Einführung des Integrals 15 14 Integralrechnung Einführung des Integrals Stammfunktionen Hauptsatz lächen Mittelwerte Rotationsvolumen Das Integral wird aus einer geometrischen ragestellung hergeleitet: Wie bestimmt man die lächen zwischen einer Kurve und der -Achse innerhalb des Intervalls [; ]? In der Schule lernt man: = Dabei gibt es aber einen Haken! Später mehr dazu. A E-Mail: klaus_messner@web.de, Internet: www.elearning-freiburg.de 16 Der Hauptsatz In der Schule wird der Zusammenhang zwischen Differenzialund Integralrechnung gezeigt. Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung: = = Hierbei nennt man eine Stammfunktion von. Es gilt der fundamentale Zusammenhang: = Dies bedeutet Integrieren ist die Umkehrung des Differenzierens, daher sagt man auch aufleiten. 17 Stammfunktionen Aufgrund des Zusammenhangs = sind Stammfunktionen nicht eindeutig bestimmt! Denn = und = +5 Erkenntnis: = +5 = Stammfunktionen sind bis auf eine Konstante eindeutig bestimmt. Es gilt also: = +
Elementare Integrale Rechenregeln für Integrale 1 19 = Bezeichnung Rechenregel +! 1 # +1!$ +,# 1 sin cos + Summenregel +0 = + 0 Konstanter aktor =, R cos sin + 1 ln + Kettenregel rückwärts 0 = 0 0 Nur wenn 0 linear ist, d.h. 0 = 4 +gilt! 5. /. / + Intervallregel = + 5, R lächenberechnung mit dem Integral lächenberechnung mit dem Integral 130 131 Eperiment: Gesucht ist die läche zwischen = sin und der -Achse im Intervall [6; 6]. Erkenntnis: Der Wert des Integrals stellt nicht immer die läche unter einer Kurve dar! Verläuft die Kurve teilweise unterhalb der -Achse, so kommt es zu Auslöschungen oder sogar zu einem negativen Vorzeichen! = sin Negative lächen??? = cos = cos π cos π = 1 1 = Maßnahme: Integriere von Nullstelle zu Nullstelle und nimm Beträge!
13 Rechenbeispiel Gesucht ist die läche zwischen = 3 +1,5 1,5 1 und der -Achse im Intervall [ ; 1]. = ;,= ; + =,5315 ;,= Die gesuchte läche beträgt etwa,5le. Mit GTR: bei Y 1 eingeben, abs(fnint(y 1,X,-,-0.5)) + abs(fnint(y 1,X,-0.5,1)) 0,5 1 133 Abi Pflichtteile Aufgabe PT 010 -Aufgabe : D Berechnen Sie das Integral. ( VP) +4 PT 009 -Aufgabe : E Berechnen Sie das Integral. ( VP) 1 PT 00 -Aufgabe : > ist eine Stammfunktion der unktion 0 mit 0 = 3 sin(4). Der Punkt A 0 1 liegt auf dem Schaubild von >. Bestimmen Sie einen unktionsterm von >. ( VP) 134 Abi Pflichtteile Lösungen Lösung PT 010 -Aufgabe : D +4 = ln + D = 1+. 0+ =. Lösung PT 009 -Aufgabe : E 1 E = ; 1 1 = 1 = 4 E = 4 9 9 4 4 4 =3 4= 1 E 135 Abi Pflichtteile Lösungen Lösung PT 00 -Aufgabe : Bilde zunächst eine Stammfunktion: > = 3 sin 4 = + 3 cos 4 + 4 Da A 0 1 auf > liegt folgt > 0 = 1, also 1 = 3 4 cos 0 + = 1 4 Daraus ergibt sich der gesuchte unktionsterm: > = + 3 4 cos 4 +1 4
