Rolfdieter Frnk / Hns Wlser Korögen wie kriegen wir die Kurve? Kurzfssung: Es geht drum, wie wir zwischen zwei Gerden die Kurve kriegen. Präziser: Zwei orientierte Gerden sollen durch Kreisögen gltt und orientierungskonsistent verunden werden, woei die nschlusspunkte uf den Gerden vorgegeen sind. In der Regel geht es mit zwei Kreisögen, woei der Üergngspunkt zwischen den Kreisögen oder er die Üergngsrichtung eine gewisse Whlfreiheit zulssen. 1 Einführung us Kreisogen unterschiedlicher Krümmung zusmmengesetzte Kurven finden wir in der rchitektur, etw ei Torogen, in der Kunst, er uch im odelleisenhnu. Solche Kurven werden ls Korögen ezeichnet (vgl. [1], [2]). 2 Prolemstellung Gegeen sind zwei orientierte Gerden und mit je einem Punkt und. Die eiden Gerden sollen durch einen oder mehrere Kreisogen so verunden werden, dss die Üergänge gltt sind, ds heißt ohne unstetige Richtungsänderung. Der erste Kreisogen soll in nsetzen und der letzte ogen in einfhren. Zudem soll der Durchlufsinn erhlten leien. Die Figur 1 zeigt zwei eispiele, die sich von der Vorge her nur in der Orientierung der Gerden unterscheiden. ) ) Fig. 1 Unterschiedliche Orientierung In eiden Fällen setzt sich ds Üergngsstück us zwei Kreisögen mit einem Üergngspunkt zusmmen. 3 Frgen ruchen wir immer zwei Kreisögen? Ist ds Prolem immer lösr? Ist die Lösung eindeutig? Flls es mehrere Lösungen git, welches ist die este? Schließlich: Wie finden wir Lösungen? Für die heuristische Untersuchung solcher Frgen ist es sinnvoll, mit dynmischer Geometrie-Softwre (DGS) zu reiten.
Frnk / Wlser: Korögen wie kriegen wir die Kurve? 2 4 usmitteln für den Idelfll Wir diskutieren den Fll der Figur 1); im Fll der Figur 1) knn nlog rgumentiert werden. it einem einzigen Kreisogen geht es offenr genu dnn, wenn sich die eiden nschlusspunkte gegenüerliegen. Wir können einen solchen Fll durch usgleichen konstruieren: Zunächst spiegeln wir die Punkte und n der chse n, welche die orientierte Gerde uf die gegengleich orientierte Gerde spiegelt. Die ildpunkte seien und. Und nun seien * der ittelpunkt der Strecke und * die itte von. Dnn git es genu einen ogen k * mit den nschlusspunkten * und * (Fig. 2); sein Zentrum sei. uf hen wir den Weg um * verlängert und uf um gleich viel verkürzt. n ' * * k* ' Fig. 2 Idelfll 5 Der rele Fll usgehend von diesem Idelfll können wir nun er uch den relen Fll ngehen. Zunächst und ds ist nun etws sutil zerlegen wir den ogen k * künstlich in zwei Teilögen mit einem Üergngspunkt *, den wir ntürlich elieig uf k * wählen können. In * zeichnen wir die orientierte Tngente c n k *; die Orientierung soll konsistent mit der Orientierung des ogens k * sein. uf c wählen wir so, dss die Strecken * und * gleich lng, er entgegengesetzt orientiert sind (Fig. 3).
Frnk / Wlser: Korögen wie kriegen wir die Kurve? 3 ' * * k* * ' c Fig. 3 nschlusspunkte und Nun hen wir ezüglich und c die symmetrische Idelsitution, und eenso ezüglich c und. Wir können lso einen ogen von nch und einen zweiten ogen von nch einzeichnen. Dmit ist unsere ufge gelöst. 6 Diskussion der Lösung Nun wr er die Whl des Punktes * uf k * frei; es git lso unendlich viele Lösungen. it der Whl von * wird die Richtung der Üergngstngente c festgelegt. Wir können lso die Üergngsrichtung in wählen. D die fünf Dreiecke *, *, *, *, * kongruent sind, liegen die fünf Punkte,,,, uf einem Kreis k mit Zentrum. Sttt der Üergngsrichtung können wir lso uch den Üergngspunkt k wählen (Fig. 4). Der Korogen schneidet diesen Kreis k in, und unter lternierenden Winkeln gleicher Größe.
