Der starre Körper Domnk Fauser 1 Grundlagen 1.1 Denton Als enen starren Körper bezechnet man en System von Massepunkten m, deren Abstände zuenander konstant snd: r j = r r j. Mest betrachtet man ene sehr groÿe Anzahl von Massepunkten, so dass sch ene Massendchte ϱ( r) deneren lässt: ϱ( r) = m lm V 0 V = dm( r) dv De Gesamtmasse des starren Körpers mt der Massendchte ϱ( r) ergbt sch dann aus: M = d 3 r ϱ( r) () (1) In deser Denton st der Spezalfall ener dskreten Massevertelung, formulert durch de Drac'sche Deltafunkton, enthalten: N ϱ( r) = m δ 3 ( r r ) (3) =1 N N M = m d 3 r δ 3 ( r r ) = m (4) =1 =1 1. Frehetsgrade Um de maxmale Anzahl der Bewegungsglechungen enes starren Körpers zu bestmmen, st de Anzahl der Frehetsgrade von Interesse. Betrachte dazu folgendes Bespel: En System von N = 3 Massepunkten wrd durch 9 kartessche Koordnaten beschreben. Aus der Denton folgen 3 Zwangsbedngungen r j = r r j, de den Abstand der Massepunkte zuenander festlegen. Somt bleben noch f = 3N 3 = 6 Frehetsgrade. Fügt man nun wetere Massepunkte zu desem System hnzu, treten automatsch dre wetere Zwangsbedngungen auf. Es folgt: Frehetsgrade des starren Körpers: f = 6 (5) 1
Intutve Begründung: De Lage enes belebgen starren Körpers m Raum lässt sch durch de Lage enes Fxpunkts (dre Koordnaten x,y,z) sowe de Orenterung (dre Wnkel, z.b. φ,ψ,θ) relatv zu enem raumfesten Intertalsystem endeutg charakterseren. 1.3 Bezugssysteme Zur Beschrebung der Dynamk des starren Körpers wählt man en raumfestes Intertalsystem R und en fest an den Körper gebundenes Körpersystem K. Zur weteren Unterschedung wähle folgende Bezechnungen: Raumfestes R-System: Körperfestes K-System: X, Y, Z bzw. R x, y, z bzw. r Herbe st das Körpersystem KS natürlch ken Inertalsystem, da sch Lage (Translaton) und Orenterung (Rotaton) m Raum be der Bewegung ständg ändern. Auÿerdem st sen Ursprung (Fxpunkt) m starren Körper zunächst belebg wählbar. Desen Umstand nutzt man später aus, um de Bewegungsglechungen zu verenfachen. De Lagrangefunkton des starren Körpers Um den starren Körper mt dem Lagrangeformalsmus behandeln zu können, müssen wr nun de Form der knetschen Energe zur Verwendung n der Lagrangefunkton bestmmen. Des geschet mt Hlfe der soeben denerten Bezugssysteme, ndem man de Bewegung des Körpersystems K m raumfesten System R ausdrückt..1 Koordnaten enes Punktes m R-System En belebger Punkt des R-Systems hat m K-System folgenden Ortsvektor: R = R 0 + r (6) Mest wählt man für R 0 den Schwerpunkt des starren Körpers: R 0 = 1 d 3 r r ϱ( r) R M S (7) Der Schwerpunkt des starren Körpers führt relatv zum R-System ene normale Translaton aus: d R 0 = V (8) Im K-System legt bezüglch des Ursprungs ene Rotaton mt der Wnkelgeschwndgket ω = d ϕ d r vor: = ω r (9)
Der Vektor ω steht dabe mmer senkrecht auf der Drehebene. Insgesamt ergbt sch für de Geschwndgket m R-System:. Knetsche Energe d R = V + ω r (10) De knetsche Energe m raumfesten R-System lässt sch mt der soeben denerten Geschwndgket d R berechnen: T = 1 m ( d R ) = 1 m ( V + ω r ) = 1 m V + m V ( ω r ) + 1 m ( ω r ) }{{} Dabe wurde benutzt, dass m Schwerpunktsystem m r = 0 glt. Deshalb reduzert sch de knetsche Energe auf folgende Form: T = 1 m V + 1 m [ ω r ( ω r ) ] }{{}}{{} T trans T rot De engeklammerte Term n der Rotatonsenerge lässt sch nun folgendermaÿen umformen: (11) ω r ( ω r ) = αβ = αβ [ω α ω β r δ αβ ω α x α ω β x β ] (1) ω α ω β [r δ αβ x α x β ] (13) Daraus folgt de Denton des Träghetstensors I für dskrete und kontnuerlche Massenvertelungen: I αβ = m [r δ αβ x α x β ] (14) I αβ = d 3 r ρ( r) [r δ αβ x α x β ] (15) Mthlfe des Träghetstensors lässt sch de knetsche Energe nun mt dem Träghetstensor schreben: T = 1 M V + 1 I αβ ω α ω β (16) αβ 3
