Lineare Programmierung

asis Definition 3.38 Gegeben sei ein LP in der Normalform mit m als Rang der Matrix 2 R m n. x 2 R n mit x = b heißt asislösung gdw. n m Komponenten x i gleich Null und die zu den restlichen Variablen gehörenden Spaltenvektoren a j linear unabhängig sind. Eine asislösung, die zulässig ist (x ), heißt zulässige asislösung. Die m linear unabhängigen Spaltenvektoren a j einer (zulässigen) asislösung heißen asisvektoren, die zugehörigen Variablen x j asisvariablen (V). lle übrigen Spaltenvektoren heißen Nichtbasisvektoren, die zugehörigen Variablen Nichtbasisvariablen (NV). Die Menge aller asisvariablen x j einer asislösung bezeichnet man als asis. Peter ecker (H-RS) Operations Research I Sommersemester 24 6 / 28

harakterisierung zulässiger Satz 3.3 x ist genau dann eine zulässige asislösung eines LP, wenn x ist Ecke von X LP ist. emerkung: Dieser Satz ist der Schlüssel zur algebraischen Lösung von linearen Programmen. eweis. ) : Es sei x eine zulässige asislösung von x = b. Dann gibt es m linear unabhängige Spaltenvektoren a i,...,a im von mit x i a i + + x im a im = b nnahme: x ist keine Ecke von X.Dannexistiereny, z 2X mit y 6= z und ein < <, so dass gilt x = y +( )z Peter ecker (H-RS) Operations Research I Sommersemester 24 62 / 28

Fortsetzung eweis. us y, z, >, ( ) > undx j =für j /2 {i,...,i m } folgt y j, z j =für j /2 {i,...,i m }. ndererseits gilt y, z 2X,alsoy = b und z = b und damit sowohl als auch Es folgt y i a i + + y im a im = b z i a i + + z im a im = b (y i z i )a i + +(y im z im )a im = Da die a i k linear unabhängig sind, folgt y ik = z ik für k =,...,m und damit y = z. Widerspruch! Peter ecker (H-RS) Operations Research I Sommersemester 24 63 / 28

Fortsetzung eweis. ( : Es sei x Ecke von X.Für den trivialen Fall x = folgt b = und wir können m linear unabhängige Spaltenvektoren von auswählen. x ist damit eine zulässige asislösung. Es sei also x 6= mit kx x ij a i j = b j= und x ij >. nnahme: Die Vektoren a i,...,a i k sind linear abhängig. Dann gäbe es eine nicht triviale Linearkombination Für hinreichend kleines gilt dann y a i + + y k a i k = x + y und x y Peter ecker (H-RS) Operations Research I Sommersemester 24 64 / 28

Fortsetzung eweis. Damit sind die Vektoren x ± y zulässig und es folgt x = 2 (x + y)+ 2 (x y) Dies bedeutet wiederum, dass x keine Ecke ist. Widerspruch! Peter ecker (H-RS) Operations Research I Sommersemester 24 65 / 28

Ecken-lgorithmus lgorithmus 3.4 Gegeben sei ein LP in Normalform mit c 2 R n, 2 R m n, x 2 R n und b 2 R m. Für N := n m seien, 2,..., N die m-elementigen Teilmengen der Menge {,...,n}. Für eine Menge k = {j,...,j m } bezeiche k =(a j,...,a jm ) 2 R m m die Matrix, die aus den Spaltenvektoren j bis j m von besteht. Der Vektor x k ist der entsprechende Variablenvektor dessen Komponenten einen Index aus k haben. Peter ecker (H-RS) Operations Research I Sommersemester 24 66 / 28

