Muserlösungen zur Klausur Grundlagen der Regelungsecni vom 4.9.
Aufgabe : Linearisierung Pune A. Linearisierung des niclinearen Terms der Modellgleicungen, wobei und die üllsände im Gleicgewic sind. B. Linearisieres Modell = q d d 3 = d d 4 C. Im Gleicgewicszusand gil: q = 5 = 6 D. Übergang zum Sysem : Übergang zum Sysem bezogen auf Gleicgewicszusand ense als Differenz zwiscen den Gleicungen 3 und 4 und den Gleicungen 5 und 6: q q d d = 7 d d = 8
. Besimmung des linearisieren Modells : Vereinface Noaion für -Größen: x =, x =, u = q q Dami ergib sic dx d dx d = u x = x x ür die ingangs- und Ausgangsgröße des linearisieren Modells soll gelen: y = x u = 3. Laplace Transformaion die Anfangsbedingungen sind Null dx L sx s = a X s bu s d dx L sx s = ax s a d X s 4 5 { y } L{ x } Y s X L = = 6 s, wobei die Konsanen des linearisieren Sysems aus, ennommen werden önnen. G. Berecnung im Laplace Bereic sx s a X s = bu 7 s bu s X s = 8 s a Aus Gleicung 8, eingesez in die Gleicung 5 ergib sic die Lösung bu s sx s = a a X s 9 s a X s s a s a = a bu s s X s a b a = = = U s s a s a s a a s aa b
Aufgabe : Sruurbildreduion Pune a Die vorgegebenen Modellgleicungen füren auf folgendes Sruurbild:,5 y s y e 4 x 6 -, - y s y,5 6 b Nac grafiscer Sruurbildreduion eräl man: 4 4 c ndwersaz: lim lim 4
Aufgabe 3: Sruurbildreduion Pune Analyse der vorgegebenen Orsurve: Die Überragungsfunion des offenen Regelreises a einen posiiven Pol in s =, also r. Somi ergib sic die Sabiliäsforderung nac NYQUIST 4.6 zu. Die Koordinaen, bei denen die Orsurve die negaive reelle Acse durcläuf, geben die riscen Versärungen an: K = = 9.9 ; K = = 4.964.. 45 Bei diesen Versärungen der Überragungsfunion des offenen Regelreises omm es zu dem Grenzfall für Sabiliä, wenn diese Scnipune mi dem riiscen Pun - idenisc sind. ür < K < Klieg der riisce Pun lins außeralb der posiiven Orsurve. Das eiß, dass die Wineländerung der gesamen Orsurve beräg, also der Regelreis nic sabil is. ür K < K < K lieg der riisce Pun im Bereic der linen Scleife, wobei sein Zeiger zur Orsurve engegen der Ricung der Urzeiger, also in posiiver Ricung, den Winel π übersreic, der Regelreis wird sabil sein. ür K < K lieg der riisce Pun im Bereic der recen Scleife und sein Zeiger übersreic den Winel, so dass der gesclossene Regelreis nic sabil arbeie. olglic is der gesclossene Regelreis nur sabil für K = = 9.9 < K < K = = 4.964.. 45 Dasselbe ann man durc die Hurwiz-Deerminane besäigen. Wenn man das caraerisisce Polynom des gesclossenen Regelreises A s = s 3 5s 3s K 9 Berace, müssen ier alle Hurwiz-Deerminanen posiiv sind, also: H H H 3 = K 9 > 3 = K 9 3 = K 9 5 5 3 K > 9 = 5 = H K 9 > K < 4 K < 4 Diese rgebnisse besimmen mi öerer Genauigei die miels des Nyquisrieriums berecneen Grenzwere. =
Aufgabe 4: Wurzelorsurve Pune Aus der WOK ann man dire die Polsellen, 5 und die Nullselle 4 der Regelsrece ablesen. Die Polsellen liegen recs von der j -Acse, die Regelsrece is also insabil und der Regler muss sie desalb sabilisieren. Die insabilen Polsellen önnen jedoc nic mi den ensprecenden Nullsellen ompensier werden, sondern mi Hilfe des Reglers müssen die Äse der WOK in die line Halbebene angezogen werden. Da die Äse in den Polsellen anfangen und in den Nullsellen enden und die Regelsrece zwei unsabile Pollselen besiz, muss der Regler zwei Nullsellen bezeicne als und aben. Dami er als ein PID-Regler realisierbar is, muss er auc mindesens eine Polselle in Null aben. Die erforderlice Sruur des Reglers ergib sic somi als: Um die Anforderungen an den Regelreis aus der Aufgabesellung Übergangszei und Überscwingweie zu erfüllen, solle der gesclossene Regelreis ein dominanes onjugier omplexes Polpaar besizen. Da der gesclossene Regelreis mi dem PID-Regler insgesam drei Polsellen besiz und eine davon auf jedem all an der reellen Acse lieg zwiscen der Nullselle und, müssen die Nullsellen und onjugier omplex sein. Die Lage dieser Nullsellen ann man mi Hilfe der vorgegebenen Anforderungen bescränen. Der Seor, in dem die Nullsellen und liegen müssen, wird durc die Geraden mi dem Winel und durc den Halbreis mi dem Radius begrenz. Der Winel wird mi Hilfe der angeforderen Überscwingweie Δ $ berecne: wobei cos _ und lg Δ.363 ür Δ. ergib sic 6.85. Der Absand zum Anfang des Koordinaensysems berecne man als: 3.5 log ür die Übergangszei 3 Se. is 3.8.
