Stochastische Steuerung von Sprung-Diffusionen mit Anwendung in der Portfoliooptimierung

Sochasische Seuerung von Sprung-Diffusionen mi Anwendung in der Porfolioopimierung I n a u g u r a l - D i s s e r a i o n zur Erlangung des Dokorgrades der Mahemaisch-Naurwissenschaflichen Fakulä der Heinrich-Heine-Universiä Düsseldorf vorgeleg von Chrisoph Jonek aus Knurow Mai 28

Aus dem Mahemaischen Insiu der Heinrich-Heine-Universiä Düsseldorf Gedruck mi der Genehmigung der Mahemaisch-Naurwissenschaflichen Fakulä der Heinrich-Heine-Universiä Düsseldorf Referen: Koreferenen: Prof. Dr. K. Janßen Prof. Dr. M. Möhle Prof. Dr. R. Korn Tag der mündlichen Prüfung: 8. Mai 28

Zusammenfassung In dieser Arbei werden Porfolioprobleme eines Invesors in einem Finanzmark berache. Im Gegensaz zum klassischen Modell von Meron werden die Werpapiere durch Sprung-Diffusionen modellier. Fass man die Vermögensgleichung des Invesors als sochasische Differenialgleichung auf, so kann die Mehode der sochasischen Seuerung zur Lösung von Porfolioproblemen herangezogen werden. Es wird ein Exisenz- und Eindeuigkeissaz für Lösungen sochasischer Differenialgleichungen, die von einer m-dimensionalen Brownschen Bewegung und einem l-dimensionalen Poissonschen Zufallsmaß geseuer werden, bewiesen. Hierbei is zugelassen, dass die Koeffizienen der sochasischen Differenialgleichungen vom Zufall abhängen. Desweieren wird gezeig, dass sich die Exisenz des n-en Momenes vom Anfangswer X = X auf alle Were X überräg. Anschließend wird die Mehode der sochasischen Seuerung bei endlichem Zeihorizon für Sprung-Diffusionsprozesse der Gesal dxs = Λs, Xs, us ds Σs, Xs, us dw s Γs, Xs, us dns hergeleie, wobei W eine m-dimensionale Brownsche Bewegung und N ein davon unabhängiger l-dimensionaler Poisson-Prozess sind. Uner geeigneen Lipschiz- und Wachsumsbedingungen an die Koeffizienen wird ein Verifikaionssaz formulier, der einen Zusammenhang zwischen der Lösung der HJB-Gleichung und der Lösung des Seuerungsproblems liefer. Werden Porfolioprobleme mi sochasischer Zinsrae berache, so sind die geforderen Voraussezungen an die Koeffizienen nich immer erfüll. Für diese Siuaion wird eine Variane des Verifikaionssazes hergeleie. Im 2. Teil dieser Arbei wird ein sochasisches Modell für sprunghafe Bondpreise enwickel. Dafür wird das klassische Heah-Jarrow-Moron-Modell verallgemeiner, indem die Vorwärszinsrae zusäzlich mi Sprüngen eines Poisson-Prozesses überlager wird. Es wird gezeig, dass der Bondpreisprozess B, T bezüglich dem äquivalenen Maringalmaß P die sochasische Differenialgleichung db, T = B, T r d U 1, T dw P U 2, T dñp erfüll, wobei r die sochasische Zinsrae bezeichne. Die beiden Prozesse U 1, T und U 2, T lassen sich explizi in Termen des Volailiäs- und des Sprungkoeffizienen der Vorwärszinsrae angeben. Mi Hilfe der Variane des Verifikaionssazes werden ein Bond-Porfolioproblem und ein Akie-Bond-Porfolioproblem gelös, wobei der Zinsrae des Sparkonos, dem Bondpreisprozess und dem Akienpreisprozess ein Sprung-Diffusionsmodell zugrunde geleg werden. Im Spezialfall, dass keine Sprünge aufreen, finden sich die Ergebnisse aus der Arbei von Korn und Kraf 21 wieder.

Absrac In his hesis porfolio problems of an invesor in a financial marke are considered. In conras o he classical Meron model he asses are modelled by jump diffusions. The wealh equaion of he invesor is undersood as a conrolled SDE, hence sochasic conrol mehods can be used o solve porfolio problems. Firs of all an exisence and uniqueness heorem is derived for soluions of SDE s which are driven by an m-dimensional Brownian moion and an l-dimensional Poisson random measure. Here he coefficiens of he SDE s are allowed o be sochasic. In addiion i is shown ha he exisence of he n-h momen of he iniial value X = X carries over o all values X. In he following he mehod of sochasic conrol is derived for a finie ime horizon and for jump diffusions of he form dxs = Λs, Xs, us ds Σs, Xs, us dw s Γs, Xs, us dns, where W is an m-dimensional Brownian moion and N an l-dimensional Poisson process independen of W. Under appropriae Lipschiz and growh condiions on he coefficiens a verificaion heorem is formulaed, which connecs he soluion of he HJB-equaion wih he soluion of he opimal conrol problem. For porfolio problems wih sochasic ineres rae he required assumpions of he verificaion heorem are no always saisfied. For his siuaion a modified verificaion heorem is derived. In he second par of his hesis a sochasic model for bond prices wih jumps is developed. For his purpose he classical Heah-Jarrow-Moron model is generalized in he sense ha he dynamics of he forward rae process allows jumps which occur according o a Poisson process. Wih respec o he equivalen maringale measure P i is shown ha he bond price process B, T saisfies he SDE db, T = B, T r d U 1, T dw P U 2, T dñp, where r denoes he sochasic ineres rae. The processes U 1, T and U 2, T can be wrien explicily in erms of he volailiy and he jump coefficien of he forward rae. Using he modified verificaion heorem, a bond porfolio problem and a mixed sock and bond porfolio problem is solved, where he ineres rae of he savings accoun, he bond price process and he sock price process follow jump diffusions. In he special case when here are no jumps hese resuls conain hose obained by Korn and Kraf 21.

Inhalsverzeichnis Einleiung 1 1 Grundlagen aus der sochasischen Analysis 7 1.1 Allgemeine Definiionen und Bezeichnungen.................. 7 1.2 Die Iô-Formel für Semimaringale....................... 14 1.3 Einige Ergebnisse der sochasischen Analysis................. 17 2 Sochasische Differenialgleichungen Exisenz und Eindeuigkei 21 3 Sochasische Seuerung von Sprung-Diffusionen bei endlichem Zeihorizon 41 3.1 Problemsellung.................................. 41 3.2 Heurisische Herleiung der HJB-Gleichung.................. 44 3.3 Ein Verifikaionssaz für Lösungen der HJB-Gleichung............ 48 3.4 Beispiel: Finanzmark mi sprunghafen Preisen................ 56 3.5 Geseuere sochasische Differenialgleichungen mi linearer Komponene. 67 4 Sochasische Seuerung von Sprung-Diffusionen bei unendlichem Zeihorizon 72 4.1 Ein Verifikaionssaz für Lösungen der HJB-Gleichung............ 72 4.2 Beispiel: Finanzmark mi sprunghafen Preisen................ 79 5 Sochasisches Modell für sprunghafe Bondpreise 89 5.1 Exponenielle Maringale und Maringalmaße................. 89 5.2 Verallgemeineres Heah-Jarrow-Moron-Modell................ 96 6 Porfolioopimierung bei sochasischem Zinssaz mi Sprüngen 12 6.1 Ein Bond-Porfolioproblem........................... 12 6.2 Ein Akie-Bond-Porfolioproblem........................ 115 Lieraurverzeichnis 124

