DL-Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien Bohner Ott Deusch Mathematik für das Berufskolleg Berufliches Gmnasium Jahrgangsstufe Ausführliche Lösungen zu im Buch gekennzeichneten Aufgaben. Auflage 08 ISBN 978--80-0665- Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu 5 a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen. Merkur M Umschlag: Kreis oben: www. adpic.de, Kreis unten: Robert Kneschke Fotolia.com 0665-NRW-DL-Loesungen.indd 0..07 06:56:5
DL-Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien Lehrbuch Seite a) Säulendiagramm: Mit einem Programm erstellt Oder Zeichnen mit z. B. dem Maßstab: cm entspricht (Anzahl der Kunden) b) 0 Zeitabschnitte med = 5 + 6 Anzahl der Kunden 9 8 7 6 5 0 0 5 6 7 9 Zeitabschnitt Geordnete Liste Zeitabschnitt 5... 5 6... 0 Anzahl der Kunden 0... 5 5... 9 ZW = med = 5 + 5 = 5 Anzahl der Kunden Mittelwert = 0 _ = 0 + + +... + 9 = 6 0 =,86 0 _ =,86 5 ZW und _ stimmen nahezu überein. 0665-NRW-DL-Loesungen.indd 0..07 06:56:5
DL-Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien Lehrbuch Seite a) Kurs a: _ =,85 Standardabweichung σ =, Mit Hilfsmittel Kurs b: _ =,7 Standardabweichung σ =, Vergleich ergibt: Kurs a hat besseres Niveau. Die Streuung der Noten in Kurs b ist größer als in Kurs a. Für Kurs b ist noch mehr Übung angesagt b) Beispiel für eine mögliche Verteilung Notenpunkte 5 0 Kurs b 6 0 _ =, Standardabweichung σ =,5 Da die drei "Ausreißer" im Test mehr als 9 Punkte geschrieben haben, könnte sich der Mittelwert der Notenpunkte erhöhen. Die Standardabweichung wurde kleiner. Weniger etreme Werte links und rechts vom Mittelwert (hier weniger als 0 Punkte) führt zu einer kleineren Standardabweichung. c) Große Standardabweichung könnte bedeuten: Hohes Anspruchsniveau der Arbeit oder das Leistungsniveau des Kurses ist sehr unterschiedlich. Kleine Streuung könnte bedeuten: leichte Klassenarbeit oder geringes Anspruchsniveau oder aber homogene Klasse. 0665-NRW-DL-Loesungen.indd 0..07 06:56:5
DL-Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien Lehrbuch Seite 65 a) Geradengleichung: = m + b m = einsetzen = + b Punktprobe mit A(,5):,5 = + b b =,5 Geradengleichung: =,5 6 5 A g b) A ( 6 ) und B (0 ) m = = 0 ( 6) = 6 Geradengleichung: m = 6 einsetzen = m + b = 6 + b Punktprobe mit B(0 ): = 6 0 + b b = Geradengleichung: = 6 + Hinweis: B(0 ) ergibt den -Achsenabschnitt b =. A 7 6 5 B g c) A ( ) und B ( ) m = = ( ) = Geradengleichung: m = einsetzen Punktprobe mit A ): = m + b = + b = ( ) + b b = Geradengleichung: = + A 5 7 6 5 B g 0665-NRW-DL-Loesungen.indd 0..07 06:56:5
DL-Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien 5 Lehrbuch Seite 65 d) - Wert des Punktes P: P = ( ) = 7 P ( 7) und N ( 0) m = 0 ( 7) = ( ) = 7 Geradengleichung: m = 7 einsetzen Punktprobe mit N( 0): Geradengleichung: = m + b = 7 + b 0 = 7 + b b = = 7 h g N 6 P 8 e) Die Gerade von g ist parallel zur -Achse, Steigung von g ist null. -Wert des Geradenpunktes C: =,5 Geradengleichung: =,5 5 C g Lehrbuch Seite 66 a) Ansatz: G() = m + b; in ME und G() in GE Stückgewinn (Gewinn pro ME): m = 75 ( GE ME ) Bei ME erzielt man einen Gewinn von 50 GE, dies entspricht dem Kurvenpunkt P( 50). Gewinnfunktion: Punktprobe mit P( 50): G() = 75 + b 50 = 75 + b b = 00 Gewinnfunktion G mit G() = 75 00 b) Ansatz: G() = 75 75 00 = 75 Produktionsmenge: = 5 Bei einer Produktionsmenge von 5 ME ist der Gewinn 75 GE. 0665-NRW-DL-Loesungen.indd 5 0..07 06:56:5
6 DL-Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien Lehrbuch Seite 70 a) f () =,5 Schnittpunkt mit der -Achse: f() = 0,5 = 0 =,5 =,5 7 = = 7 8 ; N( 7 8 0) Schnittpunkt mit der -Achse: = 0 = f(0) =,5; S (0,5) N 6 8 S f b) f () = 7 Schnittpunkt mit der -Achse: f() = 0 7 = 0 = 7 = 7 6 ; N( 7 6 0) Schnittpunkt mit der -Achse: = 0 = f(0) = 7 ; S 7 (0 ) 5 N S f c) f () = 8 + 5 Schnittpunkt mit der -Achse: f() = 0 8 + 5 = 0 8 + 5 = 0 + 5 = 0 = 5 5 ; N( 0) Schnittpunkt mit der -Achse: = 0 = f(0) = 5 ; S (0 5 ) 5 S N f 0665-NRW-DL-Loesungen.indd 6 0..07 06:56:55
DL-Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien 7 Lehrbuch Seite 70 a) f () = g() + 5 = = 9 = 9 8 9 = g( 8 ) = 9 8 = 7 8 9 Schnittpunkt der Graphen von f und g: S( 8 7 8 ) g f 6 5 b) f () = g() + = + = 5 5 = g( ) = _ 5 + = Schnittpunkt der Graphen von f und g: S( 5 ) g f 6 5 c) f () = g() = 6 + = 6 6 = 8 5 = 8 : ( 5) = 8 5 8 = f( 5 ) = 8 5 = 7 5 Schnittpunkt der Graphen von f und g: S( 8 5 7 5 ) 5 f g 5 0665-NRW-DL-Loesungen.indd 7 0..07 06:56:55
8 DL-Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien Lehrbuch Seite 76 5 a) Steigung: m = 0 = 0,5 0 Punktprobe mit P(0 90) ergibt: b = 50 Nachfragefunktion p N : p N () = 0,5 + 50 Erlösfunktion: E() = p N () E(60) = 0 60 = 700 E(80) = 0 80 = 8800 E(50) = 75 50 = 50 b) Angebotsfunktion p A mit p A () = 0,65 + 5 Gleichsetzen: p N () = p A () 0,5 + 50 = 0,65 + 5 = 00 Gleichgewichtspreis: p A (00) = 00 Marktgleichgewicht: MGG(00 00) Grafisch: 50 00 50 KR PR p A p N 0 0 0 0 60 80 00 0 c) p A (50) = 67,5 Zu diesem Preis in GE/ME wird die Ware angeboten. p N (50) = 5 Diesen Preis ist der Nachfrager bereit zu zahlen. Dieser Preis könnte maimal erzielt werden. d) Flächeninhalt eines Dreiecks: A = g h Konsumentenrente: KR = 00 50 = 500 Produzentenrente: PR = 00 65 = 50 0665-NRW-DL-Loesungen.indd 8 0..07 06:56:56
DL-Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien 9 Lehrbuch Seite 9 a) Gemeinsame Punkte der Graphen von f und g Bedingung: f() = g() 6 + = + 8 6 = 0 Gleichung in Normalform: = 0 p pq-formel: = ( ± p ) q p = ; q = : = ± ( = + = = = -Werte der gemeinsamen Punkte: = g() = + 8 = ) ( ) = ± = g( ) = ( ) + 8 = 0 Gemeinsame Punkte: S ( ); S ( 0) Der Graph von f schneidet den Graphen von g in zwei Punkten. + = ± b) Gemeinsame Punkte der Graphen von f und g Bedingung: f() = g() + = + + = 0 Gleichung in Normalform: + = 0 p pq-formel: = ( ± p ) q p = ; q = ; p = : _ = ± 9 = ± 8 9 D = 8 9 < 0 Die quadratische Gleichung hat keine Lösung. Die Graphen von f und g haben keine gemeinsamen Punkte. 0665-NRW-DL-Loesungen.indd 9 0..07 06:56:56
0 DL-Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien Lehrbuch Seite 9 000 a) Zeichnung 800 600 00 E K b) K () = 6 + + 00; E() = 8,5 00 0 00 G 0 0 60 80 00 K() = E(): Mit Hilfsmittel: Schnittstellen: GS =,; GG = 9,9 Algebraisch K() = E(): 6 + + 00 = 8,5 6 + 8 + 00 = 6 Gleichung in Normalform: 8 + 00 = 0 Lösungen der quadratischen Gleichung: GS =,; GG = 9,9 Die Gewinnzone erstreckt sich von, bis 9,9 Stück. c) G() = E() K() = 8,5 ( 6 + + 00) = 6 + 8 00 Mit Hilfsmittel: Scheitelpunkt der Gewinnkurve S(6 56) Algebraisch, + 9,9 G ma = G( ) = G(6) = 56 Erhöhen sich die Fikosten um mindestens 56 GE, ist kein Gewinn mehr möglich. d) K*() = 6 + + 00; E() = 5,5 K*() = E(), doppelte Lösung = 0 Berührpunkt B(0 0) Es kann verlustfrei produziert werden, wenn 0 Stück produziert und verkauft werden. 0665-NRW-DL-Loesungen.indd 0 0..07 06:56:56
DL-Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien Lehrbuch Seite 00 Bei geeigneter Wahl des Koordinatensstems (siehe Abbildung) verläuft die Gerade durch die Punkte (0 60) und (80 0). Die Gerade hat die Steigung m = 60 80 = Geradengleichung: = 0,75 + 60 Der Eckpunkt P hat die Koordinaten und = 0,75 + 60: P( 0,75 + 60) 60 0 P 0 0 0 0 60 80 Für den Inhalt des Rechtecks gilt: A() = ( 0,75 + 60); 0 < < 80 A wird maimal im Scheitel der zugehörigen Parabel. Mit Hilfsmittel S(0 00) Der maimale Flächeninhalt beträgt 00 m. Ohne Hilfsmittel Die Parabel schneidet die -Achse in = 0 und = 80. Der Inhalt des Rechtecks ist jeweils null. Aus Smmetriegründen gilt also S = 0. Einsetzen ergibt den maimalen Inhalt: A ma = A(0) = 00 Der maimale Flächeninhalt beträgt 00 m. 0665-NRW-DL-Loesungen.indd 0..07 06:56:56
DL-Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien Lehrbuch Seite 0 5 a) Angebotsgerade ist wachsend; Nachfrageparabel ist fallend. 0 8 6 p N 0 0 6 8 0 p A b) Sättigungsmenge: 0 0,0 = 0 = 50 = 5,8 (bzw. 5 0 > 0) Maimaler, ökonomischer Definitionsbereich: D ök = [0; 5 0 ] c) Höchstpreis: p N (0) = 0 Sättigungsmenge: 5 0 Gleichgewichtsmenge: p N () = p A () = 7,59 Marktgleichgewicht: MGG(7,59 7,69) d) Nachfrageüberhang bei 6 GE: p N () = 6 für = 0 p A () = 6 für = 5, Nachfrageüberhang: 0 5, =,67 Angebotsüberhang bei 8 GE: p N () = 8 für = 7,07 p A () = 8 für = 8 Angebotsüberhang: 8 7,07 = 0,9 0 8 6 p N Nachfrageüberhang Angebotsüberhang 0 0 6 8 0 p A e) Ansatz: p* N () = a + b + c p* N (0) = 7; p* N () =,5; p* N (8) = 0 Lösung des zugehörigen LGS: a = 0,065; b =,75; c = 7 Nachfragefunktion: p* N () = 7,75 + 0,065 0665-NRW-DL-Loesungen.indd 0..07 06:56:56
DL-Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien Lehrbuch Seite 8 a) f () = + Schnittpunkte mit der -Achse: f() = 0 + = 0 ( + ) = 0 = 0 Weitere Lösungen für + = 0 f = 6 = ± 6 Schnittpunkte mit der -Achse: N (0 0); N ( 6 0); N ( 6 0) b) f() = 8 + Schnittpunkte mit der -Achse: f() = 0 8 + = 0 ( 8) 6 + 6 = 0 Eine Lösung: = f 5 6 7 Polnomdivision mit ( ): ( 6 + 6) : ( ) = 8 Weitere Lösungen, wenn 8 = 0 Lösung mit der pq-formel: = 5,6; =,6 Schnittpunkte mit der -Achse: N ( 0); N (5,6 0); N (,6 0) c) f () = + Schnittpunkte mit der -Achse: f() = 0 + = 0 Eine Lösung: = f Polnomdivision mit ( ): ( + + ) : ( ) = Weitere Lösungen, wenn = 0 : ( ) + + = 0 D = 5 = < 0 keine weiteren Lösungen Schnittpunkt mit der -Achse: N ( 0) 0665-NRW-DL-Loesungen.indd 0..07 06:56:57