Frnk / Wlser: Korögen wie kriegen wir die Kurve? 4 * * k k* * c Fig. 4 k Die Figur 5 zeigt fünf eispiele für die Whl von. = =' Fig. 5 eispiele In den Fällen mit einer Gleisüerwerfung hen wir in einen Wendepunkt. Im Sonderfll = wird der Rdius r des zweiten ogens Null; der ogen wird zu einem Punkt. Im Sonderfll = wird der erste ogen zu einem gerden Streckenstück; es ist dnn r =. In diesen eiden Sonderfällen ist lso r =. Für welche Sitution von ist ds Rdienverhältnis r r möglichst nhe ei Eins? r 6.1 Gesmtlänge Ein Experiment mit DGS zeigt, dss die gesmte Korogenlänge im Sonderfll = miniml wird. In diesem Sonderfll hen wir er keinen echten Korogen mehr, die edingung des gltten Üergnges ist in verletzt. Es git lso keinen echten Kreiso-
Frnk / Wlser: Korögen wie kriegen wir die Kurve? 5 gen, der die minimle Länge relisiert ds ist ein Prolem wie jenes, dss es keine minimle rtionle Zhl größer ls 1 2 git. 6.2 Rdienverhältnis Wir suchen nun die Sitution, für welche kein Wendepunkt ist und ds Rdienverhältnis r möglichst nhe ei Eins liegt. it k r und k ezeichnen wir die Trägerkreise des ersten eziehungsweise zweiten ogens. Ferner seien n ( = ) und n ( = ) die Lotgerden von und uf n. Ein Experiment mit DGS zeigt, dss ds Rdienverhältnis extreml wird für n (Figur 6). n 2 k ' n n ' 1 Fig. 6 Extremles Rdienverhältnis Dies ist eine Folge der Verhältnsigleichheit: r = d (,n ) r ( ) d,n Diese Verhältnisgleichheit knn wie folgt ewiesen werden (Fig. 7):
Frnk / Wlser: Korögen wie kriegen wir die Kurve? 6 n k k ' n k S ' c n Fig. 7 eweisfigur Es sei S := n. Dnn liegt S uf k, denn wegen dem Peripheriewinkelstz (für k) gilt, = n, = n,, und mit der Umkehrung des Peripheriewinkelstzes folgt S k. D k und k in die gleiche Tngente c hen, ist der ogen üer ähnlich zum ogen üer S, und wir erhlten: r = d(,) r d(,s) = d (,n ) d(,n ) 7 Sonderfll Unsere Üerlegungen sind nicht durchführr, wenn die eiden Gerden und prllel und gleich orientiert sind (Fig. 8)). 2 1 ) ) Fig. 8 Sonderfll
Frnk / Wlser: Korögen wie kriegen wir die Kurve? 7 In diesem Fll git es nämlich keine Gerde n, welche die orientierte Gerde uf die gegengleich orientierte Gerde spiegelt. In diesem Fll knn er der Üergngspunkt elieig uf \ {,} gewählt werden (Fig. 8)), ds heißt, die Gerde üernimmt die Rolle des Kreises k. Ds Verhältnis der Rdien ist dnn: r = d(,) r d(,) Für jedes im Intervll, ( ) ht der Korogen die gleiche Gesmtlänge. 8 Physiklische emerkung Die richtigen Eisenhnen fhren nicht uf Korögen. Selst ei einem gltten Ü- ergng von einem Kurvenstück uf ds nächste ergit sich durch die unstetige Krümmungsänderung eine rupte Änderung der Rdileschleunigung. Dies ht einen großen terilverschleiß zur Folge und knn zu Unfällen führen. In der Verkehrstechnik wird deshl zwischen zwei schnitten unterschiedlicher Krümmung ein Üergngsstück mit kontinuierlicher Krümmungsveränderung eingeut. Ds knn zum eispiel mit einem Klothoidenogen gemcht werden, in welchem die Krümmung sich proportionl zur ogenlänge verändert. Litertur [1] Giering, Oswld: Zur Geometrie der Polygon-Korögen. P, Prxis der themtik (34), 1992, S. 245-248. [2] Wlser, Hns: Geschlossene Korögen. P, Prxis der themtik (38), 1996, S. 169-172. nschriften der Verfsser: Prof. Dr. Rolfdieter Frnk, themtisches Institut der Universität Kolenz-Lndu, Universitätsstrße 1, D-56070 Kolenz Dr. Hns Wlser, Gerlikonerstrsse 29, H-8500 Fruenfeld