E9 Magnetfelde Vesuchspotokoll von Thomas Baue und Patick Fitsch Münste, den 13.11.
INHALTSVEZEICHNIS 1. Einleitung. Theoetische Gundlagen.1 Die MAXWELL Gleichungen. Das BIOT - SAVAT Geset.3 Magnetfelde einfache Leitekonfiguationen.3.1 Feld entlang de Achse eines stomduchflossenen Keisinges.3. Feld entlang de Achse eine HELMHOLTZ-Spule.3.3 Feld entlang de Achse eine Zylindespule.3.4 Feld entlang de Achse eines magnetischen Quadupols.3.5 Ausmessung von Magnetfelden duch Anwendung des Induktionsgesetes 3. Bescheibung de Appaatu 3.1 Zubehö 3. Skien 3.3 Vesuchsbescheibung 4. Meßduchfühung 4.1 Magnetfeldmessung eine Zylindespule 4. Magnetfeldmessung eine ingspule 4.3 Magnetfeldmessung längs eine ingspulenstinfläche 4.4 Magnetfeldmessung eine Helmholtspule 4.5 Magnetfeldmessung eines Quadupols 5. Meßauswetung 5.1 Gaphische Dastellung de Messungen 5.1.1 Zylindespule 5.1. ingspule 5.1.3 Helmholtspule 5.1.4 Quadupol 5. Gaphische Dastellung de magnetischen Feldvektoen de ingspule 5.3 Magnetfelduntesuchung de Helmholtspule 5.4 Magnetfeldauswetung des Quadupols 6. Diskussion 7. Anlagen Zeichnung de Magnetfeldvektoen an eine ingspule Oiginale Meßpotokoll
1. Einleitung Magnetfelde sind ein Aspekt des elektomagnetischen Feldes, in dem die eitliche Ändeungen des elektischen (bw. magn. Feldes ein magnetisches (bw. elekt. Feld eeugt. Die MAXWELLschen Gleichungen bescheiben diese Kopplung vollständig. In vielen Fällen ist das Zusammenwiken von elektischem und magnetischem Feld u kompliiet, um auf einem analytischen Weg ihe Geometie u bestimmen. Ein sich eitlich veändendes Magnetfeld eeugt eine Spannung, die gemessen weden kann, um übe bestimmte elationen die aus den MAXWELLschen Gleichungen hevogehen, aussagen übe das Aussehen diese Felde u machen. Im nachfolgenden Vesuch sollen Magnetfelde an Spulen vemessen weden, um einen Übeblick übe dieses Feld an einfachen Leitekonfiguationen u bekommen.
. Theoetische Gundlagen.1 Die MAXWELL Gleichungen Die gundlegenden Gleichungen fü alle Escheinungen in de Elektodynamik sind die MAXWELLschen Gleichungen. Sie haben im Vakuum die Fom: ρ div E = (1 ε B ot E = t ( div B = (3 E ot B = µ ( j + ε (4 t mit E = E(, t : elektische Feldstäke B = B(, t : magnetische Flussdichte ρ (, t : elektische Ladungsdichte j(, t : elektische Stomdichte Bei eitlich langsam veändelichen Stömen (quasistationäe Stöme gilt, dass de Veschiebungsstom E ε << j. t E ε gegenübe dem Leitungsstom j u venachlässigen ist, also t. Das BIOT - SAVAT Geset In Gleichung (3 lässt sich das magnetische Feld B als otation eines Vektofeldes B = ot A dastellen, denn div ot A =. Efüllt das Vektopotential A diese Bedingung gilt: 1 B A( = dv 4π Abbildung 1: Leiteelement
