9. M setze = ud bereche mit Hilfe der Folge (9.5) die dritte Wurzel us uf vier zählede Stelle geu. = + + =,, =,, =.75, 4 =,48889, =,449, =,4478 Jetzt ädert sich die dritte Stelle ch dem Komm icht mehr, m ht lso vier zählede Stelle,44 = Die erste Näheruge uf 5 Stelle geu:..75.488884975665747988497566574799.444978868977887454796867.4549555486844764996579869945445598895.4774757877748679696584684.4445846586856796789864769596.4455987447979959847775466967.4484698855687458489584986868988.4496448884647589494777565998895.44999469679469997657585746.447876887649457875985684444.44857685994949874657777756 9. M bestimme die Grezwerte der ute defiierte Folge oder stelle ihre Divergez fest (große Buchstbe bezeiche positive reelle Zhle). = / Vermutug: Grezwert = Zu jedem ε > muss es eie türliche Zhl ε gebe, so dss für lle = < ε > ε ε gilt J K I 5 4 U V+ W + C b = 5 U + K D + E Es gilt lim ( b) = lim ( ) lim ( b) flls ( ) ud (b ) kovergete Folge sid.
U V+ W U + W J K I K I 5 4 + C 5 D + E E J K I 5 4 U V+ W + C b = WIE 5 U + K D + E c + B = = A+ Folge divergiert /4 5/8 L 6 ( K + M ) L d = + + + G H 4 ( 7 + L ) ( 5 + ) + 4 U V W Es gilt lim ( + b) = lim ( ) + lim ( b) flls ( ) ud (b ) kovergete Folge sid. ( ) ( 7 + ) 6/8 5/8 6/8 /8 L K + M LK ( + M ) = K / /4 6/8 /4 L 7 + L 6 L L L = = L 5 + 5 + ( 5 + ) 4 ( ) : = = = U 4 + 4 + : + U V W U V W U V W U G H G d K + L+ U + G Gesmtlösug: O - WIE KLUG 9. Fibocci-Folge: Ei M bekommt im Jur ei Pärche Kiche geschekt, die gerde gebore sid ud erst im überächste Mot (März) ud d i jedem folgede Mot ei Pärche erzeuge. Auch dieses ud lle weitere Pärche erzeuge b dem zweite Mot ch ihrer Geburt jeweils ei Pärche motlich. Wie viele Pärche ht der M im Dezember? Wie lutet die Rekursiosformel für diese erste implizit defiierte Folge? [ Fibocci (Soh des Gutches) wr der Spitzme vo Leordo vo Pis.] Ede März: Pärche + Pärche = Pärche Ede April: Pärche + Pärche = Pärche
Ede Mi: Pärche + Pärche = 5 Pärche usw.,,,, 5, 8,,, 4, 55, 89, 44. Ede Dezember: 89 Pärche +55 Pärche = 44 Pärche D jeweils die im letzte Mot - vorhdee Pre - überlebe ud die im vorletzte Mot - vorhdee Pre - sich verdoppel, lutet die Rekursiosformel: = - + -,, = = = + = + = 4 = + = + =
. M utersuche ds Kovergezverhlte folgeder Reihe: ) ( ) + lterierede Reihe, Nullfolge Kovergez ch Leibiz-Kriterium = b) = = + + + +... = + + + +... 4 6 8 4 hlbe hrmoische Reihe Divergez c) Quotietekriterium: = + + + ( + ) + + = = = + Kovergez d) Quotietekriterium:! = + +! = = ( + )! + Kovergez e) = + ist kovergete Mjorte, de Reiheverdichtug zeigt: = k = ( k ) k k= k= ist eie kovergete geometrische Reihe. Mit Hilfe der "Teleskop-Formel" + = ( + ) + lässt sich sogr der Wert der ursprügliche Reihe bereche: k k... = = + + + + = = + = + 4 k k+ k+ f) ist diverget, d = + = divergete Miorte ist. = + = g) = = l l l hrmoische Reihe Divergez = = = [Hiweis: Für l bechte m Absch. 4., isbesodere (4.9).]. Für welche Zhle q kovergiert die Reihe q? = Ds ist die geometrische Reihe. Sie kovergiert für q <.. Für welche Zhle q kovergiert die Reihe q? =! Quotietekriterium: + +! ( + )! q q q = = + Die Reihe kovergiert für lle q.
.4 M bestimme eie kovergete Mjorte für ) = + + < + + + Die Reihe ist ch Aufgbe. e) koverget ud ht de Grezwert. Sie eiget sich lso ls = + kovergete Mjorte, ebeso wie die Reihe. = b). l = + [Hiweis: Für l bechte m Absch. 4., isbesodere (4.9).] [Amerkug: Selbstverstädlich k m uch dss kovergiert.] = ls kovergete Mjorte gebe, we m weiß, = = < + l + l + Mjorte: oder oder = + = =.5 M stelle, ls Bruch dr. [Hiweis: Umformug mit Hilfe der geometrische Reihe.], = + + +... =... 6 9 + + + 6 = = 999.6 97 ist ls Summe eier geometrische Reihe mit dem Afgsglied drzustelle. 4 96 97 = + q+ q + q + q +... = q= q 97.7 I eie Würfel vo m Kteläge ist eie Kugel eibeschriebe, i diese wieder ei Würfel, i diese eie Kugel usw. Wie groß ist die Oberfläche ller Würfel? [Hiweis: Der Durchmesser der Kugel im Würfel ist die Rumdigole des Würfels +.] Der Durchmesser der Kugel im Würfel ist die Kteläge des Würfels. Die Kteläge s eies Würfels ist mit seier Rumdigole D ch dem dreidimesiole Stz des Pythgors verküpft: s + s + s = D. Für die Kteläge s + des ( + )-te Würfels gilt lso: s = s, mit =,,,... +
Die Oberfläche des -te Würfels ist 6ÿs. Die Gesmtoberfläche lle Würfel ist dmit: 6s + 6s + 6 s +... = 6m + + +... = 6m = 9m 9
. M prüfe mit der ε,δ-defiitio die Stetigkeit der folgede Fuktioe uf : Ziel: Ei δ > bestimme, so dss für < δ gilt: f () f ( ) < ε. ) f () = + Sei δ = ε < δ fl f () f ( ) = ( + ) ( + ) = < δ = ε b) f () = Sei δ = ε < δ fl f () f ( ) = < δ = ε c) f () = Sei δ = ε/ ( + + ) < δ fl f () f ( ) = = ( ) ÿ ( + + ) < δÿ ( + + ) = ε. M zeige die Stetigkeit der Fuktio f () = im Itervll (, ). Wie ist δ zu wähle? [Hiweis: = ( )/( + ) ] Sei δ = ε + < δ fl f () f ( ) = = = < + + + δ = ε. M zeige die gleichmäßige Stetigkeit der Fuktio f () = im Itervll [, ]. Wie ist δ zu wähle? [Hiweis: / / = ( )/ÿ ] Sei δ = ε. Für ds gze Itervll [, ] gilt: < δ fl f () f ( ) = / / = ( )/ÿ < δ/ÿ = ε/ÿ ε.4 M zeige die gleichmäßige Stetigkeit der Fuktio f () = im Itervll [, ] mit Hilfe eies ur vo ε bhägede δ. Sei δ = ε/. Für ds gze Itervll [, ] gilt: < δ fl f () f ( ) = = ( )( + ) < δ( + ) δ = ε
. Welche Kovergezrdius besitzt die Reihe ( ) +? [Hiweis: M substituiere + / := y.] ( ) + = ( ) y = = = Quotietekriterium: + y + = = y y < + / < -/ < < / y oder Kovergezrdius ρ = lim Flls i diesem Itervll liegt, kovergiert die Reihe. = y < + / < -/ < < / +. M zeige, dss folgede Reihe (vgl. Kp. VII) de Kovergezrdius ρ = besitze: [Hiweis: M setze = ( ) := (y) verschwidet, lso gewiss kleier ls ist.] ud zerlege + ( + )! i, wori der erste Fktor für + ( )! ) e =! = Kovergezrdius ρ = lim + ( )! = lim + = + ρ =! b) cos = ( ) = = ( ) := (y) ( )! Kovergezrdius ρ = lim + (( + ))! = lim = (+ )(+ ) ρ = ( )! c) si = ( ) + = + ( + )! = ( + )! (+ ) ( )! < für Ø ( )! Kovergezrdius ρ = lim + (( + ))! > lim = (+ )(+ ) ρ = ( )!