Einleiung Im 2. Jahrhunder gewann die Unersuchung von finanzwissenschaflichen Problemen miels sochasischer Mehoden immer mehr an Bedeuung. Wichige Verreer in diesem Bereich sind Black und Scholes sowie Meron, denen mi ihren Arbeien aus dem Jahr 1973 [3], [25] über die Preisfessezung und die Absicherung von Finanzderivaen ein bedeuender Durchbruch gelang. Bei der Lösung immer spezieller werdender finanzwissenschaflicher Problemsellungen wurde immer häufiger auf Mehoden der sochasischen Analysis zurückgegriffen. So sellen die Maringalheorie und die sochasische Inegraion, aber auch die sochasische Seuerung wichige Besandeile der Finanzmahemaik dar. Eine klassische Problemsellung in der Finanzmahemaik is das sogenanne Porfolioproblem eines Invesors in einem Finanzmark. Dieses beseh darin, zu gegebenem srik posiivem Anfangskapial eine bezüglich eines Nuzenfunkionals opimale Porfoliosraegie oder auch Konsum- und Porfoliosraegie zu besimmen. Das Porfolioproblem eines Invesors läss sich vorwiegend auf zwei verschiedene Aren lösen; zum einen nach der Mehode der sochasischen Seuerung und zum anderen nach der Maringalmehode. Lezere geh haupsächlich auf die in den 8er Jahren erschienenen Arbeien von Cox und Huang [4], Karazas, Lehoczky und Shreve [16] und Pliska [29] zurück. Hierauf wird jedoch nich weier eingegangen, da in dieser Arbei lediglich die Mehode der sochasischen Seuerung berache wird. Die Mehode der sochasischen Seuerung zur Lösung des Porfolioproblems wurde ersmals von Meron in den Jahren 1969 bzw. 1971 [23], [24] eingeführ. Er fasse das Porfolioproblem eines Invesors als ein sochasisches Seuerungsproblem auf, indem er die Vermögensgleichung des Invesors als geseuere sochasische Differenialgleichung inerpreiere. In dem von Meron beracheen Porfolioproblem wird der Finanzmark durch ein Diffusionsmodell beschrieben, indem der Preisprozess der Akie durch eine geomerische Brownsche Bewegung modellier wird. Ein wesenlicher Nacheil dieses Modells beseh 1

Einleiung 2 darin, dass exreme Kursänderungen der Akie, die am realen Akienmark durchaus beobachbar sind, nich erfass werden können. Dies lieg daran, dass die logarihmieren Rendien der Akie normalvereil sind und somi exreme Kursschwankungen eine sehr geringe Wahrscheinlichkei besizen. Um dieser Problemaik zu engehen, kann man das von Meron enwickele Diffusionsmodell durch ein Sprung-Diffusionsmodell ersezen. Hierbei wird der Akienpreisprozess durch eine geomerische Brownsche Bewegung modellier, wobei nun jedoch auch zusäzlich Sprünge an zufälligen Zeipunken mi einbezogen werden. Ein Sprung-Diffusionsmodell beschreib die beobacheen Akienpreise somi realisischer. Im Gegensaz zum klassischen Modell von Meron werden in dieser Arbei Finanzmärke berache, in denen die Werpapiere durch Sprung-Diffusionsmodelle modellier werden. Dazu wird zunächs die Mehode der sochasischen Seuerung für Sprung- Diffusionsprozesse hergeleie. Im Vergleich zu Korn und Korn [18], Kraf [21] oder auch Flemming und Soner [8] werden hier Prozesse X berache, die nich nur von einer m-dimensionalen Brownschen Bewegung W, sondern zusäzlich auch von einem davon unabhängigen l-dimensionalen Poisson-Prozess N abhängen. Die Seuerung erfolg dabei durch einen sochasischen Prozess u. Dieser is im Allgemeinen im Drifkoeffizienen, im Volailiäskoeffizienen und im Sprungkoeffizienen der geseueren sochasischen Differenialgleichung dxs = Λs, Xs, us ds Σs, Xs, us dw s Γs, Xs, us dns 1 enhalen. Im Fall, dass die Koeffizienen Λ, Σ und Γ geeignee Lipschiz- und Wachsumsbedingungen erfüllen, wird ein Verifikaionssaz formulier, der anschließend in einem konkreen Beispiel, dem Problem des opimalen Konsums und des opimalen Endvermögens bei einem endlichen Zeihorizon, eine Anwendung finde. Für den Fall, dass der Akienpreisprozess lediglich durch eine geomerische Brownsche Bewegung modellier wird, ha Meron [23] dieses Problem bereis gelös. In einigen Siuaionen sind die Lipschiz- und Wachsumsbedingungen an die Koeffizienen jedoch nich erfüll. Dies is zum Beispiel dann der Fall, wenn Porfolioprobleme berache werden, in denen die Zinsrae nich wie im klassischen Meron-Modell deerminisisch, sondern durch einen sochasischen Prozess gegeben is. Da in dieser Arbei auch solche Siuaionen berache werden, wird eine Variane des Verifikaionssazes hergeleie, in der man uner gewissen Voraussezungen an die geseuere sochasische Differenialgleichung 1 ohne die Lipschiz- und Wachsumsbedingungen an die Koeffizienen auskomm. Mi Hilfe dieser Variane werden ein Bond-Porfolioproblem und ein Akie-Bond-

Einleiung 3 Porfolioproblem gelös, wobei der Zinsrae des Sparkonos, dem Bondpreis und dem Akienpreis ein Sprung-Diffusionsmodell zugrunde geleg werden. Hierbei wird das Modell für den Bondpreis aus dem zuvor enwickelen verallgemeineren Heah-Jarrow- Moron-Modell übernommen. Es wird gezeig, dass die Variane des Verifikaionssazes anwendbar is und dass man zu Ergebnissen komm, die in den konkreen Spezialfällen, in denen die Zinsrae durch das Ho-Lee-Modell bzw. durch das Vasicek-Modell gegeben is und in denen die gehandelen Werpapiere keine Sprünge aufweisen, mi den Ergebnissen aus der Arbei von Korn und Kraf [19] übereinsimmen. Konkre is diese Arbei in 6 Kapiel unereil. Da im Rahmen der Unersuchung häufig auf Resulae der sochasischen Analysis zurückgegriffen wird, werden in Kapiel 1 die wichigsen Definiionen und Bezeichnungen sowie einige Ergebnisse aus diesem Bereich kurz vorgesell. Von besonderer Bedeuung is dabei der Abschni über die mehrdimensionale Iô-Formel für Semimaringale. Das 2. Kapiel beschäfig sich mi der Exisenz und der Eindeuigkei von Lösungen sochasischer Differenialgleichungen. Die Theorie der sochasischen Differenialgleichungen geh dabei auf die Arbei von Iô [13] aus dem Jahre 1951 zurück. Seine Vorgehensweise is in der heuigen Lieraur zur sochasischen Analysis wohlbekann. Im Laufe der Zei wurde das Konzep von Iô immer weier verallgemeiner. So bewiesen Doléans-Dade und Meyer [6] im Jahre 1977 einen Exisenz- und Eindeuigkeissaz für sochasische Differenialgleichungen, die von Semimaringalen geseuer werden. Dabei durfen die Koeffizienen im Vergleich zu Iô zusäzlich vom Zufall abhängen. Im Rahmen dieser Arbei werden sochasische Differenialgleichungen der Gesal dx = A, X d B, X dw F, X, z Md, dz X = X z <c G, X, z Md, dz, 2 z c berache, wobei W eine m-dimensionale Brownsche Bewegung und M ein davon unabhängiges l-dimensionales Poissonsches Zufallsmaß auf dem Messraum R R k \ {}, BR BR k \ {} mi zugehörigem Inensiäsmaß µ und zugehörigem Kompensaor M sind. Hierbei is ebenfalls zugelassen, dass die Koeffizienen A, B, F und G vom Zufall abhängen, also sochasische Prozesse sind. Uner der Voraussezung, dass die Koeffizienen einer geeigneen Lipschiz- und Wachsumsbedingung genügen, wird mi Hilfe der Technik der Picard-Ieraion ein Exisenz- und Eindeuigkeis-