De Veschiebungsstom sei, wie oben schon ewähnt, u venachlässigen, woaus folgt: ot ot A = j gad div A A = j µ Die EICHFEIHEIT lässt es u, das Vektopotential A so u wählen, dass div A =. Man ehält dann die Gleichung µ A = µ j, die de POISSON-Gleichung fü das skalae elektische Potential ähnelt. Es kann also deen Lösung fü das Potential heangeogen weden und es egibt sich fü das magnetische Vektopotential: = µ j A 4 dv π Das Magnetfeld ist dann: µ j B = ot A = ot dv 4π µ j = dv 4 B ot π Mit de elation ( ua = u a a u folgt daaus: µ 1 1 B = j j dv 4π 1 Da die Diffeentiation nu auf die Koodinaten des Aufpunktes wikt und = 3 folgt fü die magnetische Flussdichte: µ B = j dv 3 4π Es gestaltet sich fast imme einfache diese Beiehung duch den messbaen Stom im Leite ausudücken. Das Volumenelement dv lässt sich als Podukt eines oientieten Flächenelements do und eines Linienelements d, welches paallel u Stomichtung des Leites veläuft, ausdücken; dv = do d. Die magnetische Flussdichte B ist dann: µ B = - j do d 3 4π Duch die Paallelität von gilt: µ B = - d do j 3 4π d und j sind die beiden vetauschba. Fü den Stom im Leite I = do j
Abbildung : Keising Damit ehält man das BIOT-SAVAT-Geset: = 3 ( 4 d I B π µ.3 Magnetfelde einfache Leitekonfiguationen.3.1 Feld entlang de Achse eines stomduchflossenen Keisinges An diese Stelle soll das BIOT-SAVAT- Geset estmals angewendet weden. Die Symmetie legt eine Beechnung in Zylindekoodinaten nahe. Dann gelten die Beiehungen: dϕ e ϕ d =, e =, e = + = + = + = 3 ( ( ( 4 (,, e e e d I B ϕ ϕ π µ + + + = ϕ ϕ π µ d e d e I B 3 / 3 / ( ( 4 (,, Fü die Integation gilt: = = sin cos π π ϕ ϕ ϕ dϕ d e, und e d d e = = π ϕ ϕ π π 1 e I B + = π π µ ( 4,, ( 3 / e I B + = 3 / ( (,, µ.3. Feld entlang de Achse eine HELMHOLTZ-Spule Fü elektomagnetische Felde gilt das Supepositionspinip, nach dem sich veschieden angelegte Felde ungestöt übelagen. Eine HELMHOLTZ-Spule
besteht nun aus einem Paa gleiche Keisinge, die im Abstand voneinande stehen. Jede einelne Keising eeugt ein Magnetfeld, das de in.3.1 hegeleiteten Gleichung genügt. Legt man den Koodinatenuspung in die Mitte de beiden Keisinge, ehält man fü das magnetische Feld: Abbildung 3: Helmholt.Spulenpaa B = µ 1 1 (,, I + 3 / 3 / (( / + + (( / + e Da eine HELMHOLTZ-Spule in alle egel nicht nu aus einem, sonden aus N Keisingen besteht, ehält man, wegen de Supeposition de Felde, das esultieende Feld duch Multiplikation mit N..3.3 Feld entlang de Achse eine Zylindespule Abbildung 4: Zylindespule Auch fü das Feld eine Zylindespule ist die Gleichung fü das Feld eines Keisinges ausschlaggebend. Übe die Länge L sollen N Windungen velaufen. Das Gesamtfeld sett sich dann wiede aus de Summe alle Felde de einelnen Keisinge usammen. Fü das Magnetfeld ehält man dann: L µ NI B( x = L ( ( x + x + 3 dx n
Löst man diese Integal auf ehält man fü das Feld eine Zylindespule: B( x = µ NI L x + L ( x + L + x x + n In de Spulenmitte hescht die gößte Flussdichte: L B( = µ NI L 1 1+ ( L n Fü seh lange Spulen ehält man daaus den schon bekannten Wet: B µ = NI L n.3.4 Feld entlang de Achse eines magnetischen Quadupols Abbildung 5 eigt den Aufbau eines magnetischen Quadupols. E wid von wei gleichen Spulen vom adius im Abstand gebildet. Beide Spulen duchfließt ein Stom I in entgegengesette ichtung. Das magn. Moment dieses Quadupols ist wegen den entgegengesetten Stömen gleich Null. Fü die adialkomponente auf de Achse des Quadupols 3µ NI ehält man: B Achse ( = 4 3 Abbildung 5: magnetische Quadupol.3.5 Ausmessung von Magnetfelden duch Anwendung des Induktionsgesetes Duch ein eitlich veändeliches Magnetfeld wid in einem Leite eine Induktionsspannung nach dem Geset U ind = d E ds = dt Fläche F B df
