Senatsvewaltung fü Bildung, Wissenschaft und Foschung Fach Name, Voname Klasse Abschlusspüfung an de Fachobeschule im Schuljah / Mathematik (B) Püfungstag.. Püfungszeit Zugelassene Hilfsmittel Allgemeine Abeitshinweise Spezielle Abeitshinweise 9: - : Uh Mathematische Fomelsammlungen (keine selbst angefetigten) ohne Mustelösungen, Taschenechne ohne Gaphikdisplay, keine CAS-Rechne, fei pogammiebae Speiche müssen gelöscht sein. Das Handbuch muss voliegen. Sollte Ih Taschenechne die Möglichkeit zum numeischen Diffeenzieen ode Integieen bieten ode in de Lage sein, Gleichungen ode Gleichungssysteme zu lösen, düfen Sie bei Ihen Lösungen davon keinen Gebauch machen. Ihe Lösungswege sind so zu gestalten und zu dokumentieen, wie sie ohne diese Hilfsmittel duchgefüht weden. Bleistifte düfen nu fü Skizzen benutzt weden. Die Reinschiften und Entwüfe sind nu auf den besondes gekennzeichneten Bögen anzufetigen, die Sie fü die Püfung ehalten. Diese sind zu nummeieen und sofot mit Ihem Namen zu vesehen. Fü jede neue Aufgabe ist ein neue gekennzeichnete Bogen zu beginnen. Schwewiegende ode gehäufte Vestöße gegen die spachliche Richtigkeit ode gegen die äußee Fom fühen zu einem Abzug von bis zu einem Punkt (Malus- Regelung). Bedenken Sie die Folgen eine Täuschung ode eines Täuschungsvesuchs! De Aufgabensatz besteht aus vie veschiedenen Einzelaufgaben, die Sie alle beabeiten müssen! Gesamtzahl de abgegebenen Lösungsblätte (Reinschift): Bewetungseinheiten, und Gesamtpunkte und Gesamtnote : Blätte Aufgabe N.: Soll % 4 5 5 4 Ist Ist (ggf. Zweitkoektu) Summe: Notenpunkte: 5 Punkte Punkte Maluspunkt - Punkt Punkt Insgesamt: Datum, Unteschift: Punkte Note: Punkte Note: gilt nu fü doppelt qualifizieende Bildungsgänge mit Fachhochschuleife
Abschlusspüfung Fachobeschule Hebst, (Mathematik) Aufgabenvoschlag B /4 Eine Schiff (siehe Foto) wude als Doppelumpfschiff (Katamaan) gebaut. De mittlee Teil des Queschnitts des Schiffsumpfes entspicht näheungsweise de Funktion f mit: gobe Skizze y H Decklinie Wasselinie f( ),,8! D. 4 =! ; f (Hinweis: LE entspicht m) Schiffsumpf Tangente Foto: J. Lehnen. Geben Sie das Symmetievehalten des Funktionsgaphen an. Begünden Sie Ihe Aussage. /. Beechnen Sie mit Hilfe eine Nullstellenbeechnung die Gesamtbeite des Schiffsumpfes auf Höhe de Wasselinie. /6. Beechnen Sie die y-koodinaten de Tiefpunkte (Tiefgang). /.4 Beechnen Sie die Länge de waageechten Decklinie, wenn diese m übe dem Hochpunkt H ( ) liegt. /6.5 Zeichnen Sie den Gaphen von f zusammen mit de Decklinie in das nachstehende Koodinatensystem (siehe nächste Seite)..6 Damit das Schiff unsinkba ist, soll de Doppelumpf des Schiffes mit Styopo bis zu Höhe de Wasselinie ( y = ) ausgefüllt weden. Beechnen Sie das Volumen an Styopo in den mittleen m des Schiffes (de Queschnitt ändet sich in diesem Beeich nicht)..7 Im Hochpunkt H des Gaphen von f soll fü Untewassebeobachtungen eine Kamea angebacht weden. Man möchte wissen, wie goß de Blickwinkel de Kamea in Richtung Meeesgund ist. Hiezu muss man zwei Tangenten duch den Punkt H an den Schiffsumpf (Gaph von f ) anlegen. Die Gleichung eine diese Tangenten an f lautet: t ( ) =,8. Beechnen Sie den Blickwinkel!.! Fotsetzung nächste Seite! /5 /6 /5 Aufgabenvoschlag B Abschlusspüfung Fachobeschule Seite von 5
