Gundwissen Mathematik Jahgangsstufe I. Reelle Zahlen Eweiteung des Zahlenbeeichs Bishe bekannte Zahlenmengen: Jedes Element a aus N, Z, Q Q ist dastellba duch a= p q mit p Z und q N. Zahlen, die nicht als Buch dastellba sind, heißen iational. Rationale und iationale Zahlen bilden zusammen die Menge R de eellen Zahlen. Quadatwuzeln Fü a 0 ist a diejenige nicht negative Zahl, deen Quadat a egibt. Die Zahl unte de Wuzel heißt Radikand. =, denn =. Rechnen mit Quadatwuzeln Fü a,b 0 gilt: a b= a b Fü a 0,b 0 gilt: a b = a b Die üblichen Rechengesetze gelten unveändet. Rationalmachen des Nennes: a b = a b a b = a b b Teilweise adizieen: b 7 = b b b b=b b b b=b b 8= Beachte: 4 4!!! Wuzelgleichungen Lösungsvefahen: Isoliee den Wuzeltem auf eine Seite de Gleichung, quadiee beide Seiten de Gleichung und löse dann die wuzelfeie Gleichung. x = ² x = D=[1, ; [ x=14 Pobe: L.S. 14 = R.S. = Richtig! Also folgt dann: L={14} Gisela-Gymnasium München-Schwabing Seite 1/7
Gundwissen Mathematik Jahgangsstufe Allgemeine Wuzeln n Fü a 0 ist a diejenige nicht negative Zahl, deen n-te Potenz a egibt. Die Zahl a unte de Wuzel heißt Radikand, n ist de Wuzelexponent. n N;n Beispiele: 7= = ; 4 = 4 = 4 Beachte: 4 = 4 abe 4 = 4! Potenzen mit ationalen Exponenten 1 a n = a n 1 8 = 8= a p = 1 a p 8 = 1 8 p a n = a n p 8 = 8 =8 8 II. Die Satzguppe des Pythagoas Kathetensatz Die Fläche des Quadates übe eine Kathete ist gleich de Fläche des anliegenden Hypotenusenechtecks. a =c p und b =c q Höhensatz Die Fläche des Quadates übe de Höhe ist gleich de Fläche des Rechtecks aus den beiden Hypotenusenabschnitten. h = p q Satz des Pythagoas Die Summe de Fläche de beiden Kathetenquadate ist gleich de Fläche des Hypotenusenquadats. a b =c Gisela-Gymnasium München-Schwabing Seite /7
Gundwissen Mathematik Jahgangsstufe III. Quadatische Funktionen und quadatische Gleichungen Quadatische Funktionen De Gaph de allgemeinen quadatischen Funktion de Fom f x =ax bx c mit a 0 ist eine Paabel. De Gaph von g x = x heißt Nomalpaabel. Die Paabel zu Funktion f ist nach oben geöffnet, falls a 0 bzw. nach unten geöffnet, falls a 0. Die Paabel zu Funktion f ist beite als die Nomalpaabel, falls a 1, enge als die Nomalpaabel, falls a 1, den tiefsten bzw. höchsten Punkt eine Paabel nennt man Scheitelpunkt. Sondefälle: Ausgehend von de Nomalpaabel ist de Gaph von f x = x d e um e,in y Richtung veschoben und um -d in x Richtung veschoben und besitzt den Scheitelpunkt S (-d e). Scheitelpunktfom von quadatischen Funktionen Jede quadatische Funktion de Fom f x =ax bx c mit a 0 lässt sich duch quadatische Egänzung auf die Scheitelpunktfom f x =a x d e bingen. Daaus ist abzulesen, dass S(-d/e) de Scheitel de Paabel ist. Fü nimmt die Funktion ihen x=d kleinsten Funktionswet (Minimum) an, falls a 0 ist, gößten Funktionswet (Maximum) an, falls a 0 ist. f x =0, x, x,7 = 0, x x 4,7 = 0, x x,,, 4,7 = 0,[ x, 6, 4,7] = 0, x, 0,7 Gisela-Gymnasium München-Schwabing Seite /7
Gundwissen Mathematik Jahgangsstufe Lösungsfomel fü quadatische Gleichungen Die Lösung(en) eine quadatischen Gleichung ax bx c=0 mit a 0 egeben sich mit Hilfe de Mittenachtsfomel: x 1/ = b± b 4ac a De Tem unte de Wuzel heißt Diskiminante D= b 4ac. Die Diskiminante bestimmt die Anzahl de Lösungen: fü D 0 : keine Lösung fü D=0 : eine Lösung fü D 0 : zwei Lösungen IV. Quadatische Funktionen in Anwendungen Gleichungssysteme Ein Gleichungssystem mit Gleichungen und Vaiablen nennt man ein,-gleichungssystem. Lösungsschema: (1) Man löst eine Gleichung nach eine Vaiablen auf und setzt das Egebnis () in die beiden andeen Gleichungen ein. Nun löst man eine de estlichen Gleichung nach eine Vaiablen () auf und setzt das Egebnis (4) in die letzte Gleichung ein. Duch