hevogeufen. Duchsett das Magnetfeld die vom Leite eingeschlossene Fläche F senkecht und hat diese Leite N Windungen ehält man nach dem geade genannten Geset den Zusammenhang: U ind = NBF Ist an eine Spule ein magnetisches Wechselfeld de Fom B t = B sin ωt ( angelegt, kann man mit eine sogenannten Meßspule, deen Queschnittsfläche klein u Magnetfeld eeugenden Spule sein muß, die effektive Induktionsspannung mit einem geeigneten Voltmete messen. Hie gilt: U ind, eff = NωB eff F
3. Vesuchsbescheibung 3.1 Zubehö - 1 Zylindespule,Länge L=3mm, adius =mm und N = 198 Windungen - ingspulen, mit dem gemittelten adius =67,7mm und N = 37 Windungen - 1 dehbae Meßspule mit Windungsfläche NF =,153 m - 1 Dehpotentiomete ( stufenlos vestellbae Widestand mit max = 7 Ω - 1 Ampèemete - 1 µv-mete 3. Skien Abbildung 6: eigt das Schaltbild fü die Zylindespule und die einelne ingspule. Abbildung 7: eigt das Schaltbild fü wei ingspulen, die u eine HELMHOLTZ-Spule geschaltet sind. Abbildung 7: eigt das Schaltbild fü wei ingspulen, die u eine Quadupol geschaltet sind
3.3 Vesuchsbescheibung Die Schaltung wid wie in de Skie aufgebaut. Das Dehpotentiomete wid so eingestellt, dass ein Stom von 1 A fließt. Die Meßspule wid an das Voltmete angeschlossen und in die vogesehene Halteung gesteckt, so dass sich die Meßspule imme nu auf eine konstanten Höhe auf die Spule u bw. weg bewegen kann. Es ist u beachten, dass alle metallischen Gegenstände (Uhen, inge usw. abgelegt weden, um das u messene Magnetfeld nicht u vefälschen. Das Voltmete wid nun auf die Skala Wechselstom mit einem Maximum von mv Maximalaneige eingestellt. Falls diese Aneige übeschitten wid, stellt man das Voltmete auf A Maximalaneige. Im esten Vesuchsteil wid die Axialkomponete des Magnetfeldes eine Zylindespule gemessen. Hieu wid die Meßspule senkecht u de Zylindespulenkopffläche gedeht und bis um Mittelpunkt in die Zylindespule eingefüht. Die Spannung wid abgelesen und notiet. In 1cm-Schitten wid die Meßspule nun aus de Zylindespule heausgefahen, die Spannung wid wie oben abgelesen und notiet. Im weiten Vesuchsteil wid die Axialkomponente des Magnetfeldes eine ingspule gemessen. Es wid so wie oben vefahen. Im ditten Vesuchsteil wid die Axial- und adialkomponente des Magnetfeldes de Stinfläche eine ingspule gemessen. Zu beachten ist, dass die Meßspulenfläche fü die Axialkomponente paallel u Stinfläche de ingspule sein muß. Um die adialkomponente u messen, muß die Meßspulenfläche senkecht u Stinfläche de ingspule sein. Im vieten Vesuchsteil wid die Axial- und adialkomponente des Magnetfeldes eine Helmholtspule gemessen. Es ist u beachten, dass die beiden ingspulen ichtig u eine Helmholtspule geschaltet weden, d.h. die Wechselstöme in den beiden nebeneinande gestellten ingspulen müssen jeweils in die gleiche ichtung velaufen und de Abstand wischen beiden Spulen muß dem adius de ingspulen entspechen. Im fünften Vesuchsteil wid die Axialkomponente des Magnetfeldes eines Quadupols gemessen. De Quadupol ist so u schalten, dass die beiden duch die Abstandsplatte voneinande entfenten ingspulen jeweils einen gegenläufigen Stom haben.
