Keple sche Bahnelemente Siegfied Eggl In de Dynamischen Astonomie ist es üblich, das Vehalten von gavitativ inteagieenden Köpen nicht im katesischen Koodinatensystem zu studieen, sonden die Entwicklung ihe Bahnen in den sogenannten Kepleelementen zu beobachten. Um die Bewegung eines Objekts im deidimensionalen Raum zu bescheiben benötigt man in de Regel 6 Anfangsbedingungen fü die Bewegungsgleichungen. Im katesischen Koodinatensystem sind dies die dei Komponenten des Otsvektos ( 1,, 2, 3 ) und die zugehöigen Geschwindigkeiten (v 1,v 2,v 3 ) = (ṙ 1,ṙ 2,ṙ 3 ). Handelt es sich bei diese Bewegung um eine Tajektoie im Newton schen Gavitationsfeld, kann man 6 Paamete angeben, die die Bahn in Fom eines Kegelschnittes eindeutig bescheiben. Dies hat den Voteil, dass etwa in einem ungestöten Zwei-Köpe-Poblem 5 de 6 Bahnelemente konstant bleiben, wähend sich nu die so genannte Mittlee Anomalie ändet. Natülich ist es möglich mit diese Methode hypebolische ode paabolische Bahnen zu bescheiben, wi wollen uns hie jedoch auf elliptische und somit gebundene Bewegungen 1 beschänken. Diese sechs Paamete lauten wie folgt: a: goße Halbachse de Bahnellipse e: numeische Exzentizität de Bahnellipse (= Halbachse de Bahnellipse dastellt i: Inklination, Neigung de Bahnebene zu Bezugsebene 1 ( b a )2 ), wobei b die kleine ω: Agument de Peiapse, Winkel zwischen de Bezugsebene und dem dem Bennpunkt nächstgelegenen Punkt (längs de Bahn gemessen) Ω: Länge des aufsteigenden Knotens, Winkel in de Bezugsebene zum Schnittpunkt de um i geneigten Bahnebene M: Mittlee Anomalie, Ot des Köpes auf de mittleen Bahn zu einem bestimmten Bezugszeitpunkt (gaukelt eine gleichmäßige Bewegung des Köpes längs seine Bahn vo, die wahe Position wid duch die sogenannte Wahe Anomalie angegeben.) 1 Die dei möglichen Kegelschnitte epäsentieen im Allgemeinen auch die beteiligten Enegien des Köpes im gavitativen System. Ellipsen sind hiebei jene, bei denen die potentielle Enegie des Gavitationsfeldes die kinetische Enegie des betachteten Köpes übesteigt. Dahe kann de Köpe ohne zusätzliche Beschleunigung nicht aus dem Gavitationsfeld entkommen und bleibt gebunden. 1
Abbildung 1: Keple sche Bahnelemente: a, i, ω, Ω Betachtet man meh als zwei inteagieende Köpe, geht de Voteil de Konstanz von fünf Bahnelementen veloen, und es teten Ändeungen in de Fom und de Oientieung de Bahnen, sowie in den Positionen de Himmelsköpe auf deen Bahnen auf. Kepleelemente weden in einem solchen Fall oskulieend also küssend genannt, da sie die tatsächliche Bahn nu in einem Moment widespiegeln. 1 Umwandlung von katesischen Koodinaten in Kepleelemente Zunächst benötigen wi heliozentische Koodinaten! De nächste Ausgangspunkt ist die Enegiegleichung eines Köpes de Masse m im Gavitationsfeld eines Systems de Masse M. G stellt hie die Newton sche Gavitationskonstante da. Haben Geschwindigkeiten v und Ote keine Vektokennzeichnung, so sind sie als Betäge de jeweiligen Gößen gemeint = = 1 2 +2 2 +2 3 Die Enegie (E) ist gegeben duch: E = 1 2 mv2 GMm Leide kommt es hie zu eine etwas unglücklichen standadisieten Nomenklatu,daM nunsowohlfüdiemassedesgesamtsystems,alsauchfüdiemittlee Anomalie vewendet wid. Dahe wid die Masse des Gavitationszentums in (1) 2
m c umbenannt. Fü keisfömige ode elliptische Obits gilt die Relation: E = Gm cm 2a Daaus folgt die Vis-Viva Gleichung, die einen Zusammenhang zwischen de goßen Halbachse de Bahnellipse a und den katesischen Geschwindigkeiten und Otsvektoen hestellt. Diese Gleichung ist unabhängig von de Masse m des Pobeköpes, duch die nach dem Gleichsetzen von Ausduck (1) und (2) dividiet wude. (2) v 2 = Gm c ( 2 1 a ) (3) Da wiedeum das Gauß sche Einheitensystem vewendet weden soll, wid G duch k 2 esetzt und diese in de Zeit vepackt. Nun nomiet man die Geschwindigkeiten auf v = v k m c+m, und fomt (3) so um, dass fü man a den Ausduck a = 2 v 2 (4) ehält. Die Bahnelemente i, Ω können diekt aus dem spezifischen Dehimpuls L (Dehimpuls pe Einheitsmasse) beechnet weden. L = v Die