Rückeinsetzten () ehält man eine Lösung fü alle Vaiablen. Ein,-Gleichungssystem entsteht z.b. beim Bestimmen des Funktionstems f x =ax bx c eine Paabel duch Punkte. A(1/1), B(-1/) und C(/) liegen auf eine Paabel. Daaus folgt: I a 1 b 1 c=1 (1) c=1 a b II a 1 b 1 c= () b 1= () b= III a b c= () a b 1= (4) a 1=... aus (4) folgt nun weite: a=1 duch Rückeinsetzten () in b= und c=1 a b folgt f x =1 x x Extemwetpobleme Füht die Suche nach dem Maximum ode Minimum eine Göße auf eine quadatische Funktion, so liefet de Scheitelpunkt de Paabel dieses Extemum. Gisela-Gymnasium München-Schwabing Seite 4/7
Gundwissen Mathematik Jahgangsstufe V. Mehstufige Zufallsexpeimente Zufallsexpeimente, bei denen mehee Teilexpeimente nacheinande ausgefüht weden, bezeichnet man als zusammengesetzte Zufallsexpeimente ode auch als mehstufige Zufallsexpeimente. mehmaliges Ziehen aus eine Une, Wefen zweie Wüfel, Die einzelnen Egebnisse kann man in einem Baumdiagamm dastellen: -maliges Ziehen ohne Zuücklegen aus eine Une mit oten, blauen und günen Kugeln: Baumdiagamm: 4 10 4 b 10 10 g 10 Une: 10 b 10 b 10 10 g 10 g 10 b 10 1 g 10 1 1. Pfadegel Die Wahscheinlichkeit eines Egebnisses ist gleich dem Podukt de Wahscheinlichkeiten auf dem Pfad, de zu dem Egebnis füht. Die 1. Kugel ist ot und die.kugel ist blau. P {b} = 10 = 1 0 = 1 6 Gisela-Gymnasium München-Schwabing Seite /7
Gundwissen Mathematik Jahgangsstufe.Pfadegel Die Wahscheinlichkeit eines Egebnisses ist gleich de Summe de Pfadwahscheinlichkeiten, die zu diesem Eeignis fühen. Eine Kugel ist ot und eine Kugel ist gün P {g ; g} = 10 10 = 1 1 = VI. Tigonometie (Bezeichnungen im Bezug auf den Winkel ) In einem echtwinkligen Deieck liegt die Hypotenuse gegenübe dem echten Winkel, die einem spitzen Winkel gegenübeliegende Kathete Gegenkathete zu diesem Winkel, analog heißt die dem Winkel anliegende Kathete Ankathete. Jedem spitzen Winkel im echtwinkligen Deieck wid ein Seitenvehältnis zugeodnet. Sinus, Kosinus und Tangens: Zusammenhänge: sin = Gegenkathete Hypotenuse (1) tan =sin cos cos = Ankathete Hypotenuse () sin cos =sin cos =1 tan = Gegenkathete Ankathete (a) (b) sin =cos 0 cos =sin 0 Gisela-Gymnasium München-Schwabing Seite 6/7
Gundwissen Mathematik Jahgangsstufe Beechnungen am echtwinkligen Deieck Beispiel (SWS): cos 1 = 4 6,87 sin = b b,00 Ist ein echtwinkliges Deieck duch die Angabe von Seitenlängen und/ode Winkeln eindeutig bestimmt (vgl. Konguenzsätze!), lassen sich alle andeen Seiten und Winkel beechnen! tan 1 = 4 b,1 (viele abweichende Lösungswege sind möglich!) VII. Raumgeometie Pisma: Zylinde: Pyamide: Kegel: Ein geades Pisma ist ein geometische Köpe, de von zwei in paallelen Ebenen liegenden konguenten n-ecken als Gund und Deckfläche sowie von n zu Gund- und Deckfläche senkechten Rechtecken als Seitenflächen begenzt wid. V Pisma =G h O Pisma = G M M ist die Mantelfläche und besteht aus de entspechenden Anzahl von Rechtecken. Ein geade Zylinde ist ein geometische Köpe, de von zwei in paallelen Ebenen liegenden konguenten Keisen als Gund und Deckfläche begenzt wid. V Zylinde =g h= h O Zylinde =G M = h De Mantel ist abgewickelt ein Rechteck mit de Länge (=Umfang des Keises) und de Beite h (Köpehöhe). Eine Pyamide ist ein geometische Köpe, mit einem n-eck als Gundfläche, dessen Seitenflächen Deiecke sind, die alle einen Punkt gemeinsam haben, die Spitze de Pyamide. Die Deiecke bilden die Mantelfläche. De Abstand de Spitze von de Gundfläche heißt Höhe. V Pyamide = 1 G h Pyamide O Pyamide =G M Ein geade Keiskegel ist ein geometische Köpe, de duch die Rotation eines echtwinkligen Deiecks um eine Kathete entsteht. V Kegel = 1 G h = 1 h O Kegel =G M = m mit m= h [m ist die Mantellinie s] Gisela-Gymnasium München-Schwabing Seite 7/7