Hyperbolische Erhaltungsgleichungen und die Wellengleichung

Hyperbolische Erhaltungsgleichungen und die Wellengleichung Stefanie Günther Universität Trier 11.November 2010 Stefanie Günther (Universität Trier) Seminar Numerik 1/29 11.November 2010 1 / 29

Inhaltsverzeichnis 1 Wiederholung 2 die nichtlinearen Eulergleichungen der Gasdynamik (1D) Masseerhaltung Impulserhaltung Energieerhaltung 3 Hyperbolische PDE erster Ordnung lineare Systeme quasilineare und nichtlineare Systeme Lösung hyperbolischer, linearer Systeme mit konstanten Koeffizienten 4 Beispiel: Schallwellengleichung Vereinfachung Linearisierung Lösung der Schallwellengleichung 5 Zusammenfassung Stefanie Günther (Universität Trier) Seminar Numerik 2/29 11.November 2010 2 / 29

Wiederholung x R Ort, t R Zeit q : R R R Dichtefunktion der Erhaltungsgröße(Masse, Impuls... ) f : R R Flussfunktion Erhaltungsgleichung Integralform d x2 dt Differentialform Annahme: q und f glatte Funktionen q(x, t) dx = f (q(x, t)) q t (x, t) + f (q(x, t)) x = 0 evtl. Quellterm: q t (x, t) + f (q(x, t)) x = Ψ(q(x, t), x, t) x 2 Stefanie Günther (Universität Trier) Seminar Numerik 3/29 11.November 2010 3 / 29

Quasilineare Gleichung q R m Erhaltungsgrößen f : R m R m Flussfunktionen q t + f (q) x = 0 q t + f (q)q x = 0 mit Jacobimatrix [ ] f fi (q) = q j i,j {1,...,m} Quasilineare Form : q t + f (q)q x = 0 Stefanie Günther (Universität Trier) Seminar Numerik 4/29 11.November 2010 4 / 29

Beispiele Advektionsgleichung: f (q) = ūq mit ū konstant liefert q t + ūq x = 0 q ist konstant entlang Charakteristiken X (t) = x 0 + ūt Lösung q(x, t) = q(x ūt) Anfangs- und Randbedingungen q(ξ) ξ Diffusionsgleichung : f (q x ) = βq x mit β Diffusionskoeffizient liefert q t = βq xx Advektions-Diffusions-Gleichung: q t + ūq x = βq xx Stefanie Günther (Universität Trier) Seminar Numerik 5/29 11.November 2010 5 / 29

Masseerhaltung ϱ(x, t) Dichtefunktion des Fluids u(x, t) Geschwindigkeitsfunktion des Fluids totale Masse in [, x 2 ] = Massefluss an (x, t): ϱ(x, t)u(x, t) Kontinuitätsgleichung (Masseerhaltung) x2 ϱ(x, t) dx [ Einheit g m m s = g s d x2 ϱ(x, t) dx = ϱ(x, t)u(x, t) dt bzw. ϱ t + (ϱu) x = 0 x 2 ] Stefanie Günther (Universität Trier) Seminar Numerik 7/29 11.November 2010 7 / 29

Impulserhaltung Impulsdichte an (x, t) = ϱ(x, t)u(x, t) totaler Impuls in [, x 2 ] = Impulsdichtefluss an (x, t): x2 ϱ(x, t)u(x, t) dx konvektiver Fluss: (ϱu) u Druck p(x, t) äußere Kräfte (Gravitation,...), sowie viskose Spannung (Reibung) werden hier vernachlässigt Impulserhaltung d x2 ϱ(x, t)u(x, t) dx = ϱ(x, t)u(x, t) 2 + p(x, t) dt bzw. (ϱu) t + ( ϱu 2 + p ) x = 0 x 2 Stefanie Günther (Universität Trier) Seminar Numerik 8/29 11.November 2010 8 / 29

Energieerhaltung E(x, t) Energiedichte am Ort x zur Zeit t Energiedichtefluss an (x, t): (E + p)u totale Energie in [, x 2 ] = x2 E(x, t) dx äußere Kräfte (Gravitation,...), sowie viskose Spannung (Reibung) und Wärmeleitung werden hier vernachlässigt Energieerhaltung E t + [(E + p) u] x = 0 Stefanie Günther (Universität Trier) Seminar Numerik 9/29 11.November 2010 9 / 29

Eulergleichungen (1D) zu bestimmende Größen: sodass ϱ(x, t) Dichte u(x, t) Geschwindigkeit p(x, t) Druck Masse Impuls Energie ϱ ϱu E t ϱu + ϱu 2 + p (E + p) u x = 0 wobei die Energie E(x, t) gegeben ist durch Zustandsgleichung E = E (ϱ, u, p) Stefanie Günther (Universität Trier) Seminar Numerik 10/29 11.November 2010 10 / 29

