I"., ' '--. _... DIFFERENTIALGLEICHUNGEN i. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN VON DR.E.KAMKE f EHEMALS O. PROFESSOR AN DER UNIVERSITÄT TÜBINGEN MIT 38 FIGUREN 6. AUFLAGE, UNVERÄNDERTER NACHDRUCK DER 5. AUFLAGE LEIPZIG 1969 AKADEMISCHE VERLAGSGESELLSCHAFT GEEST & PORTIG K.-G.
Inhalt. Einleitung 1 Erster Abschnitt: Spezielle Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung. I. Explizite Differentialgleichungen. 11. Die Differentialgleichung y' = f(x)g(y). 1. Der Sonderfall g(y) = 1, 5 2. Der Sonderfall f(x) sl 7 3. Bezeichnungen 9 4. Die allgemeine Gleichung y' = f(x)g(y) 11 5. Beispiele und Aufgaben 13 6. Weitere Beispiele 14 7. Verlauf der Integralkurve für g(y) -» 0 bei y c oder y d 16 8. Befreiung von der Einschränkung g(y) 4= 0 18 2. Die Differentialgleichung y> -f{^~s~~) 9. Die Gleichung y' =f(ax + By + C) 21 10. Die homogene Gleichung 23 11. Trajektorien einer Kurvenschar. Beispiel. Aufgaben 24 12. Die allgemeine Gleichung 27 13. Aufgaben 28 3. Die lineare Differentialgleichung. 14. Das Richtungsfeld 29 15. Die homogene lineare Gleichung 30 16. Die allgemeine Gleichung 31 17. Beziehungen zwischen den Integralen 33 18. Beispiel und Aufgaben 33 4. Die Bernoulli- und die Riccati-Differentialgleichung. 19. Die BernoulU-Differentialgleichung 35 20. Die spezielle Riccati-Differentialgleichung 36 21. Die allgemeine Riccati-Gleichung 39 22. Fortsetzung: Eigenschaften der Integrale 41 23. Aufgaben 43
vin Inhalt. 5. Die exakte Differentialgleichung und der Multiplikator oder integrierende Faktor. 24. Die exakte Differentialgleichung 43 25. Bestimmung der Stammfunktion; Beispiele 44 26. Der Multiplikator oder integrierende Faktor 46 27. Beispiel und Aufgaben 47 II. Implizite Differentialgleichungen. 6. Einige spezielle Typen von impliziten Differentialgleichungen. 28. Die Gleichung x = g(y') 49 29. Die Gleichung y - g{y') 50 30. Die Clairaut-Differentialgleichung 51 31. Zusätze und Beispiele 55 32. Die d'alembert-differentialgleiehung 56 33. Beispiel 59 34. Das Prinzip der Integration durch Differentiation 59 35. Die Legendre-Transformation 61 7. Die allgemeine implizite Differentialgleichung. 36. Reguläre und singulare Linienelemente einer Differentialgleichung 63 37. Bedingungen für Begularität und Singularität von Linienelementen 64 38. Diskriminantenkurve und singulare Integrale 66 39. Aufgaben 68 Zweiter Abschnitt: Explizite Differentialgleichungen erster Ordnung. III. Die allgemeinen Systeme von n expliziten Differentialgleichungen erster Ordnung für n Funktionen. 8. Existenzsätze. 40. Vektoren und Punkte im n-dimensionalen Baum 68 41. Geometrische Deutung des Differentialgleichungssystems und seiner Integrale 72 42. Die Lipschitz-Bedingung 73 43. Das Iterationsverfahren und der Existenzsatz von PICARD-LINDELÖF 74 44. Beispiele und Aufgaben 77 45. Existenzsatz für analytische Funktionen 79 46. Zusätze. Aufgaben 81 47. Die geometrische Grundlage des Beweisansatzes von PEANO 82 48. Zwei Hilfssätze über Funktionenfolgen 83 49. Der Existenzsatz von PEANO 85 50. Zusätze. Aufgabe 86 9. Näherungsverfahren zur Lösung der Differentialgleichung 51. Zeichnerische Verfahren 89 52. Rechnerische Verfahren 91 10. Über den Verlauf der Integralkurven. 53. Vorbemerkungen 97 54. Fortsetzbarkeit von Kurven 99 55. Über die Menge der Integralkurven, die von einem Punkt ausgehen 101
Inhalt. 11. Eindeutigkeitssätze einfacher Art. 56. Vorbemerkungen 102 57. Ein erster Eindeutigkeitssatz nebst Folgerungen 103 12. Differential-Ungleichungen. Abschätzungssätze. 58. Zwei grundlegende Abschätzungssätze 105 59. lineare Differential-Ungleichungen 108 60. Abschätzungen bei erfüllter Lipschitz-Bedingung 110 13. Über die Abhängigkeit der Integrale von der rechten der Differentialgleichung und von den Anfangsbedingungen. 61. Ein Hilfssatz 112 62. Der Limessatz 114 63. Der Stetigkeitssatz 116 14. Weitere Untersuchung der charakteristischen Funktionen. 64. Vorbemerkungen 117 65. Die Differenzierbarkeit der charakteristischen Funktionen 118 66. Die Differenzierbarkeit nach Parametern 121 67. Die r-malige Differenzierbarkeit 124 15. Maximal- und Minimalintegral. Differential-Ungleichungen. Eindeutigkeitssätze. 68. Maximal- und Minimalintegral 125 69. Differential-Ungleichungen 129 70. Eindeutigkeitssätze 131 IV. Lineare Systeme. 16. Die allgemeine lineare Differentialgleichung. 71. Definitionen. Der Existenzsatz 134 72. Einige einfache Bemerkungen über die Integrale der linearen Differentialgleichung 137 73. Integralbasis einer homogenen Differentialgleichung 140 74. Lösung der unhomogenen Differentialgleichung 142 75. Über die Reduktion einer homogenen Differentialgleichung 143 76. Beispiel und Aufgaben 145 17. Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. 77. Vorbemerkungen 146 78. Fortführung des Lösungsverfahrens für mehrfache Eigenwerte 148 79. Vollständige Lösung der homogenen Differentialgleichung 151 80. Gewinnung einer reellen Integralbasis 154 81. Zusätze, Beispiele und Aufgaben 155 Dritter Abschnitt: Differentialgleichungen n-ter Ordnung. V. Allgemeines über die Differentialgleichung n-ter Ordnung. 18. Existenz- und Eindeutigkeitssätze. 82. Der Zusammenhang mit den Systemen erster Ordnung 157 IX