Der folgende Grap zeig deaillier den Bereic, in dem die riiscen Sellen $s_4$ und $s_5$ liegen müssen. Sie sollen außerdem recs von der Nullselle $s_3$ liegen, dami sie mi der seigenden Versärung $K$ des Regelreises dominan werden die drie Pollselle des gesclossenen Regelreises beweg sic von der Polselle $s_6 = $ nac lins zur Nullselle $s_3$. Als eine möglice Lösung werden die Polsellen, 3 gewäl. Die Überragungsunion des offenen Regelreises is: 4 4 3 9 Die neugeordneen riiscen Sellen des Sysems sind:, 5,, 4,, 3 Der Regelreis besiz 3 Polsellen,, und 3 Nullsellen,, $s_4, es gil also 3 und 3.
Die Konsruion der WOK is in folgenden Scrien bescrieben. I. WOK auf der reellen Acse Auf der reellen Acse liegen eine Pol- und eine Nullselle und der Teil der reellen Acse dazwiscen. Weil, sreben mi wacsendem K eine Wurzelorsäse ins Unendlice, sondern enden alle in den vorandenen Nullsellen. II.Wurzelscwerpun Gegensandslos, da eine Wurzelorsäse ins Unendlice füren. III. Asympoenwinel Gegensandslos, da eine Wurzelorsäse ins Unendlice füren. IV. Verzweigungspune Gegensandslos, da eine Teile der WOK die reelle Acse verlassen. V. Verzweigungswinel Gegensandslos, da es eine Verzweigungspune gib. VI. Scni der WOK mi der j-acse Dazu is es erforderlic, die Gleicung zu lösen. ür den offenen Regelreis laue sie: 4 4 3 9 8 9 5 9 Aus dieser omplexen Gleicung eräl man zwei Besimmungsgleicungen eine für den Realeil und eine für den Imaginäreil: 8 5 9 9 Aus mereren Lösungen dieses Gleicungssysems is nur die für und $ ineressan:.6, 5.39 rad/se. Die WOK scneide die imaginäre Acse also in den Punen 5.39.
VII. Ansieg der WOK-Äse in den riiscen Punen Der Ansieg berecne sic für die onjugier omplexen Polsellen, und die Nullsellen, wie folg. Der Ansiegswinel, aus der Polselle beräg:, ür die Winel gil insgesam: =.8 = 9. = -8.3 = 35.54 =.53 Dami is der Ansiegswinel, :, =.89 [rad] = 8.3 Der Ansiegwinel, in die Nullselle beräg:, ür die Winel gil: = 3.69 = 7.87 = 44.46 = 9. = 56.3
Dami is der Ansiegswinel, :, =.98 [rad] = 3.7 Die vollsändige WOK is in folgender Zeicnung dargesell. Dami der Regelreis sabil is, muss die Versärung.6 beragen. Dami der Regelreis die gegebenen Anforderungen erfüll, muss die Versärung noc größer sein, so dass die Polsellen des gesclossenen Regelreises uner den beiden Geraden liegen und sic den Nullsellen und näern.
Aufgabe 5: Reglerenwurf Pune a Zusammenang zwiscen Reglerversärung und Zäleronsane ergib nac HURWITZ als Sabiliäsbedingung: b Beragsopimum, : 7 4 3 Daraus folg: 3,5 und 3,7. c Minimierung des quadraiscen Güeinegrals ür das Güeinegral ergib sic:.5 Zu analysieren is somi die union _4 ; eine einface Lösung ergib sic auf deren Rand für. Dann muss gelen: Dies für auf die quadraisce union: mi der Lösung: