Implizite Funktionen Ist für eine stetig differenzierbare Funktion f : R n R m R n f (x, y ) = (0,..., 0) t, det f x (x, y ) 0, so lässt sich das Gleichungssystem f k (x 1,..., x n, y 1,..., y m ) = 0, k = 1,..., n, in einer Umgebung von (x, y ) nach x auflösen: x = ϕ(y). Implizite Funktionen 1-1
Die implizit definierte Funktion ϕ ist in einer Umgebung von y stetig differenzierbar und besitzt die Jacobi-Matrix ϕ = (f x ) 1 f y. Implizite Funktionen 1-2
Die implizit definierte Funktion ϕ ist in einer Umgebung von y stetig differenzierbar und besitzt die Jacobi-Matrix ϕ = (f x ) 1 f y. Ein entsprechendes Resultat gilt nach Permutation der Variablen, d.h. man kann nach x k1,..., x kn auflösen, wenn die Spalten k 1,..., k n der Jacobi-Matrix f linear unabhängig sind. Insbesondere ist die Gleichung f (x) = 0 für eine skalare Funktion f in einer Umgebung von x nach x k auflösbar, wenn k f (x ) 0. Implizite Funktionen 1-3
Beweis: betrachte die Abbildung (x, y) u(x, y) = (f (x, y), y) von R n+m nach R n+m in einer Umgebung von (x, y ) Implizite Funktionen 2-1
Beweis: betrachte die Abbildung (x, y) u(x, y) = (f (x, y), y) von R n+m nach R n+m in einer Umgebung von (x, y ) invertierbare Jacobi Matrix ( ) u fx f (x, y ) = y 0 E (x,y ) = lokale Existenz einer Umkehrfunktion u 1 = (v 1,..., v n+m ) E : m m Einheitsmatrix Implizite Funktionen 2-2
u(x, y) = (f (x, y), y) = (0, y) (x, y) = v(0, y), d.h. ϕ(y) = (v 1 (0, y),..., v n (0, y)) Implizite Funktionen 2-3
u(x, y) = (f (x, y), y) = (0, y) (x, y) = v(0, y), d.h. ϕ(y) = (v 1 (0, y),..., v n (0, y)) Differenzieren von 0 = f (ϕ(y), y) nach y = 0 = f x ϕ + f y, d.h. die explizite Formel für die Jacobi-Matrix ϕ Implizite Funktionen 2-4
Beispiel: Vivianische Kurve: Schnitt der Einheitssphäre mit einem Zylinder sin t cos t C : t sin 2 t cos t, t [0, 2π) z x y Implizite Funktionen 3-1
implizite Form f (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 1 = 0 ( g(x, y, z) = x 2 + y 1 ) 2 1 = 0 2 4 Implizite Funktionen 3-2
implizite Form f (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 1 = 0 ( g(x, y, z) = x 2 + y 1 ) 2 1 = 0 2 4 Jacobi-Matrix ( fx f y f z g x g y g z ) = ( 2x 2y 2z 2x 2y 1 0 ) Satz über implizite Funktion = Bedingung für eine Parametrisierung durch eine der Koordinaten x, y, z Implizite Funktionen 3-3
(i) Parametrisierung bezüglich x, d.h. auflösen nach y und z: Implizite Funktionen 3-4
(i) Parametrisierung bezüglich x, d.h. auflösen nach y und z: hinreichende Bedingung: Invertierbarkeit von ( ) (f, g) 2y 2z (y, z) = 2y 1 0 Implizite Funktionen 3-5
(i) Parametrisierung bezüglich x, d.h. auflösen nach y und z: hinreichende Bedingung: Invertierbarkeit von ( ) (f, g) 2y 2z (y, z) = 2y 1 0 erfüllt für z 0 und y 1/2 Implizite Funktionen 3-6
