Christian B. Lang / Norbert Pucker Mathematische Methoden in der Physik Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg Berlin
Inhaltsverzeichnis Einleitung xv 1 Unendliche Reihen 1 1.1 Folgen und Reihen 1 1.1.1 Achill und die Schildkröte 1 1.1.2 Rechnen mit Grenzwerten 4 1.1.3 Anwendungen von unendlichen Reihen 11 1.2 Konvergenz und Divergenz 12 1.2.1 Konvergenztests für Reihen 15 1.3 Potenzreihen 20 1.3.1 Einfache Wege zur Potenzreihe 25 1.3.2 Konvergenz und Genauigkeit 29 1.3.3 Anwendungen 31 1.4 Was war da noch? 38 1.4.1 Funktionenreihen 38 1.4.2 Divergente Reihen 38 1.5 Aufgaben, Lösungen, Literatur 41 1.5.1 Aufgaben 41 1.5.2 Lösungen 44 1.5.3 Literatur 44 2 Komplexe Zahlen 45 2.1 Komplexe Zahlen und die komplexe Ebene 45 2.2 Komplexe Reihen 51 2.3 Funktionen komplexer Variablen 54 2.3.1 Exponentialfunktion und trigonometrische Funktionen... 54 2.3.2 Wurzeln 58 2.3.3 Andere Umkehrfunktionen 60 2.4 Riemannsche Blätter... 61 2.4.1 Schnittstruktur einiger Funktionen 65 2.5 Anwendungen 68 2.6 Aufgaben, Lösungen, Literatur 71 2.6.1 Aufgaben 71 2.6.2 Lösungen 73 2.6.3 Literatur 74
vi Inhaltsverzeichnis 3 Differentialrechnung 75 3.1 Die lineare Näherung 75 3.2 Funktionen mehrerer Variablen 82 3.3 Verschiedene Methoden der Differentiation 89 3.3.1 Kettenregel und Produktregel 90 3.3.2 Implizite Differentiation 93 3.4 Extremwertaufgaben 95 3.5 Nebenbedingungen 101 3.5.1 Elimination 103 3.5.2 Lagrangesche Multiplikatoren 104 3.6 Randpunkte 109 3.7 Aufgaben, Lösungen, Literatur 115 3.7.1 Aufgaben 115 3.7.2 Lösungen 119 3.7.3 Literatur 120 4 Integralrechnung 121 4.1 Das Integral 121 4.1.1 Die Stammfunktion 121 4.1.2 Lebesgue-Integral 122 4.2 Integrationstechnik 129 4.2.1 Einfache Regeln 129 4.2.2 Transformation der Variablen 131 4.2.3 Partielle Integration 132 4.2.4 Integration entlang einer Kurve 136 4.2.5 Systematische Verfahren 140 4.2.6 Uneigentliche Integrale 142 4.3 Differentiation von Integralen 143 4.4 Mehrdimensionale Integrale 146 4.4.1 Variablentransformation 154 4.5 Aufgaben, Lösungen, Literatur 159 4.5.1 Aufgaben 159 4.5.2 Lösungen 161 4.5.3 Literatur 162 5 Vektoren und Matrizen 163 5.1 Lineare Gleichungssysteme 163 5.1.1 Determinanten 164 5.1.2 Lösung eines linearen Gleichungssystems 170 5.2 Matrizen 172 5.2.1 Lineare Algebra der Matrizen 172 5.2.2 Die inverse Matrix 180 5.2.3 Lösung durch Matrixinversion 181 5.2.4 Weiteres Zubehör 182 5.2.5 Lineare Abhängigkeit 184
5.2.6 Rang einer Matrix 188 5.3 Vektoren und ihre Algebra 191 5.3.1 Vektoren 191 5.3.2 Vektoralgebra 193 5.3.3 Analytische Geometrie 200 5.3.4 Das Eigenwertproblem 204 5.4 Aufgaben, Lösungen, Literatur 211 5.4.1 Aufgaben 211 5.4.2 Lösungen 214 5.4.3 Literatur 214 Gewöhnliche Differentialgleichungen 215 6.1 Allgemeines 215 6.1.1 Einleitung 215 6.1.2 Klassifikation 219 6.2 Gewöhnliche DGen 1. Ordnung 220 6.2.1 Existenz und Eindeutigkeit 220 6.2.2 Lineare DGen 1. Ordnung 222 6.2.3 Nichtlineare DGen 1. Ordnung 227 6.2.4 Numerische Integration 235 6.3 Gewöhnliche DGen höherer Ordnung 239 6.3.1 Allgemeines 239 6.3.2 Konstante Koeffizienten 241 6.3.3 Inhomogene lineare DGen mit konstanten Koeffizienten... 