Einleiung 4 saz für Lösungen sochasischer Differenialgleichungen der Form 2 bewiesen. Darüber hinaus wird für den Fall G gezeig, dass sich die Exisenz des n-en Momenes vom Anfangswer X auf alle Were X überräg, wobei X = X R die eindeuig besimme Lösung des Exisenz- und Eindeuigkeissazes is. Wie man in Meron s Arbei sehen konne, können Porfolioprobleme in seiger Zei als sochasische Seuerungsprobleme inerpreier werden. Im 3. Kapiel wird daher die Mehode der sochasischen Seuerung bei einem endlichen Zeihorizon vorgesell, wobei der zu seuernde Prozess durch die geseuere sochasische Differenialgleichung 1 gegeben is. Im ersen Teil dieses Kapiels wird die Problemsellung erläuer und dabei insbesondere das Seuerungsproblem vorgesell. Anschließend wird die sogenanne Hamilon-Jacobi- Bellman-Gleichung HJB-Gleichung mi dem Prinzip der dynamischen Programmierung hergeleie. Mi Hilfe dieser kann ein Verifikaionssaz formulier werden, der einen Zusammenhang zwischen der Lösung der HJB-Gleichung und der Lösung des Seuerungsproblems liefer. Als Anwendung des Sazes wird ein konkrees Beispiel unersuch. In diesem wird ein Invesor berache, dessen Ziel es is, seinen erwareen Nuzen aus Konsum und Endvermögen bei endlichem Zeihorizon zu maximieren. Wie im klassischen Meron- Modell ha er dabei die Möglichkei, in ein risikoloses Sparkono und in d verschiedene risikobehafee Akien zu invesieren, wobei die Akienpreise im Vergleich zu Meron durch Sprung-Diffusionen modellier werden. Für den Fall d = 1 wird ein Vergleich zur klassischen Lösung gezogen. Im lezen Teil des Kapiels werden geseuere sochasische Differenialgleichungen mi linearer Komponene berache. Aufgrund ihrer konkreen Gesal kann eine Variane des Verifikaionssazes hergeleie werden, die auf die Lipschiz- und Wachsumsbedingungen an die Koeffizienen der geseueren sochasischen Differenialgleichung veziche und daher in der konkreen Siuaion von Kapiel 6 eine Anwendung finde. Das 4. Kapiel beschäfig sich mi der Mehode der sochasischen Seuerung bei unendlichem Zeihorizon, wobei der zu seuernde Prozess durch eine auonome Version der geseueren sochasischen Differenialgleichung 1 gegeben is. Wie in Kapiel 3 wird ein Verifikaionssaz angegeben, der einen Zusammenhang zwischen der Lösung der HJB- Gleichung und der Lösung des Seuerungsproblems hersell. In einem konkreen Beispiel, einem sogennanen Lebenszei-Konsum-Problem, finde dieser Saz eine Anwendung. Im 5. Kapiel wird ein sochasisches Modell für sprunghafe Bondpreise enwickel. Die Sprünge werden dabei durch einen Poisson-Prozess modellier.

Einleiung 5 Für eine reelle Brownsche Bewegung W und einen davon unabhängigen eindimensionalen Poisson-Prozess N zum Parameer α > wird zunächs dargeleg, uner welchen Voraussezungen der Prozess expy = expy [,T ] mi Y := Gs ds F s dw s Hs d Ns αs ein exponenielles Maringal is. Mi Hilfe eines exponeniellen Maringals wird anschließend für eine Familie von Bondpreisen {B, T : < T T } ein äquivalenes Maringalmaß P mi Diche expy T bezüglich des ursprünglichen Wahrscheinlichkeismaßes P definier. In einem Exisenzsaz wird gezeig, dass geeignee Prozesse U 1, T und U 2, T exisieren, so dass B, T bezüglich P die sochasische Differenialgleichung db, T = B, T r d U 1, T dw P U 2, T dñp erfüll. Hierbei bezeichnen r die sochasische Zinsrae des Sparkonos, W P eine reelle Brownsche Bewegung bezüglich P und ÑP ein lokales Maringal bezüglich P. Im seigen Fall d.h. ohne Vorhandensein eines Poisson-Prozesses finde man einen derarigen Exisenzsaz im Buch von Musiela und Rukowski [27] und in der Arbei von Arzner und Delbaen [2]. Im zweien Teil des Kapiels wird das klassische Heah-Jarrow-Moron-Modell vgl. hierfür die Arbei von Heah, Jarrow und Moron [9] verallgemeiner, indem die Vorwärszinsrae zusäzlich mi Sprüngen eines Poisson-Prozesses überlager wird. In dieser konkreen Siuaion lassen sich die beiden Prozesse U 1, T und U 2, T aus dem obigen Exisenzsaz explizi in Termen des Volailiäs- und des Sprungkoeffizienen der Vorwärszinsrae angeben. Im lezen Kapiel werden ein Bond-Porfolioproblem und ein Akie-Bond- Porfolioproblem gelös. In beiden Siuaionen wird ein Invesor berache, dessen Ziel es is, seinen erwareen Nuzen aus dem Endvermögen bei endlichem Zeihorizon zu maximieren. Hierbei werden der Bondpreis durch das in Kapiel 5 enwickele verallgemeinere Heah-Jarrow-Moron-Modell und der Akienpreis durch einen Sprung- Diffusionsprozess modellier. Im Vergleich zum klassischen Meron-Modell is die Zinsrae des Sparkonos durch eine sochasische Differenialgleichung gegeben, die von einer reellen Brownschen Bewegung und einem davon unabhängigen Poisson-Prozess geseuer wird. Durch diese zusäzliche sochasische Komponene erfüllen die Koeffizienen der zum Opimierungsproblem zugehörigen geseueren sochasischen Differenialgleichung jedoch nich die geforderen Lipschiz- und Wachsumsbedingungen des Verifikaionssazes. Es wird allerdings gezeig, dass die geseuere sochasische Differenialgleichung eine lineare Gesal besiz, so dass in dieser Siuaion die Variane des Verifikaionssazes

Einleiung 6 aus Kapiel 3 anwendbar is. In den Fällen, dass die Zinsrae durch das Ho-Lee-Modell bzw. durch das Vasicek-Modell gegeben is und dass der Bond sowie die Akie keine Sprungkomponene enhalen, haben Korn und Kraf [19] dieses Problem bereis gelös. Für diese konkreen Spezialfälle simmen die Ergebnisse aus dieser Arbei mi denen von Korn und Kraf überein. Abschließend möche ich Herrn Prof. Dr. K. Janßen sowohl für die vielen anregenden Gespräche als auch für die umfangreiche Bereuung und Hilfsbereischaf bei der Ersellung dieser Arbei danken. Ein herzlicher Dank gebühr auch Herrn Prof. Dr. M. Möhle und Herrn Prof. Dr. R. Korn für die Übernahme und Ersellung der weieren Guachen. Bedanken möche ich mich auch bei den Miarbeiern des Lehrsuhls für Mahemaische Saisik und Wahrscheinlichkeisheorie am Mahemaischen Insiu der HHU Düsseldorf für ihre Hilfe und Unersüzung. Ganz besonders danke ich meiner Familie, die mich all die Jahre seelisch unersüz und moivier ha. Ohne sie wäre diese Arbei nie ensanden.

Kapiel 1 Grundlagen aus der sochasischen Analysis 1.1 Allgemeine Definiionen und Bezeichnungen Gegeben sei ein vollsändiger Wahrscheinlichkeisraum Ω, F, P, d.h. { } N := A Ω : es gib ein N F mi A N und PN = F. Auf diesem definier man einen sochasischen Prozess Z = Z R als eine Familie von Zufallsvariablen mi Weren in einem gemeinsamen Messraum E, E. In dieser Arbei wird E, E meis mi R n, BR n für ein n N idenifizier. Für jedes ω Ω heiß die durch Z, ω definiere Abbildung von R nach E ein Pfad des Prozesses. Sei F = F R eine rechsseige Filraion in F mi {A F : PA = } F, d.h. die Filraion F erfüll die üblichen Voraussezungen. Ein sochasischer Prozess Z heiß adapier an F oder auch F-adapier, wenn für jedes R die Zufallsvariable Z F -messbar is. Definiion 1.1 Lévy-Prozess Ein an F adapierer sochasischer Prozess L = L R mi Weren in R k heiß k-dimensionaler Lévy-Prozess, wenn die folgenden Eigenschafen erfüll sind: i L = fas sicher. ii L besiz fas sicher rechsseige Pfade mi endlichen Linkslimien, d.h. L is ein càdlàg-prozess. iii L besiz saionäre Zuwächse, d.h. es exisier eine Familie µ R von Wahrscheinlichkeismaßen auf R k, BR k mi P L Ls = µ s für alle s, R, s. 7