(i) Parametrisierung bezüglich x, d.h. auflösen nach y und z: hinreichende Bedingung: Invertierbarkeit von ( ) (f, g) 2y 2z (y, z) = 2y 1 0 erfüllt für z 0 und y 1/2 g = x 2 + (y 1/2) 2 1/4 = 0, f g = z 2 1 + y = 0 y(x) = 1 2 + δ 1 4 x 2, z(x) = δ 1 1 2 δ 4 x 2 wobei die Vorzeichen δ, δ { 1, 1} entsprechend den einzelnen Zweigen gewählt werden müssen Implizite Funktionen 3-7
(i) Parametrisierung bezüglich x, d.h. auflösen nach y und z: hinreichende Bedingung: Invertierbarkeit von ( ) (f, g) 2y 2z (y, z) = 2y 1 0 erfüllt für z 0 und y 1/2 g = x 2 + (y 1/2) 2 1/4 = 0, f g = z 2 1 + y = 0 y(x) = 1 2 + δ 1 4 x 2, z(x) = δ 1 1 2 δ 4 x 2 wobei die Vorzeichen δ, δ { 1, 1} entsprechend den einzelnen Zweigen gewählt werden müssen Parametrisierungen singulär in den Punkten (0, 1, 0) t, (±1/2, 1/2, ± 2/2) t und (±1/2, 1/2, 2/2) t geometrisch notwendig: Tangentenrichtung nicht orthogonal zu (1, 0, 0) t, d.h. mit nichtrivialer Komponente in x-richtung Implizite Funktionen 3-8
(ii) Parametrisierung bezüglich y und z: hinreichende Bedingungen ( ) ( 2x 2z 2x 2y det = 4xz 0, det 2x 0 2x 2y 1 ) = 2x 0 Implizite Funktionen 3-9
(ii) Parametrisierung bezüglich y und z: hinreichende Bedingungen ( ) ( 2x 2z 2x 2y det = 4xz 0, det 2x 0 2x 2y 1 ) = 2x 0 keine lokale Parametrisierung (weder nach x, y oder z) im Punkt (0, 1, 0) t Implizite Funktionen 3-10
(ii) Parametrisierung bezüglich y und z: hinreichende Bedingungen ( ) ( 2x 2z 2x 2y det = 4xz 0, det 2x 0 2x 2y 1 ) = 2x 0 keine lokale Parametrisierung (weder nach x, y oder z) im Punkt (0, 1, 0) t Jacobi-Matrix ( ) (f, g) 0 0 0 (x, y, z) (0,1,0) = 0 1 1 Implizite Funktionen 3-11
(ii) Parametrisierung bezüglich y und z: hinreichende Bedingungen ( ) ( 2x 2z 2x 2y det = 4xz 0, det 2x 0 2x 2y 1 ) = 2x 0 keine lokale Parametrisierung (weder nach x, y oder z) im Punkt (0, 1, 0) t Jacobi-Matrix ( ) (f, g) 0 0 0 (x, y, z) (0,1,0) = 0 1 1 Rang der Jacobi-Matrix gleich 1 Doppelpunkt der Kurve Implizite Funktionen 3-12
Beispiel: skalare Funktion f (x, y, z) = xe y yz = 0 Implizite Funktionen 4-1
Beispiel: skalare Funktion f (x, y, z) = xe y yz = 0 nach einer Variablen auflösbar, falls die entsprechende partielle Ableitung nicht verschwindet Implizite Funktionen 4-2
Beispiel: skalare Funktion f (x, y, z) = xe y yz = 0 nach einer Variablen auflösbar, falls die entsprechende partielle Ableitung nicht verschwindet Gradient (f x, f y, f z ) t = (e y, xe y z, y) t Implizite Funktionen 4-3
Beispiel: skalare Funktion f (x, y, z) = xe y yz = 0 nach einer Variablen auflösbar, falls die entsprechende partielle Ableitung nicht verschwindet Gradient (f x, f y, f z ) t = (e y, xe y z, y) t (i) f x > 0 = f = 0 für alle (x, y, z) nach x auflösbar: Implizite Funktionen 4-4
Beispiel: skalare Funktion f (x, y, z) = xe y yz = 0 nach einer Variablen auflösbar, falls die entsprechende partielle Ableitung nicht verschwindet Gradient (f x, f y, f z ) t = (e y, xe y z, y) t (i) f x > 0 = f = 0 für alle (x, y, z) nach x auflösbar: x = yze y Implizite Funktionen 4-5
Beispiel: skalare Funktion f (x, y, z) = xe y yz = 0 nach einer Variablen auflösbar, falls die entsprechende partielle Ableitung nicht verschwindet Gradient (f x, f y, f z ) t = (e y, xe y z, y) t (i) f x > 0 = f = 0 für alle (x, y, z) nach x auflösbar: x = yze y (ii) Auflösen nach z für y 0 möglich (f z 0): Implizite Funktionen 4-6
Beispiel: skalare Funktion f (x, y, z) = xe y yz = 0 nach einer Variablen auflösbar, falls die entsprechende partielle Ableitung nicht verschwindet Gradient (f x, f y, f z ) t = (e y, xe y z, y) t (i) f x > 0 = f = 0 für alle (x, y, z) nach x auflösbar: x = yze y (ii) Auflösen nach z für y 0 möglich (f z 0): z = xe y /y Implizite Funktionen 4-7
(iii) Keine elementare Auflösbarkeit nach y: Implizite Funktionen 4-8
(iii) Keine elementare Auflösbarkeit nach y: Satz über implizite Funktionen = Auflösbarkeit in einer Umgebung von (x, y, z ), falls f y (x, y, z ) = x e y z 0 Implizite Funktionen 4-9
(iii) Keine elementare Auflösbarkeit nach y: Satz über implizite Funktionen = Auflösbarkeit in einer Umgebung von (x, y, z ), falls f y (x, y, z ) = x e y z 0 z.b. erfüllt für die Lösung (0, 0, 1) der Gleichung: f y (0, 0, 1) = 1 = ϕ : f (x, y, z) = 0 y = ϕ(x, z), (x, y, z) (0, 0, 1) Implizite Funktionen 4-10
(iii) Keine elementare Auflösbarkeit nach y: Satz über implizite Funktionen = Auflösbarkeit in einer Umgebung von (x, y, z ), falls f y (x, y, z ) = x e y z 0 z.b. erfüllt für die Lösung (0, 0, 1) der Gleichung: f y (0, 0, 1) = 1 = ϕ : f (x, y, z) = 0 y = ϕ(x, z), (x, y, z) (0, 0, 1) Die Funktion ϕ ist nicht explizit angebbar; aber der Gradient ϕ kann bestimmt werden: 0 = f (x, ϕ(x, z), z) = 0 = f x + f y ϕ x, 0 = f z + f y ϕ z Implizite Funktionen 4-11
(iii) Keine elementare Auflösbarkeit nach y: Satz über implizite Funktionen = Auflösbarkeit in einer Umgebung von (x, y, z ), falls f y (x, y, z ) = x e y z 0 z.b. erfüllt für die Lösung (0, 0, 1) der Gleichung: f y (0, 0, 1) = 1 = ϕ : f (x, y, z) = 0 y = ϕ(x, z), (x, y, z) (0, 0, 1) Die Funktion ϕ ist nicht explizit angebbar; aber der Gradient ϕ kann bestimmt werden: 0 = f (x, ϕ(x, z), z) = 0 = f x + f y ϕ x, 0 = f z + f y ϕ z Auflösen nach den partiellen Ableitungen von ϕ im Punkt (x, y, z ) ϕ x (0, 1) = f x(0, 0, 1) f y (0, 0, 1) = 1 1 = 1 ϕ z (0, 1) = f z(0, 0, 1) f y (0, 0, 1) = 0 1 = 0 Implizite Funktionen 4-12
Beispiel: algebraische Kurve, definiert durch ein bivariates Polynom p C : p(x, y) = 0 Implizite Funktionen 5-1
Beispiel: algebraische Kurve, definiert durch ein bivariates Polynom p C : p(x, y) = 0 grad p (0, 0) t = Darstellbarkeit als Funktion von x oder y Implizite Funktionen 5-2
Beispiel: algebraische Kurve, definiert durch ein bivariates Polynom p C : p(x, y) = 0 grad p (0, 0) t = Darstellbarkeit als Funktion von x oder y grad p = (0, 0) t = Möglichkeit einer Singularität 0.5 y 1 x Implizite Funktionen 5-3