DL-Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien Lehrbuch Seite 8 Schnittstellen berechnen a) Bedingung: f() = g() 0 8 + = 0 + + 0 8 = 0 + 0 5 = + 0 Nullform: 0 = 0 Ausklammern: ( 0) = 0 = 0 Weitere Lösungen, wenn 0 = 0 5,5 0 = 0 Lösungen mit der pq-formel: =,5; = 8 Die Gleichung f() = g() hat drei einfache Lösungen. Die Graphen von f und g schneiden sich in drei Punkten. b) Bedingung: f() = g() + = 0,5,5 = 0 Ausklammern: (,5) = 0 Doppelte Lösung (Berührstelle): = 0 Weitere Lösung, wenn,5 = 0 = 0,75 Die Gleichung f() = g() hat eine doppelte und eine einfache Lösung. Die Graphen von f und g berühren sich in = 0 und schneiden sich in = 0,75. 0665-NRW-DL-Loesungen.indd 0..07 06:56:57
DL-Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien 5 Lehrbuch Seite 8 0 Gesamtkostenfunktion: K() = 6 + + 8; 0 Erlösfunktion: E() = 5 Gewinnfufnktion: G() = + 6 + 8 Schnittpunkte von Gesamtkostenkurve und Erlösgerade: ( 0); (5,6 8,) Hinweis: ökonomisch nicht relevant: (,6,) Break-Even-Punkt: ( 0) Gewinnschwelle ME; Gewinngrenze 5,6 ME Gewinnzone von ME bis 5,6 ME. Gewinnzone: (0; 5,6) 0665-NRW-DL-Loesungen.indd 5 0..07 06:56:57
6 DL-Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien Lehrbuch Seite K() = 0 + 7 + 0 a) degressiv wachsend für etwa kleiner Steigung nimmt ab. progressiv wachsend für etwa größer Steigung nimmt zu. 00 000 800 600 00 00 0 E K Tangente 5 6 7 8 9 0 b) Aus der Zeichnung E() = 00 Stückerlös: p = 00 GE/ME c) K() = E() = 08 (Kostendeckung) Stückerlös: p = 08 = 77 (GE/ME) Erlösfunktion: E() = 77 G() = 0 für GS = ; GG = 8,87 (mit einem Hilfsmittel) d) Die Erlösgerade wird flacher, die Gewinnzone wird kleiner, der größte Gewinn wird kleiner. Bei Gewinnabsicht lässt sich der Verkaufspreis nicht unter etwa 60 GE je ME senken. Der Stückerlös (Steigung der Erlösgeraden) kann gesenkt werden, bis die Erlösgerade Tangente an die Gesamtkostenkurve ist. 0665-NRW-DL-Loesungen.indd 6 0..07 06:56:57
DL-Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien 7 Lehrbuch Seite 5 5 a) E() = + p N () = E() = + Höchstpreis: p N (0) = Sättigungsmenge: p N () = 0 + = 0 = 5,5 Scheitelpunkt der Erlöskurve: Mit Hilfsmittel: S(,75 0,5) Der maimale Erlös beträgt 0,5 GE. Hinweis: S -Wert des Scheitelpunktes: S = 5,5 =,75 b) G() = E() K() = + 8 G() = 0 und G() = 0,67 < 0 Die Gewinnschwelle liegt zwischen und. Die Gewinnzone ist weniger als ME breit. Lehrbuch Seite 7 7 E() = 0 Ansatz: K() = a + b + 0 + 0 K() = 60: 6a + 6b + 80 + 0 = 60 K() = E() = 0: 8a + b + 0 + 0 = 0 Umformung: 6a + 6b = 0 8a + b = 0 Lösungmit Hilfsmittel: a =,5; b = 7,5 Gesamtkostenfunktion K mit K() =,5 7,5 + 0 + 0 0665-NRW-DL-Loesungen.indd 7 0..07 06:56:57
