Püfungsaufgaben Mündliches Abitu Analysis Teilbeeich 5: Eponential Funktionen Gundkusniveau Hie eine Musteaufgabe mit Lösung Auf CD alles komplett Datei N. 495 Fiedich Buckel Oktobe 003 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK www.mathe-cd.de
Vowot Die in diese Reihe von Dateien angebotenen Püfungsaufgaben entstammen alle de Püfungspais. Als Fachlehe und Püfungsvositzende habe ich übe 30 Jahe hinweg Püfungsaufgaben von Fachlehen gesammelt und wete diese Sammlung nun aus. Diese Aufgaben eignen sich auch vozüglich de Vobeeitung de schiftlichen Püfungen, denn in ihnen wid kompakt das Wichtigste bespochen. Ich mache dabei selten Angaben, ob sie dem Gundkus ode dem Leistungskus zugeodnet weden sollen, denn es gibt einen goßen Beeich, in dem sich die Themen übelappen. Außedem hängt das Niveau eine Püfung nicht nu vom Thema ab, sonden auch von de sich daan anschließenden Entwicklung de Püfung, also den Zusatzfagen zu Methodik, zu Theoie, zu Anwendungen. Ich wede meistens noch eine ode mehee mögliche Zusatzfagen anfügen. Die angebotenen Lösungen sind nicht fü alle Schüle gleichemaßen vewendba, denn die Methodik ist natülich auch davon abhängig, wie de Fachlehe unteichtet hat. Beispielsweise wenden nicht alle in de Vektoechnung Deteminantenvefahen an. In den meisten Bundesländen ist eine zweigeteilte mündliche Püfung von insgesamt 0 bis 30 Minuten Länge üblich. Im esten Teil liegt dem Schüle eine Aufgabe vo, deen Tet e im Vobeeitungszimme beeits ehält. E hat dann 0 bis 5 Minuten Zeit, die Lösung vozutagen. Die zweite Hälfte de Püfung geschieht dann in de Regel an eine unvobeeiteten, in de Püfung gestellten Aufgabe. Die hie angebotenen Aufgaben dienen de esten Püfungshälfte. De Umfang von 0 bis 5 Minuten wid oft übeschitten, denn es kommt auch daauf an, dass de Schüle flüssig votägt und den Lösungsweg kennt. Schwache Schüle kommen dann oft nicht weit und handeln dann nu Teile de Aufgabe ab. Diese Sammlung an Püfungsaufgaben wid kontinuielich eweitet. Ich vewende fü alle quadatischen Gleichungen die allgemeine Lösungsfomel, und nie die p-q-fomel. Sie lautet: b± b 4ac a + b + c = 0, =. a In den meisten Fällen kann man entspechend die p-q-fomel anwenden. In einigen Fällen füht diese jedoch zu komplizieten Rechnungen.
495 Püfungsaufgaben e-funktionen a) Die Kuvengleichung y e = + kann man als Summe de Gleichungen y = und y e = intepetieen und das als Odinatenaddition duchfühen. Aufgabe (Eponentialfunktion 5) Gegeben ist die Funktion f duch f e = +, K sei ih Schaubild. a) Skizziee K mittels Odinatenaddition b) Beechne den Etempunkt von K. c) K, ihe Asymptote, die y-achse und die Geade = ( > 0) begenzen eine Fläche. Beechne deen Inhalt A(). Beechne A* = lima() In welchem Vehältnis teilt die Tangente im Etempunkt diese Fläche A*? d) Die Geade = u (u>0) schneidet K in P und die Asymptote in Q. Zeige, dass das Deieck OPQ einen etemen Inhalt annehmen kann. Von welche At und wie goß ist e? Diese Aufgabe ist zu umfangeich. Man wid d) ode c) auswählen. K In de Abbildung ist dies an zwei Stellen gezeigt. Man zeichnet zuest die Geade g: y = g und dann die Hilfskuve H: y e =. Hiezu zeichnet man diese 5 Punkte ein: P( 0 ;P ) ( e 0,4;P ) 3 ( 4 e 0,4 ); P4( e,7;p ) 5( 4 e 7,4). Nun addiet man die Odinaten (y-koodinaten) an veschiedenen Stellen. Ein Beispiel ist echts bei =,3 eingezeichnet. Die Odinate des H-Punktes wid zu Odinate des g-punktes addiet, so dass man einen Punkt Q von K (blaue Linie) ehält. Das nächste Beispiel ist links bei = -,8. Dot hat de g-punkt eine negative y-koodinate (weshalb ich auch einen nach unten zeigenden Pfeil eingezeichnet habe). Den tägt man vom daübe liegenden H-Punkt (nach unten) ab und kommt zu einem K-Punkt R. H R Q g ist die schiefe Asymptote von K, denn: lim e = 0.
495 Püfungsaufgaben e-funktionen b) f( ) = + e f' ( ) = e = ( e ) = f'' e 4 Etemwetbedingung: ( E ) (Notwendige Bedingung) f' = 0 e = 0 e = = 0 = 0. Funktionswet : f( 0) = Kontollechnung: (Hineichende Bedingung) f'' 0 = > 0 4 Dahe liegt bei = 0 ein elatives Minimum vo, die Kuve K hat dot den Tiefpunkt T( 0 ). c) () = A f g d ( ) 0 = + e d = e d = 0 0 0 0 e = = e = e + () A* = lima =, denn lim e = 0. Die Tangente t im Tiefpunkt hat die Gleichung: y =. Sie zelegt die Fläche A* in ein Deieck A und eine Restfläche A. Beechnung de Deiecksfläche A : Die Tangente y = schneidet die Asymptote g: y Also hat das Deieck die Beite und die Höhe : A = = Restfläche A = A * A = Die Tangente t halbiet somit die Fläche A*. K g = = in E t S.
495 Püfungsaufgaben e-funktionen 3 d) P sei ein beliebige Pu fu Kuvenpunkt: Q liegt auf de schiefen Qu u Asymptote: Fü den Deiecksinhalt wählt man die Gundseite stets paallel zu eine de beiden Achsen. O P Q = u Bemekung: u u Hie wählt man als Gundseite. PQ = f u u = u + e u = e Die Höhe steht auf diese Gundseite senkecht, ist also u. u u Fu = e u= ue Flächeninhalt: Diese Flächeninhaltsfunktion hat den Definitionsbeeich D ] [ Ableitungen mit de Poduktegel: = u + e u ( ) = u ( ) u = e ( ) + u ( ) F' u e u e u F'' u u e 4 u = 0; = R Zusammenfassen ist hie nicht notwendig, weil ja nu zu Vozeichenkontolle eingesetzt wid. Etemwetbedingung: F' ( ue ) = 0 d.h. u e u = 0 u= 0 u = (denn Kontolle: F'' = e e < 0 4 4 = 0 E u Diese Flächeninhalt stellt somit ein elatives Maimum da. Seine Göße ist F = F = e. ma e 0). Wenn man zeigen soll, dass ein absolutes Maimum voliegt, muss man die Randwetuntesuchung duchfühen: Fü u 0 folgt Fu 0. (Achtung: F(0) ist nicht definiet.) Fü u folgt Fu 0. Im LK begündet man das mit de Regel von de l Hospital, im GK wid man davon spechen, dass im Podukt fü de Eponentialanteil dominiet.. e +