Quantenelektrodynamik mit supraleitenden Schaltkreisen I

Quantenelektrodynamik mit supraleitenden Schaltkreisen I Hauptseminar: Physik des Quantencomputers Iris Conradi 0 03. 07. 12 Iris Conradi - Quantenelektrodynamik mit supraleitenden Schaltkreisen I KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu

Gliederung Cavity QED: Quantenoptik Atom in einem Resonator Eigenzustände des Jaynes-Cummings Hamilton Operators kein Detuning ( = 0) dispersiv (g/ 1) Circuit QED Experiment Vorteile 1 Qubit Gatter Bit-flip Gatter Phase Gatter 2 Qubit Gatter Hamiltonoperator Experiment Zusammenfassung 1 03. 07. 12 Iris Conradi - Quantenelektrodynamik mit supraleitenden Schaltkreisen I Motivation: Ein Qubit als Zweizustandssystem ähnelt einem Atom. Atom im Resonator: Wechselwirkung Frage: Was passiert mit einem Qubit in einem Resonator?

Cavity QED: Quantenoptik Atom in einem Resonator [Blais et al., 2004] ( H = ħω r a a + 1 ) + ħω ( ) a 2 2 σ z + ħg a σ + σ + a + H κ + H γ (1) ohne Dämpfung: Jaynes-Cummings-Hamiltonoperator 2 03. 07. 12 Iris Conradi - Quantenelektrodynamik mit supraleitenden Schaltkreisen I Resonator Resonanzfrequenz ω r (nur eine Mode!) Atom Zweizustandssystem, ω a Kopplung Stärke g ( Dipolmoment des Atoms und elektrischem Feld der Photonen), Atom anregen dafür Photon weg und andersrum Starke Kopplung g κ, γ κ Resonator kann Photonen verlieren, Rate κ γ angeregtes Atom fällt in GZ ohne Photon zu emmitieren oder andere Frequenz, Rate γ ohne Dämpfung: Jaynes-Cummings

Cavity QED: Quantenoptik Eigenzustände des Jaynes-Cummings Hamilton Operators GZ = g, 0 (2) +, n + 1 = cos θ n e, n + sin θ n g, n + 1 (3), n + 1 = sin θ n e, n + cos θ n g, n + 1 (4) E ±,n+1 = (n + 1)ħω r ± ħ 2 4g 2 (n + 1) + 2 (5). 3 2. 2 1 E GZ = ħ 2 (6) 1 0 = ω a ω r θ n = 1 2 arctan ( 2g ) n + 1 (7) 0 g e 3 03. 07. 12 Iris Conradi - Quantenelektrodynamik mit supraleitenden Schaltkreisen I Eigenzustände Mischung aus Atom angeregt mit n Phontonen und Atom in GZ mit n+1 Photonen in Abbildung: Eigenenergien ohne Kopplung (mit leichtem Detuning) GZ bleibt GZ, aber angeregte auf (etwa) einer Ebene geben gemischt (symmetrisch und antisymmetrisch) die neuen angeregten Zustände Eigenenergien Der Vollständigkeit halber... Detuning θ n Mischungswinkel

Cavity QED: Quantenoptik kein Detuning ( = 0) tan (2θ n ) = sin θ n = cos θ n = 1 2 (8) ±, 1 = 1 2 ( g, 1 ± e, 0 ) (9) ψ(t) = 1 2 ( +, 1 e igt, 1 e igt) (10) [Blais et al., 2004] Anregung wechselt zwischen Atom und Resonator 4 03. 07. 12 Iris Conradi - Quantenelektrodynamik mit supraleitenden Schaltkreisen I kein Detuning: Resonator in Resonanz mit Atom Energielevels des unegkoppelten entartet Mischungswinkel festgelegt Zustände: maximale Verschränkung nur eine Anregung betrachten wenn man ein angeregtes Atom hat e, 0 : Zustand ist Kombination aus ±, 1, Zeitentwicklung angegeben für 2gt = π hat man g, 1 Vakuum-Rabi-Oszillation (Frequenz g) (nur wenn Kopplung stark g κ, γ) Anregung wechselt zwischen Atom und Resonator

Cavity QED: Quantenoptik dispersiv (g/ 1) arctan x x für x 1 (11) sin θ n g, cos θ n 1 (12), 1 g e, 0 + g, 1 (13) +, 1 e, 0 + g g, 1 (14) [Blais et al., 2004] Anregung wechselt nicht zwischen Atom und Resonator 5 03. 07. 12 Iris Conradi - Quantenelektrodynamik mit supraleitenden Schaltkreisen I dispersiv: sehr großes Detuning in Abbidung: ungekoppelt plus gekoppelt (lang gestrichelte Linien) Eigenzustände sind die ungekoppelten Zustände plus kleine Korrekturen Anregung wechselt nicht zwischen Atom und Resonator