8 DL-Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien Lehrbuch Seite 9 a) LGS in Matrischreibweise: ( 7 7 ) Umformung mit dem Gaußverfahren: 0 ( 5 0 5 ) Dreiecksform: ( 0 5 0 0 0 80 ) + ( ) + ( ) + Letzte Gleichung: 0 = 80 für = Einsetzen von = in die zweite Gleichung + 5 = : + 5 = für = Einsetzen von = und = in die erste Gleichung + = : = für = Das LGS hat die Lösung: = ; = ; = b) LGS in Matrischreibweise: ( 5 ) 5 5 Umformung mit dem Gaußverfahren: 0 ( 8 6 0 6 ) Dreiecksform: 0 8 6 ( 0 0 5 ) ( ) + + + Letzte Gleichung: = 5 für =,5 Einsetzen von =,5 in die zweite Gleichung 8 = 6: 8,5 = 6 für = Einsetzen von =,5 und = in die erste Gleichung + + = 5: +,5 = 5 für = Das LGS hat die Lösung: = ; = ; =,5 0665-NRW-DL-Loesungen.indd 8 0..07 06:56:57
DL-Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien 9 Lehrbuch Seite Ansatz: K() = a + b + c + d P(0 ); Fikosten K() = a + b + c + Punktprobe mit A( 60): a + b + c + = 60 Punktprobe mit B( 80): 7a + 9b + c + = 80 Punktprobe mit C(6 0): 6a + 6b + 6c + = 0 Umformung: a + b + c = 8 7a + 9b + c = 8 6a + 6b + 6c = 78 Lösung des LGS mit GTR/CAS Ergebnis: a = ; b = 0; c = 7 Gesamtkostenfunktion: K() = 0 + 7 + 0665-NRW-DL-Loesungen.indd 9 0..07 06:56:57
0 DL-Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien Lehrbuch Seite 5 b) f() = + = + D ma = R\{0} = R* Schnittpunkt mit der -Achse: f() = 0 Zähler = 0 + = 0 Nullstelle von f: = N( 0) Kein Schnittpunkt mit der -Achse Senkrechte Asmptote: = 0 f Waagrechte Asmptote: = 6 6 e) f() = + = R\{ } D ma Schnittpunkt mit der -Achse: f() = 0 + = 0 = ( + ) + ( + ) = : + = Nullstelle von f: = N( 0) Schnittpunkt mit der -Achse: = 0 = f(0) = (0 ) S Senkrechte Asmptote: = Waagrechte Asmptote: = 8 6 0 8 6 6 8 0 6 8 f 0665-NRW-DL-Loesungen.indd 0 0..07 06:56:58
DL-Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien Lehrbuch Seite 5 a) f() = + = + D ma = R\{0} = R* Senkrechte Asmptote: = 0 Schiefe Asmptote: = 5 6 5 5 6 5 f c) f() = + + D ma = R\{} Senkrechte Asmptote: = Schiefe Asmptote: = + 0 8 6 8 6 6 8 0 6 8 f 0665-NRW-DL-Loesungen.indd 0..07 06:56:58
DL-Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien Lehrbuch Seite 5 a) K() = 8 + 7 + 0 E() = K() = p = = Erlösfunktion: E() = Gewinnfunktion: G() = E() K() G() = 8 + + 8,5 0 Gewinngrenze: G() = 0 Mit Hilfsmittel: Gewinngrenze GG =, Gesamtkosten und Erlös an der Gewinngrenze E(,) = 9, = K(,) G() = E() K() = 0 8 + + 8,5 0 = 0 Mit Hilfsmittel: = 6 = 0 b) Stückkosten k() = K() = 8 + 7 + 0 k() = k() = Lösung mit Hilfsmittel: =, Gewinngrenze Hinweis: Für einen konstanten Stückpreis p gilt: Die Stückkosten in der Gewinngrenze stimmen mit den Stückkosten in der Gewinnschwelle überein. c) variable Stückkosten: k v () = 8 + 7 Bedingung: k v () < 0 k v () = 0 für =,5 Ergebnis: : k v () < 0 für 0 < <,5 0665-NRW-DL-Loesungen.indd 0..07 06:56:58
DL-Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien Lehrbuch Seite 5 a) Ökonomisch sinnvoller Definitionsbereich der Nachfragefunktion p N mit p N () = 5900 60. + 70 p N () = 0 = 95 = 95 ist Nullstelle von p N D ök = [0; 95] Die Sättigungsmenge ist 95 ME (Nullstelle von p N ). Der Höchstpreis beträgt ca.,5 GE/ME, da p N (0),5. b) Marktgleichgewicht: p N () = p A () MGG(9, 5,9) Lehrbuch Seite 57 5 Produktivität: p() = P() = 0, + 0,8 + 0,; 0 < 7 Die maimale Produktivität wird im Scheitelpunkt erreicht. Scheitelpunkt des Schaubildes von p: S(,7) Die maimale Produktivität beträgt,7 Tonnen Weizen pro Zentner Düngemittel. Hinweis: Bestimmung des Scheitelpunkts ohne Hilfsmittel S -Wert: S = + = 0 + 8 = 8 = S -Wert: S = p() =,7 Scheitelpunkt: S(,7) 0665-NRW-DL-Loesungen.indd 0..07 06:56:58