Fortsetzung lgorithmus 3.4. k :=, z := 2 Erzeuge k, k und x k. 3 Falls r( k ) < m dann weiter mit 6. 4 Löse das LGS k x k = b. Esseix die asislösung zur Lösung dieses LGS. Falls x nicht zulässig ist, weiter mit 6. 5 Falls c T x > z,setzez := c T x und x := x. 6 k := k +. Falls k apple N gehe zu 2, sonst STOP! Peter ecker (H-RS) Operations Research I Sommersemester 24 67 / 28

emerkungen zum Ecken-lgorithmus Wenn ein LP eine Lösung hat, dann liefert der Ecken-lgorithmus eine Lösung x mit Zielfunktionswert z. Die estimmung des Rang von k in Schritt 3 und die Lösung des LGS in Schritt 4 kann mit dem Gaußschen lgorithmus oder der ramer-regel erfolgen. Der lgorithmus hat keine praktische edeutung und ist nur für kleine n und m durchführbar. Peter ecker (H-RS) Operations Research I Sommersemester 24 68 / 28

eispiel zum Eckenalgorithmus eispiel 3.4 Wir greifen das eispiel mit dem Eisverkäufer (eispiel 3.2 bzw. 3.4) wieder auf. Maximiere z = F (x) = 3x + 25x 2 unter den Nebenbedingungen 5 2 x x 2 x 3 x 4 x 5 = 3 x,...,x 5 Man beachte: Die redundante Nebenbedingung x apple 6 wurde weggelassen. Peter ecker (H-RS) Operations Research I Sommersemester 24 6 / 28

Fortsetzung eispiel 3.4. Man erhält 5 3 = {, 2, 3} : 2 = {, 2, 4} : 3 = {, 2, 5} : Lineare Programmierung = verschiedene Spaltenmengen für die Matrix : 5 2 5 2 mit F (x) = 255 5 2 mit F (x) = 266 2 3 x x 2 x 3 x x 2 x 4 x x 2 x 5 = = = 3 3 3 ergibt x 3 < Ecke x = Ecke x = 7 /3 2/3 7/3 Peter ecker (H-RS) Operations Research I Sommersemester 24 7 / 28

Fortsetzung eispiel 3.4. 4 = {, 3, 4} : 5 = {, 3, 5} : 6 = {, 4, 5} : 5, 5, mit F (x) = 8 5 x x 3 x 5 x x 4 x 5 sind linear abhängig. = = 3 3 Ecke x = liefert x 4 < 6 4 Peter ecker (H-RS) Operations Research I Sommersemester 24 7 / 28

Fortsetzung eispiel 3.4. Lineare Programmierung 7 = {2, 3, 4} : 8 = {2, 3, 5} : 2 mit F (x) = 225 2 x 2 x 3 x 4 x 2 x 3 x 5 = = 3 3 Ecke x = liefert x 3 < 2 = {2, 4, 5} : 2 x 2 x 4 x 5 = 3 liefert x 5 < Peter ecker (H-RS) Operations Research I Sommersemester 24 72 / 28

Fortsetzung eispiel 3.4. = {3, 4, 5} : mit F (x) = x 3 x 4 x 5 = 3 Ecke x = 3 Für die Ecke /3 2/3 7/3 z = F (x) = 266 2 3 angenommen. wird der maximale Zielfunktionswert Peter ecker (H-RS) Operations Research I Sommersemester 24 73 / 28

lternative Vorgehensweise beim Eckenalgorithmus Statt über alle möglichen Mengen von asisvariablen (V-Mengen) zu iterieren, kann man prinzipiell auch über alle möglichen Mengen von Nichtbasisvariablen (NV-Mengen) iterieren. Dies funktioniert wie folgt: Gegeben sei das LP in Normalform mit Koe 2 R m n und es gelte r() =m. zientenmatrix estimme mit dem Gaußschen lgorithmus eine Lösungsmenge für das Gleichungssystem x = b. Wegen r() =m hat die Lösungsmenge k := n,..., k und lässt sich darstellen als x = v + w + + k w k m freie Parameter Peter ecker (H-RS) Operations Research I Sommersemester 24 74 / 28

Hierbei ist v eine Lösung des inhomogenen LGS x = b und w,...,w k sind linear unabhängige Lösungen des homogenen LGS x =. Für alle k-elementigen Teilmengen {i,...,i k } stelle man aus den zugehörigen k Zeilen von v + w + + k w k = ein LGS auf und bestimme (wenn möglich),..., k. Wenn dieses LGS lösbar ist, bestimme man mit der Lösung,..., k den Vektor x = v + w + + k w k Gilt x i für i =,...,n, dannistx eine Ecke. Peter ecker (H-RS) Operations Research I Sommersemester 24 75 / 28