Lemniskate C : p(x, y) = x 4 x 2 + y 2 = 0, grad p = ( 2x + 4x 3, 2y) t Implizite Funktionen 5-4
Lemniskate C : p(x, y) = x 4 x 2 + y 2 = 0, grad p = ( 2x + 4x 3, 2y) t Doppelpunkt bei (0, 0), keine eindeutige Auflösbarkeit nach x oder y Implizite Funktionen 5-5
Lemniskate C : p(x, y) = x 4 x 2 + y 2 = 0, grad p = ( 2x + 4x 3, 2y) t Doppelpunkt bei (0, 0), keine eindeutige Auflösbarkeit nach x oder y (i) Vertikale Tangente bei (±1, 0): Implizite Funktionen 5-6
Lemniskate C : p(x, y) = x 4 x 2 + y 2 = 0, grad p = ( 2x + 4x 3, 2y) t Doppelpunkt bei (0, 0), keine eindeutige Auflösbarkeit nach x oder y (i) Vertikale Tangente bei (±1, 0): grad p (1, 0) t, lokale Auflösung nach x (Parametrisierung bzgl. y) möglich x = σ 1 2 + 1 4 y 2 mit σ = 1 für x 1 und σ = 1 für x 1 Implizite Funktionen 5-7
Lemniskate C : p(x, y) = x 4 x 2 + y 2 = 0, grad p = ( 2x + 4x 3, 2y) t Doppelpunkt bei (0, 0), keine eindeutige Auflösbarkeit nach x oder y (i) Vertikale Tangente bei (±1, 0): grad p (1, 0) t, lokale Auflösung nach x (Parametrisierung bzgl. y) möglich x = σ 1 2 + 1 4 y 2 mit σ = 1 für x 1 und σ = 1 für x 1 (ii) Waagerechte Tangente bei (σ 1 2/2, σ2 /2) mit σ k { 1, 1}: Implizite Funktionen 5-8
Lemniskate C : p(x, y) = x 4 x 2 + y 2 = 0, grad p = ( 2x + 4x 3, 2y) t Doppelpunkt bei (0, 0), keine eindeutige Auflösbarkeit nach x oder y (i) Vertikale Tangente bei (±1, 0): grad p (1, 0) t, lokale Auflösung nach x (Parametrisierung bzgl. y) möglich x = σ 1 2 + 1 4 y 2 mit σ = 1 für x 1 und σ = 1 für x 1 (ii) Waagerechte Tangente bei (σ 1 2/2, σ2 /2) mit σ k { 1, 1}: grad p (0, 1) t, d.h. y = ϕ(x) Implizite Funktionen 5-9
Lemniskate C : p(x, y) = x 4 x 2 + y 2 = 0, grad p = ( 2x + 4x 3, 2y) t Doppelpunkt bei (0, 0), keine eindeutige Auflösbarkeit nach x oder y (i) Vertikale Tangente bei (±1, 0): grad p (1, 0) t, lokale Auflösung nach x (Parametrisierung bzgl. y) möglich x = σ 1 2 + 1 4 y 2 mit σ = 1 für x 1 und σ = 1 für x 1 (ii) Waagerechte Tangente bei (σ 1 2/2, σ2 /2) mit σ k { 1, 1}: grad p (0, 1) t, d.h. y = ϕ(x) Auflösen von p = 0 nach y y = σ 2 x 2 x 4 Implizite Funktionen 5-10
(iii) Punkte (x 0, y 0 ) mit weder vertikaler noch horizontaler Tangente: Implizite Funktionen 5-11
(iii) Punkte (x 0, y 0 ) mit weder vertikaler noch horizontaler Tangente: Auflösbarkeit sowohl nach x oder y Implizite Funktionen 5-12
(iii) Punkte (x 0, y 0 ) mit weder vertikaler noch horizontaler Tangente: Auflösbarkeit sowohl nach x oder y Bei Auflösung nach y folgt aus dass 0 = d dx p(x, y(x)) = p x + p y dy dx dy dx = p 1 y p x = 4x 3 2x 2y Implizite Funktionen 5-13
(iii) Punkte (x 0, y 0 ) mit weder vertikaler noch horizontaler Tangente: Auflösbarkeit sowohl nach x oder y Bei Auflösung nach y folgt aus dass 0 = d dx p(x, y(x)) = p x + p y dy dx dy dx = p 1 y p x = 4x 3 2x 2y Gleichung der Tangente im Punkt (x 0, y 0 ) y y 0 = 4x 3 0 2x 0 2y 0 (x x 0 ) Implizite Funktionen 5-14