Grundlagen aus der sochasischen Analysis 8 iv L besiz unabhängige Zuwächse, d.h. für je endlich viele Zeipunke 1,..., n R mi < 1 <... < n sind die Zufallsvariablen unabhängig. L 1, L 2 L 1,..., L n L n 1 v L is sochasisch seig, d.h. für alle ε > und für alle > gil lim P L Ls > ε =. s Nach Definiion is jeder Lévy-Prozess ein càdlàg-prozess. Daher besizen fas alle Pfade Lω auf jedem Inervall [a, b] R höchsens abzählbar viele Sprungsellen vgl. Applebaum [1, Theorem 2.8.1]. Zwei spezielle Lévy-Prozesse sind die Brownsche Bewegung und der Poisson-Prozess. Definiion 1.2 Mehrdimensionale Brownsche Bewegung Ein an F adapierer sochasischer Prozess W = W R mi Weren in R m heiß m-dimensionale Brownsche Bewegung, wenn die folgenden Eigenschafen erfüll sind: i W = fas sicher. ii Fas alle Pfade W ω sind seig auf R. iii W besiz saionäre Zuwächse. iv Für jede Wahl der Zeipunke s, R mi s < is W W s unabhängig von F s und es gil m P W W s = N, si m = N, s, wobei N, si m die m-dimensionale Normalvereilung mi Erwarungswervekor und Kovarianzmarix si m is. i=1 Im Fall m = 1 nenn man W = W R eine reelle Brownsche Bewegung. Definiion 1.3 Poisson-Prozess Ein an F adapierer sochasischer Prozess N = N R mi Weren in N heiß Poisson-Prozess zum Parameer α >, wenn die folgenden Eigenschafen erfüll sind: i N = fas sicher. ii Fas alle Pfade Nω sind rechsseige, isoone Funkionen auf R Sprüngen der Größe 1. mi

Grundlagen aus der sochasischen Analysis 9 iii N besiz saionäre Zuwächse. iv Für jede Wahl der Zeipunke s, R mi s < is N Ns unabhängig von F s und es gil P N Ns = P oiα s, wobei P oiα s die Poisson-Vereilung zum Parameer α s bezeichne. Definiion 1.4 Mehrdimensionaler Poisson-Prozess Ein an F adapierer sochasischer Prozess N = N 1,..., N l mi Weren in N l heiß l-dimensionaler Poisson-Prozess zum Parameer α = α 1,..., α l, l, falls die einzelnen Komponenen unabhängige eindimensionale Poisson-Prozesse im Sinne von Definiion 1.3 bilden. Definiion 1.5 Progressive Messbarkei, Vorhersehbarkei a Ein sochasischer Prozess Z = Z R mi Weren in R k heiß progressiv-messbar bezüglich F oder auch F-progressiv-messbar, wenn für jedes R die Abbildung Z : [, ] Ω R k,, ω Z, ω B[, ] F -messbar is. b Sei R := { } { {} F : F F s, ] Fs : F s F s und s, R mi s < }. R is schnisabil und heiß Sysem der vorhersehbaren Rechecke. Man definier dann die σ-algebra PF der vorhersehbaren Mengen durch PF := σr. Ein R k -weriger sochasischer Prozess Z = Z R oder auch F-vorhersehbar, wenn die Abbildung heiß vorhersehbar bezüglich F Z : R Ω R k,, ω Z, ω PF-messbar is. Jeder F-vorhersehbare Prozess Z is F-progressiv-messbar vgl. Irle [12, Anmerkung 9.5] und dami auch F-adapier Saz von Fubini. Umgekehr is jeder F-adapiere Prozess Z, der fas sicher rechs- oder linksseige Pfade besiz, progressiv-messbar bezüglich F vgl. Ellio [7, Theorem 2.32]. Im Fall von linksseigen Pfaden is Z sogar F-vorhersehbar vgl. Irle [12, Anmerkung 9.5].

Grundlagen aus der sochasischen Analysis 1 Für einen k-dimensionalen Lévy-Prozess L is der Sprung-Prozess L = L R zwar F-adapier, jedoch im Allgemeinen kein Lévy-Prozess mehr. Weierhin gil L = fas sicher für jedes fese R vgl. Applebaum [1, Lemma 2.3.2]. Daher is es sinnvoller, nich den Prozess L zu berachen, sondern die Sprünge einer vorgegebenen Größe zu zählen. Dazu wird zunächs ein Poissonsches Zufallsmaß definier. Definiion 1.6 Poissonsche Zufallsmaße Sei S, S, µ ein Maßraum mi σ-endlichem Maß µ. Ein Poissonsches Zufallsmaß M auf S, S mi Inensiäsmaß µ is eine Familie von Zufallsvariablen {MA : A S} auf Ω, F, P mi den folgenden Eigenschafen: i Für alle ω Ω is M ω ein Maß auf S, S. ii Für jede disjunke Familie {A 1,..., A n } von Ereignissen aus S sind die Zufallsvariablen MA 1,..., MA n unabhängig. iii Für alle A S is die Zufallsvariable MA Poisson-vereil zum Parameer µa. Im Fall µa = gil MA = fas sicher und im Fall µa = gil MA = fas sicher. Nach Ikeda/Waanabe [11, I. Theorem 8.1] exisier zu jedem σ-endlichen Maß µ auf einem Messraum S, S ein Poissonsches Zufallsmaß M auf S, S mi µa = EMA für alle A S. Sei S = R R k \ {} versehen mi der σ-algebra S = BR BR k \ {}. Weierhin sei L = L R ein k-dimensionaler Lévy-Prozess. Für R und A BR k \ {} definiere man M[, ], A := # { s : Ls A } = 1 A Ls. 1.1 s Man beache, dass A M[, ], Aω für jedes ω Ω und R ein Zählmaß auf R k \ {}, BR k \ {} is. Folglich is A E M[, ], A = Ω M[, ], Aω dp ω ein Maß auf R k \ {}, BR k \ {}. Sez man ν = EM[, 1],, so folg mi Hilfe von Applebaum [1, Lemma 2.3.4, Theorem 2.3.5 und Remark 1], dass ν ein σ-endliches Maß auf R k \ {}, BR k \ {} is und dass durch M ein Poissonsches Zufallsmaß auf R R k \ {}, BR BR k \ {} mi Inensiäsmaß µ = λ R ν fesgeleg wird.

Grundlagen aus der sochasischen Analysis 11 Für R und A BR k \ {} mi / A definiere man weierhin das zugehörige kompensiere Poissonsche Zufallsmaß M durch M[, ], A := M[, ], A νa. 1.2 Man beache dabei, dass νa < für A BR k \ {} mi / A gil vgl. Applebaum [1, S. 89, Remark 1]. Als Nächses wird erläuer, was im Folgenden uner einem l-dimensionalen Poissonschen Zufallsmaß auf R R k \ {}, BR BR k \ {} zu vesehen is. Im Sinne von 1.1 sei M j für jedes j = 1,..., l ein Poissonsches Zufallsmaß auf R R k \ {}, BR BR k \ {} mi zugehörigem Inensiäsmaß µ j = λ R ν j und zugehörigem kompensieren Poissonschen Zufallsmaß M j. Ferner sei die Familie {M j : j = 1,..., l} unabhängig. Man seze, M := M 1,..., M l µ := µ 1,..., µ l = λ R ν 1,..., λ R ν l, 1.3 M := M1,..., M l. In diesem Fall nenn man M ein l-dimensionales Poissonsches Zufallsmaß auf R R k \ {}, BR BR k \ {} mi zugehörigem Inensiäsmaß µ und zugehörigem kompensieren Poissonschen Zufallsmaß M. Definiion 1.7 Maringal, Submaringal, Supermaringal Ein reeller sochasischer Prozess Z = Z R heiß Maringal bzw. Submaringal, Supermaringal bezüglich F, falls folgende Eigenschafen erfüll sind: i Z is F-adapier. ii E Z < für alle R. iii E[Z F s ] = Zs bzw. E[Z F s ] Zs, E[Z F s ] Zs für alle s, R mi s. Nach Definiion des eindimensionalen Poisson-Prozesses zum Parameer α > und der reellen Brownschen Bewegung sind die beiden Prozesse N α R und W R Maringale bezüglich F. Ferner is der eindimensionale Prozess M[, ], A R aus 1.2 für A BR k \ {} mi / A ebenfalls ein Maringal bezüglich F vgl. Applebaum [1, Theorem 2.3.5 und Remark 1].