X Inhalt. 83. Existenz- und Eindeutigkeitssätze 158 84. Über die Fortsetzbarkeit der Integralkurven 158 19. Beispiele von elementar integrierbaren und reduzierbaren Differentialgleichungen. Das Auftreten von Bandwertaufgaben. 86. Die Differentialgleichung y" - f(x) in Verbindung mit einer Bandwertaufgabe 160 86. Die Differentialgleichung y" =f(x, y') 162 87. Die Differentialgleichung y" =f(y) 163 88. Einige weitere Differentialgleichungen, die sich auf solche niedrigerer Ordnung zurückführen lassen 165 VI. Die lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung. 20. Die allgemeine lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung. 89. Definitionen. Existenzsatz 167 90. Einige einfache Bemerkungen über die Lösungen der linearen Differentialgleichung 168 91. Die Integralbasis einer homogenen Differentialgleichung 171 92. Lösung der unhomogenen Differentialgleichung 174 93. Über die Reduktion der homogenen Differentialgleichung 175 94. Beseitigung des zweithöchsten Gliedes 177 95. Beispiel. Aufgabe 179 21. Die lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. 96. Hilfssätze über lineare Differentialausdrücke 180 97. Integration der homogenen Differentialgleichung 182 98. Die reellen Integrale der homogenen Differentialgleichung 184 99. Die Sohwingungsgleichung. Aufgaben 185 100. Ausdehnung des Lösungsverfahrens auf unhomogene Gleichungen 187 101. Einige besondere Typen von unhomogenen Differentialgleichungen 191 102. Die Euler-Gleichung 193 103. Beispiele. Aufgaben 194 104. Ergänzende Bemerkungen über Systeme linearer Differentialgleichungen 196 VII. Differentialgleichungen mit singulären Stellen. 22. Die lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung mit einer schwach singulären Stelle. 105. Vorbemerkungen über singulare Stellen 200 106. Bessel-, hypergeometrische und Legendre-Differentialgleiohungen 203 107. Transformation der Differentialgleichung mit einer schwach singulären Stelle und formale Lösung 207 108. Konvergenzbeweis 210 109. Nachweis einer Integralbasis. Zusatz zu dem Konverganzbereich 213 110. Bessel-Differentialgleichung; Fortsetzung 215 111. Oszillations- und Amplitudensatz, insbesondere für Bessel-Funktionen... 217
Inhalt. 23. Systeme linearer Differentialgleichungen mit einer schwach singulären Stelle. 112. Formale Lösung 219 113. Konvergenzbeweis 222 114. Nachweis einer Integralbasis 224 Vierter Abschnitt: Rand- und Eigenwertaufgaben. 115. Einleitung 225 VIII. Randwertaufgaben. 24. Vorbemerkungen über die Lösbarkeit der Bandwertaufgabe. 116. Bezeichnungen und allgemeine Vorbemerkungen 228 117. Kriterium für die Lösbarkeit einer Bandwertaufgabe 230 25. Adjungierte Bandwertaufgabe. Selbstadjungierte Bandwertaufgabe. 118. Formel von DIRICHLET 231 119. Adjungierter und bilinearer Differentialausdruck. Formeln von LAGRANGE und GREEN 232 120. Adjungierte Bandwertaufgabe 235 121. Selbstadjungierte Bandwertaufgabe 242 26. Die Green-Funktion und ihre Verwendung zur Lösung unhomogener Bandwertaufgaben. 122. Grundlösung 245 123. Bedeutung der Grundlösung 246 124. Green-Funktion 248 125. Green-Funktion der adjungierten Bandwertaufgabe 251 IX. Randwertaufgaben mit Parametern. Eigenwertaufgaben. 27. Die allgemeine Eigenwertaufgabe. 126. Voraussetzungen und Vorbemerkungen 252 127. Charakteristische Determinante A (A) und Eigenwerte 253 128. Besolvente 255 129. Beispiele 257 130. Adjungierte Eigenwertaufgabe 259 131. Ein Limes der Besolvente 260 28. Normale Eigenwertaufgaben. 132. Ein Hilfssatz über die Biorthogonalisierung von Funktionen 264 133. Besiduum der Besolvente 265 134. Normale Eigenwertaufgabe 266 135. Ein zweites Kriterium für normale Eigenwertaufgaben 267 29. Voll-lineare Eigenwertaufgaben. 136. Definition der voll-linearen Eigenwertaufgaben 269 137. Biorthogonalität von Eigenfunktionen 271 138. Maximales Biorthogonalsystem von Eigenfunktionen 271 XI