4. Meßduchfühung Um das Magnetfeld B mit eine Meßspule u bestimmen, muß man die Fomel fü die induiete Spannung U eine Spule beücksichtigen: U B =. ( ω =π 5H, NF=,153m ω NF Fü alle folgenden Messegebnisse gilt: Die Spannungsmessung wid bedingt duch das Meßgeät mit einem absoluten Meßfehle von,1mv behaftet. In de daaus beechneten Magnetfeldstäke pflant sich diese absolute Meßfehle u 4,33 µt fot. 4.1 Magnetfeldmessung eine Zylindespule Die induiete Spannung de Axialkomponente des Magnetfeldes eine Zylindespule wid vom Mittelpunkt aus bis etwas übe die Stinfläche hinaus gemessen mit de Meßspule gemessen: Abstand vom Mittelpunkt / [cm] Induiete Spannung U / [mv] Magnetfeld B / [µt] Abstand vom Mittelpunkt / [cm] Induiete Spannung U / [mv] Magnetfeld B / [µt] 46 957, 1 4,15 876,9 1 45,64 949,5 13 39,4 819,7 45,6 948,7 14 3,75 681,3 3 45,54 947,4 15,8 459,4 4 45,58 948,3 16 11,5 39,3 5 45,55 947,6 17* 5,68 118, 6 45,5 946,6 18 3,3 63, 7 45,33 943,1 19 1,9 39,5 8 45,14 939,1 1,3 7, 9 44,8 93, 1,9 18,7 1 44,3 9,1,7 14,6 11 43,5 95,4 Tabelle 1: induiete Spannung, Zylindespule *: Bei 17 cm hat die Meßspule das Innee de Zylindespule velassen. 4. Magnetfeldmessung eine ingspule Jett wid die induiete Spannung de Axialkomponente des Magnetfeldes eine ingspule gemessen. Die Messung beginnt wiede beim Mittelpunkt de Spule und wid in 1cm-Schitten vom Mittelpunkt weg wiedeholt. Es egeben sich folgende Messungen:
Abstand vom Mittepunkt / [cm] Induiete Spannung U / [mv] Magnetfeld B / [µt] Abstand vom Mittepunkt / [cm] Induiete Spannung U / [mv] Magnetfeld B / [µt] 16,4 3337,1 8 38,9 89,3 1 148 379,1 9 31,6 657,4 19, 688, 1 5,9 538,8 3 19,6 8, 11 1,3 443,1 4 9,7 1887, 1 17,7 368, 5 73,8 1535,4 13 14,9 31, 6 59,9 146, 14 1,4 58, 7 48,3 14,9 15 1,6,5 Tabelle : Induiete Spannung, ingspule 4.3 Magnetfeldmessung längs eine ingspulenstinfläche Nun wid die induiete Spannung fü die axiale und die adiale Magnetfeldkomponente de Stinfläche eine ingspule gemessen. Abstand vom Mittepunkt / [cm] Axial Induiete Spannung U / [mv] Axiales Magnetfeld B / [µt] 144,5 36,3 1 145,7 331, 15, 3166,5 3 154, 38,1 4 156,5 355,9 5 13,9 764,9 6 85,8 1785, 7 11,9 47,6 8 1,5 447,3 9 9,6 615,8 1 4,6 511,8 11,7 43,7 1 15,8 38,7 13 1,6 6,1 14 9,6 199,7 15 8,1 168,5 16 6,4 133131 17 5,4 11,3 Tabelle 3: Axial-Induiete Spannung, ingspule Abstand vom Mittepunkt / [cm] adial Induiete Spannung U / [mv] adiales Magnetfeld B / [µt] 14,4 99,6 1 13,7 85, 3,5 676,1 3 4,4 88,1 4 6,3 154,5 5 111,5 319,7 6 154,3 31,1 7 16,4 69,7 8 81,5 1695,6 9 48,9 117,3 1 9, 67,5 11 18,1 376,6 1 1,5 6,1 13 8,7 181, 14 6,1 16,9 15 4 83, 16 3,1 64,5 17,8 58,3 Tabelle 4: adial-induiete Spannung, ingspule