Grundlagen aus der sochasischen Analysis 12 Definiion 1.8 Soppzei, σ-algebra der Vergangenhei Eine Abbildung S : Ω R { } heiß Soppzei bezüglich F oder auch F-Soppzei, falls für jedes R die Menge {S } in F lieg. Für eine F-Soppzei S definier man weierhin die σ-algebra der Vergangenhei bis zur Zei S durch F S := { A σ F : A {S } F für alle R }. R Soppzeien spielen beim Prinzip der Lokalisaion eine wesenliche Rolle. Von besonderer Bedeuung sind dabei die lokalen Maringale. Für diese benöig man jedoch noch die Definiion der gleichgradigen Inegrierbarkei. Definiion 1.9 Gleichgradige Inegrierbarkei Eine Menge X von reellen Zufallsvariablen heiß gleichgradig inegrierbar in Zeichen g.g.i., falls zu jedem ε > ein C exisier mi E X 1 { X >C} < ε für alle X X. Bemerkung 1.1 1. Sei X eine g.g.i. Menge von reellen Zufallsvariablen. Zu ε > sei C eine zugehörige Konsane aus der Definiion. Dann gil E X = E X 1 { X >C} E X 1{ X C} < ε C < für alle X X und somi X L 1 P. Weierhin is X beschränk in L 1 P, d.h. sup E X X X }{{} < εc <. 2. Nach dem Saz von Lebesgue gil für alle X L 1 P: E X 1 { X >n} für n. Somi is jede endliche Menge X L 1 P g.g.i.. 3. Für eine reelle Zufallsvariable U L 1 P sei die Menge X definier durch X := { X : X is reelle Zufallsvariable mi X U fas sicher }. Für jede Zufallsvariable X aus der Menge X gil dann X 1 { X >C} U1 {U>C} fas sicher und somi auch E X 1 { X >C} EU1 {U>C}. Mi Bemerkung 2 folg daraus, dass X eine g.g.i. Familie is.

Grundlagen aus der sochasischen Analysis 13 Definiion 1.11 Lokales Maringal Ein F-adapierer càdlàg-prozess Z = Z R mi Weren in R heiß lokales Maringal bezüglich F, falls es eine aufseigende Folge S n n N von F-Soppzeien mi Plim n S n = = 1 gib, so dass der gesoppe Prozess Z S n = Z S n R für jedes n N ein g.g.i. Maringal bezüglich F is. So eine Folge S n n N von F-Soppzeien heiß lokalisierende Folge für Z. Der Begriff des lokalen Sub- bzw. Supermaringals wird analog definier. Nach Definiion 1.11 is jedes càdlàg-maringal Z ein lokales Maringal wähle S n n für alle n N. Somi sind die eindimensionalen Prozesse N α R, W R M[, ], A R und für A BR k \ {} mi / A auch lokale Maringale bezüglich F. Die Umkehrung gil jedoch nich. Für diese benöig man noch weiere Voraussezungen an Z. Darauf wird in Abschni 1.3 genauer eingegangen. Definiion 1.12 Prozess von lokal-beschränker Variaion Eine Funkion f : R R heiß von lokal-beschränker Variaion, falls für alle R gil: varf := { sup fsi1 fs i } : ξ is endliche Zerlegung von [, ] s i ξ Variaion von f über dem Inervall [, ]. Ein F-adapierer càdlàg-prozess Z = Z R < mi Weren in R heiß von lokalbeschränker Variaion, wenn fas alle Pfade Z, ω von lokal-beschränker Variaion sind. Nach Heuser [1, XI. Saz 91.7] is eine Funkion f : R R genau dann von lokalbeschränker Variaion, wenn zwei monoon wachsende Funkionen f 1, f 2 : R R exisieren mi f = f 1 f 2. Mi Hilfe dieser Äquivalenz is es ofmals leicher nachzuweisen, dass ein Prozess von lokal-beschränken Variaion is. Definiion 1.13 Semimaringal Ein F-adapierer càdlàg-prozess Z = Z R mi Weren in R heiß Semimaringal bezüglich F, wenn es ein lokales Maringal L = L R und einen Prozess V = V R von lokal-beschränker Variaion gib mi L = V = und Z = Z L V für alle R. Alle vorhergehenden Definiionen und Bezeichnungen können ohne weieres auf einen endlichen Zeihorizon [, T ] für ein T > überragen werden. Lediglich bei der Definiion

Grundlagen aus der sochasischen Analysis 14 eines lokalen Maringales is die Bedingung P lim S n = n = 1 an die lokalisierende Folge S n n N bei endlichem Zeihorizon durch die Bedingung lim P S n < T = n zu ersezen. Darüber hinaus beache man, dass die gefordere gleichgradige Inegrierbarkei bei endlichem Zeihorizon auomaisch erfüll is, da das Maringal Z S n = Z S n [,T ] für jedes n N durch die Zufallsvariable ZT S n erzeug wird. 1.2 Die Iô-Formel für Semimaringale Zur Konsrukion von sochasischen Inegralen bezüglich Semimaringalen vergleiche man das Buch von Proer [3, II. Abschni 4] und zur Konsrukion von sochasischen Inegralen bezüglich maringal-werigen Maßen vergleiche man das Buch von Applebaum [1, Kapiel 4]. Der Vollsändigkei halber is ein maringal-weriges Maß wie folg definier: Definiion 1.14 Maringal-werige Maße Sei U ein opologischer Raum versehen mi der Borelschen σ-algebra BU. Sei M ein zufälliges Maß auf R U, BR BU. Für jedes A BU definiere man den Prozess M A = M A R durch M A := M[, ], A. Man nenn M ein maringal-weriges Maß, falls es eine Menge V BU gib, so dass der Prozess M A für jedes A BU mi A V = ein Maringal bilde. Dabei nenn man die Menge V die verboene Menge. Is M ein Poissonsches Zufallsmaß auf R R k \ {}, BR BR k \ {} mi Inensiäsmaß µ = λ R ν, so is das zugehörige kompensiere Poissonsche Zufallsmaß M zu einem maringal-werigen Maß auf R R k, BR BR k mi verboener Menge V = {} erweierbar. Definiion 1.15 Quadraischer Variaions- und Kovariaionsprozess Seien Z = Z R, Z 1 = Z 1 R und Z 2 = Z 2 R drei Semimaringale bezüglich F. Der quadraische Variaionsprozess [Z, Z] = [Z, Z] R von Z is definier durch [Z, Z] = Z 2 2 Z 2 Zs dzs.

Grundlagen aus der sochasischen Analysis 15 Der quadraische Kovariaionsprozess [Z 1, Z 2 ] = [Z 1, Z 2 ] R von Z 1 und Z 2 is definier durch [Z 1, Z 2 ] = Z 1 Z 2 Z 1 Z 2 Z 1 s dz 2 s Z 2 s dz 1 s. Die Abbildung Z 1, Z 2 [Z 1, Z 2 ] is bilinear und symmerisch und es gil [Z 1, Z 2 ] = 1 2 [Z1 Z 2, Z 1 Z 2 ] [ Z1, Z 1 ] [ Z2, Z 2 ] für alle R. Weierhin bezeichne man mi [Z, Z] c den pfadweise seigen Aneil von [Z, Z]. Nach Proer [3, II. Theorem 22] is [Z, Z] ein monoon wachsender, F-adapierer càdlàg-prozess und für alle R gil [Z, Z] = [Z, Z] c <s = [Z, Z] c <s [Z, Z]s Zs 2. Analog bezeichne man mi [Z 1, Z 2 ] c den pfadweise seigen Aneil von [Z 1, Z 2 ]. Wie oben gil mi Hilfe von Proer [3, II. Theorem 23] für alle R : [Z 1, Z 2 ] = [Z 1, Z 2 ] c <s = [Z 1, Z 2 ] c <s [Z 1, Z 2 ]s Z1 s Z 2 s. Beispiel 1.16 Sei Z = Z R Z := ein Semimaringal bezüglich F, gegeben durch Gs ds x 1 F s dw s Ks, x Mds, dx. x <1 Hs, x Mds, dx Hierbei sind W = W R eine reelle Brownsche Bewegung und M ein eindimensionales Poissonsches Zufallsmaß auf R R k \ {}, BR BR k \ {} mi zugehörigem Inensiäsmaß µ = λ R ν und zugehörigem kompensieren Poissonschen Zufallsmaß M, wobei ν ein Lévy-Maß is d.h. ν is ein Maß auf R k \ {}, BR k \ {} mi R k \{} y 2 1νdy <. Weierhin sind G, F, H und K sochasische Prozesse, die geeignee Messbarkeis- und Inegrabiliäsvoraussezungen erfüllen, so dass die aufreenden sochasischen Inegrale wohldefinier sind vgl. Applebaum [1, Kapiel 4.3].