Insgesamt wird der ufwand dadurch nicht geringer, denn die nzahl der zu lösenden LGS ist mit dem Eckenalgorithmus in ursprünglicher Form identisch: n n #V-Mengen = = = #NV-Mengen m n m Für m > n/2 werden aber die zu lösenden LGS kleiner. Peter ecker (H-RS) Operations Research I Sommersemester 24 76 / 28

eispiel zur alternativen Vorgehensweise eispiel 3.42 Wir bleiben beim Eisverkäufer ohne die redundante Nebenbedingung (vgl. eispiel 3.4). Wir bestimmen zunächst mit dem Gaußalgorithmus die Lösungsmenge von x = b. 5 2 3 freie Variablen: x 4 = s, x 5 = t ) 3 5 2 ) 3 5 2 5 7 3 3 3 Peter ecker (H-RS) Operations Research I Sommersemester 24 77 / 28

Fortsetzung eispiel. Damit ergibt sich x 3 = x 2 = t x = 2 5 7 5 + 5 s + 3 5 t 5 s + 2 5 t und insgesamt x = 2 5 7 5 + s 5 5 + t 2 5 3 5 Peter ecker (H-RS) Operations Research I Sommersemester 24 78 / 28

Fortsetzung eispiel. 5 Wir haben jetzt insgesamt 2 = Möglichkeiten, zwei Variablen als Nichtbasisvariable auszuwählen. Für jede dieser Möglichkeiten müssen wir (falls möglich) s und t so bestimmen, dass die Komponenten in x zu werden. 2 {4, 5} : s 5 = x = 7 t = 5 nicht zulässig {3, 5} : 5 s + 3 5 t = 7 5 t = s =7, x = 7 Ecke F (x) = 255 Peter ecker (H-RS) Operations Research I Sommersemester 24 7 / 28

Fortsetzung eispiel. {3, 4} : {2, 5} : 5 s + 3 5 t = 7 5 s = t = t = t = 7 3, x = 3 2 3 7 3 Ecke F (x) = 266 2 3 unlösbares LGS und so weiter.. Peter ecker (H-RS) Operations Research I Sommersemester 24 8 / 28

Entartete Ecken Wenn m der Rang von 2 R m n ist, sind im Normalfall genau m Koordinaten einer Ecke x 2 R n positiv, die übrigen Null. Definition 3.43 Gegeben sei ein LP in Normalform mit Matrix 2 R m n und es gelte r() =m. Eine Ecke x 2X LP heißt entartet (degeneriert) gdw. weniger als m Koordinaten von x positiv sind. emerkung: ei entarteten Ecken ist das System der linear unabhängigen Spalten von nicht eindeutig bestimmt. Peter ecker (H-RS) Operations Research I Sommersemester 24 8 / 28

eispiel zu entarteten Ecken eispiel 3.44 Wir untersuchen das LP vom Einsverkäufer (eispiele 3.2, 3.2 und 3.4) diesmal inklusive der redundanten Nebenbedingung x apple 6: = 5 2 x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 3 6 Peter ecker (H-RS) Operations Research I Sommersemester 24 82 / 28

Fortsetzung eispiel. Lineare Programmierung Wir betrachten die asis mit der Spaltenindexmenge {, 3, 4, 6}. Hierzu gehört das LGS 5 x x 3 x 4 x 6 = 3 6 Es ergibt sich x 6 =, x =6, x 4 =, x 3 =4 6 also ist die Ecke 4 entartet. Peter ecker (H-RS) Operations Research I Sommersemester 24 83 / 28

Fortsetzung eispiel. Die gleiche Ecke ergibt sich für die Spaltenindexmenge {, 3, 5, 6} und dem zugehörigen LGS: 5 x x 3 x 5 x 6 = 3 6 Peter ecker (H-RS) Operations Research I Sommersemester 24 84 / 28

Zusammenfassung LP und Normalform Konvexität, Ecken optimale Lösungen treten in Ecken auf Ecke, zulässige asislösung erechenbar aber nicht e zient: Ermittlung der Ecken bzw. der zulässigen durch eindeutig lösbare LGS Peter ecker (H-RS) Operations Research I Sommersemester 24 85 / 28