läche zwischen zwei Kurven läche zwischen zwei Kurven 136 137 0 Wie berechnet man die läche zwischen zwei Kurven in einem gegebenen Intervall [a;b]? Beachte, dass es bei mehreren lächenstücken wieder zu Auslöschungen kommen kann! a b Ansatz: = 0 Idee: läche obere Kurve minus läche untere Kurve. = 0 Maßnahme: Bestimme die Schnittpunkte der Kurven, integriere von Schnittpunkt zu Schnittpunkt und nimm die Beträge. ür obige Abbildung gilt dann: Vermeide negatives Vorzeichen durch Betragsbildung: = 0 / J / L = 0 + 0 / K / J Rechenbeispiel 1 Rechenbeispiel 1 = 1 + 1 0 = 1 4 4 1 13 139 Bestimme die läche zwischen den beiden Kurven von und 0 zwischen den Schnittpunkten von Hand. Nun berechnen wir die läche: Es gilt A = 0 ; = 1 + 1 0 = 1 4 4 1 Zuerst die Schnittpunkte. 0 = liefert: 6=0 4 4=0 ( 4)=0 =0; = 4; =6 mit der p-q-ormel. Mit 0 = + +6 folgt: A = 1 4 + 1 +6 ; = 0 16 O O +4 =1 LE² = 1 16 + 1 6 +3 0 4
Rechenbeispiel Rechenbeispiel 140 141 Bestimme die läche zwischen den beiden Kurven von und 0 im Intervall [ ; ] mit dem GTR. Die läche ist gegeben durch:,o S =sin 0 =cos 1,5 Eingaben im Y-Editor: Q = sin und Q = cos 1.5 Kurven zeichnen lassen mit GRAPH Schnittpunkte mit ND CALC intersect = 6; = 0,46; =6 = ( 0) + ( 0) ;S,O Dies gibt man im GTR so ein: abs(fnint(y 1 -Y,X,-π,0.46)) + abs(fnint(y 1 -Y,X,0.46,π)) fnint erhält man über MATH, abs erhält man über MATH im Menü NUM Der GTR liefert dann die läche mit =,435 LE². Rechenbeispiele Kettenregel Mittelwerte 14 143 Rechenbeispiel 1:. / =? =. / =./ + Rechenbeispiel : /$ =? 3+ =3 = ln 3+ + /$ Rechenbeispiel 3:cos +5 =? Bei endlich vielen Werten arithmetisches Mittel: Alle Werte zusammenzählen und durch die Anzahl der Werte teilen. Mittelwert von 4,, 9? 4= $U$E =7 Was tun bei unendlich vielen Werten, z.b. bei unktionswerten? Verwende das Integral, weil dieses eine unendliche Summe darstellt. +5 = cos +5 = sin +5 +
Geometrische ragestellung Integralformel für Mittelwerte 144 145 h=( ) A A Eine geometrische rage führt zum selben Problem. ür die läche A links finde ein flächengleiches Rechteck mit der Intervalllänge als Grundseite. Idee: Mittelwert der unktionswerte ist die Höhe des Rechtecks. Mittelwert Integral Der Mittelwert m einer unktion im Intervall ; ist gegeben durch: Erläuterung: 4= 1 Das Integral bestimmt die läche unter der Kurve von im Intervall ;. asst man dies als läche eines Rechtecks auf, so braucht man nur noch durch die Länge zu teilen und erhält die gesuchte Höhe 4 des Rechtecks. Rechenbeispiele Gegenüberstellung 146 147 1. Berechne den Mittelwert von =im Intervall 0;. 4 = 1 0 = 1 1 = 1 0 = 1. Berechne den Mittelwert von f=sin im Intervall [0;π]. 4 = 1 sin = 1 π 0 π cos = 1 1 1 = 0 π Diskreter (endlicher) all: Kontinuierlicher all: 4= 1 # + +! 4= 1 Angenommen man hat im diskreten all sehr viele Werte zu addieren. Kann man trotzdem die Integralformel anwenden? Ja man kann! Man muss allerdings Ungenauigkeiten in Kauf nehmen!