247 6.3.4 Nichtkonstante Koeffizienten 254 6.3.5 Systeme von DGen 257 6.4 Zum Abschluß 260 6.5 Aufgaben, Lösungen, Literatur 260 6.5.1 Aufgaben 260 6.5.2 Lösungen 263 6.5.3 Literatur 264 Grundlagen der Vektoranalysis 265 7.1 Differentiation von Vektoren 265 7.2 Bogenlänge, Krümmung und Torsion 268 7.3 Linien- und Oberflächenintegrale 273 7.4 Skalare Felder: Niveauflächen und Gradient 284 7.5 Divergenz und Rotation von Vektorfeldern 287 7.5.1 Bedeutung der Divergenz 289 7.5.2 Bedeutung der Rotation 291 7.6 Aufgaben, Lösungen, Literatur 295 7.6.1 Aufgaben 295 7.6.2 Lösungen 296 7.6.3 Literatur 296 vii
viii Inhaltsverzeichnis 8 Basissysteme krummliniger Koordinaten 297 8.1 Gebräuchliche Koordinatensysteme 297 8.2 Bestimmung von Vektorkomponenten 300 8.3 Bogen-, Flächen- und Volumenelement 306 8.4 Aufgaben, Lösungen, Literatur 308 8.4.1 Aufgaben 308 8.4.2 Lösungen 309 8.4.3 Literatur 310 9 Integralsätze 311 9.1 Der Gaußsche Integralsatz 311 9.2 Der Greensche Satz in der Ebene 316 9.3 Der Integralsatz von Stokes 319 9.4 Aufgaben, Lösungen, Literatur 324 9.4.1 Aufgaben 324 9.4.2 Lösungen 325 9.4.3 Literatur 326 10 Elemente der Tensorrechnung 327 10.1 Definition eines Tensors 327 10.2 Rechenregel für Tensoren 330 10.3 Beispiele für Tensoren 331 10.3.1 Dere-Tensor 331 10.3.2 Der Trägheitstensor 334 10.4 Differentialoperationen und Tensoren 335 10.5 Drehung um eine Achse 337 10.6 Ko- und kontravariante Darstellung 340 10.7 Aufgaben, Lösungen, Literatur 347 10.7.1 Aufgaben 347 10.7.2 Lösungen 348 10.7.3 Literatur 348 11 Funktionenräume 349 11.1 Vektorräume 349 11.1.1 Rückblick: Vektoren im E 3 349 11.1.2 Lineare Räume 351 11.2 Metrik, Norm, Skalarprodukt 353 11.2.1 Metrik 353 11.2.2 Norm 356 11.2.3 Skalarprodukt 358 11.3 Basis eines Vektorraums 361 11.3.1 Orthonormale Basis 361 11.3.2 Komponentendarstellung 363 11.4 Aufgaben, Lösungen, Literatur 370 11.4.1 Aufgaben 370
Inhaltsverzeichnis ix 11.4.2 Lösungen 371 11.4.3 Literatur 372 12 Fourierreihe 373 12.1 Motivation und Definition 373 12.2 Konvergenzkriterien 376 12.3 Tips und Beispiele 377 12.4 Komplexe Form der Fourierreihe 381 12.5 Fourier-Kosinus-und Fourier-Sinus-Reihe 385 12.6 Aufgaben, Lösungen, Literatur 391 12.6.1 Aufgaben 391 12.6.2 Lösungen 392 12.6.3 Literatur 392 13 Integraltransformationen 393 13.1 Einleitung 393 13.2 Die Laplace-Transformation 394 13.3 Die Fouriertransformation 399 13.4 Die Diracsche Deltafunktion 403 13.5 Faltung 408 13.6 Aufgaben, Lösungen, Literatur 412 13.6.1 Aufgaben 412 13.6.2 Lösungen 412 13.6.3 Literatur 412 14 Operatoren und Eigenwerte 413 14.1 Einleitung 413 14.2 Eigenwertproblem in der linearen Algebra 414 14.3 Lineare Operatoren in Vektorräumen 423 14.3.1 Eigenschaften 423 14.3.2 Darstellungen 425 14.3.3 Eigenwertproblem 433 14.4 Die Differentialgleichung als Eigenwertproblem 434 14.4.1 Schwingungsgleichung 435 14.4.2 Legendresche Differentialgleichung 436 14.4.3 Sturm-Liouville-Problem 437 14.5 Aufgaben, Lösungen, Literatur 439 14.5.1 Aufgaben 439 14.5.2 Lösungen 440 14.5.3 Literatur 440 15 Spezielle Differentialgleichungen 441 15.1 Die Legendresche Differentialgleichung 441 15.1.1 Kugelflächenfunktionen 448 15.2 Die Besselsche Differentialgleichung 451