Eulergleichungen (1D) Annahme für Differentialformen: ϱ, u, p sind glatte Funktionen Vereinfachung der Navier-Stokes-Gleichung, welche auch viskose Effekte und Wärmeleitung berücksichtigt (2te Ableitungen) zur Beschreibung von reibungsfreien Fluiden nichtlineares, hyperbolisches System von Erhaltungsgleichung erster Ordnung Stefanie Günther (Universität Trier) Seminar Numerik 11/29 11.November 2010 11 / 29

Lineare hyperbolische Systeme mit konstanten Koeffizienten Definition Ein lineares System der Form q t + Aq x = 0 heißt hyperbolisch, falls A diagonalizierbar ist mit reellen Eigenwerten. A R m m diagonalisierbar R GL(m, R) mit λ 1 0 RAR 1 =... 0 λ m wobei λ 1 λ m R die Eigenwerte von A sind. Die Spalten von R enthalten eine Basis der entsprechenden Eigenvektoren r 1,..., r m R m. Stefanie Günther (Universität Trier) Seminar Numerik 13/29 11.November 2010 13 / 29

Lineare hyperbolische Systeme mit konstanten Koeffizienten Ist A symmetrisch, so auch diagonalisierbar. Das System heißt dann symmetrisch hyperbolisch. Ist λ 1 < < λ m, so heißt das System strikt hyperbolisch. Sind alle λ i R aber A ist nicht diagonalisierbar, so heißt das System schwach hyperbolisch. Stefanie Günther (Universität Trier) Seminar Numerik 14/29 11.November 2010 14 / 29

Lineare hyperbolische Systeme mit variablen Koeffizienten Definition Ein lineares System der Form q t + A(x)q x = 0 heißt hyperbolisch an x, falls A(x) diagonalizierbar ist mit reellen Eigenwerten. Analog für Systeme der Form q t + (A(x)q) x = 0 q t + A(x)q x = A (x)q }{{} Quellterm Stefanie Günther (Universität Trier) Seminar Numerik 15/29 11.November 2010 15 / 29

nichtlineare / quasilineare hyperbolische Systeme Definition Ein quasilineares System der Form q t + A(q, x, t)q x = 0 heißt hyperbolisch an (q, x, t), falls A(q, x, t) diagonalizierbar ist mit reellen Eigenwerten. Ein nichtlineares System wird durch ausdifferenzieren auf quasilineare Form gebracht: q t + (f (q)) x = 0 q t + f (q)q x = 0 Stefanie Günther (Universität Trier) Seminar Numerik 16/29 11.November 2010 16 / 29

Lösung hyperbolischer, linearer Systeme mit konstanten Koeffizienten Es sei q t + Aq x = 0, q R m, A R m m ein hyperbolisches System von Erhaltungsgleichungen. Bezeichne sodass mit λ 1 λ m die m rellen Eigenwerte von A r 1,..., r m R m Basis der zugehörigen Eigenvektoren R = [ r 1... r m] R m m R 1 AR = Λ und A = RΛR 1 λ 1 0 Λ =... 0 λ m Stefanie Günther (Universität Trier) Seminar Numerik 17/29 11.November 2010 17 / 29

Lösung hyperbolischer, linearer Systeme mit konstanten Koeffizienten Definiere ω(x, t) := R 1 q(x, t) R m Dann gilt q t + Aq x = 0 R 1 q t + } R 1 {{ AR} R 1 q x = 0 =Λ ω t + Λω x = 0 m entkoppelte Advektionsgleichungen ω i t + λ i ω i x = 0 für i = 1,..., m Stefanie Günther (Universität Trier) Seminar Numerik 18/29 11.November 2010 18 / 29

Lösung hyperbolischer, linearer Systeme mit konstanten Koeffizienten Lösungen der Advektionsgleichungen ω i (x, t) = ω i (x λ i t) für i = 1,..., m allgemeine Lösung q(x, t) = Rω(x, t) = ω 1 (x λ 1 t)r 1 + + ω m (x λ m t)r m ω i (ξ) sind durch Anfangsbedingungen bestimmt Lösung q = Rω ist Linearkombination von m Wellen, die mit Geschwindigkeiten λ i transportiert werden für nichtlineare hyperbolische Systeme: Lösung besteht aus m Wellen für jedes x Geschwindigkeiten hängen von der Lösung q ab! Stefanie Günther (Universität Trier) Seminar Numerik 19/29 11.November 2010 19 / 29

nichtlineares System der Schallwellenausbreitung Masse ϱ t + (ϱu) x = 0 Impuls (ϱu) t + ( ϱu 2 + p ) x = 0 Annahme: p = ˆκϱ γ =: P (ϱ) mit P (ϱ) > 0 für ϱ > 0 liefert nichtlineares System q t + f (q) x = 0 mit q = [ ] ϱ = ϱu [ q1 q 2 ] [ ] ϱu, f (q) = ϱu 2 + P(ϱ) [ = q 2 (q 2 ) 2 /q 1 + P(q 1 ) ] Stefanie Günther (Universität Trier) Seminar Numerik 21/29 11.November 2010 21 / 29