Grundlagen aus der sochasischen Analysis 16 Nach Applebaum [1, Corollary 4.4.9] is [Z, Z] fas sicher endlich und es gil 2 2 [Z, Z] = F s ds Hs, x Mds, dx für jedes R. x 1 x <1 Ks, x 2 Mds, dx Die nachfolgenden beiden Säze liefern Bedingungen an Z, Z 1 und Z 2, uner denen die Prozesse [Z, Z] c, [Z 1, Z 2 ] c bzw. [Z, Z], [Z 1, Z 2 ] idenisch gleich Null sind. Dami läss sich schnell herausfinden, welche Terme in der Iô-Formel für Semimaringale vgl. Saz 1.19 wegfallen. Saz 1.17 Sei Z ein Prozess von lokal-beschränker Variaion. Dann gil [Z, Z] c =. Insbesondere gil [Z, Z] =, falls der Prozess Z zusäzlich seige Pfade besiz. Beweis. Siehe Proer [3, II. Theorem 26]. Saz 1.18 Seien Z 1 und Z 2 zwei Semimaringale bezüglich F mi [Z 1, Z 1 ] c =. Dann gil [Z 1, Z 2 ] = Z1 s Z 2 s für alle R, <s d.h. [Z 1, Z 2 ] c =. Insbesondere gil [Z 1, Z 2 ] =, falls einer der beiden Prozesse Z 1, Z 2 zusäzlich seige Pfade besiz. Beweis. Siehe Proer [3, II. Theorem 28]. Der nachfolgende Saz ensprich Theorem 33 aus dem II. Kapiel von Proer [3] oder auch Theorem 4.57 aus dem I. Kapiel von Jacod/Shiryaev [14]. In konkreen Fällen sell dieser Saz ein wesenliches Hilfsmiel bei der explizien Berechnung sochasischer Inegrale dar. Saz 1.19 Iô-Formel für Semimaringale Sei Z = Z 1,..., Z n ein n-tupel von Semimaringalen bezüglich F. Sei weierhin f : R n R eine Funkion mi seigen pariellen Ableiungen zweier Ordnung. Dann is auch fz ein Semimaringal bezüglich F und die folgende Inegralgleichung is P-fas sicher erfüll:

Grundlagen aus der sochasischen Analysis 17 fz fz = n i=1 1 2 1 i,j n <s f x i Zs dz i s 2 f x i x j Zs d [ Z i, Z j] c s [ fzs fzs n i=1 f ] Zs Z i s x i für alle R. Beweis. Siehe Jacod/Shiryaev [14, I. Theorem 4.57]. Nach Definiion 1.13 haben die Semimaringale Z 1,..., Z n fas sicher rechsseige Pfade. Im Fall von fas sicher seigen Pfade fäll der leze Term in der obigen Formel weg und es gil [Z i, Z j ] c = [Z i, Z j ] für alle 1 i, j n. Korollar 1.2 Produkformel für Semimaringale Seien Z 1 und Z 2 zwei Semimaringale bezüglich F. Dann is auch Z 1 Z 2 ein Semimaringal bezüglich F und es gil P-fas sicher Z 1 Z 2 Z 1 Z 2 = Z 1 s dz 2 s Z 2 s dz 1 s [ Z 1, Z 2] für alle R. Beweis. Eine Anwendung von Saz 1.19 mi f : R 2 R, x 1, x 2 x 1 x 2 liefer die Behaupung. 1.3 Einige Ergebnisse der sochasischen Analysis Im Folgenden werden einige wichige Säze aus der sochasischen Analysis angegeben, die im weieren Verlauf dieser Arbei angewende werden. Saz 1.21 Gesoppe Supermaringale sind Supermaringale Sei Z = Z R ein càdlàg-supermaringal bezüglich F. Sei weierhin S eine F-Soppzei. Dann is der gesoppe Prozess Z S = Z S R ebenfalls ein càdlàg- Supermaringal bezüglich F. Insbesondere is Z S ein càdlàg-maringal, wenn Z ein càdlàg- Maringal is.

Grundlagen aus der sochasischen Analysis 18 Beweis. Siehe Rogers/Williams [32, II. Theorem 77.4]. Saz 1.22 Soppsaz von Doob Sei Z = Z R ein càdlàg-supermaringal bezüglich F. Seien weierhin S 1 und S 2 zwei F-Soppzeien mi S 1 S 2 fas sicher. Angenommen Z is enweder eine g.g.i. Familie von Zufallsvariablen oder nichnegaiv. Dann sind ZS 1, ZS 2 L 1 P und es gil E[ZS 2 F S1 ] ZS 1 fas sicher. Insbesondere gil EZS 2 EZS 1. Im Fall, dass Z ein g.g.i. càdlàg-maringal is, gil sogar die Gleichhei. Beweis. Siehe Rogers/Williams [32, II. Theorem 77.5]. Sei A R Ω gegeben. Man definiere die Abbildung D A : Ω R { } durch D A ω := inf { R :, ω A }. Das Infimum über die leere Menge is dabei definier als. D A heiß Erseinriszei in die Menge A. Der folgende Saz besag, uner welcher Voraussezung D A eine Soppzei bezüglich F is. Saz 1.23 Für jede F-progressiv-messbare Menge A is die Erseinriszei D A in die Menge A eine F-Soppzei. Beweis. Siehe Ellio [7, Theorem 6.11]. Nach dem ersen Abschni is jedes càdlàg-maringal Z ein lokales Maringal. Die Umkehrung is jedoch ohne weiere Voraussezungen an Z falsch, denn es exisieren lokale Maringale, die keine Maringale sind. Saz 1.24 Sei Z = Z R ein lokales Maringal bezüglich F mi Esup s [,] Zs < für alle R. Dann is Z ein Maringal bezüglich F. Beweis. Sei S n n N eine lokalisierende Folge für Z, d.h. für alle n N is der gesoppe Prozess Z S n ein g.g.i. Maringal bezüglich F. Für alle R is Z messbar bezüglich F, da Z = lim n Z S n fas sicher. Für alle R is Z inegrierbar, da Z Z := sup s [,] Zs L 1 P.

Grundlagen aus der sochasischen Analysis 19 Seien s, R mi s gegeben. Da Z ein lokales Maringal bezüglich F is, gil E[Z S n F s ] = Zs S n für alle n N. Zs S n konvergier fas sicher gegen Zs für n. Nach dem bedingen Saz von Lebesgue konvergier E[Z S n F s ] fas sicher gegen E[Z F s ] für n denn nach Voraussezung is Z L 1 P und es gil Z S n Z für alle n N. Für den Grenzwer n folg somi E[Z F s ] = Z s. Der Prozess Z is dami ein Maringal bezüglich F. Analog is jedes lokale Sub- bzw. Supermaringal, das die obige Voraussezung erfüll, ein Sub- bzw. Supermaringal. Die folgenden beiden Ungleichungen werden vor allem in Kapiel 2 benöig, um uner anderem einen Exisenz- und Eindeuigkeissaz für Lösungen sochasischer Differenialgleichungen nachzuweisen. Saz 1.25 Maringalungleichung von Doob Sei Z = Z R ein posiives càdlàg-submaringal bezüglich F. Ferner sei p > 1 gegeben. Dann gil für alle R p E Zs sup s Beweis. Siehe Revuz/Yor [31, II. Theorem 1.7]. p p Z p E. p 1 Saz 1.26 Burkholder-Davis-Gundy Ungleichung Sei Z = Z R ein lokales Maringal bezüglich F mi Z =. Weierhin sei S eine endliche F-Soppzei. Dann gil für jedes 2 p < E Z p [Z, ] p C p E Z S 2 sup S wobei C p > eine nur von p abhängige Konsane is. Beweis. Siehe Proer [3, IV.7 Bemerkung zu Theorem 73] oder Dellacherie/Meyer [5, VII. Theorem 92]., Ebenfalls wichig für den Beweis des Exisenz- und Eindeuigkeissazes aus Kapiel 2 is der nachfolgende Saz. Dieser besag, dass unabhängige Poisson-Prozesse fas sicher zu verschiedenen Zeipunken springen.