Inklination i egibt sich aus dem Acustanges de Pojektion des Dehimpulsvektos in die xy-ebene zu z-komponente des Dehimpulses: i = atan2(l πxy,l z ) = Atan2( L 2 x +L 2 y,l z ) (5) atan2 ist eine Funktion, die den Acustanges des Quotienten ihe beiden Agumente beechnet, und eine etwaige Quadantenkoektu beücksichtigt. actan ( ) y x x > 0 actan ( y x) +π y 0,x < 0 actan ( y atan2(y, x) = x) π y < 0,x < 0 + π 2 y > 0,x = 0 π 2 y < 0,x = 0 undefined y = 0,x = 0 Da das Agument des Aufsteigenden Knotens imme den Winkel zu Schnittgeaden des Bezugskoodinatensystems mit de Bahnebene anzeigt, folgt: (6) Ω = atan2(l x, L y ) (7) Zusätzlich sollte man beachten, dass fü Ω < 0 Ω+2π gilt. Um nun die (numeische) Exzentizität de Bahn zu bestimmen fühen wi nun den sogenannten Laplace Runge Lenz Vekto ( Z) ein: Z = v L m c +m 3
Diese besitzt nicht nu die wundebae Eigenschaft imme in Richtung des Peizentums zu zeigen, sonden hat auch genau die Länge die de Bahnexzentizität (e) entspicht: e = Z (8) Damit wi uns bei de Bestimmung des Aguments des Peizentums ω nicht mit zu vielen Quadatenkoektuen heumschlagen müssen fühen wi weitee Hilfsgößen ein: N = L z ( L y,l x,0) H = L N N ist hiebei de Knotenvekto, de den Winkel Ω mit de x-achse des Koodinatensystems einschließt. H stellt einen Hilfsvekto da, de Othogonal auf die von L und N aufgespannte Ebene steht. Somit folgt fü ω: ω = atan2( N Z. H, H Z. N) (9) Wiedeum ist zu beachten: ω < 0 ω +2π. Aus de Geometie des Poblems lassen sich nun zwei Relationen ablesen: e cos(e) = (1 a ) e sin(e) =. v a wobei e die numeische Exzentizität und E die exzentische Anomalie (also die tatsächliche Bewegung des Köpes auf de mittleen Bahn) dastellt. Somit lässt sich nun auch E bestimmen. E = atan2(e sin(e),e cos(e)) Die Mittlee Anomalie M egibt sich schließlich aus de Keple-Gleichung: M = E e sin(e) (10) Damit wäen wi eigentlich fetig, zu Vollständigkeit weden wi abe noch die Wahe Anomalie (T), also den tatsächlichen Winkel den de Radiusvekto des Köpes mit Z einschließt, beechnen. ( ) Z. T = accos Z Wobei man fü. v < 0 T duch 2π T esetzen muss. Wie unschwe zu ekennen ist, fallen mittlee und exzentische Anomalie mit de wahen Anomalie zusammen wenn e 0, spich die Bewegung keisfömig wid. Nun könnte auch die Bahnneigung i = 0 sein. Leide sind dann T, ω und Ω nicht meh wohldefiniet, und de Ausgangspunkt fü M könnte willkülich gewählt weden, da es kein eindeutiges Peizentum gibt. Dahe füht man übliche Weise die sogenannte Peihellänge: = ω + Ω sowie die Mittlee Länge: λ = ω + Ω + M ein. Diese Winkel sind imme definiet. Anstelle de wahen Anomalie füht man dann die Wahe Länge l ein, wobei l = accos( x /) und l 2π l falls v x > 0. 4
Abbildung 2: Anomalie-Winkel im Zwei Köpe Poblem, Quelle: Wiki; p ist die tatsächliche Position des Köpes auf seine Bahn um den Bennpunkt s. c ist de Mittelpunkt de Ellipse. M ist die Mittlee Anomalie, E die Exzentische Anomalie, T stellt die Wahe Anomalie da. 2 Umwandlung von Kepleelementen in heliozentische, katesische Koodinaten Die Lösung de tanszendenten Keple-Gleichung (10) wid übe das Newton- Raphson-Iteationsvefahen eeicht, wobei sich die exzentische Anomalie E folgendemaßen bestimmen lässt: E n = E n 1 E n 1 e sin(e n 1 ) M 1 e cos(e n 1 ) n stellt hie den Iteationsindex, und e die Exzentizität da. Nach de Wahl einesbeliebigen,abevenünftiggewähltenstatwetese 0 widsolangeiteiet, bis E n E n 1 unte die gewünschte Abweichung wandet. Nun weden die jeweils 3 Komponenten de Hilfsvektoen P und Q bestimmt: P 1 = cos(ω) cos(ω) sin(ω) sin(ω) cos(i) P 2 = cos(ω) sin(ω)+sin(ω) cos(ω) cos(i) P 3 = sin(ω) sin(i) Q 1 = sin(ω) cos(ω) cos(ω) sin(ω) cos(i) Q 2 = sin(ω) sin(ω)+cos(ω) cos(ω) cos(i) Q 3 = cos(ω) sin(i) Zusammen mit de goßen Halbachse a und de Gesamtmasse des betachteten Systems (m c + m) egibt sich de Zustandsvekto des betachteten Köpes, bestehend aus Otsvekto und dem Geschwindigkeitsvekto v, zu: = a ( P (cos(e) e)+ 1 e 2 Q sin(e)) (11) (mc +m) a v = k ( 1 e 2 cos(e) Q sin(e) P) (12) 5