Cavity QED: Quantenoptik dispersiv (g/ 1) unitäre Transformation ( g ) U = exp (aσ + a σ ) (15) bis zur zweiten Ordnung in g ergibt ( ( )) UHU ħω r a ħωa a + 2 + ħ g2 1 2 + a a σ z (16) [Blais et al., 2004] 6 03. 07. 12 Iris Conradi - Quantenelektrodynamik mit supraleitenden Schaltkreisen I dispersiv: kein Austausch der Anregungen: durch unitäre Transformation bis zweiter Ordnung wird Hamilton genähert unter Ausnutzung von (g/ 1) (nur UHU weil die Transformation nicht von der Zeit abhängt) also ist die Kopplung durch Austausch nicht mehr drin aber Veränderung der Frequenz des Atoms Lamb-Shift der Term ħg 2 /2 Stark-Shift der Term (ħg 2 / )a a hängt ab von der Population des Resonators (Anzahl Photonen) ( Kopplung... ) Energien Null Photonen Photonen Verschiebung um ±Lambshift Verschiebung um ± Kombination aus Lambshift und entprechendem Starkshift

Circuit QED Out Transmissionline cavity Cooper-pair box atom 10 µm [Schoelkopf and Girvin, 2008] H Q = 2E C (1 2N g ) σ z E J 2 cos ( H R = ħω r a a + 1 ) 2 ( πφext Φ 0 ) σ x mit N g = C g 2e V g (17) (18) Kopplung: V g = Vg dc ħωr + cl (a + a) (19) 7 03. 07. 12 Iris Conradi - Quantenelektrodynamik mit supraleitenden Schaltkreisen I Neuer Abschnitt: Jetzt ersetzen wir Atom durch Qubit und verwenden einen 1D Wellenleiter innere Länge: Wellenlänge zu ω r Eingang, Ausgang kapazitiv gekoppelt Ground Potential außen Qubits an Extrema der stehenden Welle Qubit: Cooper-Pair-Box mit einem Ring aus zwei Junctions an Stelle der einen Junction man kann dadurch den σ x Term steuern, den anderen sowieso über die Gate-Spannung heute mit Transmons Resonator: harm. Oszi Kopplung: Potential auf Insel: angelegte Gatespannung und durch Feld im Resonator (L: Länge des Resonators, c: Kapazität pro Länge)

Rechnung... Jaynes-Cummings Form

Circuit QED ( H = ħω r a a + 1 ) + ħω ( ) a 2 2 σ z + ħg a σ + σ + a (20) mit g = e C g ħωr C Σ cl sin θ 1 ħ (21) ω a = 1 ħ ( EJ cos πφ ext Φ 0 ) 2 + ( 4E C (1 2N dc g ) ) 2 (22) 9 03. 07. 12 Iris Conradi - Quantenelektrodynamik mit supraleitenden Schaltkreisen I Jaynes-Cummings!

Circuit QED Experiment [Wallraff et al., 2004] [Wallraff et al., 2004] 10 03. 07. 12 Iris Conradi - Quantenelektrodynamik mit supraleitenden Schaltkreisen I Links: a: gesamtes System: Resonator, Anschlüsse, Cooper-Pair-box b: kapazitive Kopplung zu Eingang und Ausgang c: Cooper-Pair-box (blau) zwischen Ground und mittlerem Leiter (jeweils beige) Länge des Resonators: 24mm Rechts: = 0 (rot gestrichelte Linie: berechnetes Ergebnis für g = 0) man kann also starke Kopplung erreichen (Linienbreite bei = 0 ist durch κ+γ 2 gegeben. Wenn starke Kopplung, dann kann man das Splitting auflösen) In den neueren Experimenten wird größeres Splitting erreicht (Fink 2008) in Fink 2008 auch das Splitting für höhere Photonen Zustände gemessen um n Abhängigkeit nachzuweisen

Circuit QED Vorteile starke Kopplung feste Position Rauschfilter [Blais et al., 2004] Transmissionline cavity Out Cooper-pair box atom 10 µm [Schoelkopf and Girvin, 2008] 11 03. 07. 12 Iris Conradi - Quantenelektrodynamik mit supraleitenden Schaltkreisen I Starke Kopplung viel leichter erreichbar als im Fall des Atoms, wichtig für Quanteninformation weil Information mehrfach zwischen Resonator und Qubit ausgetauscht werden kann, bevor sie verloren geht. Atome bewegen sich im Resonator oder fallen nur durch. Qubit ist fest feste Feldstärke etc. Umgebungsrauschen koppelt nicht direkt an Qubit sondern nur über Resonator, andere Frequenzen als ω r haben aber nur einen Effekt, wenn sie mit großen Feldstärken verbunden sind.

