literatur sid hierfür auch die Schreibweise lima bzw. lima üblich. Bemerkug 6.42 (Ueigetliche Werte für Limes superior ud Limes iferior). Lässt ma für Supremum, Ifimum ud Grezwerte wie i Bemerkug 4.22 ud Defiitio 6.13 formal auch ± zu, so ka ma de Limes superior ud Limes iferior ach Bemerkug 6.29 geau wie i Defiitio 6.41 auch für beliebige reelle Folge kostruiere ud erhält da Werte i R {± }. Das folgede Lemma zeigt, dass sich der Limes superior (ud aalog der Limes iferior) i gewissem Sie wie eie Mischug aus eiem Grezwert ud eiem Häufugspukt verhält: Währed für eie Grezwert a ja i jeder ε-umgebug U ε (a) fast alle Folgeglieder, für eie Häufugspukt aber ur uedlich viele Glieder liege müsse, ist der Limes superior die (eideutig bestimmte) Zahl a, für die für alle ε fast alle Folgeglieder kleier als a + ε, ud uedlich viele größer als a ε sid. Lemma 6.43. Es seie (a ) eie beschräkte reelle Folge ud a R. Da gilt a = limsup a geau da, we für alle ε > 0 die folgede beide Bediguge erfüllt sid: (a) Für fast alle ist a < a + ε. (b) Für uedlich viele ist a > a ε. (Eie aaloge Aussage gilt atürlich auch für de Limes iferior.) Beweis. Wie i Kostruktio 6.40 sei s = sup{a k : k }, so dass also limsup a = lim s. Weiterhi sei ε > 0 beliebig. : Es gelte s a, also s (a ε,a + ε) für fast alle. Wir müsse (a) ud (b) zeige. Da s eie obere Schrake für {a k : k } (also isbesodere für a ) ist, gilt a s < a+ε für fast alle. Dies zeigt (a). Weiterhi kovergiert (s ) ach Kostruktio 6.40 mooto falled gege a. Isbesodere ist also s m a für alle m N, d. h. die kleiste obere Schrake für {a k : k m} ist größer oder gleich a. Damit ka a ε keie obere Schrake für diese Mege mehr sei. Es gibt also ei m mit a > a ε. Da dies für alle m gilt, gibt es isbesodere uedlich viele solche a, was (b) zeigt. : Wir setze u (a) ud (b) voraus ud müsse s (a ε,a + ε) für fast alle zeige. Nach (a) gibt es ei 0 N mit a < a + ε 2 für alle 0. Damit ist für diese auch s = sup{a k : k } a + ε 2 < a + ε. Weiterhi gibt es ach (b) zu jedem N ei k mit a k > a ε, woraus atürlich auch s = sup{a k : k } > a ε folgt. Isgesamt gilt also s (a ε,a + ε) für fast alle. Aus diesem Lemma ergibt sich u die folgede wichtige Charakterisierug des Limes superior (ud iferior), mit der ma diese Zahl oft sehr eifach bestimme ka. Folgerug 6.44. Für jede beschräkte reelle Folge (a ) ist limsup a der größte Häufugspukt vo (a ). (Aalog ist da atürlich limif a der kleiste Häufugspukt vo (a ).) Beweis. Es seie a = limsup a ud ε > 0 beliebig. Aus (a) ud (b) vo Lemma 6.43 folgt da a ε < a < a + ε für uedlich viele, d. h. ach Lemma 6.37 ist a ei Häufugspukt vo (a ). Ist higege b > a ud ε = b a 2, so gilt ach Lemma 6.43 (a) für fast alle a b b a = (b a) + (a a ) > 2ε ε = ε. Es liege da also ur edlich viele Folgeglieder i der ε-umgebug vo b, womit b kei Häufugspukt vo (a ) mehr sei ka. Damit ist a der größte Häufugspukt vo (a ).

70 Adreas Gathma Beispiel 6.45. (a) Für die Folge (a ) mit a = ( 1) (1 + 1 ) aus Beispiel 6.36 ud 6.39 hatte wir bereits gesehe, dass 1 ud 1 die eizige Häufugspukte sid. Also ergibt sich aus Folgerug 6.44 sofort limsup a = 1 ud limif a = 1. (b) Ist (a ) eie kovergete reelle Folge, so ist ihr Grezwert a ach Beispiel 6.39 (a) der eizige Häufugspukt. Also ist da limsup a = limif = a ach Folgerug 6.44. Ist umgekehrt (a ) eie beschräkte reelle Folge mit limsup a = limif =: a, so folgt aus Lemma 6.43 (a) für alle ε > 0, dass a ε < a < a + ε für fast alle ist wobei sich die erste Ugleichug aus limif a = a ud die zweite aus limsup a = a ergibt. Also ist (a ) da koverget mit Grezwert a. Aufgabe 6.46. Bereche limsup a ud limif a für die Folge a = 1 2 ++( 1). Aufgabe 6.47. Es seie (a ) ud (b ) zwei beschräkte reelle Folge ud c R 0. Ma zeige: (a) limsup (ca ) = c limsup a ; (b) limif ( a ) = limsup a ; (c) limif a + limsup b limsup (a + b ) limsup a + limsup b. Gib ferer i (c) ei Beispiel für zwei Folge a, für die a beide Stelle die strikte Ugleichug gilt. Aufgabe 6.48. Zeige, dass die Aussage vo Folgerug 6.44 auch für beliebige reelle Folge richtig ist, we ma wie i Bemerkug 6.42 die ueigetliche Werte ± für Häufugspukte sowie de Limes superior ud iferior zulässt. Eie umittelbare Kosequez aus Folgerug 6.44 ist atürlich überhaupt erst eimal die Existez eies Häufugspuktes für beschräkte reelle Folge. Diese für sich geomme scho sehr wichtige Aussage hat eie spezielle Name ud gilt i der Tat auch für die komplexe Zahle: Folgerug 6.49 (Satz vo Bolzao-Weierstraß). Jede beschräkte Folge (a ) i K besitzt eie Häufugspukt (ud damit also auch eie kovergete Teilfolge). 14 Beweis. Für de Fall K = R habe wir dies bereits i Folgerug 6.44 gesehe: Der Limes superior vo (a ) ist ei Häufugspukt. Im Fall K = C stelle wir zuächst fest, dass wege Rea = (Rea ) 2 (Rea ) 2 + (Ima ) 2 = a ( ) mit (a ) auch die reelle Folge (Rea ) beschräkt ist. Nach dem Satz vo Bolzao-Weierstraß für R (de wir ja scho bewiese habe) gibt es also eie Teilfolge vo (a ), i der die Realteile gege ei a R kovergiere. Nu ist aalog zu ( ) aber auch (Ima ) beschräkt. Wir köe also wiederum de Satz vo Bolzao-Weierstraß für R auf die gerade gefudee Teilfolge awede ud erhalte so ierhalb dieser Teilfolge eie weitere Teilfolge, i der auch die Imagiärteile gege ei b R kovergiere. Nach Aufgabe 6.21 kovergiert diese Teilfolge da gege a + ib, d. h. a + ib ist ei Häufugspukt vo (a ).