Lineare Systeme mit einem Freiheitsgrad

Höhere Technische Mechanik Lineare Systeme mit einem Freiheitsgrad Prof. Dr.-Ing. Ulrike Zwiers, M.Sc. Fachbereich Mechatronik und Maschinenbau Hochschule Bochum WS 2009/200

Übersicht. Grundlagen der Analytischen Mechanik 2. Lineare Systeme mit einem Freiheitsgrad Freie Schwingungen - Ungedämpfte Schwingungen - Gedämpfte Schwingungen Erzwungene Schwingungen - Federerregung - Dämpfererregung - Gehäuseerregung 3. Lineare Systeme mit mehreren Freiheitsgraden 4. Lineare Modelle kontinuierlicher Systeme Prof. Dr. U. Zwiers STME 2/20

Freie Schwingungen /9 Begriffe & Definitionen Zustandsgröße Schwingungsdauer Frequenz Kreisfrequenz (t) T f = T ω = 2πf Schwingungsamplitude ˆ = 2 ( ma min ) Mittellage = 2 ( ma + min ) Prof. Dr. U. Zwiers STME 3/20

Freie Schwingungen 2/9 Begriffe & Definitionen (Forts.) Schwingung Periodischer Bewegungsvorgang (t) = (t + T) Lineares System System, das durch eine lineare Differentialgleichung beschrieben werden kann Superpositionsprinzip f( + 2 ) = f( ) + f( 2 ) Homogenitätsprinzip f(k) = kf() Prof. Dr. U. Zwiers STME 4/20

Freie Schwingungen 3/9 Ungedämpfte Eigenschwingungen k m Bewegungsgleichung mẍ + k = 0 k mg mẍ DGL in Standardform ẍ + ω 2 0 = 0, ω2 0 = k m Allgemeine Lösung (t) = A cos ω 0 t + B sinω 0 t (t) = ˆcos(ω 0 t φ) (t) = C e iω 0t + C 2 e iω 0t Prof. Dr. U. Zwiers STME 5/20

Freie Schwingungen 4/9 Ungedämpfte Eigenschwingungen (Forts.) Anpassung der allg. Lösung auf spezifische Anfangsbedingungen Anfangsbedingungen (0) = 0, ẋ(0) = ẋ 0 Integrationskonstanten A = 0, B = ẋ0 ω 0 ˆ = A 2 + B 2 = 2 0 + ẋ2 0 ω 2 0 tan φ = B A = ẋ0 ω 0 0 A = C + C 2, B = i (C C 2 ) Prof. Dr. U. Zwiers STME 6/20

Lineare Systeme mit einem Freiheitsgrad Freie Schwingungen 5/9 Ungedämpfte Eigenschwingungen (Forts.) 0 ẋ 0 +ˆ = ˆ cos(ω 0t φ) T ˆ φ ω 0 t ẋ ω 0ˆ 2 ˆ 2 + ẋ2 (ω 0ˆ) 2 = 0 ˆ ẋ 0 Prof. Dr. U. Zwiers STME 7/20

Freie Schwingungen 6/9 Gedämpfte Eigenschwingungen k d m k dẋ mẍ mg Bewegungsgleichung mẍ + dẋ + k = 0 DGL in Standardform ẍ + 2δẋ + ω 2 0 = 0, δ = d 2m Anfangsbedingungen (0) = 0, ẋ(0) = ẋ 0 ω 2 0 = k m Prof. Dr. U. Zwiers STME 8/20

Freie Schwingungen 7/9 Gedämpfte Eigenschwingungen (Forts.) Fallunterscheidung Schwache Dämpfung: δ < ω 0 = e [ δt 0 cos ωt + ] ω (ẋ 0 + δ 0 )sin ωt, ω = ω 2 0 δ2 Starke Dämpfung: δ > ω 0 = e [ δt 0 coshpt + ] p (ẋ 0 + δ 0 )sinhpt, p = δ 2 ω 2 0 Aperiodischer Grenzfall: δ = ω 0 = e δt [ 0 + (ẋ 0 + δ 0 )t] Prof. Dr. U. Zwiers STME 9/20