Grundlagen aus der sochasischen Analysis 2 Saz 1.27 Seien N 1 = N 1 R und N 2 = N 2 R zwei unabhängige Poisson-Prozesse, die auf demselben Wahrscheinlichkeisraum definier sind. Weierhin seien T n 1 n N bzw. T n 2 n N die zugehörigen Sprungzeien von N 1 bzw. N 2. Dann gil P T m 1 = T n 2 für ein m, n N =. Beweis. Siehe Applebaum [1, Proposiion 1.3.12]. Aus diesem Saz folg insbesondere, dass zusammengeseze Poisson-Prozesse, die von unabhängigen Poisson-Prozessen geseuer werden, fas sicher zu verschiedenen Zeipunken springen. Speziell gil dami der folgende Sachverhal: Seien A BR k \ {} mi / A und M = M 1,..., M l ein l-dimensionales Poissonsches Zufallsmaß auf R R k \ {}, BR BR k \ {} mi zugehörigem Inensiäsmaß µ = λ R ν 1,..., λ R ν l. Nach Applebaum [1, Lemma 2.3.4] gil M j [, ], A < fas sicher für alle R und für alle j = 1,..., l. Weierhin is der Prozess M j [, ], A R ein Poisson-Prozess zum Parameer α j := ν j A vgl. Applebaum [1, Theorem 2.3.5]. Nach Definiion eines l-dimensionalen Poissonschen Zufallsmaßes bilden die Komponenen unabhängige eindimensionale Poissonsche Zufallsmaße. Somi sind die Poisson-Prozesse {M j [, ], A R : j = 1,..., l} unabhängig voneinander. Definier man nun die Prozesse P j = P j R, j = 1,..., l, durch P j := z M j [, ], dz, A so sind diese zusammengeseze Poisson-Prozesse vgl. Applebaum [1, Theorem 2.3.1], die nach Saz 1.27 fas sicher zu verschiedenen Zeipunken springen.

Kapiel 2 Sochasische Differenialgleichungen Exisenz und Eindeuigkei Sei Ω, F, P ein vollsändiger Wahrscheinlichkeisraum versehen mi einer Filraion F = F R, die die üblichen Voraussezungen erfüll. Bezüglich dieser sochasischen Basis sei W = W R eine m-dimensionale Brownsche Bewegung und M = M 1,..., M l ein davon unabhängiges l-dimensionales Poissonsches Zufallsmaß auf R R k \ {}, BR BR k \ {} mi zugehörigem Inensiäsmaß µ = λ R ν 1,..., λ R ν l und zugehörigem Kompensaor M = M 1,..., M l. Für jedes j = 1,..., l sei ν j ein Lévy-Maß d.h. ν j is ein Maß auf R k \ {}, BR k \ {} mi R k \{} y 2 1ν j dy <. Ferner sei vorausgesez, dass sowohl die Brownsche Bewegung W als auch das Poissonsche Zufallsmaß M unabhängig von F sind. Im Folgenden wird die Exisenz und die Eindeuigkei von Lösungen sochasischer Differenialgleichungen der Form dx = A, X d B, X dw X = X z <c F, X, z Md, dz G, X, z Md, dz, 2.1 z c für ein c > unersuch. Hierbei is zugelassen, dass die Koeffizienen A, B, F und G sochasische Prozesse sind, wobei die Abhängigkei von ω in der Noaion meis weggelassen wird. 21

Sochasische Differenialgleichungen Exisenz und Eindeuigkei 22 Um dies zu präzisieren, seien A : R R k Ω R k, B : R R k Ω R k m, F : R R k R k Ω R k l, G : R R k R k Ω R k l BR BR k F-messbare bzw. BR BR k BR k F-messbare Abbildungen. Weiere Voraussezungen an diese Koeffizienen folgen im weieren Verlauf dieses Kapiels. Ferner sei der Anfangswer X eine R k -werige F -messbare Zufallsvariable. Der in 2.1 durch G konrolliere Term, der die großen Sprünge umfass, läss sich leich mi Hilfe von Vernezungsmehoden behandeln. Aus diesem Grund berache man zunächs den Fall G, d.h. sochasische Differenialgleichungen der Form dx = A, X d B, X dw F, X, z Md, dz, 2.2 X = X. Der nachfolgende Saz liefer die Exisenz und die Eindeuigkei von Lösungen derariger sochasischer Differenialgleichungen. Für den Fall, dass die Koeffizienen A, B und F weder von der Zei noch vom Zufall abhängen und das Poissonsche Zufallsmaß eindimensional is, finde man einen ähnlichen Exisenz- und Eindeuigkeissaz in Applebaum [1, Theorem 6.2.3] und in Ikeda/Waanabe [11, IV. Theorem 9.1]. Für den Fall F vergleiche z <c man Flemming/Soner [8, Appendix D], die auch zufällige Koeffizienen zulassen. Saz 2.1 Exisenz- und Eindeuigkeissaz für den Fall G Für fese Were x, z R k seien die Prozesse A, x, und B, x, progressiv-messbar bezüglich F und der Prozess F, x, z, vorhersehbar bezüglich F. Weierhin exisiere für jedes T eine Konsane K T >, so dass für alle [, T ] und x, y R k die globale Lipschizbedingung A, x A, y 2 B, x B, y 2 z <c und die globale Wachsumsbedingung A, x 2 B, x 2 F,j, x, z F,j, y, z 2 ν j dz K T x y 2 z <c F,j, x, z 2 ν j dz K T g 2 KT x 2

Sochasische Differenialgleichungen Exisenz und Eindeuigkei 23 P-fas sicher gelen. Hierbei sei g = g R ein sochasischer Prozess, der die folgende Inegrabiliäsbedingung erfüll: T 2 E g d < für alle T R. 2.3 Dann besiz die sochasische Differenialgleichung 2.2 eine an F adapiere Lösung X = X R, welche fas sicher rechsseige Pfade mi endlichen Linkslimien besiz. Ferner is diese pfadweise eindeuig besimm, d.h. für zwei solche Lösungen X 1 und X 2 gil P X 1 = X 2 für alle R = 1. Beweis. Teil A: Zunächs berache man den Fall E X 2 <. i Exisenz: Um die Exisenz einer Lösung der sochasischen Differenialgleichung 2.2 zu zeigen, definiere man sich eine Folge von Prozessen {X n = X n R : n N } durch X := X X n1 := X für alle n N und R. z <c As, X n s ds Bs, X n s dw s F s, X n s, z Mds, dz Indukiv folg aus dieser Definiion, dass jeder Prozess X n adapier an F is und fas sicher rechsseige Pfade mi endlichen Linkslimien besiz. Sei zunächs n =. Aufgrund der Güligkei der Ungleichung a1... a p 2 p a 1 2... a p 2 für p N und a 1,..., a p R k und wegen der Hölder-Ungleichung für Zufallsvekoren vgl. Kallenberg [15, Lemma 3.5] gil für alle R X1 X 2 = As, X ds 3 As, X ds 2 3 As, X 2 ds Bs, X dw s z <c Bs, X dw s 2 Bs, X dw s 2 F s, X, z Mds, dz z <c z <c 2 F s, X, z Mds, dz 2 F s, X, z Mds, dz 2. Bilde man auf beiden Seien das Supremum über alle [, T ] sowie den Erwarungswer und wende anschließend die Maringalungleichung von Doob sowie die Iô-Isomerie an,