Abschlusspüfung Fachobeschule Hebst, (Mathematik) Aufgabenvoschlag B gaphische Dastellung zu.5 Aufgabenvoschlag B Abschlusspüfung Fachobeschule Seite von 5
Abschlusspüfung Fachobeschule Hebst, (Mathematik) Aufgabenvoschlag B /5 Von eine Funktion f ditten Gades ist das Schaubild mit den Gaphen de Funktion und de esten Ableitung f! vohanden. De Hochpunkt des Gaphen von f lautet H (,5). Bestimmen Sie die Funktionsgleichung diese Funktion. Vewenden Sie hiefü die in de Gaphik gekennzeichneten Punkte bzw. Stellen. Wenn Sie das Gleichungssystem nicht aufstellen können, lösen Sie esatzweise das folgende Gleichungssystem und bestimmen Sie damit die gesuchte Funktionsgleichung f ( ) = a + b + c + d de Funktion f. = 6a + 8b + 4c + d = 6a + b + c = 8a + b + c -7 = - d Aufgabenvoschlag B Abschlusspüfung Fachobeschule Seite von 5
Abschlusspüfung Fachobeschule Hebst, (Mathematik) Aufgabenvoschlag B /5 Eine Fima stellt zylindische Blechdosen fü Gemüsekonseven he. Um den Mateialvebauch so geing wie möglich zu halten, soll eine Dose bei gegebene Obefläche ein möglichst goßes Volumen fassen. Po Dose stehen cm" Blech zu Vefügung, Falze etc. sollen venachlässigt weden. Rechnen Sie ohne Einheiten:. Zeigen Sie, dass V eine (Ziel-) Funktion ist, mit de das Volumen eine solchen Dose beechnet weden kann: /6 V () = 5"! ( LE entspicht cm bzw. VE entspicht cm ). Emitteln Sie, welche Abmessungen zu wählen sind, damit die Dose ein gößtmögliches Fassungsvemögen hat. Beechnen Sie auch das maimale Volumen. /6. Emitteln Sie den Definitionsbeeich de Zielfunktion und püfen Sie, ob Ih emitteltes Volumen tatsächlich das gößtmögliche ist, indem Sie die Funktion an den Ränden des Definitionsbeeichs püfen. / Aufgabenvoschlag B Abschlusspüfung Fachobeschule Seite 4 von 5
Abschlusspüfung Fachobeschule Hebst, (Mathematik) Aufgabenvoschlag B 4 / Ein Rechteck mit den Seitenlängen cm und 4 cm wid duch die Gaphen de Funktionen f und g mit den Funktionsgleichungen: 5 f ( ) =! +,! D f und 8 g ( ) =! + 4,! Dg 8 6 in vie Teile A, A, A und A 4 zelegt. (siehe die nebenstehende Abbildung; LE entspicht cm). 4. Beechnen Sie das bestimmte Integal! f ( ) d, und begünden Sie, waum de Wet des Integals de Summe de Flächeninhalte von A und A in cm entspicht. Beechnen Sie weitehin das bestimmte Integal Integalwet als Summe zweie Teilflächen dastellen?! gd ( ). Wie lässt sich diese / 4. Emitteln Sie die -Koodinaten de Schnittpunkte de Funktionsgaphen von f und g auf echneischem Weg. Bestimmen Sie die Inhalte de Flächen A und A. / 4. Beechnen Sie die Inhalte de Flächen A und A 4. Hinweis: Sie können diese Wete ohne Integation bestimmen, wenn Sie die beeits beechneten Flächen und die Fläche des Rechtecks beücksichtigen. / 4.4 Beechnen Sie das bestimmte Integal ( ( )! ( )) " g f d, und püfen Sie, ob de Wet des Integals de Summe de Flächeninhalte von A und A in cm entspicht. Begünden Sie ihe Antwot. /5 Aufgabenvoschlag B Abschlusspüfung Fachobeschule Seite 5 von 5