T = 1 M V + 1 ωt I ω (17).3 De Lagrangefunkton für den starren Körper Mt der Denton des Träghetstensors lautet de Lagrangefunkton: L = 1 M V + 1 I αβ ω α ω β U (18) αβ.4 Drehmpuls Analog zur knetschen Energe bestmmt man den Drehmpuls des starren Körpers m raumfesten System R: L = = m R d R m ( R 0 + r ) ( V + ω r ) = m R0 V + m r ( ω r ) = M R 0 V + m [r ω r ( r ω)] = L Schwerpunkt + L rot Dass es sch bem zweten Term um ene Rotaton des starren Körpers bezüglch senes Schwerpunkts handelt, erkennt man n komponentenweser Darstellung: ( L rot ) α = = = β m [r ω r ( r ω)] m β [r ω x α ( r ω)] m [r δαβ x,α x,β ] } {{ } I αβ ω β Der allgemene Drehmpuls enes starren Körpers setzt sch also aus zwe Antelen zusammen: L Schwerpunkt st der Drehmpuls des Schwerpunktes des starren Körpers bezüglch des Ursprungs von R und hängt oenschtlch von der Wahl des raumfesten Systems ab. Lrot st der Egendrehmpuls des starren Körpers bezüglch senes egenen Schwerpunktes und lässt sch analog zur knetschen Energe mt dem Träghetstensor schreben: L rot = I ω (19) ( L rot ) = β I αβ ω β (0) 4
3 Der Träghetstensor 3.1 Allgemene Egenschaften In Matrxform seht der Träghetstensor folgendermaÿen aus: I αβ= d 3 r ρ( r) y + z xy xz yx x + z yz zx zy x + y (1) I st symmetrsch: I αβ = I βα - Der Träghetstensor hat also nsgesamt nur 6 unabhängge Komponenten I st adv: Wenn en starrer Körper aus mehreren verschedenartgen Objekten zusammengesetzt st, adderen sch de Träghetsmomente der enzelnen Bestanele (sehe Übung) I lässt sch dagonalseren (sehe 3.3) 3.1.1 Tpps zur Berechnung Wähle dem Körper entsprechend geegnete Koordnaten (z.b. Kegel - Zylnderkoordnaten) Bem Übergang zu desen Koordnaten beachte de Jacob-Determnante m Volumenntegral: (x, y, z) dxdydz = dq 1 dq dq 3 det (q 1, q, q 3 ) () De beden wchtgsten Formeln snd: dxdydz = drdϕdθ r sn θ (3) dxdydz = drdϕdz r (4) 3. Satz von Stener Frage: Welchen Wert hat das Träghetsmoment bezüglch ener ncht durch den Schwerpunkt gehenden Achse? Bespel: Kugel rollt schefe Ebene hnab - momentane Drehachse st der Auagepunkt Wr betrachten en um den konstanten Vektor a verschobenes System K' mt r = r a: I αβ = m [( r a) δ αβ (x α a α )(x β a β )] (5) 5
I αβ = = = m [( r a) δ αβ (x α a α )(x β a β )] m [ r δ αβ x α x β ] + m [ r δ αβ x α x β ] + m [ a δ αβ a α a β ] a m r + a α m x β, + a β m x α, }{{}}{{}}{{} m [ a δ αβ a α a β ] Her wurde weder de Denton des Schwerpunkts m x = 0 ausgenutzt. Verenfacht folgt: I αβ = I αβ + M [ a δ αβ a α a β ] Satz von Stener (6) 3.3 Hauptachsentransformaton We aus der lnearen Algebra bekannt, st jede reelle, symmetrsche Matrx dagonalserbar. Mathematsch entsprcht das enem Basswechsel mt Hlfe ener geegneten Transformatonsmatrx S: I dag = S T I S. (7) Physkalsch bedeutet des enen Wechsel vom Körpersystem K n en gedrehtes System K', n dem de Auÿerdagonalelemente des Träghetstensors verschwnden. De geegnete Transformatonsmatrx S lässt sch duch Lösung des folgenden Egenwertproblems nden: I v = λ v (8) De zur Dagonalserung notwendge Transformatonsmatrx S enthält dann als Spaltenvektoren de Egenvektoren v zu den jewelgen Egenwerten λ. De Egenwerte λ snd de Hauptträghetsmomente I und de zugehörgen Egenvektoren v geben de Rchtung der Hauptträghetsachsen an. (sehe Übung) Bestzt en Körper ene Symmetreachse bezüglch Rotaton, so st dese Achse ene Hauptträghetsachse. De beden anderen legen dann n der Ebene senkrecht dazu und snd glech. 6