Sochasische Differenialgleichungen Exisenz und Eindeuigkei 24 so erhäl man für jedes T R E X1 X 2 sup T T 3T E 3E sup T As, X 2 ds 3E z <c T 3T E As, X 2 ds 3m 3l k i=1 E sup T sup T F s, X, z Mds, dz 2 z <c T 3T E As, X 2 ds 12m 12l k i=1 T E z <c T = 3T E As, X 2 ds 12m 12l k i=1 T = 3T E As, X 2 ds T 12l E k m i=1 E Bs, X dw s 2 sup T F i,j s, X, z M j ds, dz 2 k m i=1 T E F i,j s, X, z M j ds, dz 2 k m i=1 T E F i,j s, X, z 2 ν j dz ds z <c z <c B i,j s, X dw j s 2 B i,j s, X dw j s 2 T E B i,j s, X 2 ds T 12mE Bs, X 2 ds F,j s, X, z 2 ν j dz ds T { C 1 T E As, X 2 Bs, X 2 mi C 1 T := max3t, 12m, 12l. z <c Mi Hilfe der geforderen globalen Wachsumsbedingung folg E X1 X 2 T C 1 T E sup T F,j s, X, z } 2 ν j dz ds { K T g 2 KT X 2} d T 2 = C 1 T K T E g d C 1 T T K T E X 2 =: C 2 T.

Sochasische Differenialgleichungen Exisenz und Eindeuigkei 25 Wegen der Voraussezung 2.3 und E X 2 < gil C 2 T <. Für ein beliebiges n N läss sich mi den gleichen Argumenen wie oben für jedes T R die folgende Ungleichungskee schließen: E Xn1 X n 2 sup T T 3T E 3E 3E sup T sup T As, Xn s As, X n 1 s 2 ds { } Bs, X n s Bs, X n 1 s z <c dw s 2 { } 2 F s, X n s, z F s, X n 1 s, z Mds, dz T 3T E As, Xn s As, X n 1 s 2 ds T 12mE Bs, X n s Bs, X n 1 s 2 ds T 12l E F,j s, X n s, z F,j s, X n 1 s, z 2 ν j dz ds z <c T { As, C 1 T E Xn s As, X n 1 s 2 Bs, Xn s Bs, X n 1 s 2 z <c F,j s, X n s, z F,j s, X n 1 s, z } 2 ν j dz ds. Mi Hilfe der geforderen globalen Lipschizbedingung sowie dem Saz von Fubini erhäl man E sup T Xn1 X n 2 C 1 T K T T C 1 T K T T E Xn s X n 1 s 2 ds 2.4 E sup u s X n u X n 1 u 2 ds. Für n N ergib sich nun indukiv mi Hilfe der beiden obigen Abschäzungen, die man aus den Fällen n = und n N beliebig erhalen ha, die folgende Ungleichung: E Xn1 X n 2 sup T C 1 T n K T n T s n 1 n 1! E sup u s X1 u X u 2 ds

Sochasische Differenialgleichungen Exisenz und Eindeuigkei 26 C 1 T n K T n E sup u T C1 T K T T n C 2 T. n! X 1 u X u 2 T n n! Zwischenbehaupung: Die Folge X n n N is für jedes R eine Cauchy-Folge in L 2 Ω, F, P. Für m, n N mi m < n und für alle T gil mi Hilfe der Minkowski-Ungleichung E X n X m 2 1 n 1 2 E X r1 X r 2 1 2 r=m n 1 r=m n 1 r=m E sup T C 2 T Xr1 X r 2 1 2 C1 T K T T r Da die Reihe auf der rechen Seie der Ungleichung konvergen is, folg daraus die Zwischenbehaupung. Somi exisier für jedes R ein X L 2 Ω, F, P mi X n X in L 2 Ω, F, P. Mi Hilfe der L 2 Ω, F, P-Konvergenz läss sich weierhin für alle m N und T E X X m 2 1 2 = lim E X n X m 2 1 2 n und somi folgern. = sup E X X m 2 1 2 T lim n 1 n r=m r=m C 2 T r=m C 2 T r! 1 2. C1 T K T T r r! C1 T K T T r C 2 T r! 1 2 C1 T K T T r r! 1 2 1 2 2.5 Mi Hilfe der Markov-Ungleichung gil weierhin für alle T R P Xn1 X n 1 2 n 4 n E sup T C 2 T sup T Xn1 X n 2 4C1 T K T T n n!

Sochasische Differenialgleichungen Exisenz und Eindeuigkei 27 und somi n= P sup T Xn1 X n 1 2 n 4C1 T K T T n C 2 T n! n= <. Nach dem Lemma von Borel-Canelli gil daher für alle T R P { lim sup n sup T Xn1 X n 1 2 n } =, was äquivalen zu { P lim inf n sup T Xn1 X n < 1 2 n } = 1 is. Sei ε > gegeben. Dann exisier für fas alle ω Ω ein n = n ω N, so dass für alle n, m n mi n > m sup X n ω X m ω T n 1 gil. Somi is die Folge X n n N sup r=m T X r1 ω X r ω < n 1 r=m 1 2 r < ε eine fas sicher gleichmäßige Cauchy-Folge auf jedem kompaken Inervall [, T ] und daher fas sicher gleichmäßig konvergen gegen X = X R auf [, T ]. Daraus folg, dass der Prozess X adapier an F is und fas sicher rechsseige Pfade mi endlichen Linkslimien besiz. Es muss noch verifizier werden, dass der Prozess X eine Lösung der sochasischen Differenialgleichung 2.2 is. Dazu definiere man den Prozess X = X R X := X As, Xs ds Bs, Xs dw s F s, Xs, z Mds, dz. z <c durch Für alle n N gil X X n1 = { } As, Xs As, X n s ds { } Bs, Xs Bs, X n s dw s z <c { F s, Xs, z F s, X n s, z} Mds, dz. Mi der gleichen Argumenaion, wie die Ungleichung 2.4 gefolger wurde, erhäl man

Sochasische Differenialgleichungen Exisenz und Eindeuigkei 28 mi Hilfe der Abschäzung 2.5 für alle T E X Xn1 2 T Xs C 1 T K T E Xn s 2 ds X C 1 T K T T sup E Xn 2 T C 1 T K T T r=n C 2 T C1 T K T T r r! 1 2 2. Da die Summe auf der rechen Seie konvergen is, konvergier die Folge X n n N für jedes R in L 2 Ω, F, P gegen X und aufgrund der Eindeuigkei des Grenzweres folg X = X fas sicher. Beide Prozesse besizen fas sicher rechsseige Pfade, also sind X und X ununerscheidbar. Der Prozess X = X R Lösung der sochasischen Differenialgleichung 2.2. is daher eine gesuche ii Eindeuigkei: Die Eindeuigkei folg mi Hilfe des Gronwall-Lemmas vgl. Applebaum [1, Proposiion 6.1.4]. Dazu seien X 1 = X 1 R und X 2 = X 2 R zwei verschiedene F-adapiere Lösungen der sochasischen Differenialgleichung 2.2, welche fas sicher rechsseige Pfade mi endlichen Linkslimien besizen. Man definiere für jedes n N die beiden Soppzeien S n 1, S n 2 : Ω R { } durch S 1 n := inf { R : X 1 n }, S 2 n := inf { R : X 2 n }, und seze S n := S n 1 S n 2. Da X 1 und X 2 càdlàg-prozesse sind, gil S n fas sicher. Für R und n N gil X 1 S n X 2 S n = Sn Sn Sn { } Au, X 1 u Au, X 2 u du { } Bu, X 1 u Bu, X 2 u dw u z <c { F u, X 1 u, z F u, X 2 u, z} Mdu, dz. Mi Hilfe der Hölder-Ungleichung für Zufallsvekoren und der Iô-Isomerie folg mi einer ähnlichen Argumenaion wie im Beweis der Exisenz für alle T E X1 X 2 2 = E X1 S n X 2 S n 2 1 {<Sn } 1 {<Sn } X1 E S n X 2 S n 2