Abschlusspüfung Fachobeschule Hebst, (Mathematik) Ewatungshoizont Aufgabenvoschlag B Teil- Ewatete Teilleistung aufgaben. f( )! f( " ) ode die Eponenten von sind geade, de Gaph ist achsensymmetisch zu y-achse.. Nullstellen von f : f 4 ( )!, ",8! 4 / " 9! ( " 9)! /4!#!# Beite des Schiffsumpfes auf Höhe de Wasselinie : b!! 6m. Bestimmung de Tiefpunkte: f () =, 4!,8 f!() =,8!,6 f!! () =,4!,6 f "() =,8!,6 = (,8!,6) = E = (Hochpunkt, siehe Skizze),8!,6 = E /! ± 4,5! ±.m f!! ( E ) = 7, < ; Minimum f!! ( E ) = 7, < ; Minimum (altenativ : Begündung übe Velauf des Gaphen) f ( E ) = f ( E ) =!4,5m (Tiefgang) Aufgabenvoschlag B Abschlusspüfung Fachobeschule Seite von 8
Abschlusspüfung Fachobeschule Hebst, (Mathematik) Ewatungshoizont Aufgabenvoschlag B Teil- Ewatete Teilleistung aufgaben.4 Beechnung de Länge de Deckslinie: f () =, 4!,8 =, 4!,8!= 4! 9!5 = z = z! 9z!5 = z / = 9 ± (!9) +5 4 z! 9,5 ; z! ",5 / = ± z! ±,9 Da z negativ ist, gibt es keine weiteen Lösungen. Länge de Deckslinie : l = = 6,8m.5 gaphische Dastellung: 5.6 Beechnung de Queschnittsfläche mittels Integalechnung. Integationsgenzen sind die Nullstellen: Unte Ausnutzung de Symmetie egibt sich die Queschnittsfläche A: A =!! (, 4!,8 )d! = " #(,5!,8 " 5 ) $ & % =,96 V = A! l =,96m!m =56m. Aufgabenvoschlag B Abschlusspüfung Fachobeschule Seite von 8
Teilaufgaben Abschlusspüfung Fachobeschule Hebst, (Mathematik) Ewatungshoizont Aufgabenvoschlag B Ewatete Teilleistung.7 Beechnung des Blickwinkels übe die Steigung des Gaphen von t. t() =,8 m t =,8 tan! =,8!! 64, De Winkel! y zwischen de y-achse und de Tangente ist somit 9! 64, = 5,7. De Blickwinkel! hat die doppelte Göße: 5,4. Summe 7 mögliche BE 4 Aufgabenvoschlag B Abschlusspüfung Fachobeschule Seite von 8
Abschlusspüfung Fachobeschule Hebst, (Mathematik) Ewatungshoizont Aufgabenvoschlag B Teil- Ewatete Teilleistung aufgaben Ansatz: f( ) = a + b + c+ d! = + + f ( ) a b c Bedingungsgefüge:. f () =,5 ( H (,5) ist Punkt vom Gaphen von f ). f!() = ( = ist Etemstelle) E. f!(6) = ( E = 6 ist Etemstelle) 4. f () =,5 ( y =,5 ist y-achsenabschnitt) Gleichungssystem: I:,5 = 8a + 4b + c + d II: = a + 4b + c III: = 8a + b + c IV:,5 = d Lösen des Gleichungssystems (ebenso Esatz-LGS) 5 Daaus egibt sich (auch Esatz-LGS): 7 a=, b=!, c= 9, d = 4 Fü die Funktionsgleichung gilt: f () = 4! + 9 + 7 Summe 7 8 mögliche BE 5 Aufgabenvoschlag B Abschlusspüfung Fachobeschule Seite 4 von 8
Abschlusspüfung Fachobeschule Hebst, (Mathematik) Ewatungshoizont Aufgabenvoschlag B Teil- Ewatete Teilleistung aufgaben. Estellung de Zielfunktion V h Zyl ( ) =! " Hauptbedingung A = A + " A Zyl Rechteck Keis =! h " +! =! ( + h) =! h " +! Nebenbedingung Es folgt fü h: =! h " +! #! #! =! " h :! #! = h! Eingesetzt in die Hauptbedingung: "! V () =!! "! = = " 5! Zielfunktion. Abmessungen: Bedingung fü Maimum: V(! ma ) = und V(!! ma ) < V# ( ) = 5$! = 5$!! = 5 5 =! 5 =± " ±,99cm! Übepüfung de At des Etemums: V"" () = # 6! V ""(,99) = # 6! $,99 %# 75, < & Maimum, = #,99 ist sinnlos. Höhe de Dose: "! h =! "! #,99 h= $ 7,98cm! #,99 Aufgabenvoschlag B Abschlusspüfung Fachobeschule Seite 5 von 8