1 Qubit Gatter Dispersives Regime (g/ 1): definiere ( ( )) H = ħω r a ħωa a + 2 + ħ g2 1 2 + a a σ z (23) ω a = ω a + χ mit χ = g2 (24) sodass ( ) ħ H = ħω r a ωa a + 2 + ħ g2 a a σ z (25) 12 03. 07. 12 Iris Conradi - Quantenelektrodynamik mit supraleitenden Schaltkreisen I Arbeit in dispersivem Regime also großes Detuning zwischen Resonator und Atom Warum?: kein Austausch der Anregungen, denn man will die Anregung im Qubit halten um daran Operationen durchzuführen nur selten Photonen im Resonator: können auch nicht verloren gehen Lamb Shift: neue Frequenz ω a man kann ein treibendes Feld anlegen um Gatter zu realisieren das dann weit weg von Resonatorfrequenz und daher mit hoher Feldstärke kann man daher als klassisches Feld betrachten mittlere Photonenzahl Null: a a Term vernachlässigen

1 Qubit Gatter Bit-flip Gatter treibendes Feld: ω d ω a, Amplitude ε wobei H = ħ a 2 σ z + ħω R 2 σ x (26) a = ω a ω d ω a = ω a + χ (27) H ρ χ = g2 Ω R = 2 εg r r = ω r ω d (28) [Wendin and Shumeiko, 2005] 13 03. 07. 12 Iris Conradi - Quantenelektrodynamik mit supraleitenden Schaltkreisen I treibendes Feld über Eingang, dass in Resonanz mit dem Qubit ist Atom mit klassischem Feld in Resonanz treiben Rabi-Oszillation denn a ist fast Null (da χ sehr klein ist, weil dispersiv) man erhält den Hamilton durch Transformation in ein Bezugssytem, das mit ω d rotiert Rotationen um die x-achse der Blochkugel (Rate Ω R ) Durch variieren von a und Ω R können auch alle andere Rotationen erreicht werden. Mehrere Qubits: wenn die Qubits verschiedene Frequenzen ω a haben, kann man sie einzeln über die Einstellung von ω d ansteuern. Man kann sie sogar gleichzeitig rotieren lassen.

1 Qubit Gatter Phase Gatter treibendes Feld: ω d = ω a, Amplitude ε wobei H = 1 2 ( a + 1 2 Ω 2 R a ) σ z (29) a = ω a ω d ω a = ω a + χ (30) χ = g2 Ω R = 2 εg r r = ω r ω d (31) [Wendin and Shumeiko, 2005] 14 03. 07. 12 Iris Conradi - Quantenelektrodynamik mit supraleitenden Schaltkreisen I treibendes Feld über Eingang, dass nicht in Resonanz mit dem Qubit ist (keine Übergänge im Qubit, a und a sind groß gegen 1) r ist immer noch groß (keine Photonen im Resonator) letzter Term: Stark Shift Rotationen um die z-achse der Blochkugel Bemerkung: Rate: 2g n Ω R 2 a, Ω R 2 a muss klein sein, damit es keine echten Übergänge gibt, mittlere Photonenzahl und Kopplung kann variiert werden Mehrere Qubits: wenn man bestimmte Qubits treibt (Bit-flip-Gatter), dann erhalten die anderen einen Stark-Shift

2 Qubit Gatter Hamiltonoperator H = ħω r a ħ ω aj a + 2 σ z j + g 1g 2 ( 1 + 2 ) (σ +1 σ 2 + σ 1 σ +2 ) (32) 2 j=1,2 1 2 iswap-gatter nach t = π 1 2 2g 1 g 2 ( 1 + 2 ) 1 0 0 0 U iswap = 0 1/ 2 i/ 2 0 0 i/ 2 1/ 2 0 0 0 0 1 Excited state population 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Time (µs) [Blais et al., 2007] 15 03. 07. 12 Iris Conradi - Quantenelektrodynamik mit supraleitenden Schaltkreisen I auch in dispersivem Regime (keine Photonen vorhanden) Hamilton für disperisves Regime durch Transformation erhalten (Näherung weil nur bis zweite Ordnung in g), jetzt den Hamilton für zwei Qubits entsprechend Transformieren die Kopplung ist nur noch zwischen den Qubits (durch virtuelle Photonen) iswap-gatter mit den Rotationen: universelles Set von Quanten-Gattern Wie schaltet man das Gatter an? wenn ω aj sehr verschieden: Energieerhaltung verbietet den SWAP durch Fluss durch die Qubits kann man die Frequenzen separat steuern: bei Cooper-Pair-box schlecht wegen Dephasing, geht aber bei Transmons Problem: Rate: wie g2, also langsam. Man kann von dispersivem Regime weggehen, dann wird es schneller, aber dann kann es unerwünschte Verschränkungen mit den Photonen im Resonator geben Mehrere Qubits: man kann sie paarweise gleichzeitig verschränken oder auch mehr als 2 Qubits miteinander verschränken Abb: Simulation, zwei Qubits, nach 0.1: driving an, gestrichelt: mit Dämpfung