4.4 Magnetfeldmessung eine Helmholtspule Im Folgenden wid die induiete Spannung fü die axiale und die adiale Magnetfeldkomponente eine Helmholtspule gemessen. Die Messung beginnt einige Zentimete außehalb de Helmholtspule. Die Meßspule wid dann in 1cm-Schitten in den aum, den die beiden ingspulen begenen hineingefüht bis sie wiede einige Zentimete aus dem aum heaus ist. Man liest folgende Egebnisse ab: elative Axial Abstand vom Induiete Mittelpunkt / Spannung U [cm] / [mv] Axiales Magnetfeld B / [µt] 15 31,1 647, 14 37,6 78,3 13 46,1 959,1 1 56, 1169, 11 69,3 1441,8 1 85,3 1774,6 9 15,5 194,9 8 17, 646,3 7 154,6 316,4 6 18 3786,4 5 6,5 471, 4 38, 4955,6 3 44 576,3 45, 511,3 1 45,3 513,4 43,8 57, -1 39,8 4988,9-9,6 4776,7-3 1,7 445,1-4 189,7 3946,6 Tabelle 5: Axial-Induiete Spannung, Helmholtspule elative adial Abstand vom Induiete Mittelpunkt / Spannung U [cm] / [mv] adiales Magnetfeld B / [µt] 15,3 47,9 14,5 5, 13 4,8 99,9 1 5, 18, 11 7 145,6 1 8,3 17,7 9 1 8, 8 1,5 6,1 7 15,7 36,6 6 17,9 37,4 5 18,9 393, 4 19,4 43,6 3 18,9 393, 17,7 368, 1 16,8 349,5 17, 357,8-1 17,9 37,4-17,1 355,8-3 15,3 318,3-4 1,6 6,1 Tabelle 6: adial-induiete Spannung, Helmholtspule 4.5 Magnetfeldmessung eines Quadupols Zum Schluß wid die duch die axiale Magnetfeldkomponente induiete Spannung gemessen. Die Messung beginnt einige Zentimete vom Quadupol entfent und in 1cm- Schitten auf ihn u. Gemessen weden folgende Spannungen:
Abstand vom Mittepunkt / [cm] Axial Induiete Spannung U / [mv] Axiales Magnetfeld B / [µt] Abstand vom Mittepunkt / [cm] Axial Induiete Spannung U / [mv] Tabelle 7: Axial-Induiete Spannung, Quadupol Axiales Magnetfeld B / [µt] 1 144,3 3,1 16 7,4 154, 15,8 617, 17 6,4 133,1 3 16 5,3 18 5,4 11,3 4 87,5 18,4 19 4,6 95,7 5 7,8 1473, 4 83, 6 55,9 1163, 1 3,5 7,8 7 44,8 93, 3 6,4 8 36,1 751, 3,6 54,1 9 8,9 61,3 4,3 47,9 1 3,1 48,6 5 41,6 11 18,9 393, 6 1,7 35,4 1 15,5 3,5 7 1,5 31, 13 1,7 64, 8 1,4 9,1 14 1,6,5 9 1, 5, 15 8,9 185, Die Spalte Skala in Diagamm 5 hat keine absolute Bedeutung. Sie ist nu elativ gemeint, d.h. man kann nu elative Ändeungen ablesen. 9 bedeutet dabei am weitesten vom Quadupol weg und 1 bedeutet am nächsten daan.
5. Meßauswetung 5.1 Gaphische Dastellung de Messungen 5.1.1 Zylindespule Diagamm 1: Messpunkte mit appoximiete (duchgeogene und de theoetisch emittelten Kuve (gestichelte des Feldes in eine Zylindespule 5.1. ingspule Diagamm : Messpunkte mit appox. Kuve und de theoetisch emittelten Kuve fü eine ingspule
Diagamm 3: Messpunkte fü die Axiale Magnetfeldkomponente entlang de Stinfläche de ingspule Diagamm 4: Messpunkte fü die adiale Magnetfeldkomponente entlang de Stinfläche eine ingspule
5.1.3 Helmholtspule Diagamm 5: Messpunkte fü die Axiale Magnetfeldkomponente eine HELMHOLTZ-Spule Diagamm 6: Messpunkte fü die adiale Magnetfeldkomponente eine HELMHOLTZ-Spule
5.1.4 Quadupol Diagamm 7: Messpunkte fü die Axiale Magnetfeldkomponente eines Quadupols 5. Gaphische Dastellung de magnetischen Feldvektoen de ingspule siehe Anlagen 5.3 Magnetfelduntesuchung de Helmholtspule Im Folgenden wid das Volumen in eine Helmholtspule bestimmt, in dem das Magnetfeld auf 1% homogen ist. Bei diesem Volumen handelt es sich aus Symmetiegünden um einen Zylinde. Die Länge dieses Zylindes liest man aus Diagamm 5 und den Duchmesse aus Diagamm 6 ab. Dau tägt man in beide Diagamme noch 1%-Fehlebalken in y-ichtung an jeden Meßpunkt auf. Man legt jett eine waageechte Geade in Diagamm 5 duch den Schnittpunkt des Gaphen mit de y-achse und liest die Stecke ab, die noch innehalb de Fehlebalken liegt.