Teilaufgaben Abschlusspüfung Fachobeschule Hebst, (Mathematik) Ewatungshoizont Aufgabenvoschlag B Ewatete Teilleistung Maimales Volumen: V(,99) = 5",99 #! ",99 $ 98,94cm Das gößtmögliche Volumen de Dose betägt 98,94cm bei einem Radius von,99cmund eine Höhe von 7,98cm.. Kleine als null kann de Radius nicht weden, bei gegebene Obefläche kann de Radius nu auf Kosten de Höhe wachsen, deshalb ist die obee Genze fü bei 5 = eeicht. Dann besteht die Dose nu noch aus den! beiden Deckeln mit zusammen cm Flächeninhalt: 5 =! " =! ' % Demnach ist D V =!! " " 5 #% ( $ )%! &% de Definitionsbeeich. Zu püfen sind die Rände: V() = 5" #! " = cm und 5 5 5 V( ) = 5" #! " = cm!!! Das gefundene Maimum ist das absolute. Summe 4 mögliche BE 5 Aufgabenvoschlag B Abschlusspüfung Fachobeschule Seite 6 von 8
Abschlusspüfung Fachobeschule Hebst, (Mathematik) Ewatungshoizont Aufgabenvoschlag B Teil- Ewatete Teilleistung aufgaben 4. Beechnung des bestimmten Integals: / ( & " '. f ( ) d = /," - 54 + 5 4 8 % # $ = + 5 + ) d = * 5 "! +! = 65 54 4 Das Integal entspicht de Fläche, die vom Gaph von f und de -Achse im Intevall [ ;] begenzt wid. Damit egibt sich de Flächeninhalt: A + A = 65 cm. 4. Beechnung des bestimmten Integals:! " / g( ) d = / $ # + 4% d = & 8 6 ' ( ) * # + 4 =, 54 + -. #. + 4. = 75 54 Das Integal entspicht de Fläche, die vom Gaph von g und de -Achse im Intevall [ ;] begenzt wid. Damit egibt sich de Flächeninhalt: A + A = 75cm. Bestimmung de Schnittstellen: Gleichsetzen f ( ) = g( ) " 8 9 5 + = " + 4 # 8 6 4 " + 4 = # " 4 + 6 =, = ± (" ) " 6! =, = 4 g ( )! f ( ) =! + 4 9 Beechnung de Flächeninhalte duch Integation: 4 ( ) ( ) 4! " A = /( g # f ) d= / $ # + % d= & 9 ' ( 7 ) 7 + # + 4 = * # * + 4* = 8-7,. 7 Flächeninhalt: A = 8cm Aufgabenvoschlag B Abschlusspüfung Fachobeschule Seite 7 von 8
Abschlusspüfung Fachobeschule Hebst, (Mathematik) Ewatungshoizont Aufgabenvoschlag B Teilaufgaben 4. 4.4 Ewatete Teilleistung 4 ( ) ( ) 4! " A = /( f # g ) d = / $ # + # % d = & 9 ' ( 7 ) 7 + # + # 4 = # * + * # 4* # - 7,. 7! 7 " $ # * + * # 4* % = 8 & 7 ' Flächeninhalt: A = 8 cm Nach 4. und 4. gilt A + A = 65 cm, A = 8cm und damit A = 57 cm. De Flächeninhalt des Rechteckes betägt A = cm Damit egibt sich A 4 = A A A A = 67 cm Beechnung des bestimmten Integals: 4 ( ) ( ) 4! " g # f d = $ # + % d = & 9 ' ( ) / / ( 7 ) * # + 4 =, 7 + - 7. #. +. = 7 4 De Integalwet ist also von de Summe de Flächeninhalte von A und A veschieden. Gund dafü ist, dass im Intevall [ ;] und im Intevall [ ;] die Funktion f die Funktion g die obeen Begenzungen de Flächen bilden. Summe 8 7 5 mögliche BE Aufgabenvoschlag B Abschlusspüfung Fachobeschule Seite 8 von 8