DL-Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien Lehrbuch Seite 85 Reale Situation: In einem See von der Größe 8 ha wachsen Seerosen. Reales Modell Die bedeckte Fläche nimmt wöchentlich um 0% zu. Anfangs sind 50 m der Oberfläche bedeckt. Annahme: Die Zunahme erfolgt eponentiell. Die bedeckte Fläche nach t Wochen (t = 0 entspricht dem Beginn der Messung) soll durch eine Funktion beschrieben werden. Mathematisches Modell: B(0) = 50; B(t): bedeckte Fläche in m Mit a =,0 ergibt sich: B(t) = 50,0 t Dieser Funktionsterm beschreibt die bedeckte Fläche in Abhängigkeit von der Zeit t. Schreibweise mit e-basis Mit,0 = e ln(,0) = e 0,6 : B(t) = 50 e 0,6t Mathematische Lösung: B(t) = 80000 50,0 t = 80000,0 t = 5, Logarithmieren: ln(,0) t = ln(5,) t =,9 Bewertung: Die Wasserrose bedeckt die gesamte Fläche nach ca. Wochen. Eponentielles Wachstum ist also nur in den ersten Wochen möglich. 0665-NRW-DL-Loesungen.indd 0..07 06:56:58
DL-Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien 5 Lehrbuch Seite 9 a) E() = + Mittlere Änderungsrate auf [0; ]: = E() E(0) = 0 0 =,5 Mittlerer Erlöszuwachs,5 GE/ME b) Punkte P( ) und Q(,5) Steigung der Geraden: m = =,5 = 0,75 5 Gleichung der Geraden durch P und Q: = 0,75 +,5 Mittlere Erlösabnahme 0,75 GE/ME 0 E 5 6 c) Momentane Änderungsrate von E an der Stelle = : [; ] [;,] [;,0] [;,00] Tabelle = 0, 0,0 0,00 f( ) f() 0,075 0,0075 0,00075 Die mittlere Änderungsrate strebt gegen 0. Die Tangente an der Stelle = hat die Steigung 0 (waagrechte Tangente). Momentane Erlösänderung 0 GE/ME 0665-NRW-DL-Loesungen.indd 5 0..07 06:56:58
6 DL-Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien Lehrbuch Seite 98 a) f () = + 5 f () = 6 b) f () = 8 + 6 f () = 6 + 6 c) E () = 6 E () = 8 d) f () = 6 + 0 f () = 8 + 0 e) f () = 9 8 f () = 9 6 + f) K () = 50 ( 60 + 800) K () = (6 60) 50 a) Grenzkostenfunktion: K () = + Stückkostenfunktion: k() = 6 + + 8 Grenzstückkostenfunktion: k () = 6 8 variable Stückkostenfunktion: k v () = 6 + variable Grenzstückkostenfunktion: k v () = 6 Grenzerlösfunktion: E () =, (= Stückpreis) Gewinnfunktion: G() = + 6 0,8 8 Grenzgewinnfunktion: G () = + 0,8 b) K () = 6 ; K () = 0 0665-NRW-DL-Loesungen.indd 6 0..07 06:56:58
DL-Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien 7 Lehrbuch Seite 0 f() = + ; f () = + Tangente in A(0 0) Steigung in A: m = f (0) = 0 Die Tangente hat die Steigung null und verläuft durch den Ursprung. Tangentgengleichung: = 0 Tangente in B( 5 ) Steigung in B: Geradengleichung: Einsetzen von m = 9 : m = f () = + = 9 = m + b = 9 + b Punktprobe mit B( 5 ): 5 = 9 + b 9 = b Tangentengleichung: = 9 Tangente in C ( 7 ) Steigung in C: m = f ( ) = ( ) + ( ) Geradengleichung: = = 5 = m + b Einsetzen von m = 5 : = 5 + b Punktprobe mit C ( 7 ): 7 = 5 ( ) + b 7 = 5 + b 5 = b Tangentengleichung: = 5 0665-NRW-DL-Loesungen.indd 7 0..07 06:56:58