14 Rechenbeispiel Ein Messfühler misst jede Stunde, beginnend mit Stunde 0, die aktuelle Umgebungstemperatur in einem Kühlraum. Während der ersten 0 Stunden wird der Temperaturverlauf durch Y = 0 0,05Y wiedergegeben. Bestimme die Durchschnittstemperatur innerhalb der ersten 0 Stunden (also bis Y = 0) zunächst mit der Integralformel. Bestimmen Sie nun den eakten Wert mit dem GTR und vergleichen Sie die Ergebnisse. 149 Lösung Durchschnittswert mit der Integralformel: Hierbei entstehen Ungenauigkeiten! 4= 1 0 0 0 0,05 13,3 Ergebnis: Die Durchschnittstemperatur während der ersten 0 Stunden beträgt näherungsweise(!) 13,3 C. GTR 150 Anmerkungen Den genauen Wert erhält man mit dem GTR über sum(seq(y 1,X,0,0))/1 gefolgt von ENTER. Die unktion sum erhält man über ND LIST im Menü MATH und die unktion seq erhält man über ND LIST im Menü OPS. Der genaue Wert beträgt 13,16\ C! Gegenüber dem Wert der Integralformel hat man eine Abweichung von etwa 0,167 C. Man muss von all zu all entscheiden, ob man solche Abweichungen in Kauf nehmen kann oder nicht. 151 Aufgabe Eine Bakterienkultur vermehrt sich in den ersten 10 Stunden seit der Beobachtung eponentiell nach dem Gesetz Y =.,]. Hierbei wird Y in Stunden und (Y) in Einheiten von 10000 gemessen. Welche Durchschnittsgröße hatte die Bakterienkultur zwischen der 4ten und der ten Stunde? 4= U; U.,] Y 6, (GTR: fnint(y 1,X,4,)/4) Ergebnis: Zwischen der 4ten und der ten Stunde gab es durchschnittlich 600 Bakterien.
Wahlteil 00 Analsis I 3 Rotationsvolumen 15 153 Aufgabe I 3.1 Rotation um die -Achse Rotation um die -Achse Ein Behälter hat ein assungsvermögen von 100 Liter. Die enthaltene lüssigkeitsmenge zum Zeitpunkt Y wird beschrieben durch die unktion mit Y = 1000 00. ;,] ;Y 0 (Y in Minuten, (Y) in Liter) a b a b a) Bestimmen Sie die mittlere lüssigkeitsmenge während der ersten Stunde. 4 = O O 1000 00.;,] Y = 39,4 _ / =π `J _` =π ; a a `K Umkehrfunktionen Aufgaben zur Umkehrfunktion 154 155 Zur Berechnung von _` muss man die Umkehrfunktion ; a zu bilden. Hierzu löst man die unktionsgleichung a= einfach nach auf. Auf der rechten Seite der Gleichung steht dann die Umkehrfunktion. Rechenbeispiel: Nach auflösen: a= =+5 = a 5 = ; a inde zu folgenden unktionen die Umkehrfunktion: 1. = +3. =. / 3. = +4+4 Lösungen: 1. = `; ; = /;. = ln a ; = ln 3. = a ; =
156 Rechenbeispiel 1 Berechne _ / im Intervall 0; und _` im Intervall 0;4 für =. Lösung b : _ / = π = π 1 5 = Lösung b c : Bestimme zuerst Umkehrfunktion zu. Löse dazu einfach a= nach auf! a= = a= ; a _` =π a a=π 1 a = π = 3 5 π 157 Rechenbeispiel ür = +berechne _ / im Intervall [0;] und _` im Intervall ; 3. Lösung b : _ / = π = π 1 3 + + = π + = π 0 +4 = 3 3 π a Rechenbeispiel = + Wahlteil 005 Analsis I c) 15 Lösung b c : Bestimme zuerst die Umkehrfunktion: a= + a = + = a = ; a _` = π = π 1 3 a a a = π a a = π 9 6 4,5π 3 a 159 Rotationskörper: ] =Y cos; Das Schaubild von ] schließt mit der -Achse eine läche ein. Bei Rotation dieser läche um die -Achse entsteht ein Drehkörper. Berechnen Sie dessen Volumen in Abhängigkeit von Y. _ Y =π Y cos =π Y cos 1,57 π Y ; Dieses Integral kann nur mit dem GTR berechnet werden. Die erforderliche Integrationstechnik wird in der Schule nicht mehr unterrichtet! ;
160 Rotationsvolumen um parallele Achsen Wie berechnet man das Volumen eines Rotationskörpers, der um eine Parallele zur - oder a-achse rotiert? Verschiebe so, dass die neue unktion 0 um die - Achse bzw. um die a-achse rotiert. Berechne _ / bzw. _` mit den bekannten ormeln. Die Berechnungen sind meist sehr aufwändig. Entsprechend selten kommt diese Aufgabenstellung im Abitur vor. 161 Wahlteil 007 Analsis I c) Rotationskörper: = $fgh i J / Das Schaubild j rotiert im Intervall 0;4 um die Gerade mit der Gleichung a = 4/3. Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Rotationskörpers. _ = π 4 3,34