2 Qubit Gatter Experiment [Majer et al., 2007] [Majer et al., 2007] 16 03. 07. 12 Iris Conradi - Quantenelektrodynamik mit supraleitenden Schaltkreisen I Links: oben: Schaltung (Resonator mit zwei Transmons; pink: kapazitive Kopplungen) mitte: Mikroskopaufnahme der Schaltung unten links: Transmon Rechts: dispersiv Kopplung der Zustände mit jeweils einem angeregten und einem nichtangeregten Qubit über ein virtuelles Photon (letzter Term im Hamilton) diese Wechselwirkung führt zu einer Aufspaltung der entarteten Energieniveaus

2 Qubit Gatter Experiment 6.6 b > > c Frequency (GHz) 6.5 > Dark state > > + > 0.460 0.465 0.460 0.465 Magnetic field (G) [Majer et al., 2007] 17 03. 07. 12 Iris Conradi - Quantenelektrodynamik mit supraleitenden Schaltkreisen I Levelaufspaltung aufgrund der Kopplung der beiden Zustände links Messung, rechts Simulation

Zusammenfassung Out bekannt aus Quantenoptik Herstellung universelles Set von Quantengattern experimentell realisiert 10 µm Transmissionline cavity Cooper-pair box atom [Schoelkopf and Girvin, 2008] 18 03. 07. 12 Iris Conradi - Quantenelektrodynamik mit supraleitenden Schaltkreisen I System in Quantenoptik schon sehr genau untersucht Herstellungs Technologien schon erprobt (IC-Herstellung) universelles Set von Quantengattern (Rotationen und Verschränkung durch SWAP) lässt sich experimentell realisieren

Literatur I [Blais et al., 2007] Blais, A., Gambetta, J., Wallraff, A., Schuster, D., Girvin, S., Devoret, M., and Schoelkopf, R. (2007). Quantum-information processing with circuit quantum electrodynamics. Physical Review A, 75(3):032329. [Blais et al., 2004] Blais, A., Huang, R., Wallraff, A., Girvin, S., and Schoelkopf, R. (2004). Cavity quantum electrodynamics for superconducting electrical circuits: An architecture for quantum computation. Physical Review A, 69(6):062320. [Fink et al., 2008] Fink, J., Göppl, M., Baur, M., Bianchetti, R., Leek, P., Blais, A., and Wallraff, A. (2008). Climbing the jaynes cummings ladder and observing its nonlinearity in a cavity qed system. Nature, 454(7202):315 318. 19 03. 07. 12 Iris Conradi - Quantenelektrodynamik mit supraleitenden Schaltkreisen I

Literatur II [Majer et al., 2007] Majer, J., Chow, J., Gambetta, J., Koch, J., Johnson, B., Schreier, J., Frunzio, L., Schuster, D., Houck, A., Wallraff, A., et al. (2007). Coupling superconducting qubits via a cavity bus. Nature, 449(7161):443 447. [Schoelkopf and Girvin, 2008] Schoelkopf, R. and Girvin, S. (2008). Wiring up quantum systems. Nature, 451(7179):664 669. [Wallraff et al., 2004] Wallraff, A., Schuster, D., Blais, A., Frunzio, L., Huang, R., Majer, J., Kumar, S., Girvin, S., and Schoelkopf, R. (2004). Strong coupling of a single photon to a superconducting qubit using circuit quantum electrodynamics. Nature, 431(7005):162 167. [Wendin and Shumeiko, 2005] Wendin, G. and Shumeiko, V. S. (2005). Superconducting quantum circuits, qubits and computing. eprint arxiv:cond-mat/0508729. 20 03. 07. 12 Iris Conradi - Quantenelektrodynamik mit supraleitenden Schaltkreisen I