Linearisierung der Wellengleichungen Sei [ ] ϱ0 q 0 = Grundzustand des Systems ϱ 0 u 0 [ ] ϱ q = die gesuchten, durch die Welle erzeugten ϱu Änderungen Linearisierung von q(x, t) t + f (q(x, t)) x = 0 an q 0 in Richtung q liefert q(x, t) t + f (q 0 ) q(x, t) x = 0 mit Jacobimatrix [ f f (q) = 1 / q 1 f 1 / q 2 ] [ ] 0 1 f 2 / q 1 f 2 / q 2 = u 2 + P (ϱ) 2u Stefanie Günther (Universität Trier) Seminar Numerik 22/29 11.November 2010 22 / 29

Linearisierung der Wellengleichungen = lineares System erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten: Lineare Schallwellengleichung in konservativen Variablen [ ] [ ϱ + ϱu t 0 1 u 2 0 + P (ϱ 0 ) 2u 0 ] [ ] ϱ = 0 ϱu x Stefanie Günther (Universität Trier) Seminar Numerik 23/29 11.November 2010 23 / 29

nichtkonservative/primitive Variablen sei ] [ p(x, t) ũ(x, t) Dann ist [ ] ϱ = ϱu Änderung in (ϱ, ϱu) (p, u) ] [ p = q0 ũ [ ] Druck Geschwindigkeit [ 1 ] ] P (ϱ 0 ) 0 [ p u 0 P (ϱ 0 ) ϱ 0 ũ Lineare Schallwellengleichung in primitiven Variablen ] [ [ p u0 ϱ + 0 c 2 ] ] 0 [ p = 0 ũ 1/ϱ 0 u 0 ũ mit c 0 = P (ϱ o ) Schallgeschwindigkeit im Fluid t x Stefanie Günther (Universität Trier) Seminar Numerik 24/29 11.November 2010 24 / 29

Lösung der Schallwellengleichung für u 0 = 0 erhält man p t + ϱ 0 c 2 0 u x = 0 ϱ 0 u t + p x = 0 [ ] p u t [ 0 ϱ0 c + 0 2 ] 1/ϱ 0 0 }{{} =:A [ ] p = 0 u x Eigenwerte von A: λ 1 = c 0, λ 2 = c 0 Basis zugehöriger Eigenvektoren: r 1 = = strikt hyperbolisches System [ ] ϱ0 c 0, r 1 2 = [ ] ϱ0 c 0 1 Stefanie Günther (Universität Trier) Seminar Numerik 25/29 11.November 2010 25 / 29

Lösung der Schallwellengleichung 2 Advektionsgleichungen (ω = R 1 q) mit Lösungen = allgemeine Lösung: [ ] p(x, t) q(x, t) = u(x, t) ω 1 t c 0 ω 1 x = 0 ω 2 t + c 0 ω 2 x = 0 ω 1 (x, t) = ω 1 (x + c 0 t) ω 2 (x, t) = ω 2 (x c 0 t) = [ r 1 r 2] [ ω 1 ] (x + c 0 t) ω 2 (x c 0 t) = ω 1 (x + c 0 t)r 1 + ω 2 (x c 0 t)r 2 Stefanie Günther (Universität Trier) Seminar Numerik 26/29 11.November 2010 26 / 29

Lösung der Schallwellengleichung ] [ p(x) Anfangbedingung: q(x) := := q(x, 0) ů(x) einsetzen in allgemeine Lösung liefert q(x) = [ r 1 r 2] [ ω 1 ] (x) ω 2 (x) [ ω = 1 ] (x) ω 2 = [ r 1 r 2] ] 1 [ p(x) (x) ů(x) x x = spezielle Lösung: p(x, t) = 1 2 [ p(x + c 0t) + p(x c 0 t)] ϱ 0c 0 2 [ů(x + c 0t) ů(x c 0 t)] u(x, t) = 1 2ϱ 0 c 0 [ p(x + c 0 t) p(x c 0 t)] + 1 2 [ů(x + c 0t) + ů(x c 0 t)] Stefanie Günther (Universität Trier) Seminar Numerik 27/29 11.November 2010 27 / 29

Zusammenfassung Masseerhaltung ϱ t + (ϱu) x = 0 Impulserhaltung (reibungsfrei) (ϱu) t + (ϱu 2 + p) x = 0 Hyperbolizität eines Systems erster Ordnung, falls die Koeffizientenmatrix reell diagonalisierbar ist hyperbolische Systeme erster Ordnung lassen sich entkoppeln in m unabhängige Advektionsgleichungen Linearisierte Wellengleichung in primitiven Variablen: p t + ϱ 0 c 2 0 u x = 0 ϱ 0 u t + p x = 0 kann entkoppelt werden in 2 unabhängige Advektionsgleichungen mit Geschwindigkeiten c 0 und c 0 (Schallgeschwindigkeit im Fluid, z.b. 343 m s in Luft bei Raumtemperatur) Stefanie Günther (Universität Trier) Seminar Numerik 28/29 11.November 2010 28 / 29

Thank you! Stefanie Günther (Universität Trier) Seminar Numerik 29/29 11.November 2010 29 / 29