x Inhaltsverzeichnis 15.3 Die Hermitesche Differentialgleichung 456 15.4 Die Laguerresche Differentialgleichung 458 15.5 Aufgaben, Lösungen, Literatur 459 15.5.1 Aufgaben 459 15.5.2 Lösungen 460 15.5.3 Literatur 460 16 Partielle Differentialgleichungen 461 16.1 Übersicht 461 16.1.1 Elliptischer Typ 461 16.1.2 Parabolischer Typ 463 16.1.3 Hyperbolischer Typ 464 16.2 Lösungsmethoden: Numerische Verfahren 465 16.3 Analytische exakte" Verfahren 465 16.3.1 Integraldarstellung 465 16.3.2 Integraltransformation 468 16.3.3 Separation der Variablen 469 16.4 Aufgaben, Lösungen, Literatur 481 16.4.1 Aufgaben 481 16.4.2 Lösungen 481 16.4.3 Literatur 482 17 Funktionentheorie 483 17.1 Analytische Funktionen 483 17.1.1 Stetigkeit 483 17.1.2 Differenzierbarkeit 485 17.1.3 Potenzreihen 492 17.2 Komplexe Integration 494 17.2.1 Linienintegral 494 17.2.2 Integralsatz von Cauchy 498 17.2.3 Integralformel von Cauchy 502 17.2.4 Laurentreihe 504 17.2.5 Residuensatz 507 17.2.6 Schnitte 511 17.3 Anwendungen 513 17.3.1 Integrale 513 17.3.2 Fouriertransformation 514 17.3.3 Dispersionsrelationen 515 17.3.4 Hauptwertintegrale 517 17.3.5 Konforme Abbildungen 518 17.4 Aufgaben, Lösungen, Literatur 524 17.4.1 Aufgaben 524 17.4.2 Lösungen 526 17.4.3 Literatur 526
Inhaltsverzeichnis xi 18 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 527 18.1 Zufall und Wahrscheinlichkeit 527 18.1.1 Wahrscheinlichkeit 527 18.1.2 Zufallsvariablen und Verteilungsfunktionen 533 18.1.3 Erwartungswerte und Momente 536 18.2 Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen 539 18.2.1 Binomialverteilung 539 18.2.2 Poisson-Verteilung 541 18.2.3 Gleichverteilung 542 18.2.4 Normalverteilung 543 18.2.5 Exponentialverteilung 546 18.2.6 Histogramme 547 18.3 Funktionen von Zufallsvariablen 547 18.3.1 Fehlerfortpflanzung 551 18.4 Mehrere Zufallsvariable 553 18.4.1 Verteilungsfunktion und Verteilungsdichte 554 18.4.2 Verteilung von Funktionen von Zufallsvariablen 557 18.4.3 Zentraler Grenzweitsatz 560 18.4.4 Autokorrelation 561 18.5 Analyse von Daten und Fehlern 561 18.5.1 Schätzung der Parameter einer Verteilung 561 18.5.2 Andere Verfahren 565 18.5.3 Fit, mach mit! 567 18.5.4 Hypothesentest 573 18.6 Aufgaben, Lösungen, Literatur 578 18.6.1 Aufgaben 578 18.6.2 Lösungen 579 18.6.3 Weiterführende Literatur 580 A Abkürzungen und Anmerkungen 581 B Zoologie elementarer Funktionen 589 B.l Polynome und rationale Funktionen 592 B.2 Exponentialfunktion und Logarithmus 594 B.3 Trigonometrische Funktionen 597 C Programmbeispiele 603 Literaturverzeichnis 605 Index 611