Lineare Systeme mit einem Freiheitsgrad Freie Schwingungen 8/9 Gedämpfte Eigenschwingungen (Forts.) +ˆ ẋ 0 0 = ˆe δt cos(ωt φ) ˆ φ ω T t ẋ ẋ 0 Schwache Dämpfung 0 Prof. Dr. U. Zwiers STME 0/20

Lineare Systeme mit einem Freiheitsgrad Freie Schwingungen 9/9 Gedämpfte Eigenschwingungen (Forts.) ẋ0 0 t ẋ ẋ 0 Starke Dämpfung 0 Prof. Dr. U. Zwiers STME /20

Erzwungene Schwingungen /9 Lösung für harmonische Erregerfunktionen Erzwungene Schwingung Vorgang, bei dem ein System einer dauernden Anregung von außen ausgesetzt ist DGL in Standardform: ẍ + 2δẋ + ω 2 0 = p(t) Harmonische Anregung: p(t) = ω 2 0 p 0 cos Ωt Allgemeine Lösung: (t) = h (t) + p (t) h (t) homogene (transiente) Lösung p (t) partikuläre (stationäre) Lösung Prof. Dr. U. Zwiers STME 2/20

Erzwungene Schwingungen 2/9 Lösung für harmonische Erregerfunktionen (Forts.) Lösungsansatz: (t) = Ce δt cos(ωt ϕ) + ˆcos(Ωt ψ) }{{}}{{} h p Dämpfungsgrad: D = δ ω 0 Frequenzverhältnis: η = Ω ω 0 Phasenwinkel: tanψ = 2Dη η 2 Antwortamplitude: ˆ = p 0 ( η 2 ) 2 + 4D 2 η 2 Prof. Dr. U. Zwiers STME 3/20

Erzwungene Schwingungen 3/9 Lösung für harmonische Erregerfunktionen (Forts.) Der homogene Lösungsanteil h (t) wird mit der Zeit herausgedämpft. Der stationäre Lösungsanteil p (t) ist eine harmonische Schwingung, deren Kreisfrequenz mit der Erregerkreisfrequenz Ω übereinstimmt. Die Zeitspanne, während der der homogene Lösungsanteil noch einen wesentlichen Einfluss auf das Systemverhalten hat, wird als Einschwingvorgang bezeichnet. Vergrößerungsfunktion: V = ˆ p 0 Prof. Dr. U. Zwiers STME 4/20

Erzwungene Schwingungen 4/9 Federerregung Bewegungsgleichung u mẍ + dẋ + k = ku k m d Erregerfunktion u = u 0 cos Ωt Phasenwinkel tan ψ = 2Dη η 2 Vergrößerungsfunktion V = ( η 2 ) 2 + 4D 2 η 2 Prof. Dr. U. Zwiers STME 5/20

Erzwungene Schwingungen 5/9 Federerregung (Forts.) V D = 0 ψ π π 2 0 / 2 2 D / 4 / 2 η 2 η Prof. Dr. U. Zwiers STME 6/20

Erzwungene Schwingungen 6/9 Dämpfererregung k m d u Bewegungsgleichung mẍ + dẋ + k = d u Erregerfunktion u = u 0 cos Ωt Phasenwinkel tan ψ = η2 2Dη Vergrößerungsfunktion V = 2Dη ( η 2 ) 2 + 4D 2 η 2 Prof. Dr. U. Zwiers STME 7/20

Lineare Systeme mit einem Freiheitsgrad Erzwungene Schwingungen 7/9 Dämpfererregung (Forts.) ψ + π 2 0 η V π 2 2 / 2 0 D 2 / 2 / 4 0 η Prof. Dr. U. Zwiers STME 8/20

Erzwungene Schwingungen 8/9 Gehäuseerregung Bewegungsgleichung u mẍ + dẋ + k = mü Erregerfunktion k m d u = u 0 cos Ωt Phasenwinkel tan ψ = 2Dη η 2 Vergrößerungsfunktion V = η 2 ( η 2 ) 2 + 4D 2 η 2 Prof. Dr. U. Zwiers STME 9/20

Erzwungene Schwingungen 9/9 Gehäuseerregung (Forts.) V ψ π π 2 0 / 2 2 D D = 0 / 4 η / 2 2 η Prof. Dr. U. Zwiers STME 20/20