Diagamm 8: Messpunkte fü die Axiale Magnetfeldkomponente eine HELMHOLTZ-Spule mit 1%-Fehlebalken In diesem Fall ist die Länge l = (5 ±,5cm. Den Duchmesse liest man aus Diagamm 6 ab, indem man eine waageechte Geade duch den Schnittpunkt des Gaphen mit de y-achse legt und die Stecke mißt die duch den Schnittpunkt mit de y-achse geht und noch innehalb de Fehlebalken ist. Diagamm 9: Messpunkte fü die adiale Magnetfeldkomponente eine HELMHOLTZ-Spule mit 1%-Fehlebalken
Fü den Duchmesse egibt sich also d = (4 ±,5cm. Da Volumen, in dem die Magnetfeldstäke auf 1% homogen ist beechnet sich übe die Volumenfomel des Zylindes u: 1 Vhom ogen 4 = π l d = 6,8 ( 1 ± 35% cm 3 = ( 6,8 ± 1,98 cm 3 5.4 Magnetfeldauswetung des Quadupols Im Folgenden soll bestimmt weden, ab welche Entfenung vom Mittelpunkt des Quadupols die duch die theoetische bestimmte Methode bestimmte Magnetfeldstäke mit de Gemessenen auf 1% genau übeeinstimmt. Hieu betachtet man die beiden Gaphen in Diagamm 7 und tägt fü die theoetisch bestimmte Funktion 1%-Fehlebalken in y-ichtung auf. Diagamm 1: Messpunkte fü die Axiale Magnetfeldkomponente eines Quadupols mit 1%-Fehlebalken und Kuve fü das theoetische Egebnis Zu besseen Auswetung wid die echte Seite des Diagamms vegößet dagestellt.
Diagamm 11: Vegößeung von Diagamm 1 u Übepüfung de Egebnisse mit den theoetischen Weten Man ekennt, dass die theoetisch emittelten Wete mit den paktisch emittelten Weten ab einem Abstand = 1 cm u 1% gleich sind.
6. Diskussion Die Messwete liegen alle nahe bei den duch die Theoie ewateten Weten. Vefälscht wuden unsee Meßwete sichelich duch die Kabel, welche seh ungünstig an de ingspule u befestigen waen. De Stom in diesen Kabeln ehöhte wahscheinlich die Meßwete, wie man in den Diagammen ekennen kann. Ein weitee Fakto ist, dass sich de Vowidestand und de Innenwidestand de Spule(n duch die Ewämung ehöht. Somit fließt ein kleinee Stom als ein Ampèe. Daaus müßte sich dann eigentlich eine kleinee Magnetfeldstäke als bei einem Ampèe egeben. Laut unseen Diagammen ist diese Fall jedoch nicht eingeteten. Vielleicht liegt es daan, dass de Stom in den Kabeln meh Einfluß auf die Magnetfeldstäke hatte, als de ehöhte Widestand. Es wäe sichelich besse gewesen, das Magnetfeld des Kabels und die Ändeung des Widestandes vo den Messungen ausumessen um an diese Stelle eine wissenschaftliche Aussage u teffen. Zu Vesuchsduchfühung lag diese Ekenntnis jedoch noch nicht vo. Ein weitee Kitikpunkt ist unsee Messung de axialen Magnetfeldkomponente de ingspulenstinfläche. Einige Messungen meh hätten eine bessee Aussage übe das Vehalten de Magnetfeldstäke in Abhängigkeit von de Entfenung um Mittelpunkt de ingspule gebacht ( siehe Diagamm 3. Schön ist auch an diesem Vesuch u sehen, wie sich die Theoie und die Paxis de Helmholtspule untescheiden. Gob wid imme gesagt, dass das Feld innehalb eine Helmholtspule übeall homogen ist. Tatsächlich sind abe nu 6 cm 3 bei einem duch das Helmholtspulenpaa aufspannenden Volumen von 975 cm 3 u 1% homogen.